专题24 角和角的相关计算（6知识点+12大题型+5大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题24 角和角的相关计算 （6知识点+12大题型+5大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：12大核心考点精准练+5大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）下列图形中，角是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 B．两条射线就组成了角 C．角可以看成由一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置而形成的图形 D．角的两边越短，角越小 3．（24-25七年级上·浙江·期末）如图，图中小于平角的角有 个． 知识点2：角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 【即时训练】 4．（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）将化成度、分、秒的形式为 ． 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习） ． 6．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）计算： (1)（结果用度、分、秒表示）． (2)（结果用度表示）． 知识点3：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【即时训练】 7．（24-25七年级上·浙江丽州·阶段练习）从12时到12时15分，分针旋转形成的角是（   ） A．周角 B．平角 C．直角 8．为节约用电，某地将路灯设置为如下工作模式：每亮灯20分钟就熄灭40分钟．某日小李值夜班，发现路灯共开启11次，凌晨5点最后一次关闭．则第 次关灯时，手表的时针与分针首次呈60度角． 9．刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时， (1)时分针和时针的夹角为多少度？ (2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？ 知识点4：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点 【即时训练】 10．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）为了提高学生体质，2025年新学期国家出台了“中小学课间延长至15分，每天1节体育课”政策，孩子们有了更多时间进行体育锻炼．如图，有一次大课间，A、B两处均有学生在练跳绳，为了减少练跳绳时相互干扰，小红同学就拿着跳绳走到了的平分线上的处，则处相对观测点的方向为（     ） A．南偏东 B．东偏南 C．南偏东 D．东偏南 11．如图，某海域有三个小岛，在小岛处观测，小岛在它北偏东的方向上，同时观测到小岛在它南偏东的方向上，则 ． 12．（24-25七年级上·浙江·期末）如图，一艘渔船从海上点E处开始绕点O航行，已知点E在点O的北偏东方向上，航行到点C时，测得． (1)求的度数； (2)直接写出渔船到达的点C在点O的什么方向？ 知识点5：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 【即时训练】 13．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知为直线上一点，，平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）如图，直线和相交于点O，平分，，若，则的度数为 ． 15．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知，是直角，平分，求的度数． 知识点6：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【即时训练】 16．计算： （1）； （2）． 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型1 角的相关概念】 1．下列说法中不正确的是（　　） A．由两条射线所组成的图形叫作角 B．的顶点是点 C．和表示同一个角 D．角的两边是两条射线 2．如图，还可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．如图所示的图形中有 个小于平角的角，写出以为一边的所有角： ． 4．一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为 个． 5．如图，写出符合下列条件的角（题中所有的角均指小于平角的角）． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以点A为顶点的角； (3)图中所有的角（可用简便方法表示）． 【题型2 钟面角计算】 6．钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 7．学校下午考试，考试时间为90分钟，则考试结束时时针与分针所夹锐角为（    ） A． B． C． D． 8．如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时时，时针走过的度数是 ． 9．规律作息可以使人体有充分的时间休息，为养成良好的作息习惯，小明坚持晚上点分入睡，此时时针与分针的夹角为 度． 10．某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间？ 【题型3 角的单位与角度制】 11．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 12．下列角度换算错误的是（   ） A． B． C． D． 13． 度 分 秒 14．把化成用度表示的角为 ． 15．把化为以度为单位，结果是 【题型4 角的四则运算】 16．计算： (1) (2) 17．计算： (1)； (2) 18．计算： (1)； (2)． 19．计算： (1)； (2)． 20．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型5 方向角的表示与计算】 21．如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则的方位角是(    ) A．北偏西方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．南偏东方向 22．甲、乙、丙三家的位置如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．丙家在甲家北偏西方向 B．甲家在丙家南偏东方向 C．甲家在乙家南偏西方向 D．丙家在乙家北偏东方向 23．如果图书馆在学校南偏西方向上，距离400米，那么还可以说图书馆在学校的 方向上，距离 米． 24．如图，狮虎园和大象馆是动物园的两个热门景点，用A，B，C分别表示大门、狮虎园、大象馆，经测量，狮虎园（B）在大门（A）的南偏东方向，大象馆（C）在大门（A）的北偏东方向，则的度数是 ． 25．如图①，货轮停靠在码头O，发现灯塔A在它的东北（北偏东）方向上，货轮在码头O的西北方向上，货轮在码头O的南偏西方向上． (1)仿照表示灯塔A方位的方法，画出表示货轮B方位的射线，再画出表示货轮P方位的射线． (2)如图（2），两艘货轮从码头O出发，货轮向北偏东的方向航行，货轮向北偏西的方向航行，求的度数． 【题型6 角的度数大小比较】 26．已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 27．如图，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．与的大小关系不确定 28．比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 29．已知则的大小关系是 ． 30．火眼金睛（寻找错误并纠正）：和相等吗？