专题23 线段、射线和直线（5知识点+13大题型+4大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题23 线段、射线和直线 （5知识点+13大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：13大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：直线、射线与线段的概念 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）手电筒发射出来的光线，给我们以（   ）的形象． A．线段 B．射线 C．直线 D．折线 【答案】B 【分析】此题考查直线、线段、射线问题，熟练掌握射线：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸是解题的关键．用射线的概念解答． 【详解】解：手电筒发射出来的光线，手电筒是射线的端点，光的传播方向是射线的方向，故手电筒发射出来的光线，给我们以射线的形象． 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）下列各直线、线段、射线的表示中，正确的是（    ） A．直线： B．射线： C．线段： D．线段： 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，是基础题，熟记概念与它们的区别与联系是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义以及表示方法对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A．图中直线不能用两个小写字母表示，故该选项说法错误，不符合题意； B．射线用它的端点和射线方向上的另外任意一点的两个字母表示，表示方法中起点字母总是放在第二个字母的前面，图中应该表示射线，故该选项说法错误，不符合题意； C．线段，故该选项说法正确，符合题意； D．线段用两个端点的大写字母或用一个小写字母表示，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．下面给出的图形分别是直线、射线和线段，能相交的图形是（   ） A．①③ B．①② C．①④ D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查了直线、射线和线段，掌握直线、射线和线段的特征是解题的关键．根据射线可以向一方无限延伸，直线可以向两方无限延伸，线段不能延伸即可判断求解． 【详解】解：①中都是直线，可以双向延长，故可以相交； ②中都是线段，不能延长，故不能相交； ③中a、b都是直线，都可以双向延长，故可以相交； ④中射线只能向方向延长，故不能与直线相交． 故选：A． 知识点2：两点确定一条直线 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 【即时训练】 4．（24-25七年级上·浙江衢州·期末）将一条木条固定在墙上，至少需要在木条上钉两个钉子．这样做的数学依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．连接两点之间的线段的长度是两点间的距离 【答案】A 【分析】本题考查几何公理的实际应用，根据几何基本公理，经过两点有且只有一条直线，因此钉两个钉子可固定木条的位置，使其无法绕这两个点转动或移动，选项B、C涉及最短距离，与固定木条无关；选项D是距离的定义，亦不适用，由此可解． 【详解】解：将木条固定在墙上需要至少两个钉子，是因为两点确定一条直线． 故选A． 5．主师傅将甲、乙两块木板叠放在一起，截面图如图所示，若乙板确定是平直的，则王师傅判断甲板受潮变形，不再平直．这个结论的数学依据是（　　） A．两点之间直线最短 B．经过一点有且只有一条直线 C．经过两点有且只有一条直线 D．线段可以向两个方向延长 【答案】C 【分析】本题考查了直线的性质，根据经过两点有且只有一条直线解答即可． 【详解】解：这个结论的数学依据是经过两点有且只有一条直线． 故选C． 6．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）墨斗是木工用来打直线的重要工具．如图，经过刨平的木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．这一现象中，蕴含的数学知识是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了两点确定一条直线的应用，理解两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：由题意得 蕴含的数学知识是两点确定一条直线； 故答案为：两点确定一条直线． 知识点3：线段的性质 两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。 【即时训练】 7．如图是某公园跑道的部分平面图，从处到处的直线距离为，而实际沿跑道走约为，从数学知识角度考虑合理的是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．平行线间的距离相等 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短，熟知两点之间，线段最短是解题的关键． 【详解】解：从处到处的直线距离为，而实际沿跑道走约为，从数学知识角度考虑合理的是两点之间线段最短， 故选：B． 8．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，从A地到B地有甲、乙、丙、丁4条路线，能判断丙路线最短的依据是（   ） A．过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段的长度就是A、B两点之间的距离 【答案】C 【分析】本题考查了线段的性质，根据两点之间，线段最短判断即可；熟知两点之间，线段最短是关键． 【详解】解：从A地到B地有甲、乙、丙、丁4条路线，能判断丙路线最短的依据是两点之间，线段最短， 故选：C． 9．（24-25七年级上·浙江·期末）如图，在一个广场上的点和点两处，分别有一只小狗和一块骨头，小狗想走最短路程吃到骨头，我们知道最短路线是②，其数学理由是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了公理“两点之间，线段最短”，熟知公理是解题关键．根据两点之间，线段最短即可求解． 【详解】解：最短路线是②，其数学理由是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 知识点4：两点间距离、中点概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 【即时训练】 10．如图，在同一直线上有、、、四点．已知，，，则线段的长 ． 【答案】 【分析】根据，，，求得、的长度，再根据即可求解． 【详解】∵，，， ∴, ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是根据条件先利用线段之间的关系得到、的长度． 11．已知A，B，C三点在同一条直线上，且，．若点D是线段的中点，则线段 cm． 【答案】11或5 【分析】根据题意，分两种情况画出图形．①点C在点B的右侧时；②点C在点B的左侧时．根据线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离进行计算即可得出答案． 本题考查了线段的和差，两点间的距离，线段的中点定义，掌握线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，点C在点B的右侧时， ∵，， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴； ②如图所示，点C在点B的左侧时， ∵，， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴， 综上所述，线段的长为5或11． 12．（24-25七年级上·浙江舟山·期末）如图，点在线段上，，，点，分别是、的中点． (1)求线段的长； (2)若为线段上任一点，如果，求的长． 【答案】(1)7 (2)7 【分析】本题考查了两点间的距离及线段中点的性质，熟练掌握运用线段中点的性质进行计算是解题的关键． （1）根据线段中点的性质，可得、的长，根据线段的和差，可得答案； （2）根据线段中点的性质及线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：点，分别是、的中点，，， ，， ， 线段的长为7； （2）解：点，分别是、的中点， ，， ， ， 的长为7． 知识点5：双中点模型 C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【即时训练】 13．（24-25七年级上·浙江·期末）如图，为线段上任一点，点、分别是、的中点．若，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的定义，与线段中点有关的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键. 根据题意得到，继而求出，根据线段中点的定义得出. 【详解】解：点，分别是线段，的中点， ，， ， ， . 14．如图，已知，点C是线段上一动点（不与A、B重合），点M是线段的中点，点N是线段的中点．求线段的长． 【答案】5 【详解】本题考查与线段中点有关的计算，掌握线段中点的定义是解题的关键． 解：∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴． 15．如图，点C在线段上，点M是的中点，点N是的中点． (1)若，求的长； (2)若，，求的长 【答案】(1)的长度为 (2)的长度为 【分析】本题主要考查线段中点，线段和差的计算，理解图示，掌握线段关于中点的计算方法是解题的关键． （1）根据题意可得，由此即可求解； （2）根据（1）的计算方法，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴ ， ∴的长度为； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴的长为． 【题型1 直线、射线、线段的联系与区别】 1．下列语句中正确的是（   ） A．延长直线 B．延长线段到点C，使线段与线段相等 C．延长射线 D．反向延长射线到点B，使射线与射线相等 【答案】B 【分析】本题考查了几何基本概念：直线、射线与线段；根据几何基本概念，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A选项错误：直线是向两端无限延伸的，没有端点，因此无法再被“延长”； B选项正确：线段可以沿B点方向延长到点C，使；例如，用圆规截取的长度，从B点延长即可构造点C； C选项错误：射线从端点O向A方向无限延伸，已无法再延长； D选项错误：射线反向延长得到的是另一条射线（方向与相反），射线本身是无限长的，无法定义“相等”； 综上，只有B选项符合几何基本概念． 故选：B． 2．下列说法正确的是（   ） A．直线与直线不是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．延长线段和延长线段的含义一样 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的性质．根据直线、射线、线段的定义和性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、直线与直线是同一条直线，原说法错误，本选项不符合题意； B、射线与射线不是同一条射线，端点不同，原说法错误，本选项不符合题意； C、延长线段和延长线段的含义不一样，原说法错误，本选项不符合题意； D、经过两点有一条直线，并且只有一条直线，说法正确，本选项符合题意； 故选：D． 3．如图，A，B，C三点在同一水平线上，则下列说法不正确的是（   ） A．直线与直线是同一条直线 B．线段与线段是同一条线段 C．射线与射线是同一条射线 D．射线与射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、直线与直线是同一条直线，此选项说法正确，不符合题意； B、线段与线段是同一条线段，此选项说法正确，不符合题意； C、射线与射线不是同一条射线，此选项说法不正确，符合题意； D、射线与射线的起点相同，是同一条射线，此选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 4．①用一个小写字母表示．即表示为 ． ②用表示端点的两个大写字母表示．即表示为 或 ． 【答案】 线段a 线段 线段 【分析】本题考查了线段的表示．由线段表示的方法有用一个小写字母表示或用两个大写字母表示即可得到答案． 【详解】根据线段的表示方法得： ①用一个小写字母表示．即表示为 线段a ． ②用表示端点的两个大写字母表示．即表示为 线段AB 或 线段BA ． 故答案为：线段a、线段、线段． 5．下列图示中，直线表示方法正确的有 （填序号）    【答案】①④/④① 【分析】根据直线的表示方法进行判断即可． 