专题16 整式的加减（4知识点+8大题型+4大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题16 整式的加减 （4知识点+8大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 【即时训练】 1．下列各组代数式中，不是同类项的是（ ） A．2与 B．与 C．与 D．与 2．已知，问与是同类项吗？并说明理由． 知识点2：去括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 【即时训练】 3．去括号应得（   ） A． B． C． D． 4．去括号或添括号． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 知识点3：整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 【即时训练】 5．化简： (1)； (2)． 6．计算：． 知识点4：代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 【即时训练】 7．先化简，再求值：，其中，． 8．先化简，再求值：，其中，满足，． 【题型1 同类项的判断】 1．下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 2．下列单项式中，的同类项是（　　） A． B． C． D． 3．下列选项中的两项是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．请写出的一个同类项 ． 5．下列各组单项式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于同类项的是 （填序号）． 【题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 6．若单项式与是同类项，则（   ） A． B． C． D． 7．单项式与是同类项，那么的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知代数式与是同类项，那么的值分别是（   ） A． B． C． D． 9．与是同类项，那么 ． 10．根据题意求值： (1)单项式与是次数相同的单项式，求的值． (2)已知单项式与单项式是同类项，求的值． 【题型3 合并同类项】 11．计算的值，正确的是（　　） A．3 B．2 C． D． 12．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 13．计算的结果为 ． 14．计算： ． 15．先去括号，再合并同类项 (1) (2)． 【题型4 去括号、添括号】 16．下列各式化简后与不相等的是（    ） A． B． C． D． 17．下列各式去括号正确的是（  ） A． B． C． D． 18．已知代数式，则代数式的值是 ． 19．计算：（ ）． 20．基础计算题，直接写出结果 (1)______． (2)______． (3)______． (4)______． 【题型5 整式的加减运算】 21．化简：． 22．合并同类项： (1)； (2)； (3)； 23．已知：，． (1)求； (2)当时，求的值． 24．小睿同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 计算： 解：原式 ． (1)小睿同学的解答正确吗？如果正确，给出各步计算的依据；如果不正确，请给出正确的计算过程． (2)当时，求此代数式的值． 25．已知一个整式与的和是． (1)求这个整式； (2)当时，求这个整式的值． 【题型6 整式的加减中的化简求值】 26．先化简，再求值 其中， 27．先化简，再求值：，其中． 28．先化简，再求值：，其中x、y满足． 29．先化简，再求值：．其中，． 30．先化简，再求值：，其中，． 【题型7 整式加减中的无关型问题】 31．已知代数式合并同类项后不含，项，求的值． 32．已知代数式， (1)求的值； (2)若值与的取值无关，求的值． 33．已知两个多项式：，． (1)求：； (2)若（1）中式子的值与m的取值无关，求n的值． 34．已知多项式的值与x的取值无关，求多项式的值． 35．（1）若关于的多项式的值与的取值无关，则________； （2）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【题型8 整式加减的应用】 36．某中学计划在该校的劳动基地修建一个面积为的菜地，菜地周围用篱笆围起来，数学小组成员莉莉和帅帅设计了如下两种方案． 莉莉：修建一个正方形菜地： 帅帅：修建一个长方形菜地，长是宽的4倍． 请通过计算比较哪个设计方案修建的菜地所需篱笆更短．（篱笆接头处长度不计） 37．定义：若，则称与是关于2的“对称数”． (1)5与 是关于2的“对称数”； (2)与 是关于2的“对称数”(用含的代数式表示)． (3)若，，判断与是否是关于2的“对称数”，并说明理由． 38．图1是2024年10月的月历． (1)如图1，如果本周三对应的日期用x（，且x为正整数）表示，那么本周二对应的日期可以表示为_______，下周三可以表示为______（用含x的代数式表示）； (2)如图2，若用m表示阴影部分（5天）中最中间一天的日期，用S表示这5天的日期之和，求S与m之间的关系式． 39．如图，为了方便学生停放自行车，学校建了一块长边靠墙的长方形停车场，其他三面用护栏围起，其中停车场的长为米，宽为米． (1)用含的代数式表示护栏的总长度． (2)若，每米护栏造价90元，求建此停车场所需护栏的费用． 40．项目式学习． 【项目主题】校园分布图制作． 【项目背景】为了让初一新生更快熟悉校园生活，善思小组成员准备为初一新生制作简易版校园分布图． 【实践操作】操作一：善思小组根据校园的活动区域分布，将校园分布图分为教学区、操场、学生活动中心、图书馆四个主要区域； 操作二：根据小组成员的实际测量与记录，绘制如图所示的校园总体分布图（单位：）． 【项目思考】 (1)用整式表示这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积； (2)若，b的倒数是，求这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积． 【拓展训练一 整式加减运算综合】 41．有依次排列的两个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串；，2，，这称为第一次操作：将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：，，2，，，……以此类推．第2024次操作后，得到的整数串中所有整式的和为（    ） A． B． C． D． 42．已知多项式为整数，这两个多项式在数轴上表示的点分别为，若两点之间（不包含点）恰好有10个“整数点”（点表示的数为整数），则a的值为 ． 43．我们知道，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.如，类似的，我们把看成一个整体，则，请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)化简； (2)若，计算； (3)已知，，计算． 【拓展训练二 整式加减无关型问题综合】 44．已知A＝3x2－x＋2，B＝x＋1，C＝x2－，求3A＋2B－36C的值，其中x＝－6． 45．理解与思考： 整体代换是数学的一种思想方法．例如：x2+x＝0，则x2+x+1186＝　 　；我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （Ⅰ）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2016＝　 　； （Ⅱ）如果a+b＝5，求2（a+b）﹣4a﹣4b+21的值； （Ⅲ）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，求2a2﹣3b2﹣2ab的值； 46．已知，求的值． 【拓展训练三 整式加减应用综合】 47．如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是、、6． (1)①点B和点C之间的距离是 个单位长度； ②若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动 个单位长度； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①点A、B表示的数分别是 、 （用含m、t的代数式表示）； ②若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，当m为何值时，的值不会随着时间的变化而改变，并求此时，的值． 