若不相等，哪一个大？ 解：∵，， ∴． 【题型7 三角板中角度计算问题】 31．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 32．如图是内部的一条射线，把三角尺的角的顶点放在点O处，转动三角尺，当三角尺的边平分，三角尺的另一边也正好平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．如图，把一副三角尺的直角顶点O重叠在一起，，若平分，则 °． 34．一副三角板如图摆放，已知，，若，则 ． 35．如图，将一副三角尺叠放在一起，使它们的直角顶点重合． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【题型8 几何图形中角度计算问题】 36．如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 37．如图，已知，，点、、在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 38．如图，一副三角板，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是 ． 39．如图，，，若平分，则的大小为 ． 40．如图，直线，相交于点O，且． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【题型9 实际问题中角度计算问题】 41．如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 42．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（    ） A．150° B．120° C．130° D．140° 43．“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为 ． 44．如图，把一个蛋糕等分成8份，每份的圆心角度数是 ． 45．一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置． (1)________； (2)若与两角之比是，求的度数． 【题型10 角平分线的有关计算】 46．如图所示，是的平分线，是的平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 47．如图，，，是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 48．如图，直线、交于点，若，射线平分，那么 ． 49．点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，如图，三角板的一边与射线重合将如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线， ． 50．【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点分别是和的中点． ①若，则线段 ； ②若，则线段 ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数； 【拓展探究】 （3）已知在内部的位置如图③所示，，，且，，请直接写出 ．（用含的式子表示） 【题型11 角n等分线的有关计算】 51．如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 52．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 53．如图，已知，平分，且，则的度数为 ． 54．如图，已知，是的三等分线，射线在内部，且，则的大小等于 ． 55．如图，点，，在同一直线上，，，是的一条靠近边的三等分线． (1)求的度数； (2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 【题型12 角的新定义计算】 56．我们定义：若两个角的差的绝对值等于，则称这两个角互为“正角”．如： ，，则和互为“正角”．如图，已知，射线平分在的内部，若，则图中互为“正角”的共有 对．    57．定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 58．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 59．定义：从一个角（小于）的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所构成的角等于这个角的，那么这两条射线所构成的角叫做这个角的“三分角”．如图1所示，若，则是的“三分角”．    (1)如图1，已知，，是的“三分角”，求的度数． (2)如图2，已知，是的平分线，射线从出发，绕点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当是的“三分角”时，求t的值． 60．定义：如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线在的“妙分线”． (1)如图1，若，且射线在的“妙分线”，求的度数． (2)如图2，若，射线绕点P从位置开始，以每秒8°的速度顺时针旋转，同时，射线绕点P以每秒的速度顺时针旋转，当与成时，射线，射线同时停止旋转，设旋转的时间为t秒，求t为何值时，射线是的“妙分线”． 【拓展训练一 方向角、钟面角计算综合】 61．如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 62．刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型（点和点是表带的两端，点、、、在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若是中点，求：手表的全长． (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，琪琪一看现在正好是，如图③所示．则时分针和时针的夹角为__________度． 63．综合与探究 时钟是生活中常用的一种计时器，人们常通过时钟记录时间．下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据下表给出的国外四个城市与北京的时差，请回答问题： 城市 时差/h 纽约 悉尼 伦敦 罗马 (1)悉尼时间对应的是时钟______（填写：A或B或C或D）；时钟A表示的城市是______． (2)在如图表示北京时间的时钟内，此时秒针与分针重合： 秒针每秒转过______°；分针每秒转过______°；时针每秒转过______° (3)在4点整以后的1分钟内，经过多长时间，秒针恰好平分时针与分针形成的角？ 【拓展训练二 三角板中角度计算综合】 64．如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为∠的角平分线时，求此时的值； (2)当旋转至∠的内部时，求∠与∠的数量关系． 65．一副三角尺按照如图所示的方式摆放在量角器上，边与量角器0刻度线重合，边与量角器刻度线重合，，．将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动．设三角尺的运动时间为秒． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数（内圈刻度）为__________°． (2)__________时，边平分． (3)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 66．综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是________，的度数________，的度数是________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【拓展训练三 几何图形中角度计算综合】 67．如图，，以O为顶点，为一边作，，分别平分与． (1)如图1，若射线在内部，锐角，则=_______°； (2)如图2，若射线在外部，锐角，求的度数； (3)将问题（2）中“锐角”改为“为任意大小的钝角”，其余条件不变，能否求出的度数？