【详解】解：用两个点表示直线时，这两个点必须是大写字母，故②③错误，①正确； 用一个字母表示直线时，这个字母必须是小写，且不要在直线上标点，故④正确． 【点睛】本题考查直线的表示方法：用一个小写字母或一条直线上的两个点来表示直线，但前面必须加“直线”两字，掌握直线的表示法是解题的关键． 【题型2 直线、线段、射线的数量问题】 6．如图，以点O为端点的射线有（    ）条． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了射线的识别，解题关键是理解射线的定义：直线上一点和它一旁的部分，准确进行判断． 【详解】解：图中以点O为端点的射线有，共4条， 故选：C． 7．如图，在直线上有三个点，图中线段条数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段，根据线段的定义即可求解，掌握线段的定义是解题的关键． 【详解】解：图中线段有：线段、线段、线段，共三条， 故选：． 8．线段上有两点、（不与点、点重合），以、、、四点为端点，共有 条线段． 【答案】6 【分析】本题考查了线段的定义，解题的关键是按照顺序，做到不重不漏． 根据线段有两个端点，写出所有的线段即可得到数量． 【详解】解：如图， 则图中线段有：线段、线段、线段、线段、线段、线段共6条． 故答案为：6． 9．如图，在一条公路上有五个车站，依次为，车站要准备车票，一共要准备 种车票． 【答案】20 【分析】本题考查了线段数量的计算，理解图示，掌握线段数量计算与实际问题的运用是解题的关键． 根据题意，分别从端点开始找出线段即可求解． 【详解】解：以点开始，有4段，即， 以点开始，有3段，即， 以点开始，有2段，即， 以点开始，有1段，即， 同理，反向如此， ∴共有， 故答案为：20 ． 10．如图，已知线段，点C在上，点P在外．    (1)根据要求画出图形：画直线，画射线，连接； (2)写出图中的所有线段． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查画直线，射线，线段．属于基本题型． （1）根据要求画图即可； （2）根据图形，写出线段即可． 【详解】（1）解：如图，直线，射线，连接；    （2）图中的所有线段为． 【题型3 直线相交的个数问题】 11．平面内五条直线两两相交，最多有x个交点，最少有y个交点，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查直线的交点问题，掌握直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个，最少有1个交点，是解题的关键．由题意可得5条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出x，y的值，从而得出答案． 【详解】解：在同一平面内，条直线两两相交，最多有个交点，最少有1个交点， 则， ∴， 故选：C． 12．我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 【答案】C 【分析】此题考查了直线的交点问题，找到规律是解题关键． 根据题干总结规律即可解题． 【详解】解：由题意可得： 3条直线两两相交最多有3个交点，即， 4条直线两两相交最多有6个交点，即， 5条直线两两相交最多有10个交点，即， 6条直线两两相交最多有15个交点，即， … ∴10条直线两两相交最多能有． 故选：C． 13．一个平面内3条直线最多可以将这个平面分成 区域． 【答案】7 【分析】本题考查了直线相交对平面区域划分的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据三条直线在平面内的位置关系进行作答，即可求解； 【详解】解：三条平行直线可以把平面分成4部分， 三条直线中，有两条平行时可以把平面分成6部分， 三条相交直线可以把平面分成7部分； 故答案为：7； 14．平面内有四条直线，两两相交，交点最多有m个，最少有n个，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了直线的交点问题，代数式求值，掌握直线相交于一点时交点最少为1个，任意n条直线两两相交时交点最多为个是关键．由题意可得四条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出m，n的值，从而得出答案． 【详解】解：根据题意可得：四条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即； 任意两直线相交都产生一个交点时，交点最多， ∴此时交点为：，即； 则． 故答案为7． 15．用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 【答案】5050个交点，见解析 【分析】本题主要考查了直线的交点个数问题，解题的关键在于能够根据特例推出相应的规律． 根据两直线“两两相交”有1个交点，三直线“两两相交”有个交点，四条直线“两两相交”有个交点，由此可以发现最多交点个数就是从1开始的连续的正整数相加，最后一个加数比直线的条数少1，由此进行求解即可 【详解】解：当有2条直线“两两相交”时，有1个交点； 当有3条直线“两两相交”时，有个交点； 当有4条直线“两两相交”时，有个交点； ……， ∴一般地，n条直线“两两相交”有个交点 ∴当有101条直线“两两相交”时，有个交点． 所以有101条直线“两两相交”时，有5050个交点． 【题型4 画直线、射线、线段】 16．已知，，，四点（如图）： (1)画线段，射线，直线； (2)连，与直线交于点； (3)连接，并延长线段与射线交于点； (4)连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的特征，准确掌握直线、线段、射线的特征是解题的关键． （1）根据直线，射线，线段的特征可作图求解； （2）根据题意连，与直线交于点； （3）根据题意连接，并延长线段与射线交于点； （4）根据题意连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 【详解】（1）解：如图，线段，射线，直线即为所求； （2）解：如图， （3）解：如图， （4）解：如图， 17．如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D． ①画射线；②直线与直线相交于点O． 【答案】①图见解析；②图见解析． 【分析】本题考查了作图-基本作图，射线，直线的定义，①直接利用射线的定义即可画出射线， ②直接利用直线的定义画出直线，两条直线交于点，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①直接利用射线的定义即可画出射线，则射线即为所求； ②直接利用直线的定义画出直线，两条直线交于点，则点即为所求，如图： 18．按照下列语句画出图形 (1)画射线； (2)连接、相交于点O； (3)画直线，在直线上取点E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了射线，直线，线段中点的定义，熟练掌握其定义并能正确区分它们是解决此题的关键． （1）利用射线的定义画出符合题意的图形即可； （2）利用线段和交点的定义得出符合题意的图形即可； （3）利用直线的定义得出符合题意的图形，再利用中点的定义找到点即可； 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求， （2）解：如图所示，、相交于点O，即为所求， （3）解：如图所示，直线和点，即为所求， 19．如图，已知平面上有四个点，A，B，C，D (1)连接，并画出的中点P； (2)作射线； (3)作直线与射线交于点 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查射线，线段以及直线的作图，解题关键是掌握三种线的区别与联系． （1）画线段，并找到中点P即可； （2）根据射线的定义画射线即可； （3）根据直线与射线的定义分别画出直线与射线标注交点即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）如图所示． （3）如图所示． 20．如图，在平面内有，，三点． (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点，），连接线段； (3)在（1）（2）的条件下，图中线段共有________条． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查画直线，射线和线段，线段的数量问题： （1）根据直线，射线，线段的定义，画图即可； （2）根据题意，作图即可； （3）根据线段的定义，数出线段的数量即可． 【详解】（1）解：画直线，线段，射线，如图所示； （2）如图所示，线段即为所求； （3）由图可知，线段有：共6条； 故答案为：6． 【题型5 点与线的位置关系】 21．如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】该题考查了直线的定义，根据图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得，该直线为直线， 故选：C． 22．下列几何图形与相应语言描述相符的是(   ) A．如图1，直线，相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长射线 D．如图4，点在直线上 【答案】A 【分析】本题考查直线、射线、线段，解题的关键是根据图形，能用几何语言描述它们的关系．根据直线、射线、线段的定义与图形逐项判断即可． 【详解】解：①如图1，直线、相交于点，与图相符，故选项A符合题意； ②如图2，直线与线段有公共点，故选项B不符合题意； ③如图3，只能反向延长射线，故选项C不符合题意； ④如图4，点不在直线上，故选项D不符合题意． 故选：A． 23．下列几何图形与相应语言描述不相符的有（   ） A．如图1，直线、相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长线段 D．如图4，直线不经过点 【答案】B 【分析】本题考查线段、射线和直线的语言描述．利用线段、直线和射线，点与直线的关系等语言描述逐一判断即可解题． 【详解】解：A. 如图1，直线、相交于点，描述相符，故该选项不符合题意； B. 如图2，直线与线段有公共点，描述不相符，故该选项符合题意； C. 如图3，延长线段，描述相符，故该选项不符合题意； D. 如图4，直线不经过点，描述相符，故该选项不符合题意； 故选：B． 24．如图，直线与直线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点在直线外 B．点在直线上 C．点在线段的反向延长线上 D．直线与线段相交于点 【答案】B 【分析】本题考查了线段，射线，直线的关系．根据线段，射线，直线的特点判断即可． 【详解】解：A、点在直线外，说法正确，本选项不符合题意； B、点在直线外，原说法不正确，本选项符合题意； C、点在线段的反向延长线上，说法正确，本选项不符合题意； D、直线与线段相交于点，说法正确，本选项不符合题意； 故选：B． 25．如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是 （直接填写序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了直线的基本特征，点与直线的关系，熟记直线的基本知识是解题的关键． 根据直线的基本特征及点与直线的关系进行判断即可． 【详解】解：①点A在直线外，正确； ②直线m和n相交于点C，正确； ③点B既在直线l上又在直线n上，原描述错误． 综上所述，其中正确的是①②． 故答案为：①②． 【题型6 两点确定一条直线】 26．墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其中的道理是（   ） A．直线最短 B．两点之间的距离 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了直线的性质，解题的关键是掌握直线的性质． 根据直线的性质：两点确定一条直线可得答案． 【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．这其中包含的数学道理是两点确定一条直线， 故选：D． 27．棋盘上有黑、白两色棋子若干，若把颜色相同的三颗棋子在同一条直线上看作一条直线．请你根据图示，判断满足这种条件的直线共有（    ） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【答案】C 【分析】本题考查了“两点确定一条直线”．掌握相关结论即可．根据“两点确定一条直线”即可求解． 【详解】解：如图所示： 满足条件的直线共有3条． 故选：C 28．墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是： ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的关键．根据直线的性质，即可解答． 【详解】解：墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．