专题18 等式与方程（4知识点+6大题型+1大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题18 等式与方程 （4知识点+6大题型+1大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练+1大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：等式 1. 等式的概念：用符号“＝”来表示相等关系的式子叫做等式. 2. 列等式的步骤： （1） 分析条件，找出等量关系； 常用的等量关系：速度×时间＝路程；售价＝标价×折扣；利润＝售价－售价等 （2） 用含有数、字母、运算符号和等号的式子表示出等量关系. 知识点2：等式的基本性质 1、等式的基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式. 若，那么. 2、等式的基本性质2：等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得的结果仍是等式. 若，那么；若，那么. 3、等式的基本性质是等式变形的依据，等式两边的变形必须完全相同，等式才能成立，否则就会破坏相等关系. 4、等式的两个性质： （1）等式的传递性：若，，则； （2）等式的对称性：若，则. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）下列变形中，正确的是（      ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）把方程写成用含的代数式表示的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点3：方程 1、 方程：含有未知数的等式叫作方程； 2、 方程必备的两个条件：①是等式；②含有未知数； 3、 方程一定是等式，等式不一定是方程. 【即时训练】 4．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）下面式子中，不是方程的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列式子中，是方程的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤ 6．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）下列方程中， 是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 知识点4：方程的解和解方程 1.方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 2.解方程：求方程的解得过程叫做解方程. （1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； （2）方程的解是通过解方程求得的. 3.方程的解可能不止一个（如和都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 4.检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边＝右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数就不是方程的解. 【即时训练】 7．（24-25七年级上·浙江舟山·阶段练习）若方程的解是，则β的值为（   ） A． B．4 C．0 D． 8．（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）检验下列各数是不是方程的解． (1) ； (2) ； (3) ． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若是方程的解，则代数式的值为 ． 【题型1 判断各式是否是方程】 1．下列式子（　　）是方程． A． B． C． D． 2．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 3．在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为 （填序号）． 4．在①；②；③；④中，是方程的是 ．（填序号即可） 5．下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ． 【题型2 列方程】 6．下面不能用方程来表示的是（　　） A． B． C． D． 7．根据“18比x的3倍少6”，下面三位同学都列出了方程，正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 8．如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．根据下列条件列方程． (1)m的2倍与m的相反数的和是5； (2)半径为r的圆的面积是2 10．只列方程，不解方程 (1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？ (2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？ 【题型3 判断是否是方程的解】 11．是方程（　　）的解． A． B． C． 12．是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 13．若是关于x的方程的解，则a的值为（    ） A．2 B．0 C． D． 14．若是关于的方程的解，则的值是 ． 15．检验括号中的数是否为方程的解． (1)（，）； (2)（，）． 【题型4 已知方程的解，求参数】 16．已知是关于的方程的解，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 17．若是关于x的一元一次方程 的解，则 的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 18．如果是方程的解，则的值为 ． 19．已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 20．如果是关于的方程的解，求的值． 【题型5 等式的性质1】 21．在天平的“？”处添加下列物品后，天平不能保持平衡的是（　　） A． B． C． D． 22．把方程变形为，其依据是（    ） A．有理数乘法法则 B．等式的性质1 C．等式的性质2 D．等式的性质1和等式的性质2 23．若,则 ． 24．把方程写成用含有的代数式表示的形式为 ． 25．下面是小明利用等式的性质解方程的过程． 解方程：． 解：，① ，② ．③ 阅读小明的解题过程并回答下列问题： (1)①的依据是 ； (2)小明出错的步骤是 ，错误的原因是 ； (3)给出正确的解题过程． 