若能，求出的度数；若不能，说明理由． 68．如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． (1)若，则______． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； (3)对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． ①若，，求； ②请你猜想，和会有怎样的数量关系，直接写出你的结论． 69．如图1，已知线段，线段在线段上运动（点C在A 点右侧，点D在B点左侧，且点C不与点A重合，点D不与点B重合，），点E、F分别是的中点． (1)若，则 ； (2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由； (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，、分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，求的度数． 【拓展训练四 角平分线的有关计算综合】 70．数学活动课上，老师以直线上一点为端点作射线，使平分，平分． (1)如图1，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点处，即，则的度数为___________； (2)受“兴趣小组”的启发，如图2，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点处，即，求的度数； (3)如图3，已知，求的度数（用含的式子表示）． 71．探究学习，寻求真知 (1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点． ①若，则______； ②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由． (2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由． (3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）． 72．如图，在同一平面内将一副透明的三角尺的直角顶点重合在O 处，且 均小于． (1)当两三角尺的位置是图（1）位置时，请填写： ① （填“>”或“<”或“=”）． ②和的数量关系是： ． (2)当两三角尺的位置是图（2）位置时，第（1）问中： ①和 的大小关系是否成立 （填“是”或“否”）． ②和 的数量关系是否成立 （填“是”或“否”）． (3)当两三角尺的位置是图（3）位置时，若分别是 的平分线，求的度数． 【拓展训练五 动角计算问题】 73．综合与实践 【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线． (1)【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数； (2)【探究发现】若射线在的内部绕点旋转，请判断的大小是否为定值，并说明理由； (3)【拓展延伸】若射线从出发，绕着点顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写计算过程）． 74．【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动：已知，是一条射线，射线，分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则______． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点O旋转至任一位置，则的度数是否发生变化．请说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点O按顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 75．综合与探究 活动情境： 数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 问题情境： （1）老师将三角尺和三角尺按如图所示摆放在直线上，边落在直线上，，已知，则______°； 合作探究： （2）奋进小组将图中三角尺绕点C按逆时针方向进行旋转，当边首次落在直线上时则停止旋转．若三角尺以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒，请你帮忙解答下列问题： ①当______秒时，边落在边上； ②当平分时，_____秒； ③当______秒时，停止旋转． 深度探究： （3）腾飞小组受奋进小组的启发，继续在上图的基础上进行旋转探究：同时将三角尺和三角尺绕点C旋转，三角尺以每秒的速度逆时针旋转，三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时，两三角尺都停止旋转． 提出问题：求t为何值时，？ 1．超市在学校南偏东方向，那么学校在超市的（   ）． A．北偏西方向 B．南偏东方向 C．南偏东方向 D．北偏西方向 2．，，关于两个角的大小，下列正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．将一副三角板按如图所示放置，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．如图，直线相交于点，，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．尺规作图：作一个角等于已知角． 如图1，已知：．求作：，使． 下面是打乱顺序的作图步骤： ①如图3，经过点画射线，则即为所求． ②如图3，以点为圆心，长为半径画弧，与已画的弧相交于点； ③如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C、D； ④如图3，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ⑤如图3，画射线．则正确的作图顺序为（    ） A．⑤③④②① B．⑤④③②① C．⑤③②④① D．③④②⑤① 6．如图，两个直角和有公共顶点O， 下列结论： ①； ②； ③； ④若平分， 则平分 ． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是（    ） A． B． C． D． 8．如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 9．2021年5月29日20时55分，中国在文昌航天发射场用长征七号遥三运载火箭成功发射天舟二号货运飞船．时，时针与分针的较小夹角是 度． 10．已知，请你比较大小： （填“或或”）． 11．将一副直角三角尺如图放置，其中，，若，则的度数为 （结果以“”为单位）． 12．如图，是直线上一点，平分， ，若， 则 13．如图，已知是内部的一条射线，图中有三个角：，和，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线为的“巧分线”，如果且是的“巧分线”，则的度数为 ． 14．如图1，点、、依次在直线上．现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度转动．直线保持不动，如图2．设转动时间为秒．转动过程中，当时，t的值为 ． 15．（1）； （2）． 16．（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． _______              _______                 _______                    _______ （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ 17．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，已知，点在射线上． (1)在射线上取一点，使； (2)以（1）中作出的点为顶点，为一边，在外作，使得． 