木工师傅这样做的道理是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 29．《荀子·劝学》有云，木受绳则直，金就砺则利．大意是说，木材经墨线比量后加工便可取直，刀剑等金属制品被磨刀石磨过就会锋利．如图，木匠师傅欲做一工件，于木板上确定两点A，B，依此弹出线段再加工，其依据为 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质，依据两点之间可以确定一条直线，据此解答即可． 【详解】解：木匠师傅欲做一工件，于木板上确定两点A，B，依此弹出线段再加工，其依据为两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 30．举出一个能反映“经过两点有且只有一条直线”的实例． 【答案】见解析． 【分析】结合实例证明“经过两点有且只有一条直线”即可． 【详解】解：例如，在正常情况下，射击时要保证目标在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标；栽树时只要确定两个树坑的位置，就能确定同一行的树坑所在的直线； 建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳，沿这根绳就可以砌出直的墙． 【点睛】本题考查了“经过两点有且只有一条直线”，熟知定义是解题的关键． 【题型7 两点之间线段最短】 31．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．将军在点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线l上选取一点P，使得最小．下面四种解决方案中，符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间，线段最短．解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．依据是两点之间线段最短得出答案． 作点A关于直线的对称点，连接，，则线段的长度即为的最小值． 【详解】解：作点A关于直线的对称点， 连接， 则， ∴， 连结， 则线段的长度即为的最小值， 这样做依据的基本事实是：两点之间，线段最短． 故选：A． 32．如图，甲、乙均从处去往处．甲选择图中的路线①，即依次途径，，，最终到达；乙选择图中的路线②，即途径，最终到达．图中的，，，，，均在格点上，且从一处到下一处均按直线行走，则两条路线中较长的是（    ） A．① B．② C．一样长 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短， 连接，再利用两点之间线段最短即可求解， 【详解】解：连接 有图可知： 在中， 即， 在中，， 即， ， 则路线①的距离路线②的距离， 故选：A． 33．从A到B有多条道路，人们会走中间的直路，而不会走其他曲折的路，这是因为 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是解题的关键．根据线段的性质即可求解． 【详解】解：人们通常会走中间的直路，而不走其他的路，这其中的道理是：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． 34．如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离之和最小，你的理由是： ；由本题你得到的数学结论是： 【答案】 两点之间，线段最短 四边形对角线的交点到四个顶点的距离之和最小 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是解题的关键．根据“两点的所有连线中，线段最短”的性质分析解答即可． 【详解】解：， ∴点P为与的交点，其根据是“两点的所有连线中，线段最短”的性质， 当和共线时，即当点O是四边形对角线的交点时，它到四个顶点的距离之和最小． 故答案为：两点之间，线段最短；四边形对角线的交点到四个顶点的距离之和最小． 35．快递机器人的出现为快递行业提供了帮助，提高了运送快递的效率．如图，四个快递机器人在指定轨道上运送快递（实线部分为运送路径），每个小长方形的长为2，宽为1． (1)求机器人走过的路径长． (2)若机器人走过的路径长分别为，则三者之间的大小关系为_______． (3)机器人行走路线的编程存在问题，行走路径不是最短路径，则编程出现问题的是过程_______（填“”或“”），请在图中将错误路径修改正确． 【答案】(1)10 (2) (3)，图见解析 【分析】本题考查了有理数的加法，有理数的大小比较，分别求出的值是解答本题的关键． （1）利用有理数的加法列式求解即可； （2）分别求出的值，比较大小即可； （3）根据两点之间线段最短修改即可 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：； （3）解：出现问题的是过程， 如图， 或 故答案为：． 【题型8 两点间的距离】 36．下列说法中，正确的是（       ） A．两点之间，直线最短 B．线段就是M，N两点之间的距离 C．在连接两点的所有连线中，最短的连线的长度就是这两点之间的距离 D．从北京到武汉，火车行驶的路程就是武汉到北京的距离 【答案】C 【分析】本题主要考查了两点之间的距离的定义以及两点之间线段最短，解题的关键在于能够熟知定义． 根据两点间的距离的定义：连接两点间的线段的长度叫做两点之间的距离以及两点之间线段最短进行逐一判断即可． 【详解】解：A．两点之间，线段最短，故此说法不正确； B．线段的长度就是M，N两点之间的距离，故此说法不正确； C．在连接两点的所有连线中，最短的连线的长度就是这两点之间的距离，故此说法正确； D．从北京到武汉，火车行驶的路程大于武汉到北京的距离，故此说法不正确． 故选：C． 37．点在线段上，若三条线段、、中，有其中一条线段是另一条线段的2倍，则称点是线段的“巧点”．若，点是线段的巧点，则的长是（    ） A．1．5或3或4.5 B．3或4.5 C．3或4.5或6 D．4.5或6 【答案】C 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．当点C是线段的“巧点”时，可能有三种情况，分类讨论计算即可． 【详解】解：当点C是线段的“巧点”时，可能有三种情况： ①时，； ②时，； ③时，． 故选：C． 38．已知线段，，那么线段的长度是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了两点之间的距离．根据点三点位置不确定，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，点三点位置不确定， 线段的长度是无法确定的， 故选：D． 39．如图，直线上有五个点A，B，C，D，E，连接其中两点形成的10个距离，从小到大排列依次为：2，4，5，7，8，k，13，15，17，19，那么k的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了两点之间的距离．由题意得，，求得，，，，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 当，时，，， 符合题意，此时； 当，时，，， 不符合题意， 综上，k的值是12； 故答案为：12． 40．如图，C为线段的中点，点D分线段两部分和的比为． (1)若，求线段的长； (2)若E为线段的中点，试说明线段与线段的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是熟练掌握线段中点的定义． （1）设，，则，根据线段中点的定义即可得到结论． （2）设，，则，根据线段中点的定义即可得到结论． 【详解】（1）设，，则， ∵C为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2），理由如下： 同（1）得：，，则，， ∵E为线段的中点， ∴， ∴， ∴． 【题型9 尺规作图】 41．如图，已知线段a，b，利用尺规作线段，使得．（保留作圈痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作一条线段等于已知线段，熟练掌握基本作图方法，是解题的关键．先作射线，然后在射线上截取，再截取，则线段即为所求． 【详解】解：如图，线段即为所求作的线段． 42．已知平面内有点A、B、C、D，按要求作图． (1)画线段，射线，直线； (2)在射线上作． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了画出直线、射线、线段，作线段，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据直线、射线、线段的定义进行作图即可； （2）先以点为圆心，以的长为半径画弧交射线于一点，再以点为圆心，以的长为半径画弧交射线于一点E，即可作答． 【详解】（1）解：线段，射线，直线如图所示： （2）解：射线上作如图所示： 43．已知射线和点，画线段，并利用尺规作图法在射线上作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了作线段，解题的关键在于能够熟练掌握相关作图方法． 根据线段的定义可得线段．以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，可得． 【详解】解：如图，线段即为所求；以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，线段即为所求． 44．如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D和直线，点B和D在直线l上，请用直尺和圆规按下列要求作图(不写作图步骤，保留作图痕迹)． (1)连接，在直线l上找出点E，使； (2)作射线，在射线上找一点F，使； (3)作直线和直线l相交于点P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据线段的定义作出线段，以A为圆心，为半径作弧交于点E，连接即可； （2）根据射线的定义以及题目要求画出图形； （3）作出直线交直线l于点P即可． 【详解】（1）解：如图，线段，即为所求； （2）如图，射线，线段即为所求； （3）如图，点P即为所求． 45．如图，在平面内有三点． (1)画出直线和射线； (2)利用无刻度直尺与圆规，在射线上取一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据直线，射线的定义画出图形即可； （2）在射线上截取线段，，则即可． 【详解】（1）解：如图所示：直线和射线即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求作的线段． 【题型10 线段的和与差】 46．已知线段，点在直线上，且，则线段等于（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，分点C在线段上和点C在线段的延长线上，两种情况画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当点C在线段上时， ∵，， ∴； 如图所示，当点C在线段的延长线上时， ∵，， ∴； 综上所述，线段的长为或， 故选：C． 47．如图，C是线段的中点，D为线段上一点，下列等式（1）；（2）；（3），（4）．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，熟练掌握线段的和差关系是解题的关键． 根据线段的和差关系逐句判断即可． 【详解】解：∵是线段的中点， ， （1），故（1）正确； （2）不能证明，故（2）错误； （3），故（3）正确； （4），故（4）正确， ∴正确的有 3 个． 故选：C． 48．延长线段到C，使，若，则线段的长为 【答案】 【分析】本题考查了两点之间的距离，利用现代的和差是解题的关键． 根据线段的和差得到，即可得到． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 49．已知线段，点C在的延长线上，，则线段 ． 【答案】10 【分析】本题考查了线段的和差，根据题意得出，再根据求解即可． 【详解】解：，， ， 点C在的延长线上， ， 故答案为：． 50．如图，点B、C在线段上，若，，且，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，一元一次方程，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键；设长为，表示出，，利用建立等式求解即可． 【详解】解：设长为． ， ； 又， ； ∵，， ， 解得：； 长为． 【题型11 线段中点的有关计算】 51．如图，已知线段，延长至点C，使．D为线段的中点，若，则a的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间的距离，线段中点以及线段的和差的计算，一元一次方程，解题的关键是掌握以上知识点． 根据求出，进而求出的长，根据为线段的中点求出的长，再根据即可求出的值． 【详解】解：∵， ， ， ∵为线段的中点， ， ， ， 解得：， 故选：C． 