48．一个多项式的次数为，项数为，我们称这个多项式为次多项式或者次项式，例如：为五次三项式，为二次四项式． （1）为________次________项式． （2）若关于、的多项式，，已知中不含二次项，求a+b的值． （3）已知关于的二次多项式，在时，值是，求当时，该多项式的值． 49．我们知道：若数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，则A、B之间距离可表示为|a﹣b|，已知多项式7x3y2﹣3x2y﹣2的次数为a，常数项为b． （1）直接写出：a＝　 　，b＝　 　，A、B之间的距离是 　 　． （2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数为x． （i）化简|x﹣5|＋|x＋2|； （ii）直接写出点C到点A、点B距离之和的最小值是 　 　． （3）如图，点M、N分别从原点O、A同时出发，分别以v1、v2的速度沿数轴负方向运动（M在O、B之间，N在O、A之间），运动时间为t，点Q为O、N之间一点，且QN＝BN，若M、N运动过程中MQ的值固定不变，求的值． 【拓展训练四 整式加减的新定义问题】 50．1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分割成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为x，y． 请你计算： (1)第3个正方形的边长是______；第5个正方形的边长是______；第5个正方形的面积是______．（用含x，y的代数式表示） (2)当时，求第6个正方形的面积． (3)当x，y均为正整数时，这个完美长方形的最小周长是______． 51．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 元 超出不超出的部分 元 超出的部分 元 例如：若某户居民月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示，并化简） (3)若该户居民月份用水，两个月共用水，且月份用水超过月份，请用含的整式表示两个月共交的水费多少元？ 52．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 初步尝试： （1）如果点表示数，将点向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____； （2）如果点表示数3，将点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____； 归纳一般： （3）一般地，如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，请你猜想终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____． 深入研究： （4）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点表示的数是，乙选择的游戏起点表示的数是3；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： “剪刀、石头、布”的结果 、两点移动方式 平局 点向右移动个单位，点向左移动个单位 甲胜 点向右移动个单位，点向右移动个单位 乙胜 点向左移动个单位，点向左移动个单位 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数）． ①当时，其中平局一次，甲胜一次，点最终位置表示的数为_____，点最终位置表示的数为_____，此时、两点间的距离为_____． ②当时，其中平局次，甲胜次，点最终位置表示的数为_____，点最终位置表示的数为_____，此时、两点间的距离为_____（用含、、的式子表示）． 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若单项式与是同类项，则代数式的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D．3 3．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简的值为（    ） A． B． C．a D． 4．某早餐店每天都要采购豆奶、牛奶和果汁三种饮品，其中豆奶瓶数是牛奶瓶数的2倍，豆奶、牛奶的采购价分别为2元/瓶、5元/瓶．若采购的总费用只与三种饮品的总瓶数有关，与三种饮品的瓶数比例变化无关，则果汁的采购价为（   ） A．2元/瓶 B．3元/瓶 C．5元/瓶 D．7元/瓶 5．淇淇计算时看错了两个运算符号（看成了，或看成了），得出结果为89，淇淇看错的情况可能共有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 6．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部，按图2和图3两种方式摆放，若长方体盒子底部的长与宽的差为3，则图2和图3中阴影部分周长之差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．城区某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如右图：若张老师有两天去超市购物原价合计900元，若第一天购物的原价为a元，请你用含a的代数式表示张老师两天一共节省了（   ）元 一次性购物 优惠办法 少于200元 无优惠 低于500元但不低于200元 全部金额给予8折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予8折优惠；超过500元部分给予7折优惠 A． B． C． D． 8．若关于的多项式化简后不含二次项，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．定义：若，则称与是关于的平衡数．例如：若，则称与是关于2的平衡数．若，，那么与是关于（    ）的平衡数 A． B．2 C． D．4 10．已知与是同类项，则 ． 11．一个三位数，个位数字是，十位数字是，百位数字是，将这个三位数的百位数字与个位数字交换位置后，新数减原数的差是 ． 12．已知多项式A、B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为，则多顶式A为 ． 13．如图，涂色部分是正方形． （1）图中最大长方形的周长是 ； （2）你是怎样想的？ ． （请在图上画一画、写一写，让人一眼看明白） 14．定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与 是关于1的平衡数，与 是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若，，判断a与b是否是关于1的平衡数 （填是与否） 15．如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当，，时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 16．合并同类项 (1)； (2)． (3)； (4) 17．化简求值 (1)化简求值：，其中． (2)已知与是同类项，求多项式的值． 18．某教辅书中一道整式运算的参考答案污损看不清了，形式如下： 解：原式 ． (1)求污损部分的整式； (2)当时，求污损部分整式的值． 19．【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 20．【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，因为，所以是对称式．而交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有______：（填序号） ①；②；③；④． (2)若关于m，n的代数式为对称式，则k的值为______； (3)在（2）的条件下，已知上述对称式，且，求的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 整式的加减 （4知识点+8大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 【即时训练】 1．下列各组代数式中，不是同类项的是（ ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，单独的两个数字也是同类项，据此可得答案． 【详解】解：A、2与是同类项，不符合题意； B、与是同类项，不符合题意； C、与是同类项，不符合题意； D、与不是同类项，符合题意； 故选：D． 