专题01 绝对值中的八类最值模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题01 绝对值中的八类最值模型 最值问题是初中阶段常作为压轴选填题来考查的知识点，也是想拿高分的学生必须掌握的知识点；绝对值中的最值模型是初中阶段第一个接触到的最值类问题，主要考查绝对值的性质、几何意义和代数意义，考查学生对分类讨论方法的掌握和数形结合的数学思维；解决此类问题，最重要的是掌握绝对值的几何意义，学会根据实际情况划分不同情形，同时借助于数轴的距离表示，将绝对值的最值模型彻底掌握。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.的最小值模型 4 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 7 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 12 模型5.型或型最值模型 14 模型6.绝对值最值模型的实际应用 15 模型7.绝对值相关运算与最值问题 18 模型8.绝对值最值中的新定义问题 21 15 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 1．（2024·江苏盐城·校考一模）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)计算： (2)利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7． (3)直接写出的最小值及此时x的取值范围． (4)直接写出最小值及此时x的值． 【答案】(1)7 (2)，，0，1，2，3，4，5 (3)时，最小值为9 (4)最小值为9， 【分析】（1）根据题意，得，解答即可； （2）根据题意，得，得到解答即可． （3）根据题意，，根据距离和的意义解答即可． （4）根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和，即解答即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， 得到． ∴，，0，1，2，3，4，5． （3）解：根据题意，得， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，， 故当时，取得最小值，且最小值为9． （4）解：根据题意，当时，，此时； 当时，，此时； 当时， 当时，的最小值为． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离公式，绝对值的意义，距离之和最小的意义，有理数的加法．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及当点在两点之间时，点到两点间的距离之和最小，是解题的关键． 2．（2023·安徽安庆·一模）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律： ①当有最小值是 ． ②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ (4)知识迁移 最大值是 ，最小值是 ． 【答案】(1)①3；4；②；1或 (2)①1；②2；③4 (3)当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为米 (4)， 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，理解数轴上点所表示的数为，点所表示的数为，则及其几何意义，以及“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点． （1）①理解并掌握及其几何意义，即可求解；②理解并掌握及其几何意义，即可求解； （2）①理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；②理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；③理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”，然后即可求解； （3）根据（2）可知当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，然后即可求解； （4）理解表示的几何意义，然后分类讨论数的点在表示数点的左侧、数的点在表示数，5两点之间、数的点在表示数点的右侧，然后即可求解最大值和最小值； 【详解】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是：； 数轴上表示1和的两点之间的距离是：， 故答案为：3；4． ②数轴上表示和的两点A和B之间的距离是：， 当，则， ∴或， 由解得：， 由解得：， ∴的值为：1或， 故答案为：；1或． （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数、2两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： ∴当表示数的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为， 即有最小值是1． 故答案为：1． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示2的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为， 即有最小值是2， 故答案为：2； ③∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离、数轴上表示数、4两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时， 的值为最小值，最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和，即为， 即有最小值是4． 故答案为：4． （3）解：由（2）可知：当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：（米）． （4）解：∵表示的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、5两点间的距离之差， ①当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即， 则，， ∴，， ∴； ②当在数轴上表示数的点在表示数，5两点之间时，即， 则，， ∴，， ∴， ③当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值是，的最小值是． 故答案为：9；． 知识储备：①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 结论：根据绝对值的几何意义知：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 2.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 3.的最小值模型 结论：找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（）‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段（）‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 4.型或型最值模型 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 模型1.的最小值模型 例1（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知、在数轴上分别表示，． (1)可以利用数轴填写下表： 5 3 2 0 、两点的距离 (2)若、两点间的距离记为，试问：和有何数量关系？ (3)在数轴上标出所有符合条件的整数点，使它到3和的距离之和为6，并写出这些点对应的整数； (4)若点C表示的数为，当点C什么位置时，取得的值最小？最小值为多少？ 【答案】(1)3，4，4，5，0 (2) (3)数轴表示见解析，，，，0，1，2，3 (4)在点和3之间时（包括点和3），取得的值最小，最小值为4 【分析】此题主要考查数轴的性质以及绝对值的应用，有理数的减法运算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据数轴上的两点，求两点距离即可； （2）数轴上两点间的距离即为差的绝对值； （3）由得到3到距离为6，推出p点一定在3和之间，进而求解即可； （4）表示x到的距离，表示x到3的距离，，该题及转化为数轴上一点到和2的距离和最小，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，，，， ∴填表如下： 5 3 2 0 、两点的距离 3 4 4 5 0 （2）解：由题意，得； （3）解：∵ ∴3到距离为6 ∴p点一定在3和之间 ∴这样的整数点有，，，，1，2，3 数轴表示如下： ； （4）解：由题意，得表示x到的距离，表示x到3的距离， ∴当点C在和3之间时，取得最小值，最小值为． 例2（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如； 在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示的点与的点之间的距离表示为； 可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为，即的最小值是，且此时的值为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示的点与的点之间的距离表示为__________； (2)的最小值是__________，此时的取值范围为__________； 【答案】(1) (2)3； 【分析】本题考查了绝对值的应用． （1）根据绝对值的几何意义，即可求解． （2）结合图形可得，当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，表示的点与的点之间的距离表示为， 故答案为：． （2）解：可以表示的点与表示1的点的距离，跟表示的点与表示的点之间的距离的和，如图所 当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为， 即的最小值是，且此时的值为． 故答案为：，． 例3（24-25六年级上·山东烟台·期中）已知A，B在数轴上分别表示数a，b． (1)对照数轴填写下表； a 6 b 4 0 5 2 A，B两点间的距离 2 6 0 (2)若A，B两点间的距离记为d，试问d与a，b有何数量关系？ (3)在数轴上找到所有符合条件的整数点P，使它到4和的距离之和为9，并求出所有这些整数的和． (4)数轴上表示x和的两点之间的距离可以表示为______． (5)若数轴上点C表示的数为x，当点C在什么位置时， ①的值最小？最小值是______． ②的值最小？最小值是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)是，，，，，0，1，2，3，4，共10个点，和为 (4) (5)①点C在−2时，0；②点C在−2与4之间（包括−2和4）时，6 【分析】（1）根据表中的数据及数轴上两点之间的距离求解即可； （2）明确两点间的距离，即为两数差的绝对值（d=|a-b|）； （3）先求出4和−5之间的距离，即可得出点P为4和−5之间的整数点（包括临界点），然后求解即可； （4）直接利用（2）中结论即可求解； （5）①依据（2）中结论可得出表示数轴上的点到-2点的距离，即可得出结果； ②与（3）中结论类似得出表示数轴上的点到-2点的距离与到4点的距离之和，据此即可得出结果． 【详解】（1）解：填表如下： a 6 b 4 0 5 2 A，B两点间的距离 2 6 11 2 13 0 （2） （3）整数点P，使它到4和−5的距离之和为9， 4和−5的距离为，点P为4和−5之间的整数点（包括临界点）， 即，，，，，0，1，2，3，4，共10个点， 和为：+()+()+()+()+0+1+2+3+4= （4）数轴上表示x和−12的两点之间的距离可以表示为， 故答案为：； （5）①表示数轴上的点到-2点的距离， 当x=-2时，值最小，为0， 故答案为：0； ②表示数轴上的点到-2点的距离与到4点的距离之和， 数轴上-2点与4点的距离为6， 当点C在与4之间（包括和4）时，的值最小，最小为6， 故答案为：6． 【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离，理解题意，得出相应结论并运用是解题关键． 例4（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知M、N在数轴上分别表示m、n． (1)对照数轴填写下表： m 6 -4 -6 -8 -1.5 n 4 -1 2 3 -1.5 M、N两点的距离 2 0 (2)若M、N两点间的距离记为S，则S和m、n（m＜n）数量关系是　； (3)当数x满足时，取得的值最小． 【答案】(1)3；8；11 (2) (3)3 【分析】（1）首先要明确两点间的距离，即为两数差的绝对值得出即可； （2）明确两点间的距离，即为两数差的绝对值（d=|m-n|）； （3）当-2≤x≤1时，有最小值，依此得出即可． 【详解】（1）解： |-4-（-1）|=3； |-6-2|=8； |-8-3|=11． 故答案为：3；8；11； （2）解：若M、N两点间的距离记为S，则S和m、n（m＜n）数量关系是 S=|m-n|． 故答案为：S=|m-n|； （3）解：|1-x|表示点x到点1的距离，|x+2|表示点x到点-2的距离， 当点x在点1和点-2之间时，即-2≤x≤1时，|1-x|+|x+2|的值最小， 其最小值为：3． 【点睛】本题考查数轴的概念，关键是掌握数轴的两点的距离公式． 模型2.的最小值和最大值模型 例1（24-25七年级上·湖北武汉·期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段，如：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为．代数式的最大值等于 ． 【答案】5 【详解】解：当时，； 当时，，当时，有最大值5； 当时，． 综上， 的最大值为5．故答案为5． 例2（2024·广东七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______． 