52．如图，为线段的中点，为线段的中点，为线段AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，继而得到，，求出，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：为线段的中点，， ， 为线段的中点， ， ， 为线段AD的中点， ， ， 故选：C． 53．已知线段，点C是线段的中点，直线上有一点D，且，则线段的长度为 ． 【答案】7.5或15 【分析】根据线段中点的性质，可得的长，设，进行分类讨论且逐个情况作图，根据线段的和差列出方程解答便可．本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论以防遗漏． 【详解】解：∵，点C是线段的中点， ∴， 设，则， 当D点在B、C之间时，如图所示： 则， 即， 解得， ∴； 当D点在的延长线上时，如图所示： 则， 即， 解得， ∴； 故答案为：7.5或15． 54．如图，已知点是线段内一点，，点是线段的中点，若线段，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，正确确定线段之间的数量关系是解题的关键． 根据题意得到，，求出，即可得到答案． 【详解】解：点是线段的中点，， ， ， ， ， 故答案为：． 55．如图，已知点是线段上的一点，是的中点．若，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义，先求得线段，再结合线段的中点的含义解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴线段的长为． 【题型12 线段n等分点的有关计算】 56．如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段等分点的计算．根据线段中点的定义可以得出点是线段的中点，点是线段的中点，即可判断A选项和B选项说法错误；根据线段等分点的定义，可以得出点是线段的三等分点，点是线段的四等分点，即可判断C选项说法错误，D选项说法正确． 【详解】解：∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故B选项说法错误； ∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故A选项说法错误； 即， ∴， ∴，， 即点是线段的三等分点，故D选项说法正确； 点是线段的四等分点，故C选项说法错误． 故选：D． 57．如图，点是线段上一点，，．点是线段的中点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，由，可得，再根据点是线段的中点，即可求出的长，掌握线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵点是线段的中点， ∴ ∴， 故选：． 58．如图M是线段的中点，，点C是上的一点，且满足，则线段的长度是 ． 【答案】 【分析】此题考查线段的中点性质，线段等分点的计算，线段的和差计算，正确理解图形中线段之间的数量关系是解题的关键． 先根据M是线段的中点，求出，再根据求出的长度，即可得到答案． 【详解】解：M是线段的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 59．如图，已知点M、N为线段的三等分点，点P为线段的中点，若，则线段的长度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和与差，明确题意，准确得到线段间的数量关系是解题的关键．根据点M、N为线段的三等分点，可得，再由点P为线段的中点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵点M、N为线段的三等分点， ∴， ∵点P为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：12． 60．已知线段，是线段上任意一点（不与点，重合）． (1)若，，求的长； (2)在（1）的条件下，若且点在直线上，，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了线段的n等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n等分点的定义是解答本题的关键． （1）由，可得，，然后根据求解即可； （2）先求出线段的长，然后分点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，． 综上可知，的长度为或． 【题型13 线段之间的数量关系】 61．已知线段，延长至点，使，是线段的中点． (1)若，则求的长； (2)试探究线段、间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)，理由见解析； 【分析】本题注意考查线段的和差运算，结合图形，正确的表示出线段的和与差关系是解题的关键． （1）根据题意得到，结合是线段的中点，，得到，最后根据即可得解； （2）由（1）可知，，结合是线段的中点，得到，由，即可得出结论； 【详解】（1）， ， ， 是线段的中点,，， ， ， （2），理由如下 由（1）可知：， 是线段的中点， ， ， ． 62．如图，已知线段，在线段上确定两点，使得，分别是线段的中点． (1)试分析线段的数量关系； (2)求线段的长度． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查求线段长度，数形结合，找准相关线段之间的和差关系是解决问题的关键． （1）由题意，数形结合，得到即可得到答案； （2）由题意，根据中点定义，数形结合，表示出线段之间的和差关系即可得到答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴， 又∵分别是线段的中点， ∴，， ∴． 63．如图线段，，点M是的中点． (1)求线段的长度； (2)在上取一点N，使得．求的长． 【答案】(1)5 (2) 【分析】此题考查了线段中点，线段的和差关系，解题的关键是理解题意，正确的进行求解． （1）根据求解即可； （2）由求出，由点M是的中点求出，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：线段线段，， ∴． （2）解：∵， ∴．          又∵点M是的中点，， ∴，             ∴，即的长度是． 64．如图，已知线段和点，，且点是线段的中点． (1)使用直尺和圆规，根据要求补全图形（保留作图痕迹）： ①画直线； ②画射线； ③在的延长线上取点，使； ④连接． (2)经测量，猜想（1）中线段，之间的数量关系是______． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析；④见解析． (2) 【分析】本题考查了复杂作图——直线、射线、线段，熟练掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键． （1）①根据直线的定义画图即可；②根据射线的定义画图即可；③以为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的延长线于点，则点即为所求；④画线段即可； （2）由测量可得． 【详解】（1）解：①如图，直线即为所求； ②如图，射线即为所求； ③如图，以为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的延长线于点，则点即为所求； ④如图，线段即为所求． （2）经测量，， 故答案为：． 65．已知点C在线段上，点M为的中点，，． (1)如图1，求的长； (2)如图2，点D在线段上，若，判断点M是否为线段的中点，并说明理由． 【答案】(1)4 (2)是，理由见详解 【分析】本题考查了线段的和与差及中点的定义，准确理解线段之间的数量关系是解题关键． （1）由题意可求出，，从而由求解即可； （2）由，得出，即；再根据点M为的中点，即，从而得出，即得出结论． 【详解】（1）解：（1）∵，， ∴． ∵点M为的中点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵点M为的中点， ∴， ∴， 故点M是线段的中点． 【拓展训练一 直线相交的交点个数综合】 66．一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】45 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法．由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点，…，总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵3条直线两两相交，最多有3个交点；而； 4条直线两两相交，最多有6个交点；而， 5条直线两两相交，最多有10个交点；而， …； ∴在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴10条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 67．探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了直线与直线间交点规律题，观察出相邻两个图形的交点个数的差为连续整数是解题的关键． （1）根据题意结合图形即可解答； （2）利用题中方法代入数据计算即可； （3）把9条公路看作是9条直线，先求出9条直线两两相交时的交点的个数，再根据差是10进行分析，即可得解． 【详解】（1）解：平面内有3条直线，则最多有个交点，即； 平面内有4条直线，则最多有个交点，即； ； 若平面内有条直线，则最多有个交点，即； （2）解：平面内有10条直线，且在某一方向上有5条是互相平行时， 其交点的个数最多为（个）， 其中表示10条直线两两相交时的最多交点个数，表示5条直线相互平行时减少的交点个数； （3）解：把9条公路看作是9条直线，则9条公路两两相交时交点的个数为：， ， 则可以看作，在某一方向上有5条直线两两互相平行，其余4条直线不平行，如图： 68．【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 【答案】（1）10；（2）29；（3）没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛 【分析】本题主要考查了直线交点问题、图形规律探究等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键 （1）根据题干分析n条直线，最多有个交点，直接代入即可得解； （2）代入公式求出交点最多个数，当8条直线交于同一点时，个数最少； （3）根据单循环赛制的特点，以及各班级已赛场次的信息，逐步推理出班级之间的比赛关系，进而求出未与七6班比赛的班级以及剩余比赛场数． 【详解】解：（1）5条直线相交，最多有个交点， 故答案为：10； （2）根据题意，最多有个交点，此时， 当8条直线交于同一点时，交点最少，此时， 所以； （3）分析各班级比赛场次信息： 单循环赛制意味着每个班级都要和其余5个班级各赛一场，所以每个班级最多比赛5场， ①七1班赛了5场，这表明七1班与七2、七3、七4、七5、七6班都进行了比赛； ②七5班只赛了1场，由于七1班与所有班级都比赛过，所以七5班这一场比赛就是和七1班进行的，七5班没有和其他班级比赛； ③确定七2班比赛对象：七2班比赛了4场，因为七5班只和七1班比赛，所以七2班除了和七5班没比赛，与七1、七3、七4、七6班都比赛了； ④确定七4班比赛对象：七4班赛了2场，根据前面的推理，七4班的两场比赛是和七1、七2班进行的； ⑤确定七3班比赛对象：七3班比赛了3场，已知七1、七2班与七3班比赛，七5班没和七3班比赛，所以七3班的三场比赛是和七1、七2、七6班进行的（与七4班没有比赛）；通过以上分析可知，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班． 已比赛的场数为： ①七1班与七2、七3、七4、七5、七6班比赛5场； ②七2班与七4、七3、七6班比赛3场（与七1已算在七1班场次中）； ③七3班与七6班比赛1场（与七1、七2重复场次已算）； ④七4班与七1、七2班赛比2场；（全部为重复场次，已算过） ⑤七5班与七1班赛1场；（全部为重复场次，已算过） ⑥七6班与七1、七2、七3班赛3场（全部为重复场次，已算过），总共已赛9场； 6个班级进行单循环比赛，总场数为场，所以还剩下的比赛场数为场； 综上，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛． 【拓展训练二 线段中点的计算综合】 69．