2．已知，问与是同类项吗？并说明理由． 【答案】是同类项，理由见解析 【分析】根据绝对值的非负性可求解，，再根据同类项的定义即可求解． 【详解】解：是同类项，理由如下： 由题意，得：，解得：， ，解得：， 所以，， 因为它们都含有字母和，且的指数都是2，的指数都是3， 所以它们是同类项． 【点睛】本题考查了同类项的定义及绝对值的非负性，熟练掌握其定义及绝对值的非负性是解题的关键． 知识点2：去括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 【即时训练】 3．去括号应得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查去括号法则的应用，当括号前是负号时，去掉括号后，括号内的每一项都要改变符号；根据括号前是负号时的法则去括号即可． 【详解】解：； 故选：A． 4．去括号或添括号． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的知识点是去括号和添括号，解题关键是熟练掌握去括号和添括号法则． 根据去括号和添括号法则分别进行解答即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：． 故答案为：． （4）解：． 故答案为：． 知识点3：整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 【即时训练】 5．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减． （1）合并同类项即可； （2）先去括号再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） 6．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 先去括号，再合并同类项即可求解． 【详解】解： ． 知识点4：代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 【即时训练】 7．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】原式利用去括号法则去括号后，合并同类项得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 此题考查了整式的化简求值，正确掌握整式的计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 将，代入得：原式． 8．先化简，再求值：，其中，满足，． 【答案】； 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的加减运算，先去小括号，然后合并同类项，最后把，代入化简的整式，即可． 【详解】解： ， 把，代入得，． 【题型1 同类项的判断】 1．下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关．根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案． 【详解】 解：A．所含字母相同且相同字母的指数也相同，故A符合题意； B．所含相同字母的指数不同，故B不符合题意； C．所含相同字母的指数不同，故C不符合题意； D．所含相同字母的指数不同，故D不符合题意； 故选：A． 2．下列单项式中，的同类项是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．同类项定义中的两个“相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数相同．注意几个常数项也是同类项，同类项定义中的两个“无关”：①与字母的顺序无关，②与系数无关．据此解答即可． 【详解】解：A．与，相同字母的指数相同，是同类项，故符合题意； B．与相同字母的指数不同，故不符合题意；     C．与 字母的指数不同，故不符合题意； D．与字母的指数不同，故不符合题意； 故选A． 3．下列选项中的两项是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了同类项，注意：同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点． 根据同类项的概念即可求出答案． 【详解】解：A、没有相同字母，不是同类项，故本选项不符合题意； B、相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意； C、相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意； D、是同类项，故本选项符合题意； 故选：D 4．请写出的一个同类项 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类项的定义，熟知所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键．根据同类项的定义解答即可． 【详解】解：的同类项可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 5．下列各组单项式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于同类项的是 （填序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查同类项的概念，注意掌握同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．根据同类项定义逐个分析求解即可． 【详解】解：①，②，③，④，⑤，⑥中，①，③，⑤，所含字母相同，相同字母的指数也相同，属于同类项，②，④，⑥则与其他不属于同类项． 故答案为：①③⑤． 【题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 6．若单项式与是同类项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，代数式求值，根据同类项的定义可得，，进而求出的值，再代入到代数式计算即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 7．单项式与是同类项，那么的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项的定义，熟记同类项的定义是解决问题的关键．根据同类项的定义即字母相同且相同字母的指数也相同求解即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ， ， ， 故选：． 8．已知代数式与是同类项，那么的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知同类项求指数中字母或代数式的值，,如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．所有常数项都是同类项．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：； 解得：， 故选：B 9．与是同类项，那么 ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义直接得出，，即可求出答案． 【详解】解：由同类项的定义可知，， ∴， 故答案为：2，1． 10．根据题意求值： (1)单项式与是次数相同的单项式，求的值． (2)已知单项式与单项式是同类项，求的值． 【答案】(1)的值为5 (2)﹣10 【分析】（1）直接利用单项式的次数确定方法得出答案； （2）根据同类项的概念列方程得出答案． 【详解】（1）解：∵单项式与是次数相同的单项式， ∴， 解得，， 答：的值为5． （2）解：∵单项式与单项式是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】此题主要考查了单项式的次数，同类项的概念，正确把握单项式的次数确定方法是解题关键． 【题型3 合并同类项】 11．计算的值，正确的是（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项法则：把同类项的系数相加减，字母及字母的指数不变． 【详解】解：， 故选：C． 12．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，根据同类项合并法则逐项计算即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故计算错误； B、，故计算错误； C、，故计算错误； D、，故计算正确； 故选：D． 13．