18．在同一平面内已知，平分平分． (1)当，求的度数； (2)在做题过程中聪聪同学认为就算不知道的度数，也能求的度数，请你在的度数未知的情况下，求的度数． 19．综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，其中，，． (1)操作判断 若，则______；若，则______； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 20．我们常借助直角三角板进行一些数学问题的探究．如图1所示，在直角三角板中，，，点在直线上，先将边与重合，然后将三角板绕着点按每秒1度的速度顺时针旋转，旋转后的三角板记作，设运动时间为秒，且． (1)当与重合时，______； (2)当时，求的值； (3)如果把原题中的直角三角板换成普通的三角形纸片，不妨设，其他条件不变，在的内部作一条射线，使，如果在旋转过程中，始终有成立，直接写出与的数量关系． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24 角和角的相关计算 （6知识点+12大题型+5大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：12大核心考点精准练+5大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）下列图形中，角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念，根据角的概念判断即可． 【详解】解：根据角的概念“有公共端点的两条射线组成的图形叫作角”判断． 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 B．两条射线就组成了角 C．角可以看成由一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置而形成的图形 D．角的两边越短，角越小 【答案】C 【分析】本题考查了角的相关定义，熟练掌握角的两种定义是解答的关键，注意：角的两边是两条射线，并非直线和线段． 【详解】解： A. 有公共端点的两条线段组成的图形叫做角，这个说法是错误的， 角是由两条射线（不是线段）组成的，它们有一个公共端点，称为角的顶点； B. 两条射线就组成了角，这个说法也不够准确， 两条射线必须有一个公共端点才能组成角； C. 角可以看成由一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置而形成的图形，这个说法是正确的， 角可以被看作是一条射线（称为始边）绕着它的端点旋转到另一条射线（称为终边）所形成的图形； D. 角的两边越短，角越小，这个说法是错误的， 角的大小与边的长度无关，而是由两条边之间的夹角决定； 因此，正确答案是 C， 故选：C． 3．（24-25七年级上·浙江·期末）如图，图中小于平角的角有 个． 【答案】10 【分析】此题考查的是角的概念．根据题意，写出所有小于平角的角即可得出结论． 【详解】解：图中小于平角的角有：、、、、 、、、 、、 ，共有10个 故答案为：10． 知识点2：角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 【即时训练】 4．（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）将化成度、分、秒的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算．根据度分秒的进制进行计算，即可解答 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习） ． 【答案】 34 22 12 【分析】本题考查了度、分、秒的换算，熟练掌握1度分，即，1分秒，即是解题的关键． 根据度、分、秒的换算法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：34，22，12． 6．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）计算： (1)（结果用度、分、秒表示）． (2)（结果用度表示）． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了角的加减运算，度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）同级单位相加进行计算，即可解答； （2）分化成度，相减进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点3：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【即时训练】 7．（24-25七年级上·浙江丽州·阶段练习）从12时到12时15分，分针旋转形成的角是（   ） A．周角 B．平角 C．直角 【答案】C 【分析】本题主要考查角的概念及分类．解答时可以根据时整的时候，时针和分针重合，都在上，当12时15分时，分针在3上，此时分针旋转形成的角是直角． 【详解】解：因为时整的时候，时针和分针重合在12位置上，当12时15分时，分针在3位置上， 所以12时15分时分针旋转形成的角是直角． 故选：C． 8．为节约用电，某地将路灯设置为如下工作模式：每亮灯20分钟就熄灭40分钟．某日小李值夜班，发现路灯共开启11次，凌晨5点最后一次关闭．则第 次关灯时，手表的时针与分针首次呈60度角． 【答案】4 【分析】此题考查了钟面角，首先求出两次亮灯之间相隔，然后判断出第一次开灯为前一天下午6点40，到凌晨5点共11次，进而逐步求解即可． 【详解】解：∵每亮灯20分钟就熄灭40分钟 ∴两次亮灯之间相隔， ∵凌晨5点最后一次关灯， ∴第一次开灯为前一天下午6点40，到凌晨5点共11次． ∴时，时针、分针的最小夹角为； 时，时针、分针的最小夹角为； 时，时针、分针的最小夹角为； 时，时针、分针的最小夹角为； ∴第4次关灯时，手表的时针与分针首次呈60度角． 故答案为：4． 9．刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时， (1)时分针和时针的夹角为多少度？ (2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？ 【答案】(1)时分针和时针的夹角为75度； (2)经过分钟，时针与分针第一次相遇． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据手表上的数字之间的角度和时针运动的速度求解； （2）根据“分钟与时针的角度差为75”列方程求解． 【详解】（1）解：时针每分钟转， 时分针和时针的夹角为：， （2）解：设经过分钟，时针与分针第一次相遇， 则：， 解得：， 答：经过分钟，时针与分针第一次相遇． 知识点4：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点 【即时训练】 10．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）为了提高学生体质，2025年新学期国家出台了“中小学课间延长至15分，每天1节体育课”政策，孩子们有了更多时间进行体育锻炼．如图，有一次大课间，A、B两处均有学生在练跳绳，为了减少练跳绳时相互干扰，小红同学就拿着跳绳走到了的平分线上的处，则处相对观测点的方向为（     ） A．南偏东 B．东偏南 C．南偏东 D．东偏南 【答案】C 【分析】本题考查了方位角与角的和与差，根据、两点的方位可知，根据点在的平分线上，可知，因为．所以处相对观测点的方向为南偏东． 【详解】解：由图象可知：， ， 平分， ， ∴处相对观测点的方向为南偏东． 故选：C． 11．如图，某海域有三个小岛，在小岛处观测，小岛在它北偏东的方向上，同时观测到小岛在它南偏东的方向上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，角度的计算，根据题意可得：，然后利用平角定义，进行计算即可解答． 【详解】由题意得： ， ． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·浙江·期末）如图，一艘渔船从海上点E处开始绕点O航行，已知点E在点O的北偏东方向上，航行到点C时，测得． (1)求的度数； (2)直接写出渔船到达的点C在点O的什么方向？ 