【答案】     3     -9 【详解】解：法1：当时，x-1＜0，x+2＜0，∴， 当时，， 当x＞1时， ∵当时，，∴代数式的最大值为3，最小值为-3， ∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9． 法2：解：∵式子|x﹣1|﹣|x+2|可看作是数轴上表示x的点到-2、1两点的距离之差， ∴当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|有最大值3；当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|有最小值-3； ∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9． 例3（2024·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为____，数x与-1所对应的点的距离为____； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20 【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为， 数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ； （2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离， ①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2； ②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2； ③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2 （3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6，的最大值是8， ∴的最大值是2+4+6+8=20 模型3.的最小值模型 例1（24-25七年级上·江苏无锡·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是______； 表示-2和1两点之间的距离是________；一般地，数轴，上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|． (2)若|a-3|=6， |b+2|=3， 且数a､b在数轴上表示的数分别是点A､点B则A､B两点间的最大距是 最小距离是_________． (3)若数轴上表示数a的点位于-4与5之间，则|a+4|+|a-5|=_______． (4)当a= 时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小， 最小值是________． 【答案】（1）1， 3 ，（2）14，2，（3）9，（4）1，9 【分析】（1）根据数轴两点间的距离用右边点表示的数减去左边点表示的数即可 （2）利用A点在3点的左与右分类化去绝对值符号，解方程求出，利用B点在-2点的左与右分类化去绝对值符号，解方程求出，比较大小，再求最大与最小值即可 （3）数轴上表示数a的点位于-4与5之间，确定|a+4|=a+4，|a-5|=5-a化去绝对值再计算即可， （4）分类讨论化去绝对值符号，确定每个范围内的最大与最小值，最后找出最小的值即可． 【详解】（1）3-2=1，1-（-2）=1+2=3， （2）|a-3|=6，若a<3,3-a=6，a=-3，若a>3，a-3=6，a=9， |b+2|=3，若b<-2，-b-2=3，b=-5，若b>-2，b+2=3，b=1，-5<-3<1<9 |a-b|最大值=9-（-5）=9+5=14，|a-b|最小值=（-3）-（-5）=-3+5=2， （3）数轴上表示数a的点位于-4与5之间，a>-4，a+4>0，a<5，a-5<0， |a+4|+|a-5|=a+4-（a-5）=a+4-a+5=9， （4）当a<-5时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=1-a-a-5+4-a=-3a>15， 当-5≤a<1时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=1-a+a+5+4-a=10-a， 9<10-a≤15， 当1≤a<4时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=a-1+a+5+4-a=a+8， 9≤a+8<12， 当a≥4时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=a-1+a+5+a-4=3a≥12， 当a=1时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的最小值为9． 故答案为（1）1， 3，（2）14， 2，（3）9，（4）1，9． 【点睛】本题考查主要涉及的知识为数轴与绝对值，借助数轴比较大小，化简绝对值是解题关键． 例2（24-25七年级上·北京怀柔·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝ ．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 －1 1 【分析】根据绝对值和平方的非负性即可求第一空；根据绝对值与数轴的关系可以解出第2问． 【详解】∵， ∴ 即 ∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2， ∴ ∵表示x与-1，1和2022三个数的距离之和， ∴当x取中间值1时，和为最小值为2023； 故答案为：-1,1 【点睛】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与-1，1和2022三个数的距离之和是解题的关键． 例3（24-25七年级上·江西上饶·期中）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如：数轴上表示4和1的两点之间的距离是|4﹣1|=3；表示﹣3和2两点之间的距离是|﹣3﹣2|=5． 根据以上材料，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）如果表示数和﹣2的两点之间的距离是3，那么=___________； （2）若数轴上表示数的点位于﹣4与2之间，那么的值是_____； 当_______时，的值最小，最小值是________． （3）依照上述方法，的最小值是________． 【答案】（1）-5或1；（2）6，1，9；（3）16. 【分析】（1）根据数轴上与一点距离相等的点有两个，分别位于该点左右，可得a有两个值； （2）根据-4＜a＜2，可得|a+4|=a+4，|a-2|=2-a；根据线段上的点与两端点的距离和最小，且让|a-1|=0，可得a的值； （3）根据线段上的点与两端点的距离和最小，-4≤a≤2时，可得原式的最小值． 【详解】解：（1）∵ =3， ∴a+2=3，或a+2=-3， ∴a=-5或a=1， 故答案为-5或1； （2）①∵-4＜a＜2， ∴|a+4|+|a-2|=a+4+2-a=6， ②∵|a+5|+|a-1|+|a-4|的值最小， ∴-5＜a＜4，|a-1|=0， ∴a=1，|a+5|+|a-1|+|a-4|的最小值等于9， 故答案为6，1，9； （3）∵|a+6|+|a-2|+|a-4|+|a+4|的最小值， ∴-4≤a≤2， ∵|a+6|+|a-2|+|a-4|+|a+4|的最小值=16， 故答案为16. 【点睛】本题考查了数轴上点的距离，注意与一点距离相等的点有两个，线段上与两端点的距离和最小的点在线段上. 例4结合数轴与绝对值的知识解答下列问题： （1）数轴上表示 3 和 2 两点间的距离是 ； 表示﹣3 和 2 两点间的距离是 ； 一般地，数轴上表示数 m 和 n 两点间的距离= ； （2）如果在数轴上表示数 a 的点与﹣2 的距离是 3，那么 a= ； （3）如果数轴上表示数 a 的点位于﹣4 和 2 之间，求|a+4|+|a﹣2|的值； （4）当 a 取何值时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值为多少？请说明 理由； （5）直接回答：当式子|a+9|+|a+1|+|a﹣5|+|a﹣7|取最小值时，相应的 a 取值范围是什么？最小值是多少？ 【答案】（1）1，5，|m﹣n|；（2）﹣5 或 1；（3）6；（4）9；（5）22. 【详解】试题分析：（1）根据两点间的距离公式，可得答案；（2）根据两点间的距离公式可得|a+2|=3，解方程可得答案；（3）先计算绝对值，再合并同类项即可求解；（4）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案；（5）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案． 试题解析： （1）数轴上表示 3 和 2 两点间的距离是 3﹣2=1； 表示﹣3 和 2 两点间的距离是 2﹣（﹣3）=5； 一般地，数轴上表示数 m 和 n 两点间的距离=|m﹣n|； （2）依题意有|a+2|=3，解得 a=﹣5 或 1； （3）∵数轴上表示数 a 的点位于﹣4 和 2 之间， ∴|a+4|+|a﹣2|=a+4﹣a+2=6； （4）因为|a+5|+|a﹣4|最小值为 4﹣（﹣5）=9，|a﹣1|是非负数 所以当 a=1 时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|=6+0+3=9； （5）|a+9|+|a+1|+|a﹣5|+|a﹣7|取最小值时，相应的 a 取值范围是﹣1≤x≤5，最小值是 a+9+a+1﹣a+5﹣a+7=22． 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 例1（2024·重庆沙坪坝·七年级校考期中）已知为任意有理数，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为： 例2（24-25七年级上·重庆江北·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______．(5)若，求的值． 【答案】(1)，(2)，(3)(4)(5)或 【详解】（1）表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等， 因此到和距离相等的点表示的数为， 表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等， 因此到和距离相等的点表示的数为，故答案为：，； （2）表示的意义是数轴上表示x的点到表示和两点的距离之和为，可得，因此x的最大值为，最小值为；故答案为：，； （3）表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和，根据数轴直观可得，最小值为3，由（2）可知， ∴当取最小值时，，故答案为：； （4） 根据绝对值几何意义，当时，有最小值，最小值为 故 的最小值为：；故答案为:； （5）当 时， ，去绝对值为：， 当 时，去绝对值为：9(不成立)， 当 时，去绝对值为：， ，综上，或． 例3（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）放飞自我：思考：数轴上的个点表示的数分别是，，…，，且，是数轴上一个点，其表示的数是，对于代数式，由绝对值的几何意义可得： 若为奇数时，当时，的值可取到最小；若为偶数，当时，的值可取到最小． (1)求的最小值．(2)求的最小值． 【答案】(1)30(2) 【详解】（1）解：由题意得：当时， 最小，最小值是： ； （2）解： 共个绝对值相加，即时， 最小，令，得： ． 模型5.型或型最值模型 例1（24-25七年级上·江苏徐州·期中）当 时，的值最小． 【答案】6 【分析】本题考查了绝对值的非负数性质，在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，掌握绝对值的性质是解答本题的关键． 根据绝对值的非负数性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴当，即时，的值最小． 故答案为：6． 例2（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）当 时，的值最小． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，，当取最小值时候，的值最小，据此可求解． 【详解】解：∵ ∴当时，的值最小， 此时，, 故答案是：． 例3（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）当x= 时，的值最小. 【答案】0 【分析】根据绝对值的性质可得|x|≥0，即当x=0时，|x|的值最小，由此即可解答. 【详解】∵|x|≥0， ∴当x=0时，|x|的值最小为0， ∴当x=0时，的值最小. 故答案为0. 【点睛】本题考查了绝对值非负性的性质，熟知|x|≥0是解决问题的关键. 例4（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质：绝对值非负，即绝对值的最小值为0；根据绝对值的最小值性质，当绝对值的表达式为零时，绝对值取得最小值；将原式拆解为绝对值部分和常数部分，确定最小值对应的x值即可． 【详解】解：式子中，的最小值为0， 当且仅当，即时取得； 此时整个式子的值为，为最小值． 故选：D． 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1（24-25七年级上·四川巴中·期末）若数轴上两点分别表示数与数，则两点之间的距离是，例如表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．    (1)已知点在数轴上表示的数分别为，且． ①______，______． ②是数轴上任意一点，且点表示的数是，求的最小值． (2)某条街上有3家新开的自习室．小东的哥哥小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点．如图，小东家在处，自习室在小东家西边50米处，在小东家东边150米处，在小东家东边200米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值为多少？ 【答案】(1)①，；②3 (2)点在之间（包含在点或上）时，的值最小，最小值为400米 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，绝对值的意义， （1）①根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0可求出a，b， ②由的几何意义可求其最小值； （2）本题考查了数轴上两点间的距离，判断出点P在之间时，取最小值，设表示的数为，有最小值，得到当时求解即可． 