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 14．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 15．先去括号，再合并同类项 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了合并同类项，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． （1）合并同类项求解即可； （2）先去括号，再合并同类项求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【题型4 去括号、添括号】 16．下列各式化简后与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号，根据去括号法则逐一化简即可判断求解，掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解： 、，与原式相等，不合题意； 、，与原式相等，不合题意； 、，与原式相等，不合题意； 、，与原式不相等，符合题意； 故选：． 17．下列各式去括号正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号法则，根据去括号法则逐一判断即可，解题的关键是正确掌握括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 故选：． 18．已知代数式，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 19．计算：（ ）． 【答案】 【分析】本题主要考查了添括号，添括号时，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 20．基础计算题，直接写出结果 (1)______． (2)______． (3)______． (4)______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接合并同类项计算即可． （2）去括号后，合并同类项即可． （3）去括号后，合并同类项即可． （4）去括号后，合并同类项即可． 本题考查了合同同类项，去括号，掌握去括号，合并同类项是解题的关键． 【详解】（1）解：， （2）解： ， （3）解： ． （4）解： ． 【题型5 整式的加减运算】 21．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，先去括号，再合并同类项即可，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 22．合并同类项： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （3）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 23．已知：，． (1)求； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)30 【分析】本题考查了整式加减运算的化简求值，解题的关键是掌握整式加减运算的运算法则． （1）将、整体代入，然后展开合并同类项即可求解； （2）将整体代入（1）的化简结果即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵ ∴ ． 24．小睿同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 计算： 解：原式 ． (1)小睿同学的解答正确吗？如果正确，给出各步计算的依据；如果不正确，请给出正确的计算过程． (2)当时，求此代数式的值． 【答案】(1)不正确，正确过程见解析 (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，代数式求值，熟知整式的加减计算法则并正确化简是解题的关键； （1）根据解答过程可知，去括号时，有对应项没有乘以系数，以及对应项没有变号，根据整式的加减计算法则写出正确的过程即可； （2）根据（1）所求代值计算即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，小睿同学的解答过程错误，原因是第一步去括号时，第一个括号里面的没有乘以3，第二个括号没有变号，没有乘以2， 正确过程如下： ； （2）解：当时，原式． 25．已知一个整式与的和是． (1)求这个整式； (2)当时，求这个整式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意列式计算即可； （）把的值代入（）所得结果计算即可； 本题考查了整式的加减，代数式求值，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴这个整式是； （2）解：当时， 原式 ． 【题型6 整式的加减中的化简求值】 26．先化简，再求值 其中， 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，利用去括号：括号前是负数去括号都变号，括号前是正数去括号不变号是解题关键． 根据去括号、合并同类项，可化简整式，根据代数式求值，可得答案． 【详解】原式 当，时，原式． 27．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 先将原式去括号，再合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解：， 当时， 原式． 28．先化简，再求值：，其中x、y满足． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，正确计算是解题的关键．先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出x、y的值，最后代值计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 29．先化简，再求值：．其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把，代入计算即可. 【详解】解： ． 将，，代入上式，得原式． 30．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【题型7 整式加减中的无关型问题】 31．已知代数式合并同类项后不含，项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是合并同类项，代数式求值的有关知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 首先合并同类项，然后求出，最后再代入计算即可． 【详解】解：原式， 由题意，得， 解得， 所以． 32．已知代数式， (1)求的值； (2)若值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，化简求值， 对于（1），将A，B代入，再根据整式加减法法则计算即可； 对于（2），将将A，B代入，再根据整式加减法法则计算，然后整理得出x的系数，令系数为0，可得答案. 【详解】（1）解： ； （2）解： . ∵与x的取值无关， ∴， 解得. 33．已知两个多项式：，． (1)求：； (2)若（1）中式子的值与m的取值无关，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的化简求值以及与字母取值无关的问题，解题的关键是熟练运用去括号，合并同类项法则进行化简． （1）利用整式加减运算法则，先去括号，再合并即可； （2）再根据（1）中化简的式子的值与取值无关求出的值． 【详解】（1）解：， 已知，将其代入可得： ； （2）解：由（1）得到式子， 因为该式子的值与的取值无关，这意味着含有的项的系数为0， 即， 解得． 34．已知多项式的值与x的取值无关，求多项式的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减—无关题型、求代数式的值，先去括号，再合并同类项即可化简，根据题意得出，，再代入所求式子计算即可得解． 【详解】解： ， ∵多项式的值与x的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 35．（1）若关于的多项式的值与的取值无关，则________； （2）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）先将多项式变形为，根据多项式的值与的取值无关得出，即可求解； （2）设，观察图形可得，，，通过计算可得，再根据的值始终保持不变，即可求解． 