【题型6 等式的性质2】 26．下列运用等式的性质变形错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 27．下列运用等式基本性质的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 28．在括号里填上合适的算式． (1)如果，那么（　　） (2)如果，那么（　　） (3)如果，那么（　　） (4)如果，那么（　　） 29．由，用含x的代数式表示y，得 ． 30．根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果，那么___________； (2)如果，那么___________； (3)如果，那么___________； (4)如果，那么___________． 【拓展训练一 方程的含参问题】 31．方程与有相同的解，则的值为( ) 32．若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 33．已知关于的方程有无数多个解，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 34．已知是关于的方程的解，则 ． 35．一列方程及其解如下排列： 的解是，的解是，的解是， 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： 1．下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程的解是的是（   ） A． B． C． D． 3．若是关于x的方程的解，则a的值是（   ） A． B． C． D． 4．若是方程的根，则的值为（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 5．已知方程：（1）；（2）；（3）．则所满足的方程是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 6．已知，根据等式的性质，下列变形错误的是（   ） A． B． C． D． 7．下列解方程的过程正确的是（    ） A．由 ，得 B．由，得 C．由 ，得 D．由，得 8．若a、b、c为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 9．在， ， ，， ，中等式有： 方程有： （填序号） 10．若关于x的方程的解为，则代数式的值为 ． 11．关于的整式与的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的与的值 0 1 2 3 1 3 5 则关于的方程的解为 ． 12．已知方程， 用含x的代数式表示y，得 ． 13．学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 14．已知， （1）若，则与的等量关系是 ． （2）若，则 ．（用含，的代数式表示） 15．根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果，那么___________； (2)如果，那么___________； (3)如果，那么___________； (4)如果，那么___________． 16．利用等式性质解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4). 17．（1）是方程的解吗？ （2）是方程的解吗？ 18．检验下列括号中的数是不是方程的解： (1)； (2)． 19．括号里的值，哪个是方程的解？把它圈出来． （1）（，） （2）（，） （3）（，） （4）（，） （5）（，） （6）（，） 20．已知关于x、y的代数式：，，且代数式． (1)若，化简代数式M； (2)若代数式M是关于x、y的一次多项式，求的值； (3)当是关于x的一元一次方程时，求代数式M的值． 11 / 11 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【详解】解：若，则或，故选项A不符合题意； 若，则，故选项B不符合题意； 当时，若，则，故选项C不符合题意； 若，则，故选项D符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）把方程写成用含的代数式表示的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用等式的性质对等式进行变形，掌握等式的性质是解题的关键．要用含的代数式表示，就要把方程中含有的项和常数项移到方程的右边，再把的系数化为即可． 【详解】解：， 移项得：， 解得：， 故选：D． 知识点3：方程 1、 方程：含有未知数的等式叫作方程； 2、 方程必备的两个条件：①是等式；②含有未知数； 3、 方程一定是等式，等式不一定是方程. 【即时训练】 4．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）下面式子中，不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程的定义， 根据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，逐一分析各选项是否符合条件． 【详解】解：因为，含有未知数，且是等式，属于方程，所以A不符合题意； 因为，含有未知数，且是等式，属于方程，所以B不符合题意； 因为，虽然含有未知数，但为不等式，不符合方程的定义，所以C符合题意； 因为，含有未知数，且是等式，属于方程，所以D不符合题意． 故选：C． 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列式子中，是方程的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，据此求解即可． 【详解】解：根据方程的定义可得，①④⑤是方程，②③⑥不是方程， 故选：D． 6．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）下列方程中， 是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 【答案】②③ 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，据此逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知： ①，不是一元一次方程，不符合题意； ②，是一元一次方程，符合题意； ③，是一元一次方程，符合题意； ④，不是一元一次方程，不符合题意； 故答案为：②③． 知识点4：方程的解和解方程 1.方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 2.