如图， (1)设、、、四点为个居民小区，现要在四边形内建一个购物中心，不考虑其他因素，请你画图确定购物中心的位置点，使个居民小区到购物中心的距离之和最小； (2)尺规作图：在图中作射线，在射线上找一点，使得； (3)点在直线上，，，点、分别是，的中点，则线段 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）连接，交于点，点即为所求； （2）延长到，使得，在线段上截取线段，使得，线段即为所求； （3）分两种情形画出图形，根据中点的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求： ； （2）解：如图，线段即为所求： ； （3）解：如图： 当点在线段上时，， 当点在的延长线上时，， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 70．已知线段上的两点、，点为线段的中点，． (1)如图1，求线段的长； (2)如图2，点在的延长线上，点在线段上，满足，则点是否为线段的中点？请作出判断，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，，点为的中点，，求的长． 【答案】(1) (2)点是线段的中点，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了线段中点的性质，线段的和差计算； （1）根据为的中点，得出，进而根据，即可求解； （2）根据，则，即，即可得出结论； （3）设，由（1）可得，则，，根据中点的性质可得．根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：因为为的中点， 所以． 因为， 所以； （2）解：点是线段的中点 理由如下：因为，， 所以， 所以， 即， 所以点为的中点． （3）解：由（1）可得， 设，则，．    因为为的中点， 所以． 所以． 由（2）知，为的中点， 所以． 所以， 所以 解得， 即． 71．已知点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0，且关于x的多项式不含项和x的一次项，点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，M的速度为1个单位长度每秒，N的速度为3个单位长度每秒，设运动的时间为t秒（）． (1)直接写出_______；_______； (2)①用含t的代数式表示：t秒后，点M表示的数为_______；点N表示的数为_______． ②当t为何值时，恰好有？ (3)若点P为线段的中点，Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度会随着t的改变而改变，请直接写出当t满足什么条件时，有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)8，； (2)①，；②或； (3)当时，值最小，最小值是； 【分析】（1）先根据关于x的多项式不含项和x的一次项得到二次项系数和及一次项系数和为0求出a、b即可得到答案； （2）根据路程等于速度乘以时间结合数轴上两点距离关系表示出数字即可得到答案； （3）利用先根据中点表示出点Q,，P代表的数字，再表示，结合式子判断大小即可得到答案； 【详解】（1）解：， ∵关于x的多项式不含项和x的一次项得， ∴，， 解得：，， ∴，， 故答案为：8，； （2）解：①∵点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，M的速度为1个单位长度每秒，N的速度为3个单位长度每秒， ∴点M表示的数为：，点N表示的数为：， 故答案为：，； ②由（1）得， ， ， ∵， ∴， 即， 解得：或； （3）解：∵点P为线段的中点，Q为线段的中点， ∴点P代表的数字为：，Q代表的数字为：， ∴，， ∴， 当时，， ∴当时，值最小， ． 【点睛】此题考查了数轴上点的表示方法和两点间的距离，一元一次方程，解题的关键是熟练掌握数轴上点的表示方法和两点间的距离，根据题意列出方程求解． 【拓展训练三 与线段有关的动点问题】 72．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    73．（1）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，则的长度为______； （2）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，猜想的长度（用含a、b的代数式表示），并说明理由； （3）如图2，已知数轴上有一点A表示的数为，点A的右侧有三点B、C、D，，．若点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，点D以每秒1个单位长度的速度向左运动；三个点同时运动，当点C运动到A点时，三个点都停止运动．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，B、C、D中的一点是另外两点为端点的线段的中点？ 【答案】（1）11；（2），理由见解析；（3）当t的值为、或8时，B、C、D中的一点是另外两点组成的线段的中点． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，线段中点公式，关键是要运用中点公式建立一元一次方程． （1）由点D为的中点，可求得的长，再根据，即可解答； （2）结合第一问和中点公式可以猜想的长度，然后再运用线段的和差证明即可； （3）先分别表示出，，，最后分情况结合中点公式列出一元一次方程求出时间t即可． 【详解】（1）解：如图1：∵， ∴， ∵D是的中点， ， ； （2）解：，理由如下： 如图1：∵， ∴， ∵D是的中点， ， ∴． （3）解：A表示，点表示5，点C表示21，点D表示17， 当运动的时间为t秒时，点B表示，点C表示，点D表示，点，，， ①当点C在点D的右侧，即，解得：， ∴当时，如图2所示，D是的中点， 由题意可得：， 即，解得：，不符合题意，舍去； ②当点C在点D的左侧且点C在点B的右侧，即，解得：， ∴当时，如图3所示，C是的中点， 由题意可得：，即， 解得：，符合题意； ③当点C在点B的左侧且点D在点B的右侧，则，解得：， ∴当时，如图4所示，B是的中点， 由题意可得：， 即，解得∶，符合题意； ④当点D在点B的左侧到停止前，则，解得：， ∴当时，如图5所示，D是的中点，， 由题意可得：， 即，解得，符合题意． 综上所述，当t的值为、或8时，B、C、D中的一点是另外两点组成的线段的中点． 74．如图，在数轴上有A，B，M三点，分别表示有理数a，b，m．其中a，b，m满足．已知线段的中点表示的数可以记作，A、B之间的距离为． (1)求a，b，m的值； (2)数轴上的一动点N从A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，当N与B的距离为线段长度的两倍时，求运动时间t，以及此时点N表示的数； (3)有一动点P从表示的点出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，动点Q从表示的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动．点P比点Q先出发1秒，设点Q运动的时间为t秒，若线段上至少存在一点T与点A构成线段，当线段的中点在线段（包含端点）上，求t最大值和最小值． 【答案】(1)，， (2)或，N表示的数为0或4 (3)最小为，最大为 【分析】本题主要考查了非负数的性质、数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出一元一次方程以及分类讨论思想成为解题的关键． （1）根据非负数的性质求得a、b、m的值即可解答； （2）先求，得出，解方程后即可求出结论； （3）设线段上有一点T，T点表示的数是x，的中点，根据题意得出，进而列方程分别求出最值即可． 【详解】（1）解：∵且， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， 表示的数为：；又B表示的数为2， ∴， ∴或 表示的数为0或4； （3）解：∵点P表示的数为：，点Q表示的数为：， 设线段上有一点T，T点表示的数是x， ∴的中点， ∵的中点在线段上， ∴在线段上， ∴， ∴， ①最小值：当P点运动到1时，，解得， 当Q点运动到1时，，解得， 因此最小为； ②最大值：当P点运动到5时，，解得， 当Q点运动到5时，，解得， 因此最大为． 【拓展训练四 线段动点中的定值问题】 75．综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 【答案】（1），；（2）；（3）不变， 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）根据表格信息分别求解当，，当，时的长度即可； （2）求解，，，结合点M为中点，点N为中点，可得，，再进一步求解即可； （3）分五种情况讨论：当点C，D在线段上，当在的左边，在的右边，如图，当在的右边，在的右边，如图，当在的左边，在的右边时，如图，当都在的左边时，再结合（2）的方法进一步求解即可. 【详解】解：（1）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴， 当，． ∴，，， ∴， 当，． ∴，，， ∴， ∴，； （2）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴； （3）点C，D在线段上，由（2）可知； 如图，当在的左边，在的右边， ，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴， 如图，当在的右边，在的右边， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当在的左边，在的右边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当都在的左边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 综上：. 76．如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为，且满足．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数是____________，点表示的数是___________，点表示的数是___________（用含的式子表示）； (2)设点是的中点，点是的中点．点在直线上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段的长度． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)线段的长度没有变化，长度为 (3)存在，或 【分析】本题考查了数轴和绝对值，熟练掌握数轴上两点间的距离和绝对值及其应用是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性求出和的值，根据动点则可求出表示的数； （2）利用数轴上的中点公式和两点间的距离即可求解； （3）利用数轴上两点间的距离和整式化简不含则有系数为即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴，， 即，， ∴数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． 故答案为：； （2）解：不发生变化，线段的长度为． 理由如下： ∵点是中点，点是中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：点表示的数是：，点表示的数是：， ∴，， ①当时，，， ∴， ∵上式与无关， ∴，解得； ②当时，，， ∴， ∵与无关， ∴，解得； ③当时，，， ∴， ∵与无关， ∴，解得； 综上所述，当或时，的值与无关． 77．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ；；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】【感悟体验】画图见解析；【认识概念】；【运用概念】（1），（2），【拓展提升】当时,为定值． 【分析】【感悟体验】 ：以点为圆心以长度为半径交直线于点即可求解； 【认识概念】，故①不符合题意； ，，故不符合题意；设，则，同理可得，即可求解； 【运用概念】 设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为，即可求解； 【拓展提升】设点对应的数为：，点对应的数为：，则点、对应的数分别为：，，求出 ，即可求解； 本题考查了几何变换，涉及到新定义、中点坐标公式的运用等，准确设定点所对应的数是解题的关键. 【详解】【感悟体验】：以点为圆心以长度为半径交直线于点 则点为所求点，如下图： 【认识概念】 ，故不符合题意； ，故不符合题意； 设 ，则， 同理可得：，故符合题意， 故答案为：； 【运用概念】设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为， （）当，即，则， 则， （）当，即， 则， 【拓展提升】存在，理由： 设点对应的数为：，点对应的数为：， 则点、对应的数分别为：，， 则点对应的数为， 而， 则点对应的数为： ， 则 ， 当时，为定值． 1．