【详解】（1）①∵ ∴， ∴，； ②表示在数轴上对应的到两点之间的距离之和． 当在左边时，． 当在2右边时，． 当在之间时（包含在和2这两个点上时），． ∴的最小值是3． （2）由（1）②可知，点在之间（包含在点或上）时，的值最小， 设表示的数为，则有当在0至150（包含0和150）时，有最小值， 当时， 原式（米） 答：的最小值为400米． 例2（24-25七年级上·浙江·专题练习）小张、小潘、小王和小吴住在同一条东西走向的街上，分别记为A、B、C和D四点，规定向东为正，以B为原点画成如下图所示的数轴．“十一”假期，他们准备结伴去温州乐园，现有网约车来载他们去． (1)从数轴看，点C表示的数是 　　，点D表示的数是 　　． (2)如果网约车从原点出发，依次接上小潘、小王和小吴后，再向西行驶2000个单位长度接到小张．请问小张家的位置在数轴上表示的数是多少？并将其在数轴上表示出来． (3)如果网约车先接小张、小潘和小王，车应停在哪里使他们三人走的路程之和最小？最小路程是多少？ (4)触类旁通：的最小值是 　　．（直接写出答案） 【答案】(1)，； (2)，数轴见解析； (3)车应停在B处，使他们三人走的路程之和最小，最小路程是1500； (4)8． 【分析】（1）看数轴即可得点C和点D表示的数； （2）根据题意列式求解即可； （3）根据题意可得他们三人走的路程之和为：，分，，，四种情况化简式子即可得结果； （4）由（3）可得，当时，取得最小值，代入计算即可． 【详解】（1） 解：由数轴可得， 点C表示的数是：，点D表示的数是：， 故答案为：，； （2） （2）由题意可得， 小张家的位置在数轴上表示的数是：， 在数轴上表示如下图所示， ； （3） （3）设车停的位置在数轴上对应的数为x， 则他们三人走的路程之和为：， 当时，， 当时，，则， 当时，，则 ， 当时，， 由上可得，当车停的位置在数轴上对应的数为0时，他们三人走的路程之和最小， 答：车应停在B处，使他们三人走的路程之和最小，最小路程是1500； （4） （4）由（3）可得， 当时，取得最小值， 此时， 故答案为：8． 【点睛】本题考查数轴与绝对值的综合题，懂得用绝对值表示两点间的距离是解题的关键． 例3（24-25七年级上·河南郑州·期中）学习过绝对值之后，我们知道:|5－2|表示 5 与 2 的差的绝对值，实际上也可理解为 5 与 2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离：|5+2|表示 5 与－2 的差的绝对值，实际上也可理解为 5 与－2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离. 试探究解决以下问题： ⑴|x+6|可以理解为 与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离； ⑵找出所有符合条件的整数 x，使|x+1|+|x－2|=3 成立； ⑶如图，在一条笔直的高速公路旁边依次有 A、B、C 三个城市，它们距高速公路起点的距离分别是 567km、689km、889km.现在需要在该公路旁建一个物流集散中心 P，请直接指出该物流集散中心 P 应该建设在何处，才能使得 P 到三个城市的距离之和最小?这个最小距离是多少？ 【答案】⑴x 与－6；⑵－1、0、1、2；⑶应该建在 B 处，相距 322 km. 【分析】（1）|x+6|表示 x 与－6 的差的绝对值,即可求解； （2）|x+1|+|x-2|表示数轴上有理数x所对应的点到-1和2所对应的点的距离之和，而-1到2的距离等于3， 所以x所对应的点在-1和2之间，含-1和2，即可求解； （3）以高速公路起点为数轴原点建立数轴，点P应在A、C之间，此时PA+PC=|889-567|=322，所以当PB=0，PA+PB+PC最小． 【详解】解：⑴|x+6|可以理解为x与-6两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）∵|x+1|+|x-2|表示数轴上有理数x所对应的点到-1和2所对应的点的距离之和，而-1到2的距离等于3，|x+1|+|x-2|=3， ∴x所对应的点在-1和2之间，含-1和2 ∴这样的整数有-1、0、1、2． 故答案为-1、0、1、2． （3）如图，以高速公路起点为数轴原点建立数轴 则A、B、C 三个城市在数轴上表示的数分别是567、689、889， 设点P表示的数为x，则 PA+PB+PC=|x-567|+|x-689|+|x-889|， 显然，点P应在A、C之间，此时PA+PC=|889-567|=322， 所以当PB最小时，PA+PB+PC最小， 即当点P在B点时，PB=0，PA+PB+PC最小，等于322 km. 【点睛】考查了绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便． 例4（24-25七年级上·陕西西安·期中）问题提出 (1)点，在数轴上分别表示实数，，，两点之间的距离可表示为． 代数式的几何意义是表示有理数的点到表示数2的点与表示数的点的距离之和．利用几何意义，可求得的最小值为___________． (2)问题探究 如图，点，，，在数轴上分别表示的数为，，，，是数轴上一动点，从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，当点出发___________秒后，到，，三点的距离和最小，此时点所处位置对应的数字为___________，此时到，，三点的距离之和的最小值为___________． (3)问题解决 同心抗疫，情暖居民．疫情防控期间，某一直线沿街有9个小区，依次记为，假定相邻两个小区间隔相同，将这个间隔记为100米．社区想为这9个小区的居民提供防疫物资，决定在路旁建立一个物资供应站．请问点选在何处，才能使这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小？最小值是多少？ 【答案】(1)3； (2)3，2，7； (3)当点在位置时，这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小，最小值是2000米． 【分析】（1）根据数轴的意义即可得解； （2）分四种情况分析点到三个点距离的和，通过比较确定最小值，从而求出所表示的数及运动的时间即可； （3）根据两点间的距离即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得，表示有理数的点到表示数的点与表示数的点的距离之和， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：根据题意，设点表示的数为， 当时，点到，，三点的距离和是：； 当时，点到，，三点的距离和是：，且； 当时，点到，，三点的距离和是：，且； 当时，点到，，三点的距离和是：，且； ∴当时，点到，，三点的距离和最小值在范围内， 当即时，点到，，三点的距离和最小值是7，点所处位置对应的数字为2， 当时，点出发时间是：（秒）； 故答案为：3，2，7； （3）解：， 当点在或之间时，最小，为800米， 当点在或之间时，最小，为600米， 当点在或之间时，最小，为400米， 当点在或之间时，最小，为200米， 当点在位置时，最小，为0米， ∴最小距离和为：（米）， ∴当点在位置时，这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小，最小值是2000米． 【点睛】本题考查数轴，绝对值的几何意义以及两点间距离，解题的关键是熟练运用数形结合的思想． 模型7.绝对值相关运算与最值问题 例1（24-25七年级上·陕西西安·期中）问题背景 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为． 问题探究 (1)若，则　 　． (2)若，则　 　． (3)若，则　 　． 问题解决 (4)若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足且的值最小，则两个点M、N之间的距离是 　 　． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4)5或4 【分析】（1）根据绝对值的意义得出或，求出x的值即可； （2）分、、三种情况进行讨论，求出x的值即可； （3）分、、三种情况进行讨论，求出x的值即可： （4）先分类讨论求出m为3或，再根据绝对值的意义求出，最后求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得：或． 故答案为：或． （2）解：分三种情况讨论： ①时，化简为：，此方程无解； ②时，化简为：，解得； ③时，化简为：，此方程无解． 故答案为：． （3）解：分三种情况讨论： ①时，， 化简得：，解得； ②时，， 化简得：，此方程无解； ③时，， 化简得：，解得． 故答案为：或． （4）分三种情况讨论： ①时，，化简，解得； ②时，，化简，此方程无解； ③时，，化简，解得． ∴m为3或， ∵表示数轴上的点到，，这三个点的距离之和， ∴当时，的值最小， ∴或． 故答案为：5或4． 【点睛】本题主要考查的是绝对值，数轴的有关知识，解题的关键是理解绝对值的几何意义，注意进行分类讨论． 例2（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）表示－3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m－n|，如果表示数a和－1的两点之间的距离是2，那么a＝ ． （2）若数轴上表示数a的点位于－2与4之间，求|a－4|＋|a＋2|的值． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x＋2|＋|x－5|＝7，这些点表示的数的和是 ． （4）当a＝ 时，|a＋3|＋|a－1|＋|a－4|的值最小，最小值是 ． 【答案】（1）5，1或−3；（2）6，（3）12；（4）1，7． 【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案； （2）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案； （3）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案． （4）根据分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：（1）表示－3和2两点之间的距离是5，|-3−2|＝5；一般地，数轴上表示m和数n的两点之间的距离等于|m−n|．如果表示数a和−1的两点之间的距离是2，则可记为：|a＋1|＝2，那么a＝1或−3； 故答案为： 5，1或−3； （2）∵−2＜a＜4， ∴|a−4|＋|a＋2|＝4−a＋2＋a＝6， （3）当x＞5时，|x＋2|＋|x−5|＝x＋2＋x−5＝2x−3＞7， 当−2≤x≤5时，|x＋2|＋|x−5|＝x＋2＋5−x＝7， 当x＜−2时，|x＋2|＋|x−5|＝−x−2＋5−x＝−2x＋3＞7， ∴使得|x＋2|＋|x−5|＝7的所有整数为：−2，−1，0，1，2，3，4，5， ∵−2＋（−1）＋0＋1＋2＋3＋4＋5＝12， 故答案为：12； （4）当a＞4时，|a＋3|＋|a−1|＋|a−4|＝a＋3＋a−1＋a−4＝3a−2＞10， 当1＜a≤4时，|a＋3|＋|a−1|＋|a−4|＝a＋3＋a−1＋4−a＝6＋a，则7＜6＋a≤10， 当−3＜a≤1时，|a＋3|＋|a−1|＋|a−4|＝a＋3＋1−a＋4−a＝8−a，则7≤8−a＜11， 当a≤−3时，|a＋3|＋|a−1|＋|a−4|＝−a−3＋1−a＋4−a＝−3a＋2≥11， 由上可得，当a＝1时，|a＋3|＋|a−1|＋|a−4|的值最小，最小值是7， 故答案为：1，7． 【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的特点和分类讨论的数学思想解答． 例3同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：        （1）_____，这个算式利用数轴可理解为__________； （2）求使成立的所有整数； （3）求出使成立的所有整数； （4）如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 【答案】（1）可以利用数轴理解为数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离；（2）所有整数有2，；（3）所有整数有；（4）由（3）可知超市的位置应在B，C两个村庄之间． 【分析】（1）根据题中给出的例子可得出结论； （2）使|x＋5|＝7成立的所有整数，就是−5到数轴上任意一点的距离都等于7的点都符合，找出此点即可； （3）在数轴上找出符合条件的点即可； （4）由题意可知，AB＝BC＝CD，则有A到BC之间距离较近，D到BC之间的距离也较近，所以超市的位置应在BC两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小． 【详解】（1）如图（1），可以利用数轴理解为数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离， ； （2）∵使成立的所有整数，就是数轴上到表示的点距离为7的点所表示的数， ∴如图（2）所示，使成立的所有整数有2，， ； （3）使成立，即数轴上x表示的点到和2.6表示的点的距离和为7.9， ∵， ∴和2.6之间的所有整数均符合要求， 故所有整数有； （4）由题意可知，且AB＝BC＝CD，则有A到BC之间距离较近，D到BC之间的距离也较近， ∴超市的位置应在BC两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小． 【点睛】本题考查的是绝对值，熟知绝对值的几何意义是解答此题的关键． 例4（24-25七年级上·陕西西安·期中）阅读材料：在数轴上表示两个数的点之间的距离可以表示为，比如表示3的点与-2的点之间的距离表示为；可以表示数的点与表示数1的点之间的距离与表示数的点与表示数-2的点之间的距离的和，根据上述材料，回答下列问题：      （1）解方程   （2）的最小值是 ． （3）的最小值是 此时的值为 ． 拓展推广：如图所示：当表示数的点在点和点之间(包含点和点)时，表示数的点与点的距离与表示数的点和点的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时的取值范围为 （4）已知数满足则的最小值是 最大值是 ． （5）当的最小值是4.5时，求出的值及对应的值或取值范围． 【答案】（1）x=-1或x=-3（2）8；（3）5； 0；拓展推广： -2≤x≤1；（4）-9；8；（5）a=3.5，x=0或a=-4.5, x=-1． 