解方程：求方程的解得过程叫做解方程. （1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； （2）方程的解是通过解方程求得的. 3.方程的解可能不止一个（如和都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 4.检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边＝右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数就不是方程的解. 【即时训练】 7．（24-25七年级上·浙江舟山·阶段练习）若方程的解是，则β的值为（   ） A． B．4 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：D． 8．（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）检验下列各数是不是方程的解． (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 【分析】本题考查了方程的解． （1）将代入，看左边是否等于右边，即可判断； （2）将代入，看左边是否等于右边，即可判断； （3）将代入，看左边是否等于右边，即可判断． 【详解】（1）解：当时， 左边，右边， 因为左边右边， 所以不是方程的解； （2）解：当时， 左边，右边， 因为左边右边， 所以是方程的解； （3）解：当时， 左边，右边， 因为左边右边， 所以不是方程的解． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由是方程的解，代入求出，再把代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【题型1 判断各式是否是方程】 1．下列式子（　　）是方程． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，据此可得答案． 【详解】A、 含未知数a，但不是等式，不符合题意； B、 含未知数n，但无等号，不符合题意； C、是等式且含未知数x，满足方程定义，符合题意； D、 是等式，但无未知数，不符合题意 故选：C． 2．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，解题的关键是依据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）． 【详解】解：根据方程的定义可知，四个选项中只有B选项中的式子是方程， 故选：B． 3．在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为 （填序号）． 【答案】③④ 【分析】本题考查方程的判断，根据含有未知数的等式叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：①不是等式，不是方程； ②不含未知数，不是方程； ③是方程； ④是方程； ⑤不是等式，不是方程； 故是方程的为③④． 故答案为：③④ 4．在①；②；③；④中，是方程的是 ．（填序号即可） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了方程的定义，解决本题的关键是对概念的理解．根据含有未知数的等式是方程求解即可． 【详解】在①；②；③；④中， 是方程的是②④． 故答案为：②④． 5．下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ． 【答案】②③④⑥ 【分析】本题考查了整式方程的定义，判断一个方程是否为整式方程，要看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据整式方程的定义：分母中不含未知数的方程叫做整式方程进行判断． 【详解】解：②0，③，④，⑥的分母中不含未知数，是整式方程；①和⑤分母中含未知数，是分式方程． 故答案为：②③④⑥． 【题型2 列方程】 6．下面不能用方程来表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数的意义；两个三角形高相等时，小三角形是大三角形的几分之几，则小三角形的面积就是大三角形面积的几分之几；等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的；逐项分析各个选项中的数量关系即可得出答案．本题考查了分数的意义以及列方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】A．一个小格为平方米，总面积是80平方米，可得，符合题意； B．小三角形的底是大三角形底的，高相等，则小三角形面积，梯形的面积=大三角形的面积+小三角形的面积，即，不符合题意； C．等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，即圆锥体积是，故，不符合题意； D：一个小格是，则，不符合题意； 故答案为：A 7．根据“18比x的3倍少6”，下面三位同学都列出了方程，正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 【答案】B 【分析】根据题意列方程，在于理解题意，理解多多少，少多少来确定是加减法. 【详解】根据题干可知“18比少6”，也就是“比18多6”，分析每个选项列式的实际含义，与题干对比即可． A、表示“18比多6”，与题干不符； B、表示“减去6就是18”，即“比18多6”，与题干相符合； C、表示“比18多6”，与题干相符； 正确的有2个 故答案为：B . 8．如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮，根据黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮，列方程即可． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮， 由题意得． 故选：． 9．根据下列条件列方程． (1)m的2倍与m的相反数的和是5； (2)半径为r的圆的面积是2 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意列出方程即可； （2）根据圆的面积公式列出方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：． （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查了列方程，认真审题、明确等量关系是解答本题的关键． 10．只列方程，不解方程 (1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？ (2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设这个班女生有人，根据有男生25人，比女生的2倍少15人列出方程即可； （2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，再根据苹果和梨的价格、以及用去21元列出方程即可得． 【详解】（1）解：设这个班女生有人， 由题意列方程为． （2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克， 由题意列方程为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键． 【题型3 判断是否是方程的解】 11．是方程（　　）的解． A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解，使方程左右两边的值相等的未知数的值是方程的解，将代入各方程，验证左右两边是否相等． 【详解】解：A选项： 将代入方程，可得：左边，右边，，不是方程解，故A选项不符合题意； B.选项：将代入方程，可得：左边，右边，，不是方程的解，故B选项不符合题意； C.选项：将代入方程，可得：左边，右边，左边右边，是方程的解，故C选项符合题意． 故选：C． 12．是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解，解题的关键在于正确理解方程的解的概念． 将代入各选项计算，根据若方程的左右两边相等，则是该方程的解，若方程的左右两边不相等，则不是该方程的解，即可解题． 【详解】解：将代入下列方程有： A. 因为，所以不是该方程的解，不符合题意； B. 因为，所以是该方程的解，符合题意； C. 因为，所以不是该方程的解，不符合题意； D. 因为，所以不是该方程的解，不符合题意； 故选：B． 13．若是关于x的方程的解，则a的值为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入已知方程后，列出关于a的新方程，再解新方程求a的值即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得：， 故选：C． 14．若是关于的方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，添括号，代数式求值，由一元一次方程解的定义可得，再利用添括号法则对代数式进行变形，最后整体代入代数式计算即可求解，掌握整体代入思想是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．检验括号中的数是否为方程的解． (1)（，）； (2)（，）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了方程的解，解题的关键是根据方程的解的定义； （1）使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解，把这个数代替方程中的未知数，看左右两边的值是否相等，如果左边=右边，那么这个数就是该方程的解；反之，这个数就不是该方程的解，即可解答． （2）把这个数代替方程中的未知数，看左右两边的值是否相等，如果左边=右边，那么这个数就是该方程的解；反之，这个数就不是该方程的解，即可解答 【详解】（1）解：当时，左边，左边右边，故不是方程的解， 当时，左边，左边右边，故是方程的解； （2）当时，左边，左边右边，故是方程的解， 当时，左边，左边右边，故不是方程的解． 【题型4 已知方程的解，求参数】 16．已知是关于的方程的解，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查已知方程的解求参数．将已知解代入方程，解关于k的一元一次方程即可． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得， 故选：D． 17．若是关于x的一元一次方程 的解，则 的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程中，得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴． 故选：C． 18．如果是方程的解，则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查一元一次方程解的意义，有理数的乘方，熟练掌握一元一次方程的解的概念是解决问题的关键． 根据一元一次方程的解的意义，把代入方程，从而得到关于a的一元一次方程，求解该方程，再代入代数式即可求解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 时，； 故答案为：15． 19．已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程，再根据等式的性质求出关于a的方程的解即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 故答案为：． 20．如果是关于的方程的解，求的值． 【答案】21 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元一次方程的解，整体代入是解题的关键．由题意知，，整理得，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 整理得，， ∴． 【题型5 等式的性质1】 21．在天平的“？”处添加下列物品后，天平不能保持平衡的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的性质，从图中可知，1个球的质量相当于2个正方体的质量，那么3个球的质量相当于6个正方体的质量；图中天平的右端已有2个正方体，再添加4个正方体，天平能保持平衡；否则天平不能保持平衡． 【详解】 解：A．天平右端原有2个正方体，再添加6个正方体，则右端有个正方体，天平不能保持平衡，故A符合题意； B．天平右端原有2个正方体，再添加，相当于添加个正方体，则右端有个正方体，天平能保持平衡，故B不符合题意； C．天平右端原有2个正方体，再添加，相当于添加个正方体，则右端有个正方体，天平能保持平衡，故C不符合题意； D．天平右端原有2个正方体，再添加4个正方体，则右端有个正方体，天平能保持平衡，故D不符合题意． 故选：A． 22．把方程变形为，其依据是（    ） A．有理数乘法法则 B．等式的性质1 C．等式的性质2 D．等式的性质1和等式的性质2 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式性质，熟练掌握等式的性质是关键． 等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等，据此计算即可． 【详解】解： 则 即，其依据是等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等， 故选：B． 23．