【答案】(1) (2)渔船到达的点C在点O的北偏西方向上 【分析】本题考查的是与方向角有关的计算，解题的关键是熟练掌握方向角之间的大小关系． （1）根据角的和差解答即可； （2）先根据角的和差求出的度数，则点C的位置即可判断． 【详解】（1）解：∵点E在点O的北偏东方向上， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴渔船到达的点C在点O的北偏西方向上． 知识点5：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 【即时训练】 13．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知为直线上一点，，平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义及角的和差计算，邻补角互补求角度等知识点． 先由求出，再根据角平分线求出，最后根据邻补角求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 14．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）如图，直线和相交于点O，平分，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质，平角的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．根据角平分线的性质求得，再根据平角的性质，即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 15．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知，是直角，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，根据角平分线的定义得到，再由直角的定义可得，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】解；∵，平分， ∴， ∵是直角，即， ∴． 知识点6：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【即时训练】 16．计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题是考查了角度制中的度分秒计算，解题关键是掌握度分秒是六十进制． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度． （2）两个度数相减时，度与度，分与分对应相减，应先算最后一位，后面的位上的数不够减时向前一位借数． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的换算和计算，熟知进率、正确计算是解题关键.. （1）先进行度、分、秒的除法计算，再算加法． （2）先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法． 【详解】（1）解： （2） 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了角度的运算，注意是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若不够减，则借位后再减； （3）进行角的乘法运算，应将度分秒分别与6相乘，然后依次进位； （4）一个度数除以一个数，则从度位开始除起，余数变为分，分的余数变为秒． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型1 角的相关概念】 1．下列说法中不正确的是（　　） A．由两条射线所组成的图形叫作角 B．的顶点是点 C．和表示同一个角 D．角的两边是两条射线 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的定义，根据定义对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A．有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，故此选项错误，符合题意； B．的顶点是点O，正确，不合题意； C．和表示同一个角，正确，不合题意； D．角可以看做一条射线绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形，正确，不合题意； 故选：A． 2．如图，还可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的表示，理解角的表示方法是解题的关键．根据角的表示方法，即可获得答案． 【详解】解：还可以表示为， 故选：C． 3．如图所示的图形中有 个小于平角的角，写出以为一边的所有角： ． 【答案】 7 ，，， 【分析】本题考查了角的表示及分类熟练掌握角的表示及分类是解答本题的关键．根据角的表示方法及角的分类，即可得到答案． 【详解】题图中小于平角的角有，，，，，，，共7个；其中以为一边的角有，，，． 故答案为：7； ，，，． 4．一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为 个． 【答案】3或4或5 【分析】本题主要考查了角的个数问题，①若剪掉长方形方形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形；②若从长方形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形；③若沿着长方形的对角线剪，则剩余部分为三边形（三角形）；据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当按照①减去一个角时，剩下5个角； 当按照②减去一个角时，剩下4个角； 当按照③减去一个角时，剩下3个角； 综上所述，一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为3个或4个或5个； 故答案为：3或4或5. 5．如图，写出符合下列条件的角（题中所有的角均指小于平角的角）． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以点A为顶点的角； (3)图中所有的角（可用简便方法表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的表示方法，熟知角的表示方法是解题的关键． （1）根据角的表示方法进行求解即可； （2）根据角的表示方法进行求解即可； （3）根据角的表示方法进行求解即可． 【详解】（1）解：能用一个大写字母表示的角为． （2）解：由题意得，以点为顶点的角有； （3）解：由题意得，图中所有小于平角的角有． 【题型2 钟面角计算】 6．钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角，理解钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为解题的关键．利用钟表表盘的特征解答． 【详解】解：8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格． ∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴点30分，分针与时针的夹角是． 故选：B． 7．学校下午考试，考试时间为90分钟，则考试结束时时针与分针所夹锐角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查钟面角的问题，解题的关键是明确钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，根据钟表上的角度我们知道一圈有12大格，每个大格的角度为，利用钟表表盘的特征解答． 