【详解】解：（1）， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得：． 故答案为：2． （2）设， 观察图形可得，，， ， 的值始终保持不变， ，即， 与的等量关系为． 【题型8 整式加减的应用】 36．某中学计划在该校的劳动基地修建一个面积为的菜地，菜地周围用篱笆围起来，数学小组成员莉莉和帅帅设计了如下两种方案． 莉莉：修建一个正方形菜地： 帅帅：修建一个长方形菜地，长是宽的4倍． 请通过计算比较哪个设计方案修建的菜地所需篱笆更短．（篱笆接头处长度不计） 【答案】莉莉的方案所需篱笆更短． 【分析】本题考查了列代数式与整式的加减，求代数式的值等知识；由题意可求出正方形边长，从而求得正方形的周长；设长方形菜地的宽为，则可表示长方形的长为，从而可表示出长方形的周长，根据面积求出x的值，即可长方形的周长，比较两个周长即可． 【详解】解：由于，即正方形的边长为，其周长为； 设长方形菜地的宽为，则长方形的长为， 由题意得，即，则， 所以长方形的周长为：， 而， ∴莉莉的方案所需篱笆更短． 37．定义：若，则称与是关于2的“对称数”． (1)5与 是关于2的“对称数”； (2)与 是关于2的“对称数”(用含的代数式表示)． (3)若，，判断与是否是关于2的“对称数”，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当或时，与是关于2的“对称数”，否则，与不是关于2的“对称数” 【分析】此题主要考查了新定义，整式的加减，解题的关键是能根据题目定义列式并计算． （1）根据关于2的“对称数”的运算法则进行计算即可； （2）根据关于2的“对称数”的运算法则进行计算即可； （3）根据关于2的“对称数”的运算法则进行计算，并判断的取值为何时满足定义． 【详解】（1）解：根据关于2的“对称数”的运算法则可得， ， ∴5与是关于2的“对称数”， 故答案为：； （2）解：根据关于2的“对称数”的运算法则可得， ， ∴与是关于2的“对称数” 故答案为：； （3）解： ∴当或时，与是关于2的“对称数”，否则，与不是关于2的“对称数”． 38．图1是2024年10月的月历． (1)如图1，如果本周三对应的日期用x（，且x为正整数）表示，那么本周二对应的日期可以表示为_______，下周三可以表示为______（用含x的代数式表示）； (2)如图2，若用m表示阴影部分（5天）中最中间一天的日期，用S表示这5天的日期之和，求S与m之间的关系式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查整式加减的应用，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键； （1）根据题意和图形，可以用含x的代数式表示出本周二和下周三； （2）根据题意和图形，可以S关于a的函数关系式． 【详解】（1）解：由图可得， 如果本周三对应的日期用x（，且x为整数）表示，那么本周二可以表示为，下周三对应的日期可以表示， 故答案为：，； （2）解：由图可得， ， 即S与a之间的关系式为． 39．如图，为了方便学生停放自行车，学校建了一块长边靠墙的长方形停车场，其他三面用护栏围起，其中停车场的长为米，宽为米． (1)用含的代数式表示护栏的总长度． (2)若，每米护栏造价90元，求建此停车场所需护栏的费用． 【答案】(1)米 (2)5580元 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，整式加减运算的应用；解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的周长公式，整式加减运算法则． （1）先求出停车场的宽，然后再求出护栏的长度即可； （2）把，代入求值即可． 【详解】（1）解： 米， 即护栏的总长度为米； （2）解：当时， 元， 建此停车场所需护栏的费用为5580元． 40．项目式学习． 【项目主题】校园分布图制作． 【项目背景】为了让初一新生更快熟悉校园生活，善思小组成员准备为初一新生制作简易版校园分布图． 【实践操作】操作一：善思小组根据校园的活动区域分布，将校园分布图分为教学区、操场、学生活动中心、图书馆四个主要区域； 操作二：根据小组成员的实际测量与记录，绘制如图所示的校园总体分布图（单位：）． 【项目思考】 (1)用整式表示这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积； (2)若，b的倒数是，求这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，绝对值意义，倒数定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的面积公式． （1）根据长方形的边长和面积公式表示出学校的操场和学生活动中心一共占地的面积即可； （2）根据，b的倒数是，得出，，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：学校的操场的占地面积为， 学生活动中心的占地面积为， 这个学校的操场和学生活动中心一共占地面积为： ； （2）解：∵，b的倒数是， ∴，， ∵， ∴， 把，代入得： 原式， 答：这个学校的操场和学生活动中心一共占地． 【拓展训练一 整式加减运算综合】 41．有依次排列的两个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串；，2，，这称为第一次操作：将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：，，2，，，……以此类推．第2024次操作后，得到的整数串中所有整式的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，数字规律的探索，代数式求值，正确找出其中规律是解题关键． 根据整式的加减运算法则算出前三次操作后整式和，得出第次操作后整式和为，将2024代入求值即可． 【详解】解：第一次操作后的整式串是：，2，， 第一次操作后整式和为：， 第二次操作后的整式串是：， 第二次操作后整式和为：， 第三次操作后的整式串是， 第三次操作后整式和为：， 第次操作后整式和为：， 第2024次操作后，得到的整数串中所有整式的和为， 故选：B． 42．已知多项式为整数，这两个多项式在数轴上表示的点分别为，若两点之间（不包含点）恰好有10个“整数点”（点表示的数为整数），则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式运算、数轴与整数点、绝对值与距离等知识点，正确建立方程求解是关键． 求得的长度，建立关于a的方程，再解方程即可． 【详解】解：∵， 又∵M、N两点之间（不包含点M，N）恰好有10个“整数点”， ∴M和N之间的距离应该是 11 个单位长度， ∴， 解得：， 故答案为：． 43．我们知道，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.如，类似的，我们把看成一个整体，则，请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)化简； (2)若，计算； (3)已知，，计算． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，解题的关键是熟练掌握整体思想的应用． （1）把看成一个整体，合并同类项即可； （2）根据得出，然后整体代入求值即可； （3）把式子，看作一个整体，代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：∵，， ∴ ． 【拓展训练二 整式加减无关型问题综合】 44．已知A＝3x2－x＋2，B＝x＋1，C＝x2－，求3A＋2B－36C的值，其中x＝－6． 【答案】30 【分析】将A，B，C的值代入3A＋2B－36C中，去掉括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可． 【详解】解：∵A＝3x2－x＋2，B＝x＋1，C＝x2－， ∴ 当x＝－6时，原式． 【点睛】本题考查的知识点是整式的化简求值，解此题的关键是能够将所求代数式正确的化简． 45．理解与思考： 整体代换是数学的一种思想方法．例如：x2+x＝0，则x2+x+1186＝　 　；我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （Ⅰ）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2016＝　 　； （Ⅱ）如果a+b＝5，求2（a+b）﹣4a﹣4b+21的值； （Ⅲ）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，求2a2﹣3b2﹣2ab的值； 【答案】（Ⅰ）2017；（Ⅱ）11；（Ⅲ）16 【分析】（Ⅰ）把已知等式代入原式计算即可得到结果； （Ⅱ）原式变形后，把a+b＝5代入计算即可求出值； （Ⅲ）已知第一个等式两边乘以2，减去第二个等式两边乘以3求出原式的值即可． 