下列有关线段或者直线的表示方法，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线、线段的表示，直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线；线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段（或线段）．据此判断即可． 【详解】解：有关线段或者直线的表示方法，正确的是： 故选：C． 2．平面上有4个点，经过每两点画一条直线，所画直线条数不可能为（　　） A．1条 B．3条 C．4条 D．6条 【答案】B 【分析】本题主要考查了数直线的条数， 分类画出图形，再求得画的直线的条数，即可判断． 【详解】解：分以下三种情况： ①当4点在同一直线上，如图：故可以画1条直线； ②当有3个点在同一直线上，故可以画4条直线； ③当任意三点都不在同一直线上，可以画6条直线. 所以不可能是3条. 故选：B． 3．下列说法中，正确的是（   ） A．射线与射线是同一条射线 B．联结两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，直线最短 D．线段与线段是同一条线段 E． 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间线段最短，线段、射线的定义，两点之间的距离，熟练掌握概念是解题的关键． 【详解】解：A、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； B、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，原说法错误，不符合题意； C、两点之间，线段最短，原说法错误，不符合题意； D、线段与线段是同一条线段，原说法正确，符合题意； 故选：D． 4．已知平面上一点和线段，下列条件：①；②；③；④，其中不能确定点C是线段中点的个数是有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查两点间的距离，根据线段中点的定义以及点C的位置逐项进行判断即可． 【详解】解：①由于平面上一点C和线段，当点C在线段上时，有，此时点C不一定是的中点，因此①不能确定点C是线段中点； ②由于平面上一点C和线段，当点C在线段外的平面内一点，虽然满足，但点C不一定是的中点，因此②不能确定点C是线段中点； ③当点C在线段的中垂线上时，均有，因此③不能确定点C是线段中点； ④由于平面上一点C和线段，当点C在线段外的平面内一点，虽然满足，但点C不一定是的中点，因此④不能确定点C是线段中点； 综上所述，①②③④均不能确定点C是线段中点，共4个， 故选：A． 5．已知线段，点为线段的中点，点是直线上的一点，且，则线段的长是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】解：本题考查了线段的中点的定义，线段的和差，分类讨论是解题的关键． 根据线段的中点定义，线段的和差计算即可． 【详解】∵点为线段的中点， ∴当点在的延长线上时， ， 当点在线段的延长线上时， ， ∴线段的长是或． 故选：D． 6．如图，点B是线段上靠近点A的三等分点，若，则的长用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法与线段间的计算，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键，利用B是线段上靠近点A的三等分点，求出的长，再根据科学记数法的表示方法表示即可得答案． 【详解】解：∵B是线段上靠近点A的三等分点， ∴, 故选：D． 7．如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的跳动规律以及中点距离的计算，通过观察每次跳动后点与原点的距离变化，可以发现一个规律，即每次跳动后点与的距离是前一次距离的一半，利用这个规律，可以计算出经过次跳动后点与中点的距离，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上两点的距离为， ∴点表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ， 表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为， 的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为： ， 故选：B． 8．如图，，C是线段延长线上一点，M为线段的中点，在线段上存在一点N（点N在点M的右侧且点N不与B，C两点重合），使得且，则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2或3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，一元一次方程的应用，设，则， ，根据线段中点的定义得到，则，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴， ∵点M为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是 【答案】线段a 【分析】本题考查两点确定一条直线，掌握两点确定一条直线是解题关键．根据经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断． 【详解】解：如图， ∴线段a与挡板另一侧的线段在同一直线上， 故答案为：线段a． 10．高铁京沪二线途径东营市，预计2026年能通车，届时将大大方便人们的出行．列车往返于北京，上海两个城市，中途经过13个站点（共15个站点），不同的车站来往需要不同的车票，则这条路线共有 种不同的车票． 【答案】 【分析】本题考查了线段的数法应用，在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复，注意：每条线段有两种车票．n个车站每两站之间车票有两种，则n个车站的票的种类数种，据此即可解答． 【详解】解：n个车站每两站之间车票有两种，则n个车站的票的种类数种， 当时，（种）． 故答案为：． 11．在日常生活和生产中常常看到下列现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙； ③用两个钉子就可以把直木条固定在墙上； ④将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果木条中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的． 其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 ．（只填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查直线的性质，线段的性质，根据直线的性质和线段的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：①利用的是两点之间线段最短，不符合题意； ②利用的是两点确定一条直线；符合题意； ③利用的是两点确定一条直线；符合题意； ④利用的是两点确定一条直线；符合题意； 故答案为：②③④． 12．如图，，点C为线段的中点，点D在线段上，且，则线段的长度为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了线段中点的计算，掌握线段中点的定义，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 根据线段中点的定义可得，再求出，即可得解． 【详解】∵，点C为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 13．如图，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与、重合），使得且，则的值为 【答案】/ 【分析】此题主要考查了线段的计算，线段中点的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握线段的和差运算是解决问题的关键； 设，根据线段中点的定义得，求得的长度，再根据，然后根据即可得出的值； 【详解】解：设，， ， ， ， ， 点为线段的中点， ， ， ， ， 整理得：， ， ， 解得：； 故答案为： 14．如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．若已知点D是折线的“折中点”，E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】6或14 【分析】本题考查两点间的距离，根据“折中点”的定义，分两种情况分别画出图形，由图形中线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图1，∵点E为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∴； 如图2，∵点E为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∴； 综上所述，或． 故答案为：6或14． 15．如图，在平面内有，，三点． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于，），连接，并延长至，使； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是根据直线、射线、线段的定义按要求作图． （1）根据直线没有端点、向两个方向无限延伸，射线有一个端点，向一个方向无限延伸，线段有两个端点，不延伸，画出直线，射线，线段； （2）线段上任取一点（不同于，），连接，再根据画出符合要求的图形即可． 【详解】（1）解：作图如下， （2）解：作图如下， 16．如图，已知三点A，B，C． (1)作图：画线段，画射线，画直线； (2)在（1）的条件下，比较线段的大小：______（填“>”“<”或“=”），理由是__________． 【答案】(1)见解析 (2)>；两点之间，线段最短 【分析】本题考查线段、射线、直线的作图以及线段大小比较的原理，解题的关键是掌握三种线的作图方法和理解两点之间线段最短这一基本原理． 明确线段、射线、直线的作图要求并进行作图； 根据两点之间线段最短的原理比较线段大小． 【详解】（1）画线段：用直尺连接点A和点B，线段有两个端点A和B ，长度是固定的， 画射线：以A为端点，向C的方向无限延伸画出射线，射线有一个端点，向一端无限延伸， 画直线：用直尺经过点B和点C向两端无限延伸画出直线，直线没有端点，向两端无限延伸， 如图： （2）因为A，B两点之间，线段是最短路径．而表示从经过到的路径长度，根据两点之间，线段最短，所以． 故答案为：>；两点之间，线段最短． 17．如图，已知B，C在线段上． (1)如图1，图中共有______条线段； (2)若． ①比较线段的长短：_____（填“”“”或“”） ②如图2，若是的中点，是的中点，则线段的长度为______． 【答案】(1)6 (2)①；②12 【分析】本题主要考查了线段数量、线段的长度计算和线段中点的性质，解题关键是熟练掌握线段的和、差、倍、分及计算方法． （1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据线段的和差关系即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长度． 【详解】（1）解：以为端点的线段有、、共3条； 以为端点的线段有、共2条； 以为端点的线段为，有1条， 故共有线段的条数为：， 故答案为：6； （2）解：①若，则， 即． 故答案为：； ②解：，分别为，中点 ，， ，， ， ． 18．如图，点C是的中点，D，E分别是线段，上的点，且，，若． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差倍分； （1）由线段中点的含义可得，，进一步可得答案； （2）求解，结合，进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵点C是的中点，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴. 19．按下列要求完成回图和计算： (1)已知线段a和b，求作线段，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)已知线段，点C为上的一个动点，点D、E分别是和的中点． 若：①点C恰好是中点，则___________， ②，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①6；② 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，线段的和差计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据线段的尺规作图方法作图即可； （2）①由线段中点的定义得到的长，进而得到的长即可得到答案；②先求出的长，再由线段中点的定义得到的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解；①∵，点C恰好是中点， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 点D、E分别是和的中点， ∴， ∴． 