若,则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的基本性质．熟练掌握等式的基本性质1，通分，是解题的关键．等式性质1：等式两边加（或减）同一个数或式子，结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 条件式两边都加1，通分即得． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 24．把方程写成用含有的代数式表示的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查等式的基本性质以及用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，解题的关键是通过等式变形将单独放在等式一边． 通过移项，系数化为1等步骤，将方程变形为用含的式子表示的形式． 【详解】首先对进行移项，把移到等式右边， 根据等式性质，移项要变号，得到， 然后等式两边同时除以2，将的系数化为，即， 故答案为：． 25．下面是小明利用等式的性质解方程的过程． 解方程：． 解：，① ，② ．③ 阅读小明的解题过程并回答下列问题： (1)①的依据是 ； (2)小明出错的步骤是 ，错误的原因是 ； (3)给出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等 (2)③，等式两边同时除以的x可能为0 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质． （1）①等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等． （2）小明出错的步骤是第③步，错误的原因是：等式两边同时除以的x可能为0； （3）正确的解题过程为：第③步改为x﹣3x＝0，故x＝0． 【详解】（1）解：①等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等． 故答案为：等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等； （2）解：小明出错的步骤是第③步，错误的原因是：等式两边同时除以的x可能为0； 故答案为：③，等式两边同时除以的x可能为0； （3）解：正确的解题过程为： 解方程：． 解：， ， ， ． ∴． 【题型6 等式的性质2】 26．下列运用等式的性质变形错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握等式的基本性质是解题关键． 【详解】解：A、由，得，变形正确，故选项A不符合题意； B、由，得，变形正确，故选项B不符合题意； C、由，得，变形正确，故选项C不符合题意； D、由，只有，才成立，故选项D变形错误，符合题意． 故选：D． 27．下列运用等式基本性质的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 利用等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A． 如果，那么，故本选项错误，不符合题意； B． 如果，那么，故本选项正确，符合题意； C． 如果，那么，故本选项错误，不符合题意； D． 如果，那么，故本选项错误，不符合题意． 故选B． 28．在括号里填上合适的算式． (1)如果，那么（　　） (2)如果，那么（　　） (3)如果，那么（　　） (4)如果，那么（　　） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式； （1）观察发现等式左边的x加了12，那么等式右边的12也要加上12； （2）观察发现等式左边的变为是减去了5，那么等式右边的29也要减去5； （3）观察发现等式左边的变为是除以3，那么等式右边的27也要除以3； （4）观察发现等式左边的变为是乘6，那么等式右边的18也要乘6；据此解答． 【详解】（1）解：如果，那么． 故答案为：； （2）解：如果，那么． 故答案为：； （3）解：如果，那么． 故答案为：； （4）解：如果，那么． 故答案为：． 29．由，用含x的代数式表示y，得 ． 【答案】 【分析】根据等式的性质计算判断即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质，正确变形是解题的关键． 【详解】解：由方程可得到 ． 故答案为： 30．根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果，那么___________； (2)如果，那么___________； (3)如果，那么___________； (4)如果，那么___________． 【答案】(1)，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等 (2)5，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等 (3)，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等 (4)2，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等 【分析】本题考查了等式的性质，熟知等式的性质是解决本题的关键． （1）根据等式的性质1，即可解答； （2）根据等式的性质1，即可解答； （3）根据等式的性质2，即可解答； （4）根据等式的性质2，即可解答． 【详解】（1）解：如果，那么，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等； （2）解：如果，那么，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等； （3）解：如果，那么，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等； （4）解：如果，那么，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等． 【拓展训练一 方程的含参问题】 31．方程与有相同的解，则的值为( ) 【答案】4 【分析】本题考查了解方程和方程的解，方程与有相同的解，则这两个方程中x的值相同，所以根据等式的基本性质，求出方程中x的值，再把x的值代入方程中，再根据等式的基本性质即可求出M的值． 【详解】解： 把代入，得到 ∴， 故答案为：4． 32．若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，掌握方程的解，代数式求值是解题的关键．先把是代入方程得，再将代数式变形得，然后代入计算即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程的解， ， ， ， 故答案为：． 33．