【详解】（Ⅰ）∵x2+x﹣1＝0， ∴x2+x＝1， ∴x2+x+2016＝1+2016＝2017， 故答案为：2017； （Ⅱ）∵a+b＝5， ∴2（a+b）﹣4a﹣4b+21＝2（a+b）﹣4（a+b）+21＝﹣2（a+b）+21＝﹣10+21＝11； （Ⅲ）∵a2+2ab＝20，b2+2ab＝8， ∴2a2+4ab＝40，3b2+6ab＝24， ∴2a2+4ab﹣3b2﹣6ab＝2a2﹣3b2﹣2ab＝40﹣24＝16． 【点睛】此题考查整式的化简求值，已知代数式的值可将代数式整体代入代数式中求值计算，这里整式的正确化简是解题的关键. 46．已知，求的值． 【答案】-2008. 【分析】将拆分成含有的形式，即可完成解答. 【详解】解：， . 【点睛】本题考查了多项式的拆分求值，解答的关键是拆分成含有的形式. 【拓展训练三 整式加减应用综合】 47．如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是、、6． (1)①点B和点C之间的距离是 个单位长度； ②若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动 个单位长度； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①点A、B表示的数分别是 、 （用含m、t的代数式表示）； ②若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，当m为何值时，的值不会随着时间的变化而改变，并求此时，的值． 【答案】(1)①10；②2或18 (2)①、；②当时，的值不会随着时间t的变化而改变，此时的值为38 【分析】本题主要考查了列代数式及数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． （1）根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题； （2）①根据数轴上的点所表示数的特征，用含m、t的代数式分别表示出运动后点A和点B表示的数即可；②根据题意，分别表示出和，再根据的值不会随着时间的变化而改变，得出此代数式的值与t的取值无关，据此求出m的值即可解决问题． 【详解】（1）解：①因为点B和点C表示的数分别是、6， 所以， 即点B和点C之间的距离是10个单位长度， 故答案为：10； ②因为点A和点B表示的数分别是、， 所以， 又因为C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍， 所以， 因为B点表示的数是， 设C点表示的数为或， 即C点表示的数应该是4或， 因为开始C点表示的数为6， 所以C向左移动2个单位或18个单位． 故答案为：2或18； （2）解：①因为点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，且运动时间为t秒， 所以运动后点A表示的数为：； 因为点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，且运动时间为t， 所以运动后点B表示的数为：， 故答案为：，； ②因为点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，且运动时间为t， 所以运动后点C表示的数为：， 则， ， 则 ． 因为的值不会随着时间的变化而改变， 所以， 解得， 此时， 所以当时，的值不会随着时间的变化而改变，此时． 48．一个多项式的次数为，项数为，我们称这个多项式为次多项式或者次项式，例如：为五次三项式，为二次四项式． （1）为________次________项式． （2）若关于、的多项式，，已知中不含二次项，求a+b的值． （3）已知关于的二次多项式，在时，值是，求当时，该多项式的值． 【答案】（1）六，四；（2）；（3）． 【分析】（1）根据一个多项式的次数为，项数为，我们称这个多项式为次多项式或者次项式，即可解答； （2）计算出，根据不含二次项，即二次项的系数为0，求出，的值，即可解答； （3）先将关于的二次多项式变形，根据二次多项式的特点求出、的值，进而求出当时，该多项式的值． 【详解】解：（1）为六次四项式； 故答案为：六，四； （2）， 中不含二次项， ，， ，， ； （3）． 是关于的二次多项式 ，即． 又当时，原代数式的值是 解得：． 关于的二次多项式 当时，原式． 【点睛】本题考查了多项式，解决本题的关键是熟记多项式的有关概念． 49．我们知道：若数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，则A、B之间距离可表示为|a﹣b|，已知多项式7x3y2﹣3x2y﹣2的次数为a，常数项为b． （1）直接写出：a＝　 　，b＝　 　，A、B之间的距离是 　 　． （2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数为x． （i）化简|x﹣5|＋|x＋2|； （ii）直接写出点C到点A、点B距离之和的最小值是 　 　． （3）如图，点M、N分别从原点O、A同时出发，分别以v1、v2的速度沿数轴负方向运动（M在O、B之间，N在O、A之间），运动时间为t，点Q为O、N之间一点，且QN＝BN，若M、N运动过程中MQ的值固定不变，求的值． 【答案】（1），，；（2）当时，；当时，；当时，；（3） 【分析】（1）根据多项式的次数，常数项的定义分别求得的值，根据题意求得的距离； （2）（i）分三种情况讨论，当时，当时，当时，进而化简绝对值；（ii）根据（i）的结论可知当时，点C到点A、点B距离之和的最小，进而求得最小值； （3）分别表示出，进而根据，结合题意为定值，进而可得，即可求得的值． 【详解】解：（1）多项式7x3y2﹣3x2y﹣2的次数为，常数项为 故答案为：，， （2）（i）当时， |x﹣5|＋|x＋2| 当时，， |x﹣5|＋|x＋2|； 当时，， |x﹣5|＋|x＋2|； 综上所述，当时，；当时，；当时， （ii）当点位于之间时，点C到点A、点B距离之和的最小， |x﹣5|＋|x＋2|； 则最小值为 （3）点M、N分别从原点O、A同时出发，分别以v1、v2的速度沿数轴负方向运动（M在O、B之间，N在O、A之间），运动时间为t， 点表示的数为,点表示的数为，， QN＝BN， 为定值， 即 【点睛】本题考查了多项式的项数与次数，化简绝对值，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，整式的加减，掌握数轴上两点的距离计算是解题的关键． 【拓展训练四 整式加减的新定义问题】 50．1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分割成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为x，y． 请你计算： (1)第3个正方形的边长是______；第5个正方形的边长是______；第5个正方形的面积是______．（用含x，y的代数式表示） (2)当时，求第6个正方形的面积． (3)当x，y均为正整数时，这个完美长方形的最小周长是______． 【答案】(1)；； (2)64 (3)224 【分析】本题考查了整式加减的应用，根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，用含，的式子表示出其他8个正方形的边长是解题的关键．第（3）问较难，需要有较强的推理能力及计算能力． （1）根据所给图形，得出第3个正方形的边长为第1，2个正方形的边长之和，再依次表示出4，5号正方形的边长即可解决问题． （2）根据所给图形，表示出第6个正方形的面积，再结合即可解决问题． （3）根据所给图形，用含，的代数式表示出完美长方形的周长，并结合，均为正整数，求这个完美长方形的最小周长． 【详解】（1）解：根据图形及标注为1号和2号的正方形边长分别为，， 所以第3个正方形的边长是1号和2号的正方形边长之和为， 所以第4个正方形的边长是2号和3号的正方形边长之和为， 所以第5个正方形的边长是2号和4号的正方形边长之和为， 所以第5个正方形的面积为． 故答案为：；；． （2）解：根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，第5个正方形的边长是， 所以第6个正方形的边长是2号和5号的正方形边长之和减去1号的正方形边长为， 所以第6个正方形的面积． 当时，． 所以当时，第6个正方形的面积为64． （3）根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，第6个正方形的边长是， 所以第7个正方形的边长是6号正方形的边长减去1号正方形的边长为， 所以第10个正方形的边长是7号正方形的边长减去1号正方形的边长减去3号正方形的边长为， 所以第8个正方形的边长是7号正方形的边长加10号正方形的边长为， 所以第9个正方形的边长是8号正方形的边长加10号正方形的边长为． 