【分析】（1）根据题意及绝对值的含义即可求解； （2）根据绝对值的几何意义，得出的最小值； （3）根据绝对值的几何意义，得出的最小值及x的值； 拓展推广：根据绝对值的几何意义，可得取最小值时，x的取值为-2≤x≤1； （4）根据变形得，根据题意及绝对值的几何含义得到x,y的取值即可求解； （5）根据题意分a＞0和a＜-1两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解 x+2=1或x+2=-1 解得x=-1或x=-3 （2）根据绝对值的几何意义可得，当−2≤x≤6时，的最小值是8 故答案为：8； （3）根据绝对值的几何意义可得，当x＝0时，的最小值是5， 故答案为：5； 0； 拓展推广：根据绝对值的几何意义可得：当的最小值是3时，x的取值为-2≤x≤1 故答案为：-2≤x≤1； （4）∵ ∴ ∵的最小值为10，的最小值为7， 根据绝对值的几何含义可得x的取值是-8≤x≤2；y的取值是-1≤x≤6 故当x=-8,y=-1时的最小值是-9； 故当x=2,y=6时的最大值是8； 故答案为：-9；8； （5）如图，当a＞0时，∵的最小值是4.5 ∴a=4.5-1=3.5，此时x=0 当a＜-1时，∵的最小值是4.5 ∴a=0-4.5=-4.5, 此时x=-1． 【点睛】本题主要考查了数轴以及绝对值的几何意义的运用，一个数x的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数x的点离原点（表示数0）的距离，x的绝对值表示为|x|．解题时注意分类思想的运用． 模型8.绝对值最值中的新定义问题 例1（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 【答案】(1) (2)10或8 (3)的最小值是7，此时 (4) 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点距离及绝对是解题是关键． （1）求出，，4的绝对值，比较即可解答； （2）分和，两种情况，利用两点间距离公式计算即可； （3）根据绝对值的几何意义求解即可； （4）根据绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：，， 在，，4这三个数中，绝对值最小的数是； 故答案为：； （2）解：当时， ； 当时， ； 当时，求的值为8或10； （3）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，，4的三点的距离之和， 只有当表示的数与点B重合时，距离之和才最小为点A和点C之间的距离为：， 此时：； （4）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，4的两点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小，最小距离为； 同理，的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，5的两点的距离之和， 只有当表示的数在点A点P之间时（包含点A，点P），距离之和才最小，最小距离为； 的几何意义是：数轴上表示数的点到表示,，4，5的四点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小， 最小距离为：； 此时：． 例2（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)1或 (2)，，，0，1；4 (3)，7； (4)菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【分析】（1），根据题意即可得其值； （2）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （3）的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， （4）列出式子，求其最小值即可． 本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， ∵ ∴当在的左边时，则； ∴当在的右边时，则； 则的值为：1或； 故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，1或； （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当取最小值时，则在和1之间， 当时，即当可以取整数，，，0，1； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为4； 当在的左边时，则， ∴最大值为4； 故答案为：，，，0，1；4． （3）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和1之间的距离，即为7， ∴最小值为7； 故答案为：，7； （4）解：设菜鸟驿站在处， 根据题意可得，运输距离为：， 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本12（元）， 菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 例3（24-25七年级上·福建龙岩·期中）定义： 若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． 理解： （1）数轴上表示数和5的两点之间的距离是_____（用含的代数式表示）； （2）若，则的值为_____； （3）若，则的值为_____； （4）当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们分别有快递车16辆，8辆，4辆，12辆．为了使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动若干辆车．请你设计3种不同的调动车辆方案，使得调动车辆的总数最少，并直接写出调动的最少车辆数． 【答案】（1）；（2）或1；（3）或3；（4）；应用：方案见解析，12辆 【分析】理解：（1）根据题意即可求解； （2）根据绝对值的意义即可求解； （3）分在的左侧、数在的右侧两种情况作图，根据作图解答即可求解； （4）由可得代数式表示x到1和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得，数轴上表示数x和5的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解： 或 或． （3）在数轴上表示数到1和的距离之和等于8， 如图所示：①当数在的左侧时， ． ②当数在的右侧时， ． 故答案为：或3； （4）代数式表示数到1和的距离之和， 当在和1之间，即时，最小，最小值为， 故答案为：． 应用：根据题意，提供5种不同的调动车辆的方案，图表语言表述如下： 由图可知，调动的最少车辆数为：辆． 例4（24-25七年级上·江苏淮安·期末）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是 ； (2)当取最小值时，x可以取整数 ； (3)最大值为 ； (4)的最小值为 ； 【解决问题】 (5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数－2的点之间的距离 (2)-1，0，1，2，3 (3)4 (4)7 (5)便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是 【分析】（1）根据题意即可得出结论； （2）的最小值表示有理数x的点到的点的距离与表示x的点到3的点的距离之和，x应该在和3之间的线段上，即可求出结果； （3）根据的几何意义是表示x的点到的距离减去x到3的距离，可得时取得最大值， 即可求出结果； （4）的几何意义是表示x的点到的点和到的点和到1的点的距离之和，由题意即可求出结果； （5）设便民服务点P在数轴上表示x的点处，由题意可得点P到各点的距离之和即，求出最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离． （2）解：根据题意可得， 的几何意义是数轴上表示有理数x到的距离与x到3的距离之和， ∴当时，取最小值， 即当x可以取整数，0，1，2，3； 故答案为：，0，1，2，3． （3）解：的几何意义是表示x的点到的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离， 时取得最大值， 的最大值是：． （4）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示x的点到表示的点和到表示的点和表示1的点的距离之和， 当表示x的点在表示的点到表示1的点的线段上，有最小值，即， 当时，的值最小，最小值为7； 故答案为：7． （5）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处， 根据题意可得，便民服务点到四点的距离为， 当表示x的点在表示的点到表示3的点的线段上，有最小值，即， 当时， 取得最小值，此时， 答：便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是． 【点睛】本题考查了数轴表示数的意义和绝对值的意义，理解绝对值的意义是解题的关键． 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）当 时，最小． 【答案】2 【分析】根据绝对值得性质可知，故当时，的值最小，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，的值最小， ∴当时，的值最小． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，理解并掌握绝对值非负数的性质是解题关键． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 2024 2 【分析】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与，2和2024三个数的距离之和是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， 即，， 故答案为：2024； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4， ∴，， ∵表示x与，2和2024三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值为2024； 故答案为：2． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若＋的值最小，则x的取值范围是 ． 【答案】－2≤x≤3 【分析】由绝对值的几何意义可知，表示数x的点在表示3和−2的点之间的线段上时，|x−3|＋|x＋2|的值最小，都等于5． 【详解】解：＋的几何意义是数轴上表示数x的点到3和－2的距离之和， 设数轴上表示数x、3、−2的点分别为A、B、C，易知BC＝5， ∴当点A不在线段BC上时，AB＋AC＞BC， 当点A在线段BC上时，AB＋AC＝BC， ∴x的取值范围是−2≤x≤3． 故答案为−2≤x≤3． 【点睛】本题考查了数轴以及绝对值的几何意义，数形结合是解答此类问题的常用方法． 4．（24-25七年级上·陕西汉中·阶段练习）先阅读材料，后探究相关的问题． 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示2.5的相反数点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B表示的数是______，点C表示的数是______，B，C两点之间的距离是______． (2)数轴上分别表示x与的两点F和D之间的距离可表示为______，如果F，D两点之间的距离为3，那么______． (3)若点E表示的数为y，则当______时，与的值相等； (4)要使||取得最小值，相应的z的取值范围是______． (5)当　　时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)，1，3.5； (2)，或2； (3)； (4)； (5)1，9． 【分析】本题考查了绝对值和数轴上两点的距离，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点． （1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离； （2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到的值两个； （3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围； （5）表示在数轴上点所对应的点分别与 1，，4 所对应的点的距离之和，讨论两点之间的距离最小即可． 【详解】（1）解：如图， 点与点即为所求，点表示的数是，点表示的数是1， ，两点之间的距离是， 故答案为：，1，3.5； （2）由题意得和之间的距离可表示为， ，两点之间的距离为3， ， 解得：或2， 故答案为：，或2； （3）与的值相等，则所对应的点到的距离，与所对应的点与2所对应的点的距离相等， 可得， ， 故答案为：； （4）要使取得最小值，则所对应的点在所对应的点和2所对应的点之间（包含端点）， 的取值范围是． （5）表示在数轴上点 所对应的点分别与 1，，4 所对应的点的距离之和． 当时，的值最小，最小值为9， 当时，的值最小，最小值为0， 所以当时，的值最小， 最小值为9． 故答案为：1，9． 5．（24-25七年级上·河南郑州·期中） 已知点A，B在数轴上分别表示a，b． 任务要求 （1）对照数轴填写下表： a 8 3 b 4 0 4 A，B两点间的距离 4 8 12 4 问题探究 （2）若A，B两点间的距离记为d，试问d和a，b有何数量关系． 问题拓展 （3）当x等于多少时，的值最小，最小值是多少? （4）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x-1|+|x-5|的值最小，最小值是多少? 【答案】（1）9，0；（2）；（3）当时，的值最小，最小值是6；（4）当点C表示的数在1和5之间(包括1和5)时，的值最小，最小值为4 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点间的距离的表示与应用，读懂题目信息，理解两点间的距离的求解是解题的关键． （1）根据数轴计算即可得解； （2）根据（1）的计算结果解答； （3）根据绝对值的性质解答； （4）根据题目信息，表示到1和5两个数的距离的最小值，从而判断出数C在1和5之间的所有的数． 