【详解】解：学校下午考试，考试时间为90分钟， ∴考试结束时为下午3点30分， 3点30分，时针和分针中间相差2.5个大格， ∴钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴点30分分针与时针的夹角是． 故选：B． 8．如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时时，时针走过的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，掌握时针每分钟走是解题的关键．整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走，据此即可解答． 【详解】解：整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走， 从10时40分到11时经过了20分钟， ， 时针走过的度数是． 故答案为：． 9．规律作息可以使人体有充分的时间休息，为养成良好的作息习惯，小明坚持晚上点分入睡，此时时针与分针的夹角为 度． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是是解题的关键．根据时钟上一大格是进行计算，即可解答． 【详解】解：点分，时针与分针相差 ， 小明坚持晚上点分入睡，此时时针与分针的夹角为度， 故答案为：． 10．某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间？ 【答案】40分钟． 【分析】设此人外出用了x分钟，则分针转了6x度，时针转了0.5x度，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：易知分针每分钟走，时针每分钟走 设此人外出用了x分钟，则分针转了6x度，时针转了0.5x度． 根据题意得： ， 解得， 答：此人外出购物用了40分钟的时间． 【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 【题型3 角的单位与角度制】 11．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的单位转化，解题关键是明确，按照角的度量单位进行转化即可判断． 【详解】A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确， 故选：D． 12．下列角度换算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角度的换算．掌握度、分、秒是60进制的数是解答本题的关键．根据度、分、秒是60进制的数，逐项判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 13． 度 分 秒 【答案】 【分析】本题考查了度、分、秒的换算，熟练掌握度、分、秒之间是进制是解题的关键． 根据题意求出，再计算，即可得到答案． 【详解】解：， ， 度分秒， 故答案为：． 14．把化成用度表示的角为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了度分之间的单位换算，解题的关键是掌握度分之间的换算进率为60，即． 将分转化为度，再加上原有的度数． 【详解】因为，所以将分换算为度时，要用分数除以60， 分换算为度是， 那么就等于， 故答案为：． 15．把化为以度为单位，结果是 【答案】 【分析】本题考查了角的单位制换算．根据角的单位制换算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型4 角的四则运算】 16．计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据角的四则运算法则求解即可． （2）根据角的四则运算法则求解即可． 本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17．计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可． （2）根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此类题是进行度、分、秒的混合运算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可． （1）进行度、分、秒的加减混合运算即可； （2）先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可． （2）根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）两个度数相减时，应先算最后一位，后面的位上的数不够减时，向前一位借，且转换按照，计算； （3）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （4）两个度数相减时，应先算最后一位，后面的位上的数不够减时，向前一位借，且转换按照，计算． 本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【题型5 方向角的表示与计算】 21．如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则的方位角是(    ) A．北偏西方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．南偏东方向 【答案】B 【分析】本题主要考查了与方位角有关的计算，正确求出是解题的关键． 先根据题意得到，再由方位角的定义求出，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ∵射线与射线成角， ∴， ∵是北偏东方向的一条射线， ∴， ∴，即的方位角是北偏西方向， 故选：B． 22．甲、乙、丙三家的位置如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．丙家在甲家北偏西方向 B．甲家在丙家南偏东方向 C．甲家在乙家南偏西方向 D．丙家在乙家北偏东方向 【答案】D 【分析】根据方向角的应用，判定解答即可． 本题考查了方向角的应用，熟练掌握方向角是解题的关键． 【详解】解：A. 丙家在甲家南偏东方向，此选项不符合题意； B. 甲家在丙家北偏西方向，此选项不符合题意； C. 甲家在乙家北偏东方向，此选项不符合题意；     D. 丙家在乙家北偏东方向，此选项符合题意； 故选：D． 23．如果图书馆在学校南偏西方向上，距离400米，那么还可以说图书馆在学校的 方向上，距离 米． 【答案】 西偏南 400 【分析】本题考查了根据方向和距离确定物体位置的应用。已知图书馆在学校南偏西方向上，南和西之间的夹角是，，所以南偏西方向上，还可以说成西偏南方向． 【详解】解： 如果图书馆在学校南偏西方向上，距离400米，那么还可以说图书馆在学校的西偏南方向上，距离400米． 故答案为：西偏南；400. 24．如图，狮虎园和大象馆是动物园的两个热门景点，用A，B，C分别表示大门、狮虎园、大象馆，经测量，狮虎园（B）在大门（A）的南偏东方向，大象馆（C）在大门（A）的北偏东方向，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了方向角和度分秒的换算，结合图形，正确认识方向角是解决此类问题的关键．根据方位角的概念和度分秒的换算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得： 故答案为：． 25．如图①，货轮停靠在码头O，发现灯塔A在它的东北（北偏东）方向上，货轮在码头O的西北方向上，货轮在码头O的南偏西方向上． (1)仿照表示灯塔A方位的方法，画出表示货轮B方位的射线，再画出表示货轮P方位的射线． (2)如图（2），两艘货轮从码头O出发，货轮向北偏东的方向航行，货轮向北偏西的方向航行，求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考核知识点是方向角．理解方向角的定义和角的和差关系是关键． （1）根据方向角的定义，结合题意画出方向角即可； （2）根据角的和差关系可得：即可求出结论． 【详解】（1）解：如图所示，射线的方向就是西北方向，即货轮所在的方向，射线的方向就是货轮所在的方向， （2）解：依题意可得，， ∴ ． 【题型6 角的度数大小比较】 26．