已知关于的方程有无数多个解，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件和已知字母的值求代数式的值，正确理解条件是解题的关键．首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得，的值，代入代数式求解即可． 【详解】解：化简得：， 即：， 根据题意得：，且， 解得：，， 则 故选：D． 34．已知是关于的方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程解的定义，代数式求值，由一元一次方程解的定义可得，进而代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 35．一列方程及其解如下排列： 的解是，的解是，的解是， 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程，规律探究，根据方程，，与方程的解之间的联系，再总结规律即可． 【详解】解：∵的解是，的解是，的解是， ∴解是的方程为； 故答案为： 1．下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的识别．根据方程的定义，需满足两个条件：一是等式，二是含有未知数．逐一验证选项即可确定答案． 【详解】A．是等式，但无未知数，属于算术式，不是方程； B．含未知数，但不是等式，属于代数式，不是方程； C．含未知数，但为不等式，不是方程； D．是等式且含未知数，符合方程的定义，是方程； 故选D． 2．下列方程的解是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解的概念．将代入方程能够使得左右两边相等即可． 【详解】解：A、将代入，左边右边，故本选项不合题意； B、将代入，左边右边，故本选项不合题意； C、将代入，左边右边，故本选项不合题意； D、将代入，左边右边，故本选项符合题意． 故选：D． 3．若是关于x的方程的解，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了一元一次方程的解，将代入方程，解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：， 故选：C． 4．若是方程的根，则的值为（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可，运用整体代入思想是解决此问题的关键． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．已知方程：（1）；（2）；（3）．则所满足的方程是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 将代入各方程，验证左右两边是否相等，从而判断其是否满足该方程． 【详解】解：将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程； 将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程； 将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程， 综上，满足所有三个方程， 故选：D． 6．已知，根据等式的性质，下列变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质“性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等”，熟练掌握等式的基本性质是解题关键．根据等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、（等式的两边同时加1，结果仍相等），则此项正确，不符合题意； B、，则此项错误，符合题意； C、（等式的两边同时乘以，结果仍相等），则此项正确，不符合题意； D、（等式的两边同时减，结果仍相等），则此项正确，不符合题意； 故选：B． 7．下列解方程的过程正确的是（    ） A．由 ，得 B．由，得 C．由 ，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质进行判断，即可求解． 【详解】解：A、等式的两边同时乘以，得到，故本选项错误； B、在等式的两边同时乘以，得到，故本选项错误； C、由 ，得，故本选项正确； D、在等式的两边同时加上，得到，故本选项错误． 故选：C． 8．若a、b、c为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，“如果，那么” ，“如果，那么” ，“如果，那么（）”，根据此性质进行逐一判断即可求解，掌握性质是解题的关键． 【详解】解：因为，所以当时，，结论错误，故不符合题意； B.因为，所以，结论错误，故不符合题意； C.因为，所以，结论正确，故符合题意； D.因为，所以或，结论错误，故不符合题意； 故选：C． 9．在， ， ，， ，中等式有： 方程有： （填序号） 【答案】 、、； 、． 【分析】本题考查了等式和方程，用等号表示相等关系的式子叫等式；含有未知数的等式叫方程；解决本题的关键是根据等式和方程的定义进行判断． 【详解】解：用等号表示相等关系的式了叫等式， 等式有：、、； 含有未知数的等式是方程， 方程有：、． 故答案为：、、； 、． 10．若关于x的方程的解为，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是方程的解的含义，求解代数式的值，由方程的解可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解为， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 11．关于的整式与的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的与的值 0 1 2 3 1 3 5 则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键；因此此题可根据表格中的数据进行求解即可． 【详解】解：由表格中数据可知：当时，，， ∴关于的方程的解为； 故答案为：． 12．已知方程， 用含x的代数式表示y，得 ． 【答案】 【分析】根据等式的性质解答即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：， 根据等式的性质得， 故答案为：． 13．学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 【答案】A，B 【分析】本题主要考查数学基本事实应用，根据2个苹果个梨个梨，等号两边都去掉1个梨得出2个苹果个梨，运用了等式的性质；2个苹果克，2个苹果个梨，可得4个梨克，运用了等量的等量相等，由此可得结论． 