【详解】解：（1）； ， 所以，从左到右依次填9，0 ． 故答案为：9；0； （2）若A，B两点间的距离记为d，则d和a，b之间的数量关系为：； （3）∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为6； （4）当点C表示的数在1和5之间（包括1和5）时，|的值最小，最小值为4． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可记为．例如表示5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为______． (2)若，则x＝______．若，则x＝______ (3)当整数x是______，取得最小值______． (4)若的值最小，最小值是______． 【答案】(1) (2)-1或3，-1 (3)-1，0，1，2，3；4 (4)7 【分析】（1）利用两点间的距离公式即可求解； （2）利用绝对值的性质进行求解即可； （3）分情况讨论，确定当时，取得最小值，即可获得答案； （4）利用数形结合的思想，确定当点A与点C重合时，的值最小，并计算最小值即可． 【详解】（1）解：数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为 ， 故答案为：； （2）∵， 或， 解得或； ∵， ∴或， 解得， 故答案为：-1或3，-1； （3）当时，， ∵， ∴； 当时，； 当时，， ∵， ∴； 综上所述，当，即当x取整数-1，0，1，2，3时，的值最小，最小值为4． 故答案为：-1，0，1，2，3；4； （4）设x表示的数为A，B表示的数为-3，C表示的数为1，D表示的数为4，如图所示， 由图像可知，当点A与点C重合时，的值最小， 即，此时． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了数轴与绝对值的知识，熟练掌握两点间的距离的表示方法是解题的关键． 7．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴填空： ①判断正负：a是 数，是 数（填“正”或“负”）； ②比较大小：a b， ； ③根据数轴化简：＝ ，＝ ． (2)数轴上，数a到原点的距离表示，即；类似的，数a到数2的距离可表示为 ； (3)应用：①如果要表示数a到3的距离是7，可记为：，那么a＝ ； ②当a取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】(1)①负，正；②<，>；③，； (2)； (3)①或10；②当时，最小，最小值为7，理由见解析． 【分析】（1）根据数轴得：，结合绝对值的定义即可解答； （2）根据题意可得数轴上两点间的距离等于两点之差的绝对值，由此可解； （3）①根据数a到3的距离是7可得a的值；②表示a到的距离和a到3的距离之和，由数轴可得：当表示a的点在左侧或3右侧时，距离之和大于7，当表示a的点在和3之间时，距离为7，此时最小，由此可解． 【详解】（1）①由数轴可得：， ∴， 即a是负数，是正数， 故答案为：负，正； ②，， 故答案为：<，>； ③∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）数轴上，数a到原点的距离表示，即；类似的，数a到数2的距离可表示为：， 故答案为：； （3）①∵， ∴， 解得：或10， 故答案为：或10； ②表示a到的距离和a到3的距离之和，由数轴可得：当表示a的点在左侧或3右侧时，距离之和大于7，当表示a的点在和3之间时，距离为7，此时最小， ∴当时，最小，最小值为7． 【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 8．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）已知在数轴上点，分别表示有理数，． (1)仔细阅读表格并对照数轴填空： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 (2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）； (3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值； (4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？ 【答案】(1)填表见解析； (2)； (3)当，的值总是一个固定值，为； (4)的最大值为，当时，的值最小，最小值为3． 【分析】（1）用较大的数减较小的数或作差加绝对值即可； （2）根据数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值即可得到答案； （3）读懂表示到和的距离之和，该问需要进行分类讨论； （4）根据可表示为到表示和1的点的距离之差最大，根据表示到和的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：填表如下： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 15 3.5 （2）解：到表示6和的点的距离之和为12的点所表示的整数在和之间的整数有；； （3）解：根据的几何意义是，到的距离之和， 如果值总是一个固定值，则， 这个固定值为：； （4）解：当时，， 当时，， 当时，， 故的最大值为； 根据可表示为到表示1和的点的距离之和，根据两点之间，线段最短， 即当时 得到的值最小为3． 【点睛】本题考查了数轴：数轴和绝对值的综合应用，数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值． 9．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是　　；数轴上表示2和3的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示a和的两点之间的距离是　　；数轴上表示a和5的两点之间的距离是　　； (3)若数轴上三个有理数a、b、c满足，，则的值为　； (4)当a＝　　时，的值最小，最小值是　　 【答案】(1)5；1 (2)或；或 (3)6或8 (4)1；7 【分析】（1）根据A、B两点之间的距离表示为，即可求解； （2）根据A、B两点之间的距离表示为，即可求解； （3）根据A、B、C三点位置，分类讨论，即可求解； （4）根据a、、1、4，对a的范围进行分类讨论，再化简绝对值，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示2和的两点之间的距离是；数轴上表示2和3的两点之间的距离是． 故答案为：5；1． （2）解：数轴上表示a和的两点之间的距离是或；数轴上表示a和5的两点之间的距离是或． 故答案为：或；或． （3）解：设， 当时，，， ； 当时，，， ； 综上，的值为6或8． 故答案为：6或8． （4）当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 由上可知，时，即时，的值最小，最小值是7． 故答案为：1；7． 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值的性质、分类讨论的数学思想，解题的关键是理解两数差的绝对值的几何意义是数轴上这两数之间的距离． 10．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）（1）问题引入：如图，在数轴上，点A、C之间的距离为，点B、D之间的距离为，则AB两点间的距离为__________；由此，数轴上任意两点E、F分别表示的数是m、n，则E、F两点间的距离可表示为____________． （2）问题拓展： 数轴上三个点1、2、，那么在数轴上1和2之间（包含1和2）的位置时，才能到1和2两点的距离和最小，由此，的最小值为______________．根据以上推理方法可求的最小值是_____________，此时x=______________． 【答案】（1）10，；（2）1，4，2 【分析】（1）运用数轴上任意两点、分别表示的数是、，则、两点间的距离可表示为进行求解； （2）根据x的位置得到，，再化简，再根据的几何意义得出结果． 【详解】解：（1）由题意可得，、两点间的距离为， 则、两点间的距离可表示为； （2）在数轴上1和2之间（包含1和2）的位置时，， ， 由题意得，表示在数轴表示的点到表示，2，3的点的距离之和， 当时，可取该式的最小值为． 【点睛】此题考查了运用数轴求解绝对值的能力，关键是能准确理解并将两者结合运用． 11．（24-25七年级上·河南平顶山·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础．我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离．如意义为表示5的点到原点的距离，也可理解为，即5到0点的距离．又如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________，数轴上表示1和的两点之间的距离是___________； (2)利用上面的知识回答：数轴上表示x和-1的两点A、B之间的距离是___________，如果，那么x的值为___________； (3)应用： 小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作x，妈妈上班地点记作1，小明学校记作2，那么距离和|的最小值是：___________． (4)拓展：的最小值是：___________． 【答案】(1)3，3，4 (2)，1或 (3)1 (4)625 【分析】（1）根据两点间的距离公式直接得出即可； （2）根据两点间的距离公式直接得出即可； （3）根据两点间线段最短，即可得到答案； （4）x在25～26之间和最小． 【详解】（1）解：根据两点间的距离公式得： ； 故答案为：； （2）根据两点间的距离公式得：=， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 故答案为：，或1； （3）根据两点之间线段最短可知，x在1～2之间， 即； 故答案为：1； （4）由（3）可知x在25～26之间， ， 故答案为：625． 【点睛】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是数轴上两点间的距离，两点之间线段最短这两个知识点的运用． 12．（24-25七年级上·河北保定·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)探究：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是________， ②数轴上表示和的两点之间的距离是_________， ③数轴上表示和3的两点之间的距离是_________； (2)归纳：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于_______． (3)应用：①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么______； ②若数轴上表示数a的点位于与3之间，求的值； ③当a取何值时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1)①3；②4；③7 (2) (3)①10或；②7；9 【分析】（1）①据数轴上两点距离公式求解即可；②据数轴上两点距离公式求解即可；③据数轴上两点距离公式求解即可； （2）据数轴上两点距离公式求解即可； （3）①直接解绝对值方程即可得到答案；②根据绝对值的意义化简求解即可；③分别讨论a的取值，化简绝对值即可得到答案． 【详解】（1）解：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是， 故答案为：3； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：4； ③数轴上表示和3的两点之间的距离是， 故答案为：7； （2）解：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于， 故答案为：； （3）解：①∵， ∴或， ∴或， 故答案为：10或； ②由题意得， ∴ ； ③当时，， 当时，； 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，当时，的值最小，最小为9． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，解绝对值方程，化简绝对值，熟知化简绝对值的方法是解题的关键． 13．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)　　；　　； (2)找出所有符合条件的整数x，使成立； (3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求 的值； (4)当　　时，的值最小，最小值是　　． 【答案】(1)2；6 (2) (3)10； (4)1，9． 【分析】（1）直接根据绝对值的意义求解即可； （2）分在左边，在1右边和在与1之间三种情况讨论求解即可； （3）直接化简绝对值即可； （4）分当时， 当时，当时，当时，当时，五种情况化简绝对值讨论求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：2；6； （2）解：∵与1的距离为3，表示x到1和到的距离之和为3， ∴当在左边时，x到1和到的距离之和为； 当x在1右边时，x到1和到的距离之和为， 当x在与1之间时，x到1和到的距离之和为， ∴符合题意的整数x为 （3）解：∵数轴上表示数a的点位于与6之间， ∴； （4）解：当时， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，的值最小，最小为9； 故答案为：1；9； 【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，化简绝对值，熟练掌握绝对值的相关知识是解题的关键． 14．（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知A、B在数轴上分别表示a，b． （1）知识准备：对照数轴填写下表： a 6 2 b 4 0 4 A、B两点的距离 （2）寻找规律：若A、B两点间的距离记为d，试问：d和a，b有何数量关系？ （3）探究1：在数轴上标出所有符合条件的整数点P，使它到10和的距离之和为20，并求所有这些整数的和； （4）探究2：找出（3）中满足到10和的距离之差大于1而小于5的整数的点P； （5）探究3：若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，取得的值最小？