已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查比较角的大小关系，根据角度制，将进行转化后，判断即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 27．如图，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了角度的大小比较和角度的和差关系．根据，，及得，由此可得出答案． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 28．比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】本题考查了度、分、秒之间的计算，能正确进行度、分、秒之间的换算是解此题的关键，注意：，． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：>． 29．已知则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算和角的大小比较，先统一单位，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：， 因为， 所以． 故答案为：． 30．火眼金睛（寻找错误并纠正）：和相等吗？若不相等，哪一个大？ 解：∵，， ∴． 【答案】见解析 【分析】，据此换算即可比较． 【详解】不相等， ∵， ∴， ∴， 故原解析错误，更大． 【点睛】本题考查了角度的换算以及角度大小的比较，掌握，是解答本题的关键． 【题型7 三角板中角度计算问题】 31．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了与三角板有关的计算，理解三角板的性质是解题的关键；由题意可得，再结合，即可得出的度数． 【详解】解：依题意，结合图形，得， ∵， ∴， 故选：C 32．如图是内部的一条射线，把三角尺的角的顶点放在点O处，转动三角尺，当三角尺的边平分，三角尺的另一边也正好平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的计算，根据角平分线的定义得出，，然后结合三角板中，求解即可． 【详解】解：∵平分， 平分， ∴，， 又， ∴， ∴， 即， 故选：B． 33．如图，把一副三角尺的直角顶点O重叠在一起，，若平分，则 °． 【答案】135 【分析】本题主要考查角平分线定义及三角尺中角的计算，正确运用角平分线定义及角的和差关系是解题的关键．利用角平分线定义求出度数，最后运用即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵平分， ∴． ∴． 故答案为135． 34．一副三角板如图摆放，已知，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，先求出，，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 35．如图，将一副三角尺叠放在一起，使它们的直角顶点重合． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题题主要考查了几何图形中角度的计算，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠． （1）由，求出的度数，由即可得出； （2）由，求出的度数，由即可求出； （3）由于，即可得，所以． 【详解】（1）由题可知：，， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴． 【题型8 几何图形中角度计算问题】 36．如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据平分，得，故，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 37．如图，已知，，点、、在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的计算，先根据角的和差的定义得出，再根据平角的定义即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点、、在同一条直线上， ∴， 故选：C 38．如图，一副三角板，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，三角板中角度的计算，先根据，求出，再求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 39．如图，，，若平分，则的大小为 ． 【答案】 【分析】利用角的和差倍分关系求得的度数，然后求差即可得到的大小． 本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角的和差倍分关系是解题的关键． 【详解】解：，， ， 平分， ， 故答案为： 40．如图，直线，相交于点O，且． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解决本题的关键． （1）利用平角定义进行计算即可解答； （2）根据，求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：， ， 的度数为； （2），， ， ， ， 的度数为． 【题型9 实际问题中角度计算问题】 41．如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，根据邻补角先求出，然后根据翻折可知进而求解． 【详解】解： 由翻折可知 故选：C． 42．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（    ） A．150° B．120° C．130° D．140° 【答案】C 【分析】根据时钟上一大格是，时针1分钟转进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ， 在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握时钟上一大格是，时针1分钟转． 43．“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了方位角的计算，角度的计算，如图，根据题意得，由即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意：， 则， ∴， 故答案为：． 44．如图，把一个蛋糕等分成8份，每份的圆心角度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角度的计算，理解圆周角是360度是关键．利用360度除以平分的份数就是每份的圆心角度数． 【详解】解：每份的圆心角度数是， 故答案为：． 45．一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置． (1)________； (2)若与两角之比是，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的计算，一元一次方程的应用，根据角度关系，列出方程，进行求解即可． （1）根据三角板的直角顶点落在直尺上，得出即可； （2）设，则，根据，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵三角板的直角顶点落在直尺上， ∴； （2）解：设，则，根据题意得： ， 解得：， 即． 【题型10 角平分线的有关计算】 46．如图所示，是的平分线，是的平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义和平面内角的相关计算，理解并掌握角平分线的定义是解题关键． 根据题意可知，结合角平分线的定义可得，由即可获得答案； 【详解】解：∵， ， ∵是的平分线， ， ∵是的平分线， ， ， 故选：B． 47．如图，，，是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义，角度和差，先求出，又是的平分线，则，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故选：． 