20．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离 ，线段的中点C表示的数为 ； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①10；3；②； (2)或 (3)线段的长度不变，5 【分析】本题考查了数轴上两点的距离公式，线段的中点，以及线段的和差，找出线段之间的数量关系是解题关键，注意分类讨论． （1）①利用两点之间的距离公式和线段中点公式求解即可； ②根据题意，t秒后，点P表示的数是，点Q表示的数是， （2）利用数轴上两点的距离公式列绝对值方程求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点P在线段上；②当点P在线段的延长线上时，根据线段的和差关系，结合线段中点分别求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可得：， 线段的中点表示的数为， 故答案为：10；3； ②根据题意，t秒后，点P表示的数是，点Q表示的数是， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， 解得：或， 答：当或时，； （3）解：线段的长度不变，理由如下： ①当点P在线段上时， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴； ②当点P在线段的延长线上时， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴； 所以线段的长度不变，是5． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23 线段、射线和直线 （5知识点+13大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：13大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：直线、射线与线段的概念 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）手电筒发射出来的光线，给我们以（   ）的形象． A．线段 B．射线 C．直线 D．折线 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）下列各直线、线段、射线的表示中，正确的是（    ） A．直线： B．射线： C．线段： D．线段： 3．下面给出的图形分别是直线、射线和线段，能相交的图形是（   ） A．①③ B．①② C．①④ D．③④ 知识点2：两点确定一条直线 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 【即时训练】 4．（24-25七年级上·浙江衢州·期末）将一条木条固定在墙上，至少需要在木条上钉两个钉子．这样做的数学依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．连接两点之间的线段的长度是两点间的距离 5．主师傅将甲、乙两块木板叠放在一起，截面图如图所示，若乙板确定是平直的，则王师傅判断甲板受潮变形，不再平直．这个结论的数学依据是（　　） A．两点之间直线最短 B．经过一点有且只有一条直线 C．经过两点有且只有一条直线 D．线段可以向两个方向延长 6．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）墨斗是木工用来打直线的重要工具．如图，经过刨平的木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．这一现象中，蕴含的数学知识是 ． 知识点3：线段的性质 两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。 【即时训练】 7．如图是某公园跑道的部分平面图，从处到处的直线距离为，而实际沿跑道走约为，从数学知识角度考虑合理的是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．平行线间的距离相等 D．两点确定一条直线 8．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，从A地到B地有甲、乙、丙、丁4条路线，能判断丙路线最短的依据是（   ） A．过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段的长度就是A、B两点之间的距离 9．（24-25七年级上·浙江·期末）如图，在一个广场上的点和点两处，分别有一只小狗和一块骨头，小狗想走最短路程吃到骨头，我们知道最短路线是②，其数学理由是 ． 知识点4：两点间距离、中点概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 【即时训练】 10．如图，在同一直线上有、、、四点．已知，，，则线段的长 ． 11．已知A，B，C三点在同一条直线上，且，．若点D是线段的中点，则线段 cm． 12．（24-25七年级上·浙江舟山·期末）如图，点在线段上，，，点，分别是、的中点． (1)求线段的长； (2)若为线段上任一点，如果，求的长． 知识点5：双中点模型 C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【即时训练】 13．（24-25七年级上·浙江·期末）如图，为线段上任一点，点、分别是、的中点．若，，求线段的长． 14．如图，已知，点C是线段上一动点（不与A、B重合），点M是线段的中点，点N是线段的中点．求线段的长． 15．如图，点C在线段上，点M是的中点，点N是的中点． (1)若，求的长； (2)若，，求的长 【题型1 直线、射线、线段的联系与区别】 1．下列语句中正确的是（   ） A．延长直线 B．延长线段到点C，使线段与线段相等 C．延长射线 D．反向延长射线到点B，使射线与射线相等 2．下列说法正确的是（   ） A．直线与直线不是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．延长线段和延长线段的含义一样 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 3．如图，A，B，C三点在同一水平线上，则下列说法不正确的是（   ） A．直线与直线是同一条直线 B．线段与线段是同一条线段 C．射线与射线是同一条射线 D．射线与射线是同一条射线 4．①用一个小写字母表示．即表示为 ． ②用表示端点的两个大写字母表示．即表示为 或 ． 5．下列图示中，直线表示方法正确的有 （填序号）    【题型2 直线、线段、射线的数量问题】 6．如图，以点O为端点的射线有（    ）条． A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，在直线上有三个点，图中线段条数为（   ） A． B． C． D． 8．线段上有两点、（不与点、点重合），以、、、四点为端点，共有 条线段． 9．如图，在一条公路上有五个车站，依次为，车站要准备车票，一共要准备 种车票． 10．如图，已知线段，点C在上，点P在外．    (1)根据要求画出图形：画直线，画射线，连接； (2)写出图中的所有线段． 【题型3 直线相交的个数问题】 11．平面内五条直线两两相交，最多有x个交点，最少有y个交点，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 12．我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 13．一个平面内3条直线最多可以将这个平面分成 区域． 14．平面内有四条直线，两两相交，交点最多有m个，最少有n个，则 ． 15．用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 【题型4 画直线、射线、线段】 16．已知，，，四点（如图）： (1)画线段，射线，直线； (2)连，与直线交于点； (3)连接，并延长线段与射线交于点； (4)连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 17．如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D． ①画射线；②直线与直线相交于点O． 18．按照下列语句画出图形 (1)画射线； (2)连接、相交于点O； (3)画直线，在直线上取点E，使． 19．如图，已知平面上有四个点，A，B，C，D (1)连接，并画出的中点P； (2)作射线； (3)作直线与射线交于点 20．如图，在平面内有，，三点． (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点，），连接线段； (3)在（1）（2）的条件下，图中线段共有________条． 【题型5 点与线的位置关系】 21．如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 22．下列几何图形与相应语言描述相符的是(   ) A．如图1，直线，相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长射线 D．如图4，点在直线上 23．下列几何图形与相应语言描述不相符的有（   ） A．如图1，直线、相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长线段 D．如图4，直线不经过点 24．如图，直线与直线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点在直线外 B．点在直线上 C．点在线段的反向延长线上 D．直线与线段相交于点 25．如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是 （直接填写序号）． 【题型6 两点确定一条直线】 26．墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其中的道理是（   ） A．直线最短 B．两点之间的距离 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 27．棋盘上有黑、白两色棋子若干，若把颜色相同的三颗棋子在同一条直线上看作一条直线．请你根据图示，判断满足这种条件的直线共有（    ） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 28．墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是： ． 29．《荀子·劝学》有云，木受绳则直，金就砺则利．大意是说，木材经墨线比量后加工便可取直，刀剑等金属制品被磨刀石磨过就会锋利．如图，木匠师傅欲做一工件，于木板上确定两点A，B，依此弹出线段再加工，其依据为 ． 30．举出一个能反映“经过两点有且只有一条直线”的实例． 【题型7 两点之间线段最短】 31．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．将军在点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线l上选取一点P，使得最小．下面四种解决方案中，符合要求的是（    ） A． B． C． D． 32．如图，甲、乙均从处去往处．甲选择图中的路线①，即依次途径，，，最终到达；乙选择图中的路线②，即途径，最终到达．图中的，，，，，均在格点上，且从一处到下一处均按直线行走，则两条路线中较长的是（    ） A．① B．② C．一样长 D．无法确定 33．从A到B有多条道路，人们会走中间的直路，而不会走其他曲折的路，这是因为 ． 34．如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离之和最小，你的理由是： ；由本题你得到的数学结论是： 35．快递机器人的出现为快递行业提供了帮助，提高了运送快递的效率．如图，四个快递机器人在指定轨道上运送快递（实线部分为运送路径），每个小长方形的长为2，宽为1． (1)求机器人走过的路径长． (2)若机器人走过的路径长分别为，则三者之间的大小关系为_______． (3)机器人行走路线的编程存在问题，行走路径不是最短路径，则编程出现问题的是过程_______（填“”或“”），请在图中将错误路径修改正确． 【题型8 两点间的距离】 36．下列说法中，正确的是（       ） A．两点之间，直线最短 B．线段就是M，N两点之间的距离 C．在连接两点的所有连线中，最短的连线的长度就是这两点之间的距离 D．从北京到武汉，火车行驶的路程就是武汉到北京的距离 37．点在线段上，若三条线段、、中，有其中一条线段是另一条线段的2倍，则称点是线段的“巧点”．若，点是线段的巧点，则的长是（    ） A．1．5或3或4.5 B．3或4.5 C．3或4.5或6 D．4.5或6 38．已知线段，，那么线段的长度是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 39．