因为第5个正方形的边长与第6个正方形的边长之和等于第8个正方形的边长与第9个正方形的边长之和， 所以， 化简得． 因为完美长方形的长为，完美长方形的宽为， 所以完美长方形的周长为． 因为，，均为正整数， 所以，时，完美长方形的周长最小，最小值为． 故答案为：224． 51．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 元 超出不超出的部分 元 超出的部分 元 例如：若某户居民月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示，并化简） (3)若该户居民月份用水，两个月共用水，且月份用水超过月份，请用含的整式表示两个月共交的水费多少元？ 【答案】(1) (2)元 (3)元或元或元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，列代数式，整式的加减运算的应用，根据题意正确列出算式并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （）根据材料提示的计算方法即可求解； （）根据不超过的部分的水费+超出不超出部分的水费，列式求解即可； （）根据题意，分类讨论，结合（）、（）的计算方法即可求解； 【详解】（1）解：应收水费为（元）， 故答案为：48； （2）解：∵应收水费不超过的部分的水费超出不超出部分的水费， ∴应收水费为元， ∴应收水费为元； （3）解：∵月份用水量超过了月份， ∴月份用水量少于， ①当月份用水量少于时，则月份用水量超过， ∴两个月共交水费元； ②当月份用水量大于或等于但不超过时，则月份用水量不少于但不超过， ∴两个月共交水费元； ③当月份用水量超过但少于时，则月份用水量超过但少于， ∴两个月共交水费元， 综上，两个月共交的水费为元或元或元． 52．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 初步尝试： （1）如果点表示数，将点向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____； （2）如果点表示数3，将点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____； 归纳一般： （3）一般地，如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，请你猜想终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____． 深入研究： （4）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点表示的数是，乙选择的游戏起点表示的数是3；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： “剪刀、石头、布”的结果 、两点移动方式 平局 点向右移动个单位，点向左移动个单位 甲胜 点向右移动个单位，点向右移动个单位 乙胜 点向左移动个单位，点向左移动个单位 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数）． ①当时，其中平局一次，甲胜一次，点最终位置表示的数为_____，点最终位置表示的数为_____，此时、两点间的距离为_____． ②当时，其中平局次，甲胜次，点最终位置表示的数为_____，点最终位置表示的数为_____，此时、两点间的距离为_____（用含、、的式子表示）． 【答案】（1）4，7；（2）4，1；（3），；（4）①，，5；②，， 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，以及整式的加减，运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据数轴上的点的移动特点“右加左减”即可点表示的数，两点之间的距离为右边的数减去左边的数； （2）根据数轴上的点的移动特点“右加左减”即可点表示的数，两点之间的距离为右边的数减去左边的数； （3）根据数轴上的点的移动特点“右加左减”即可点表示的数，再计算两点之间的距离； （4）①根据移动规则和两点间的距离公式即可求解； ②根据移动规则即可求解； 【详解】解：（1）点表示数，将点向右移动7个单位长度到达点， 点表示的数是，、两点间的距离为， 故答案为：4，7； （2）点表示数3，将点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度， 终点表示的数是，、两点间的距离为， 故答案为：4，1； （3）如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，请你猜想终点表示的数是， 点，之间的距离为， 故答案为：，； （4）①当时，其中平局一次，甲胜一次，点最终位置表示的数为，点最终位置表，此时、两点间的距离． 故答案为：，，； ②当时，其中平局次，甲胜次， 点最终位置表示的数为， 点最终位置表示的数为； 此时、两点间的距离． 故答案为：，，． 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，解题的关键是掌握同类项的定义及合并同类项法则． 根据合并同类项法则，对每个选项逐一分析判断． 【详解】A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、与，相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； D、，合并同类项应为，原计算错误，故此选项不符合题意；． 故选：B． 2．若单项式与是同类项，则代数式的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】C 【分析】本题考查同类项，代数式求值，熟练掌握所含字母相同，相同字母指数相同的项叫同类项是解题的关键． 根据同类项定义相同字母指数相同得到关于m、n的方程，求解得出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：单项式与是同类项 ， 解得：， ． 故选：C． 3．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简的值为（    ） A． B． C．a D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，去括号，合并同类项，解题的关键是判断出． 由图可知，，然后确定各项的符号，去掉绝对值号，计算答案． 【详解】解：由图可知， ∴，， ∴ ． 故选：B． 4．某早餐店每天都要采购豆奶、牛奶和果汁三种饮品，其中豆奶瓶数是牛奶瓶数的2倍，豆奶、牛奶的采购价分别为2元/瓶、5元/瓶．若采购的总费用只与三种饮品的总瓶数有关，与三种饮品的瓶数比例变化无关，则果汁的采购价为（   ） A．2元/瓶 B．3元/瓶 C．5元/瓶 D．7元/瓶 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，整式加减中的无关型问题；设牛奶买了x瓶，果汁买了y瓶，果汁的采购价为z元/瓶，则豆奶买了瓶，根据总费用只与总瓶数有关，列出方程即可求解． 【详解】解：设牛奶买了x瓶，果汁买了y瓶，果汁的采购价为z元/瓶，则豆奶买了瓶， 由题意得：采购总费用只与总瓶数有关， 则，其中k为系数 即， 由于采购的总费用与三种饮品的瓶数比例变化无关， 则，， ∴； 即果汁的采购价为3元/瓶； 故选：B． 5．淇淇计算时看错了两个运算符号（看成了，或看成了），得出结果为89，淇淇看错的情况可能共有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．原式正确计算结果为95，而算错结果为89，看错符号的两个数差3且减小数和加大数看错，据此分析即可． 【详解】解：， 而算错结果为89，看错符号的两个数差3且减小数和加大数看错， 则看错的情况可能共有：①看成，看成； ②看成，看成； ③看成，看成． 所以，看错的情况可能共有3种． 故选：C． 6．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部，按图2和图3两种方式摆放，若长方体盒子底部的长与宽的差为3，则图2和图3中阴影部分周长之差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，通过观察图形，用含有a、 b的代数式的表示出盒子底部长方形的长和宽是解题的关键．分别表示出图2中阴影部分的周长和图3中阴影部分的周长，然后相减即可． 