并求最小值？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3）-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，所有这些整数的和为0；（4）第（3）问中满足到10和的距离之差大于1而小于5的整数的点P 有：-2，-1，1，2；（5）点C的范围在时，取得的值最小，最小值为3． 【分析】（1）根据数轴的知识，结合表格中的数即可得出答案． （2）由（1）所填写的数字，即可得出结论． （3）由数轴的知识，可得出只要在-10和10之间的整数均满足题意． （4）根据（3）的式子即可得到结果； （5）根据绝对值的几何意义，可得出-1和2之间的任何一点均满足题意． 【详解】解：（1）填表如下： a 6 2 b 4 0 4 A、B两点的距离 2 6 10 2 12 0 （2）由（1）可得：； （3）结合数轴可知： 只要在-10和10之间的整数均满足到-10和10的距离之和为20，有：-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10， 所有满足条件的整数之和为：-10+（-9）+（-8）+（-7）+（-6）+（-5）+（-4）+（-3）+（-2）+（-1）+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=0； （4）第（3）问中满足到10和的距离之差大于1而小于5的整数的点P 有：-2，-1，1，2； （5）根据数轴的几何意义可得-1和2之间的任何一点均能使取得的值最小，最小值为3． 故可得：点C的范围在时，取得的值最小，最小值为3． 【点睛】本题主要考查了数轴，数的绝对值及两点间的距离，解答本题的关键是理解绝对值的几何意义，借助数轴解决问题． 15．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)， (2)当最大值为；当最小值为 (3)，最小值为 【分析】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，分类讨论是解题关键． （1）根据绝对值分类讨论求解即可； （2）根据绝对值分类讨论求解即可； （3）根据绝对值的几何意义即可求解； 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 16．（24-25七年级上·四川·阶段练习）我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么AB=|a-b|．(思考一下，为什么？)，利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5 的两点之间的距离是______，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是_______； （2）数轴上表示x和－1的两点A、B之间的距离是_______，如果|AB|=2，那么x的值为_______； （3）当x取何值时，式子|x－1|+|x－2|+|x－3|+ |x－4|+|x－5|的值最小，并求出这个最小值． 【答案】（1）3，3，4；（2）|x+1|，1或-3；（3）x=3，最小值为6 【分析】（1）根据两点间的距离的求法列式计算即可得解； （2）根据绝对值的几何意义列式计算即可得解； （3）根据数轴上两点间的距离公式得到式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的意义，从而分析出x=3时，式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的值最小． 【详解】解：（1）表示2和5 的两点之间的距离是|2-5|=3， 表示-2和-5的两点之间的距离是|-2-（-5）|=3， 表示1和-3的两点之间的距离是|1-（-3）|=4； （2）表示x和-1的两点A、B之间的距离是|x+1|， ∵|AB|=2， ∴|x+1|=2， ∴x+1=2或x+1=-2， 解得x=1或-3； （3）式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|表示x到数轴上1，2，3，4，5五个数的距离之和， ∴当x与3重合时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|有最小值，最小值为6，此时x=3． 【点睛】本题主要考查了数轴以及数轴上两点间的距离公式的综合应用，解决问题的关键是掌握：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．解题时注意：数轴上任意两点分别表示的数是a、b，则这两点间的距离可表示为|a-b|． 17．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）________；________； （2）当a为何值时，的值最小？最小值是多少？ （3）当a为何值时，的值最小，最小值是多少？提示：． 【答案】（1）2，6；（2）a=1，最小值为9；（3）a=1时，最小值为2n2+3n 【分析】（1）用绝对值定义可以求解； （2）取-5，1，4三个数的中间值即可，即a=1，则最小值为9； （3）依据（2）取1，-2，3…，2n+1的中间值1，从而计算最小值． 【详解】解：（1）|-4+6|=2，|-2-4|=6， 故答案为：2，6； （2）取-5，1，4三个数的中间值即可，即a=1， 则最小值为6+3=9； （3）依据（2）可得：1，-2，3…，-2n，2n+1的中间值为1， 则的最小值为： = = =2n2+3n． 【点睛】本题考查的是绝对值的定义，按照题目的逻辑思路即可求解，本题难度较大． 18．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）阅读下列材料：我们知道|a|的几何意义是在数轴上数a对应的点与原点的距离，即|a|＝|a﹣0|，也就是说，|a|表示在数轴上数a与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：|a﹣b|表示在数轴上数a与b对应点之间的距离． 例1　已知|a|＝2，求a的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点的对应数为﹣2和2，即a的值为2和﹣2． 例2　已知|a﹣1|＝2，求a的值． 解：在数轴上与1的距离为2点的对应数为3和﹣1，即a的值为3和﹣1． 仿照阅读材料的解法，解决下列问题： （1）已知|a|＝，求a的值； （2）已知|a+2|＝4，求a的值； （3）若数轴上表示a的点在﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　　； （4）当a满足　　时，则|a+4|+|a﹣2|的值最小，最小值是　　． 【答案】（1）﹣3或3；（2）﹣6或2；（3）6；（4）﹣4≤a≤2；6． 【分析】（1）由阅读材料中的方法求出a的值即可； （2）由阅读材料中的方法求出a的值即可； （3）根据a的范围判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果； （4）根据题意得出原式最小时a的范围，并求出最小值即可． 【详解】解：（1）|a|＝3，在数轴上与原点距离为3的点的对应数为﹣3和3，即a的值为﹣3或3； （2）|a+2|＝4，在数轴上与﹣2距离为4的点的对应数为﹣6和2，即a的值为﹣6或2； （3）根据题意得：﹣4＜a＜2，即a+4＞0，a﹣2＜0， 则原式＝a+4+2﹣a＝6； （4）当a满足﹣4≤a≤2时，最小值为2+4＝6． 故答案为6；﹣4≤a≤2；6． 【点睛】此题考查了数轴，以及绝对值，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键． 19．（23-24七年级上·福建厦门·期中）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示有理数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|．反之，可以理解式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x与有理数3的两点之间的距离． 根据上述材料，利用数轴解决下列问题： (Ⅰ)若|x﹣3|＝2，则x的值为______；若|x﹣5|＝|x+1|，则x的值为______； (Ⅱ)当x在什么范围时，|x﹣2|+|x﹣5|有最小值？并求出它的最小值； (III)若a＜2＜b，在数轴上是否存在数x，使得|x﹣a|+2|x﹣2|+|x﹣b|的值最小？若存在，请求出最小值及x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(Ⅰ)5或1；2；(Ⅱ)当2≤x≤5时，|x﹣2|+|x﹣5|有最小值，最小值是3；(Ⅲ)x＝2时，|x﹣a|+2|x﹣2|+|x﹣b|的值最小，最小值是b﹣a． 【分析】（Ⅰ）根据绝对值的意义直接求解即可； （Ⅱ）根据分类讨论的数学思想，分不同的情况可以求得|x-2|+|x-5|是否有最小值； （Ⅲ）由题意可知：|x-a|+2|x-2|+|x-b|表示数x分别与a、2、b的距离之和，则可求出x的值及最小值． 【详解】解：(Ⅰ)∵|x﹣3|＝2， ∴x﹣3＝±2， ∴x＝5或1， ∵|x﹣5|＝|x+1|， ∴x＝2， 故答案为5或1；2． (Ⅱ)当2≤x≤5时，|x﹣2|+|x﹣5|有最小值，最小值是3， 当x＞5时， x﹣2+x﹣5＝2x﹣7＞3， 当2≤x≤5时， x﹣2+5﹣x＝3， 当x＜2时， 2﹣x+5﹣x＝7﹣2x＞3， 故当2≤x≤5时，|x﹣2|+|x﹣5|有最小值，最小值是3； (Ⅲ)∵|x﹣a|+2|x﹣2|+|x﹣b|表示数x分别与a、2、b的距离之和， ∴x＝2时，|x﹣a|+2|x﹣2|+|x﹣b|的值最小， ∵a＜2＜b， ∴|x﹣a|+2|x﹣2|+|x﹣b|的最小值是2﹣a+b﹣2＝b﹣a． 故x＝2时，|x﹣a|+2|x﹣2|+|x﹣b|的值最小，最小值是b﹣a． 【点睛】本题考查了绝对值，数轴，读懂题目信息，理解数轴上两个数之间的距离的表示方法是解题的关键． 20．（24-25七年级上·四川达州·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题： 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离，|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离，|5|=|5-0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a-b|． （1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、-2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为________．（用含绝对值的式子表示） （2）利用数轴探究：①找出满足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是_______． ②设|x-3|+|x+1|=p，当x的值取在不小-1且不大于3的范围时，P的值是不变的，而且是p的最小，这个最小值是_______，当x的值取在_______的范围时，|x|+|x-2|取得最小值，这个最小值是_______ （3）求|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值为______，此时x的值为_______． （4）求|x-1|+|x-2|+|x-3|+．．．．．．+|x-2019|的最小值，并求此时x的取值范围（要求写解答过程） 【答案】（1）|x+2|+|x-1|；（2）①-2或4；②4，0≤x≤2，2；（3）4,2；（4）1019090，x=1010 【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案； （2）①根据两点间的距离公式，点在线段上，即可解答； ②分三种情形讨论，去掉绝对值符号再计算从而得出结论； （3）根据问题（2）中的探究②可知，要使|x-3|+|x+1|的值最小，x的值只要取-1到3之间（包括-1、3）的任意一个数，要使|x-2|的值最小，x应取2，显然当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式计算即 （4）因为1，2，3，…，2018，2019中居中的数是1010，再根据（2） 和（3）可知当x=1010时，代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+．．．．．．+|x-2019|有最小值； 【详解】解：（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x-1|， （2）①由绝对值的意义可知：|x-3|+|x+1|表示x点到3和-1之间的距离和，则满足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是-2或4； ②当x＜-1时，x+1＜0，x-3＜0，所以|x+1|+|x-3|=-（x+1）-（x-3）=-2x+2＞4； 当-1≤x≤3时，x+1≥0，x-3＜0，所以|x+1|+|x-3|=（x+1）-（x-3）=4； 当x＞3时，x+1＞0，x+3≥0，所以|x-3|+|x+1|=（x-3）+（x+1）=2x+2≥4； 综上所述，所以|x-1|+|x+3|的最小值是4，此时-1≤x≤3． 同理可得，|x|+|x-2|的最小值为2，此时0≤x≤2； （3）由（2）中的探究②可知，要使|x-3|+|x+1|的值最小，x的值只要取-1到3之间（包括-1、3）的任意一个数，要使|x-2|的值最小，x应取2，此时|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值为4 （4）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2019|表示的是x到1，2，3，…，2018，2019的距离之和， 当x取最中间的数时即x=1010时，代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+．．．．．．