如图，直线上有五个点A，B，C，D，E，连接其中两点形成的10个距离，从小到大排列依次为：2，4，5，7，8，k，13，15，17，19，那么k的值是 ． 40．如图，C为线段的中点，点D分线段两部分和的比为． (1)若，求线段的长； (2)若E为线段的中点，试说明线段与线段的数量关系． 【题型9 尺规作图】 41．如图，已知线段a，b，利用尺规作线段，使得．（保留作圈痕迹，不写作法） 42．已知平面内有点A、B、C、D，按要求作图． (1)画线段，射线，直线； (2)在射线上作． 43．已知射线和点，画线段，并利用尺规作图法在射线上作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 44．如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D和直线，点B和D在直线l上，请用直尺和圆规按下列要求作图(不写作图步骤，保留作图痕迹)． (1)连接，在直线l上找出点E，使； (2)作射线，在射线上找一点F，使； (3)作直线和直线l相交于点P． 45．如图，在平面内有三点． (1)画出直线和射线； (2)利用无刻度直尺与圆规，在射线上取一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 【题型10 线段的和与差】 46．已知线段，点在直线上，且，则线段等于（   ） A． B． C．或 D．或 47．如图，C是线段的中点，D为线段上一点，下列等式（1）；（2）；（3），（4）．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．延长线段到C，使，若，则线段的长为 49．已知线段，点C在的延长线上，，则线段 ． 50．如图，点B、C在线段上，若，，且，求的长度． 【题型11 线段中点的有关计算】 51．如图，已知线段，延长至点C，使．D为线段的中点，若，则a的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 52．如图，为线段的中点，为线段的中点，为线段AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 53．已知线段，点C是线段的中点，直线上有一点D，且，则线段的长度为 ． 54．如图，已知点是线段内一点，，点是线段的中点，若线段，则线段的长是 ． 55．如图，已知点是线段上的一点，是的中点．若，，求线段的长． 【题型12 线段n等分点的有关计算】 56．如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 57．如图，点是线段上一点，，．点是线段的中点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 58．如图M是线段的中点，，点C是上的一点，且满足，则线段的长度是 ． 59．如图，已知点M、N为线段的三等分点，点P为线段的中点，若，则线段的长度是 ． 60．已知线段，是线段上任意一点（不与点，重合）． (1)若，，求的长； (2)在（1）的条件下，若且点在直线上，，求的长度． 【题型13 线段之间的数量关系】 61．已知线段，延长至点，使，是线段的中点． (1)若，则求的长； (2)试探究线段、间的数量关系，并说明理由． 62．如图，已知线段，在线段上确定两点，使得，分别是线段的中点． (1)试分析线段的数量关系； (2)求线段的长度． 63．如图线段，，点M是的中点． (1)求线段的长度； (2)在上取一点N，使得．求的长． 64．如图，已知线段和点，，且点是线段的中点． (1)使用直尺和圆规，根据要求补全图形（保留作图痕迹）： ①画直线； ②画射线； ③在的延长线上取点，使； ④连接． (2)经测量，猜想（1）中线段，之间的数量关系是______． 65．已知点C在线段上，点M为的中点，，． (1)如图1，求的长； (2)如图2，点D在线段上，若，判断点M是否为线段的中点，并说明理由． 【拓展训练一 直线相交的交点个数综合】 66．一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 67．探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 68．【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 【拓展训练二 线段中点的计算综合】 69．如图， (1)设、、、四点为个居民小区，现要在四边形内建一个购物中心，不考虑其他因素，请你画图确定购物中心的位置点，使个居民小区到购物中心的距离之和最小； (2)尺规作图：在图中作射线，在射线上找一点，使得； (3)点在直线上，，，点、分别是，的中点，则线段 ． 70．已知线段上的两点、，点为线段的中点，． (1)如图1，求线段的长； (2)如图2，点在的延长线上，点在线段上，满足，则点是否为线段的中点？请作出判断，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，，点为的中点，，求的长． 71．已知点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0，且关于x的多项式不含项和x的一次项，点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，M的速度为1个单位长度每秒，N的速度为3个单位长度每秒，设运动的时间为t秒（）． (1)直接写出_______；_______； (2)①用含t的代数式表示：t秒后，点M表示的数为_______；点N表示的数为_______． ②当t为何值时，恰好有？ (3)若点P为线段的中点，Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度会随着t的改变而改变，请直接写出当t满足什么条件时，有最小值，最小值是多少？ 【拓展训练三 与线段有关的动点问题】 72．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 73．（1）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，则的长度为______； （2）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，猜想的长度（用含a、b的代数式表示），并说明理由； （3）如图2，已知数轴上有一点A表示的数为，点A的右侧有三点B、C、D，，．若点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，点D以每秒1个单位长度的速度向左运动；三个点同时运动，当点C运动到A点时，三个点都停止运动．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，B、C、D中的一点是另外两点为端点的线段的中点？ 74．如图，在数轴上有A，B，M三点，分别表示有理数a，b，m．其中a，b，m满足．已知线段的中点表示的数可以记作，A、B之间的距离为． (1)求a，b，m的值； (2)数轴上的一动点N从A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，当N与B的距离为线段长度的两倍时，求运动时间t，以及此时点N表示的数； (3)有一动点P从表示的点出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，动点Q从表示的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动．点P比点Q先出发1秒，设点Q运动的时间为t秒，若线段上至少存在一点T与点A构成线段，当线段的中点在线段（包含端点）上，求t最大值和最小值． 【拓展训练四 线段动点中的定值问题】 75．综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 76．如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为，且满足．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数是____________，点表示的数是___________，点表示的数是___________（用含的式子表示）； (2)设点是的中点，点是的中点．点在直线上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段的长度． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 77．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ；；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 1．下列有关线段或者直线的表示方法，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．平面上有4个点，经过每两点画一条直线，所画直线条数不可能为（　　） A．1条 B．3条 C．4条 D．6条 3．下列说法中，正确的是（   ） A．射线与射线是同一条射线 B．联结两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，直线最短 D．线段与线段是同一条线段 E． 4．已知平面上一点和线段，下列条件：①；②；③；④，其中不能确定点C是线段中点的个数是有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．已知线段，点为线段的中点，点是直线上的一点，且，则线段的长是（    ） A． B． C．或 D．或 6．如图，点B是线段上靠近点A的三等分点，若，则的长用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 7．如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 8．如图，，C是线段延长线上一点，M为线段的中点，在线段上存在一点N（点N在点M的右侧且点N不与B，C两点重合），使得且，则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2或3 D．2 9．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是 10．高铁京沪二线途径东营市，预计2026年能通车，届时将大大方便人们的出行．列车往返于北京，上海两个城市，中途经过13个站点（共15个站点），不同的车站来往需要不同的车票，则这条路线共有 种不同的车票． 11．在日常生活和生产中常常看到下列现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙； ③用两个钉子就可以把直木条固定在墙上； ④将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果木条中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的． 其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 ．（只填序号） 12．如图，，点C为线段的中点，点D在线段上，且，则线段的长度为 ． 13．如图，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与、重合），使得且，则的值为 14．如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．若已知点D是折线的“折中点”，E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 15．如图，在平面内有，，三点． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于，），连接，并延长至，使； 16．如图，已知三点A，B，C． (1)作图：画线段，画射线，画直线； (2)在（1）的条件下，比较线段的大小：______（填“>”“<”或“=”），理由是__________． 17．如图，已知B，C在线段上． (1)如图1，图中共有______条线段； (2)若． ①比较线段的长短：_____（填“”“”或“”） ②如图2，若是的中点，是的中点，则线段的长度为______． 18．如图，点C是的中点，D，E分别是线段，上的点，且，，若． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 19．按下列要求完成回图和计算： (1)已知线段a和b，求作线段，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)已知线段，点C为上的一个动点，点D、E分别是和的中点． 若：①点C恰好是中点，则___________， ②，求的长． 20．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离 ，线段的中点C表示的数为 ； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$