【详解】解：2个苹果个梨个梨，等号两边都去掉1个梨得出2个苹果个梨，运用了等式的性质； 2个苹果克，2个苹果个梨，可得4个梨克，运用了等量的等量相等， 故答案为：A，B． 14．已知， （1）若，则与的等量关系是 ． （2）若，则 ．（用含，的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． （1）根据题意列出等式，然后利用等式的性质即可得出答案； （2）根据题意列出等式，然后利用等式的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果，那么___________； (2)如果，那么___________； (3)如果，那么___________； (4)如果，那么___________． 【答案】(1)，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等 (2)5，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等 (3)，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等 (4)2，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等 【分析】本题考查了等式的性质，熟知等式的性质是解决本题的关键． （1）根据等式的性质1，即可解答； （2）根据等式的性质1，即可解答； （3）根据等式的性质2，即可解答； （4）根据等式的性质2，即可解答． 【详解】（1）解：如果，那么，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等； （2）解：如果，那么，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等； （3）解：如果，那么，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等； （4）解：如果，那么，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等． 16．利用等式性质解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质． （1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案； （2）根据等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （3）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （4）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案． 【详解】（1） 两边加5，得， 解得． （2）， 两边除以，得， 解得． （3） 两边减2，得， ， 两边除以，得， 得． （4）， 两边加2，得， ， 两边除以4，， 解得． 17．（1）是方程的解吗？ （2）是方程的解吗？ 【答案】（1）不是，是；（2）不是，是 【分析】本题主要考查方程解的定义，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． （1）分别将代入方程，看是否符合方程解得定义即可解答； （2）分别将代入方程，看是否符合方程解得定义即可解答． 【详解】解：（1）当时，方程的左边，右边，方程左，右两边的值不相等， 所以不是方程的解． 当时，方程的左边，右边，方程左、有两边的值相等， 所以是方程的解． （2）当时，方程的左边，右边，方程左，右两边的值不相等， 所以不是方程的解． 当时，方程的左边，右边，方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． 18．检验下列括号中的数是不是方程的解： (1)； (2)． 【答案】(1)不是方程的解 (2)是方程的解 【分析】本题考查方程的解，解题的关键是掌握方程的解的定义（能满足方程成立的未知数的值，叫做方程的解）． （1）把括号中的数分别代入方程左边和右边，根据方程的解的定义即可判断． （2）把括号中的数分别代入方程左边和右边，根据方程的解的定义即可判断． 【详解】（1）解：当时，左边，右边， ∵左边右边， ∴不是方程的解； （2）解：当时， 左边，右边＝12， ∵左边＝右边， ∴是方程的解． 19．括号里的值，哪个是方程的解？把它圈出来． （1）（，） （2）（，） （3）（，） （4）（，） （5）（，） （6）（，） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了主程的解的定义，使方程左右两边的值相等的未知数的值是方程的解，解决本题的关键是分别把括号里的值代入方程，如果方程左右两边的结果相等，则这个的值是方程的解，反之则不是． 【详解】解把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 是方程的解； 把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 解：把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 解：把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 是方程的解； 解：把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 是方程的解； 把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 解：把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 是方程的解； 解：把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 是方程的解． 把方程的解圈起来如下： 20．已知关于x、y的代数式：，，且代数式． (1)若，化简代数式M； (2)若代数式M是关于x、y的一次多项式，求的值； (3)当是关于x的一元一次方程时，求代数式M的值． 【答案】(1)； (2)9； (3)． 【分析】本题考查了整式的加减运算，多项式的次数以及一元一次方程的定义等知识点，解题的关键是熟练运用整式运算法则，根据多项式次数和一元一次方程的条件列方程求解． （1）先将A，B代入，再把代入化简． （2）对化简后，根据一次多项式的条件确定a，b的值，进而求． （3）根据一元一次方程的定义求出a，b的值，再代入求值． 【详解】（1）∵， 把代入上式，得 ； （2）由（1），可知18x－12． ∵代数式是关于x，y的一次多项式， ∴，解得， 将代入，得； （3）∵是关于的一元一次方 程，∴， 解得 将代入， 得， 把代入， 得． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$