【详解】由图3知，长方体盒子底部的长为，宽为， ∴， ∴图2中阴影部分的周长为， 图3中阴影部分的周长为， ∴． ∴图2和图3中阴影部分周长之差为． 故选B． 7．城区某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如右图：若张老师有两天去超市购物原价合计900元，若第一天购物的原价为a元，请你用含a的代数式表示张老师两天一共节省了（   ）元 一次性购物 优惠办法 少于200元 无优惠 低于500元但不低于200元 全部金额给予8折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予8折优惠；超过500元部分给予7折优惠 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，根据题干提供的信息，分别表示出第一天和第二天的实际花费即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴张老师两天一共节省了： ； 故选：B． 8．若关于的多项式化简后不含二次项，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减不含某项问题，先化简整式，进而根据化简后不含二次项，可得二次项系数为，据此列出等式解答即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵关于的多项式化简后不含二次项， ∴， ∴， 故选：． 9．定义：若，则称与是关于的平衡数．例如：若，则称与是关于2的平衡数．若，，那么与是关于（    ）的平衡数 A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查新定义，整式的加减运算，理解新定义，掌握整加减运算法则是解题的关键． 先化简a、b，再计算出的值，即可由新定义求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵若，则称a与b是关于m的平衡数． ∴a与b是关于4的平衡数 故选：D． 10．已知与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的概念：如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．所有常数项都是同类项．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故答案为： 11．一个三位数，个位数字是，十位数字是，百位数字是，将这个三位数的百位数字与个位数字交换位置后，新数减原数的差是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了位值原则的应用，原三位数可表示为，交换后的新三位数为，作差即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，原三位数可表示为， 交换后的新三位数为， ∴新数减原数的差是， 故答案为：． 12．已知多项式A、B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为，则多顶式A为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据题意可得，然后将代入并求解即可． 【详解】解：根据题意，， 即， ∴； 故答案为：． 13．如图，涂色部分是正方形． （1）图中最大长方形的周长是 ； （2）你是怎样想的？ ． （请在图上画一画、写一写，让人一眼看明白） 【答案】 94 【分析】本题考查了长方形和正方形．熟练掌握长方形和正方形性质，是解题的关键． （1）根据长方形和正方形性质，得四边形是长方形，得，得，根据，即得最大长方形的周长； （2）． 【详解】解：（1）∵四边形是长方形，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， 设正方形的边长为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴最大长方形的周长； 故答案为：94； （2）思路：． 故答案为：． 14．定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与 是关于1的平衡数，与 是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若，，判断a与b是否是关于1的平衡数 （填是与否） 【答案】 否 【分析】本题以新定义为载体，主要考查了整式的加减，正确理解新定义、熟练掌握整式加减运算的法则是解题的关键； （1）根据平衡数的定义列式计算即可； （2）根据平衡数的定义计算的值是否等于2即可作出判断． 【详解】解：（1）根据题意，3关于1的平衡数是， 关于1的平衡数是， 故答案为：，； （2）因为 ， 所以a与b不是关于1的平衡数； 故答案为：否． 15．如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当，，时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 【答案】 24 【分析】本题考查整式加减运算的实际应用． （1）由图可知：，确定两个未被覆盖的长方形的长和宽，求出，即可； （2）设，求出的值，根据的值与的长度无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）设， 则： ； ∵的值与的长度无关， ∴， ∴； 故答案为：． 16．合并同类项 (1)； (2)． (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题关键． （1）根据合并同类项法则计算即可； （2）根据合并同类项法则计算即可； （3）根据合并同类项法则计算即可； （4）根据合并同类项法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： （4）解： 17．化简求值 (1)化简求值：，其中． (2)已知与是同类项，求多项式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查同类项的概念以及整式的化简求值，解题的关键是掌握同类项定义和整式加减运算法则． （1）先通过合并同类项化简式子，再代入的值计算． （2）先根据同类项定义求出、的值，再代入多项式求值． 【详解】（1）解： 把代入，可得： 原式 ； （2）解：已知与是同类项，所以， 把代入， 原式 ． 18．某教辅书中一道整式运算的参考答案污损看不清了，形式如下： 解：原式 ． (1)求污损部分的整式； (2)当时，求污损部分整式的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出所求． （2）把与的值代入（1）的结果中计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题意可得，污损不清的部分为： ； （2）解：当时，原式． 19．【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）运用合并同类项法则进行计算即可； （2）判断，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，且的值和的取值无关， ∴，． ∴，． ∴． 20．【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，因为，所以是对称式．而交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有______：（填序号） ①；②；③；④． (2)若关于m，n的代数式为对称式，则k的值为______； (3)在（2）的条件下，已知上述对称式，且，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的含义是解题的关键． （1）根据对称式的定义对各式进行判断即可； （2）根据对称式的定义，交换的位置，得到，由题意得，得到，求解即可； （3）把代入，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：①，交换后为，结果不变，是对称式，故①符合题意； ②，交换任意字母后指数和不变，是对称式，故②符合题意； ③，交换字母后指数积不变，是对称式，故③符合题意； ④，交换字母后为，结果不同，不是对称式，故④不符合题意； 故答案为：； （2）解：， 交换的位置为： ， ∵关于m，n的代数式为对称式， ∴， ∴，， 解得：； （3）解：将代入得： ， 整理得：， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$