+|x-2019|有最小值； 因为|x-1|+|x-2019|有最小值为|2019-1|=2018； |x-2|+|x-2018|有最小值为|2018-2|=2016； …|x-1007|+|x-1009|有最小值为|1009-1007|=2； 此时最小值为：2018+2016+2014+…+2=2（1009+1008+1007+…+1）=（1009+1）1009=1019090 【点睛】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 绝对值中的八类最值模型 最值问题是初中阶段常作为压轴选填题来考查的知识点，也是想拿高分的学生必须掌握的知识点；绝对值中的最值模型是初中阶段第一个接触到的最值类问题，主要考查绝对值的性质、几何意义和代数意义，考查学生对分类讨论方法的掌握和数形结合的数学思维；解决此类问题，最重要的是掌握绝对值的几何意义，学会根据实际情况划分不同情形，同时借助于数轴的距离表示，将绝对值的最值模型彻底掌握。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.的最小值模型 4 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 7 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 12 模型5.型或型最值模型 14 模型6.绝对值最值模型的实际应用 15 模型7.绝对值相关运算与最值问题 18 模型8.绝对值最值中的新定义问题 21 15 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 1．（2024·江苏盐城·校考一模）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)计算： (2)利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7． (3)直接写出的最小值及此时x的取值范围． (4)直接写出最小值及此时x的值． 2．（2023·安徽安庆·一模）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律： ①当有最小值是 ． ②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ (4)知识迁移 最大值是 ，最小值是 ． 知识储备：①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 结论：根据绝对值的几何意义知：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 2.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 3.的最小值模型 结论：找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（）‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段（）‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 4.型或型最值模型 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 模型1.的最小值模型 例1（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知、在数轴上分别表示，． (1)可以利用数轴填写下表： 5 3 2 0 、两点的距离 (2)若、两点间的距离记为，试问：和有何数量关系？ (3)在数轴上标出所有符合条件的整数点，使它到3和的距离之和为6，并写出这些点对应的整数； (4)若点C表示的数为，当点C什么位置时，取得的值最小？最小值为多少？ 例2（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如； 在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示的点与的点之间的距离表示为； 可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为，即的最小值是，且此时的值为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示的点与的点之间的距离表示为__________； (2)的最小值是__________，此时的取值范围为__________； 例3（24-25六年级上·山东烟台·期中）已知A，B在数轴上分别表示数a，b． (1)对照数轴填写下表； a 6 b 4 0 5 2 A，B两点间的距离 2 6 0 (2)若A，B两点间的距离记为d，试问d与a，b有何数量关系？ (3)在数轴上找到所有符合条件的整数点P，使它到4和的距离之和为9，并求出所有这些整数的和． (4)数轴上表示x和的两点之间的距离可以表示为______． (5)若数轴上点C表示的数为x，当点C在什么位置时， ①的值最小？最小值是______． ②的值最小？最小值是______． 例4（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知M、N在数轴上分别表示m、n． (1)对照数轴填写下表： m 6 -4 -6 -8 -1.5 n 4 -1 2 3 -1.5 M、N两点的距离 2 0 (2)若M、N两点间的距离记为S，则S和m、n（m＜n）数量关系是　； (3)当数x满足时，取得的值最小． 模型2.的最小值和最大值模型 例1（24-25七年级上·湖北武汉·期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段，如：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为．代数式的最大值等于 ． 例2（2024·广东七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______． 例3（2024·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为____，数x与-1所对应的点的距离为____； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 模型3.的最小值模型 例1（24-25七年级上·江苏无锡·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是______； 表示-2和1两点之间的距离是________；一般地，数轴，上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|． (2)若|a-3|=6， |b+2|=3， 且数a､b在数轴上表示的数分别是点A､点B则A､B两点间的最大距是 最小距离是_________． (3)若数轴上表示数a的点位于-4与5之间，则|a+4|+|a-5|=_______． (4)当a= 时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小， 最小值是________． 例2（24-25七年级上·北京怀柔·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝ ．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 例3（24-25七年级上·江西上饶·期中）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如：数轴上表示4和1的两点之间的距离是|4﹣1|=3；表示﹣3和2两点之间的距离是|﹣3﹣2|=5． 根据以上材料，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）如果表示数和﹣2的两点之间的距离是3，那么=___________； （2）若数轴上表示数的点位于﹣4与2之间，那么的值是_____； 当_______时，的值最小，最小值是________． （3）依照上述方法，的最小值是________． 例4结合数轴与绝对值的知识解答下列问题： （1）数轴上表示 3 和 2 两点间的距离是 ； 表示﹣3 和 2 两点间的距离是 ； 一般地，数轴上表示数 m 和 n 两点间的距离= ； （2）如果在数轴上表示数 a 的点与﹣2 的距离是 3，那么 a= ； （3）如果数轴上表示数 a 的点位于﹣4 和 2 之间，求|a+4|+|a﹣2|的值； （4）当 a 取何值时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值为多少？请说明 理由； （5）直接回答：当式子|a+9|+|a+1|+|a﹣5|+|a﹣7|取最小值时，相应的 a 取值范围是什么？最小值是多少？ 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 例1（2024·重庆沙坪坝·七年级校考期中）已知为任意有理数，则的最小值为______． 例2（24-25七年级上·重庆江北·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______．(5)若，求的值． 例3（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）放飞自我：思考：数轴上的个点表示的数分别是，，…，，且，是数轴上一个点，其表示的数是，对于代数式，由绝对值的几何意义可得： 若为奇数时，当时，的值可取到最小；若为偶数，当时，的值可取到最小． (1)求的最小值．(2)求的最小值． 模型5.型或型最值模型 例1（24-25七年级上·江苏徐州·期中）当 时，的值最小． 例2（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）当 时，的值最小． 例3（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）当x= 时，的值最小. 例4（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1（24-25七年级上·四川巴中·期末）若数轴上两点分别表示数与数，则两点之间的距离是，例如表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．    (1)已知点在数轴上表示的数分别为，且． ①______，______． ②是数轴上任意一点，且点表示的数是，求的最小值． (2)某条街上有3家新开的自习室．小东的哥哥小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点．如图，小东家在处，自习室在小东家西边50米处，在小东家东边150米处，在小东家东边200米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值为多少？ 例2（24-25七年级上·浙江·专题练习）小张、小潘、小王和小吴住在同一条东西走向的街上，分别记为A、B、C和D四点，规定向东为正，以B为原点画成如下图所示的数轴．“十一”假期，他们准备结伴去温州乐园，现有网约车来载他们去． (1)从数轴看，点C表示的数是 　　，点D表示的数是 　　． (2)如果网约车从原点出发，依次接上小潘、小王和小吴后，再向西行驶2000个单位长度接到小张．请问小张家的位置在数轴上表示的数是多少？并将其在数轴上表示出来． (3)如果网约车先接小张、小潘和小王，车应停在哪里使他们三人走的路程之和最小？最小路程是多少？ (4)触类旁通：的最小值是 　　．（直接写出答案） 例3（24-25七年级上·河南郑州·期中）学习过绝对值之后，我们知道:|5－2|表示 5 与 2 的差的绝对值，实际上也可理解为 5 与 2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离：|5+2|表示 5 与－2 的差的绝对值，实际上也可理解为 5 与－2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离. 试探究解决以下问题： ⑴|x+6|可以理解为 与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离； ⑵找出所有符合条件的整数 x，使|x+1|+|x－2|=3 成立； ⑶如图，在一条笔直的高速公路旁边依次有 A、B、C 三个城市，它们距高速公路起点的距离分别是 567km、689km、889km.现在需要在该公路旁建一个物流集散中心 P，请直接指出该物流集散中心 P 应该建设在何处，才能使得 P 到三个城市的距离之和最小?这个最小距离是多少？ 例4（24-25七年级上·陕西西安·期中）问题提出 (1)点，在数轴上分别表示实数，，，两点之间的距离可表示为． 代数式的几何意义是表示有理数的点到表示数2的点与表示数的点的距离之和．利用几何意义，可求得的最小值为___________． (2)问题探究 如图，点，，，在数轴上分别表示的数为，，，，是数轴上一动点，从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，当点出发___________秒后，到，，三点的距离和最小，此时点所处位置对应的数字为___________，此时到，，三点的距离之和的最小值为___________． (3)问题解决 同心抗疫，情暖居民．疫情防控期间，某一直线沿街有9个小区，依次记为，假定相邻两个小区间隔相同，将这个间隔记为100米．社区想为这9个小区的居民提供防疫物资，决定在路旁建立一个物资供应站．请问点选在何处，才能使这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小？最小值是多少？ 模型7.绝对值相关运算与最值问题 例1（24-25七年级上·陕西西安·期中）问题背景 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为． 问题探究 (1)若，则　 　． (2)若，则　 　． (3)若，则　 　． 问题解决 (4)若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足且的值最小，则两个点M、N之间的距离是 　 　． 例2（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）表示－3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m－n|，如果表示数a和－1的两点之间的距离是2，那么a＝ ． （2）若数轴上表示数a的点位于－2与4之间，求|a－4|＋|a＋2|的值． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x＋2|＋|x－5|＝7，这些点表示的数的和是 ． （4）当a＝ 时，|a＋3|＋|a－1|＋|a－4|的值最小，最小值是 ． 例3同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：        （1）_____，这个算式利用数轴可理解为__________； （2）求使成立的所有整数； （3）求出使成立的所有整数； （4）如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 例4（24-25七年级上·陕西西安·期中）阅读材料：在数轴上表示两个数的点之间的距离可以表示为，比如表示3的点与-2的点之间的距离表示为；可以表示数的点与表示数1的点之间的距离与表示数的点与表示数-2的点之间的距离的和，根据上述材料，回答下列问题：      （1）解方程   （2）的最小值是 ． （3）的最小值是 此时的值为 ． 拓展推广：如图所示：当表示数的点在点和点之间(包含点和点)时，表示数的点与点的距离与表示数的点和点的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时的取值范围为 （4）已知数满足则的最小值是 最大值是 ． （5）当的最小值是4.5时，求出的值及对应的值或取值范围． 模型8.绝对值最值中的新定义问题 例1（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 例2（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 例3（24-25七年级上·福建龙岩·期中）定义： 若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． 理解： （1）数轴上表示数和5的两点之间的距离是_____（用含的代数式表示）； （2）若，则的值为_____； （3）若，则的值为_____； （4）当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们分别有快递车16辆，8辆，4辆，12辆．为了使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动若干辆车．请你设计3种不同的调动车辆方案，使得调动车辆的总数最少，并直接写出调动的最少车辆数． 例4（24-25七年级上·江苏淮安·期末）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是 ； (2)当取最小值时，x可以取整数 ； (3)最大值为 ； (4)的最小值为 ； 【解决问题】 (5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）当 时，最小． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若＋的值最小，则x的取值范围是 ． 4．（24-25七年级上·陕西汉中·阶段练习）先阅读材料，后探究相关的问题． 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示2.5的相反数点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B表示的数是______，点C表示的数是______，B，C两点之间的距离是______． (2)数轴上分别表示x与的两点F和D之间的距离可表示为______，如果F，D两点之间的距离为3，那么______． (3)若点E表示的数为y，则当______时，与的值相等； (4)要使||取得最小值，相应的z的取值范围是______． (5)当　　时，的值最小，最小值是______． 5．（24-25七年级上·河南郑州·期中） 已知点A，B在数轴上分别表示a，b． 任务要求 （1）对照数轴填写下表： a 8 3 b 4 0 4 A，B两点间的距离 4 8 12 4 问题探究 （2）若A，B两点间的距离记为d，试问d和a，b有何数量关系． 问题拓展 （3）当x等于多少时，的值最小，最小值是多少? （4）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x-1|+|x-5|的值最小，最小值是多少? 6．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可记为．例如表示5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为______． (2)若，则x＝______．若，则x＝______ (3)当整数x是______，取得最小值______． (4)若的值最小，最小值是______． 7．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴填空： ①判断正负：a是 数，是 数（填“正”或“负”）； ②比较大小：a b， ； ③根据数轴化简：＝ ，＝ ． (2)数轴上，数a到原点的距离表示，即；类似的，数a到数2的距离可表示为 ； (3)应用：①如果要表示数a到3的距离是7，可记为：，那么a＝ ； ②当a取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 8．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）已知在数轴上点，分别表示有理数，． (1)仔细阅读表格并对照数轴填空： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 (2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）； (3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值； (4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？ 9．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是　　；数轴上表示2和3的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示a和的两点之间的距离是　　；数轴上表示a和5的两点之间的距离是　　； (3)若数轴上三个有理数a、b、c满足，，则的值为　； (4)当a＝　　时，的值最小，最小值是　　 10．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）（1）问题引入：如图，在数轴上，点A、C之间的距离为，点B、D之间的距离为，则AB两点间的距离为__________；由此，数轴上任意两点E、F分别表示的数是m、n，则E、F两点间的距离可表示为____________． （2）问题拓展： 数轴上三个点1、2、，那么在数轴上1和2之间（包含1和2）的位置时，才能到1和2两点的距离和最小，由此，的最小值为______________．根据以上推理方法可求的最小值是_____________，此时x=______________． 11．（24-25七年级上·河南平顶山·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础．我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离．如意义为表示5的点到原点的距离，也可理解为，即5到0点的距离．又如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________，数轴上表示1和的两点之间的距离是___________； (2)利用上面的知识回答：数轴上表示x和-1的两点A、B之间的距离是___________，如果，那么x的值为___________； (3)应用： 小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作x，妈妈上班地点记作1，小明学校记作2，那么距离和|的最小值是：___________． (4)拓展：的最小值是：___________． 12．（24-25七年级上·河北保定·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)探究：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是________， ②数轴上表示和的两点之间的距离是_________， ③数轴上表示和3的两点之间的距离是_________； (2)归纳：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于_______． (3)应用：①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么______； ②若数轴上表示数a的点位于与3之间，求的值； ③当a取何值时，的值最小，最小值是多少？ 13．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)　　；　　； (2)找出所有符合条件的整数x，使成立； (3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求 的值； (4)当　　时，的值最小，最小值是　　． 14．（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知A、B在数轴上分别表示a，b． （1）知识准备：对照数轴填写下表： a 6 2 b 4 0 4 A、B两点的距离 （2）寻找规律：若A、B两点间的距离记为d，试问：d和a，b有何数量关系？ （3）探究1：在数轴上标出所有符合条件的整数点P，使它到10和的距离之和为20，并求所有这些整数的和； （4）探究2：找出（3）中满足到10和的距离之差大于1而小于5的整数的点P； （5）探究3：若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，取得的值最小？并求最小值？ 15．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 16．（24-25七年级上·四川·阶段练习）我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么AB=|a-b|．(思考一下，为什么？)，利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5 的两点之间的距离是______，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是_______； （2）数轴上表示x和－1的两点A、B之间的距离是_______，如果|AB|=2，那么x的值为_______； （3）当x取何值时，式子|x－1|+|x－2|+|x－3|+ |x－4|+|x－5|的值最小，并求出这个最小值． 17．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）________；________； （2）当a为何值时，的值最小？最小值是多少？ （3）当a为何值时，的值最小，最小值是多少？提示：． 18．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）阅读下列材料：我们知道|a|的几何意义是在数轴上数a对应的点与原点的距离，即|a|＝|a﹣0|，也就是说，|a|表示在数轴上数a与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：|a﹣b|表示在数轴上数a与b对应点之间的距离． 例1　已知|a|＝2，求a的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点的对应数为﹣2和2，即a的值为2和﹣2． 例2　已知|a﹣1|＝2，求a的值． 解：在数轴上与1的距离为2点的对应数为3和﹣1，即a的值为3和﹣1． 仿照阅读材料的解法，解决下列问题： （1）已知|a|＝，求a的值； （2）已知|a+2|＝4，求a的值； （3）若数轴上表示a的点在﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　　； （4）当a满足　　时，则|a+4|+|a﹣2|的值最小，最小值是　　． 19．（23-24七年级上·福建厦门·期中）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示有理数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|．反之，可以理解式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x与有理数3的两点之间的距离． 根据上述材料，利用数轴解决下列问题： (Ⅰ)若|x﹣3|＝2，则x的值为______；若|x﹣5|＝|x+1|，则x的值为______； (Ⅱ)当x在什么范围时，|x﹣2|+|x﹣5|有最小值？并求出它的最小值； (III)若a＜2＜b，在数轴上是否存在数x，使得|x﹣a|+2|x﹣2|+|x﹣b|的值最小？若存在，请求出最小值及x的值；若不存在，请说明理由． 20．（24-25七年级上·四川达州·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题： 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离，|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离，|5|=|5-0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a-b|． （1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、-2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为________．（用含绝对值的式子表示） （2）利用数轴探究：①找出满足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是_______． ②设|x-3|+|x+1|=p，当x的值取在不小-1且不大于3的范围时，P的值是不变的，而且是p的最小，这个最小值是_______，当x的值取在_______的范围时，|x|+|x-2|取得最小值，这个最小值是_______ （3）求|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值为______，此时x的值为_______． （4）求|x-1|+|x-2|+|x-3|+．．．．．．+|x-2019|的最小值，并求此时x的取值范围（要求写解答过程） 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$