48．如图，直线、交于点，若，射线平分，那么 ． 【答案】/122度 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角的和差关系以及角平分线的定义，求出的度数，再根据平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． 49．点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，如图，三角板的一边与射线重合将如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线， ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角和补角，熟练掌握定义和角的和差关系是解题的关键．根据角平分线的定义得到的度数，再利用角的和差关系求角度即可． 【详解】是的角平分线，， ， ，， 故答案为： 50．【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点分别是和的中点． ①若，则线段 ； ②若，则线段 ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数； 【拓展探究】 （3）已知在内部的位置如图③所示，，，且，，请直接写出 ．（用含的式子表示） 【答案】（1）①7；②7； （2）的度数为； （3） 【分析】本题主要考查线段中点的计算，角平分线的定义相关的计算，理解图示，掌握中点的定义，数形结合分析思想是解题的关键． [特例感知]（1）①根据线段中点的定义得到，由得到，即可求解；②方法同上； [知识迁移]（2）根据角平分线的定义得到，由，得到，由此即可求解； [拓展探究]（3）根据角平分线的定义得到，，则，由即可求解． 【详解】解：[特例感知] （1）①，， ∴， ∵分别是和的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②同理，， 故答案为：； [知识迁移] （2），射线平分，射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； [拓展探究] （3）∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型11 角n等分线的有关计算】 51．如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的等分线与角平分线，根据是的三等分线，得到，即可得到答案． 【详解】解：是的两条三等分线， ， ，故A选项等式正确，不符合题意； ，，即， ，故B选项等式不正确，符合题意； ，故C选项等式正确，但不符合题意； ， ，故D选项等式正确，但不符合题意． 故选：B． 52．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 53．如图，已知，平分，且，则的度数为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的和差计算，正确运用角平分线推理论证进行角度的和差计算是解题的关键．根据角平分线的定义求出的度数，根据可求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵，平分，且， ∴，， ∴， 故答案为：20． 54．如图，已知，是的三等分线，射线在内部，且，则的大小等于 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角的和差计算，理解图示，掌握角的三等分线的定义，角和差计算方法是解题的关键． 根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵，是的三等分线， ∴每一份是， 如图所示，， ∴； 如图所示，， ∴； 如图所示，， ∴， ∴； 如图所示，， ∴， ∴； 故答案为：或或 ． 55．如图，点，，在同一直线上，，，是的一条靠近边的三等分线． (1)求的度数； (2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 【答案】(1) (2)是的平分线．理由见解析 【分析】本题考查角的计算，角的三等分线的定义，角平分线的定义， （1）由题意可得，根据可得答案； （2）由题意可得，则，即可得出结论； 明确角的和差关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的一条靠近边的三等分线，， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）是的平分线． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【题型12 角的新定义计算】 56．我们定义：若两个角的差的绝对值等于，则称这两个角互为“正角”．如： ，，则和互为“正角”．如图，已知，射线平分在的内部，若，则图中互为“正角”的共有 对．    【答案】7 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的计算，解题的关键是熟练掌握角度间的关系．根据“正角”的定义进行判断即可． 【详解】解：∵射线平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴题图中互为“正角”的共有7对． 故答案为：7． 57．定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意将本题分成两种情况讨论①，②，根据两种情况分别讨论并计算即可． 【详解】解：∵，，是的两条三分线， ∴， ①当，如图， 如原图所示：， 所以； ②当时，如图， 则， 所以，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查角的运算，旋转的性质，能够熟练掌握分类讨论思想是解决本题的关键． 58．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是的一条三分线，且，即可得，从而求得的度数； （2）已知是的两条三分线，根据三等分线的定义即可得的度数． 本题考查了与角n等分线的有关计算，以及几何图形的角度的计算，通过几何图形得到角度的和差，从而解决问题，同时也考查了根据题目获取信息，用所获取的信息解题的能力． 【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且 ∴ （2）解：∵，，是的两条三分线， ∴ ∴． 59．定义：从一个角（小于）的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所构成的角等于这个角的，那么这两条射线所构成的角叫做这个角的“三分角”．如图1所示，若，则是的“三分角”．    (1)如图1，已知，，是的“三分角”，求的度数． (2)如图2，已知，是的平分线，射线从出发，绕点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当是的“三分角”时，求t的值． 【答案】(1)； (2)秒或秒． 【分析】（1）根据“三分角”的定义及角的和差关系，列式计算即可求解； （2）分两种情况讨论，当和时，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的“三分角”， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，是的平分线， ∴， ∵是的“三分角”， ∴， 分两种情况讨论， 当，此时秒； 当，此时秒； 综上，t的值为秒或秒． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系，“三分角”的定义，掌握新定义是解题的关键． 60．定义：如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线在的“妙分线”． (1)如图1，若，且射线在的“妙分线”，求的度数． (2)如图2，若，射线绕点P从位置开始，以每秒8°的速度顺时针旋转，同时，射线绕点P以每秒的速度顺时针旋转，当与成时，射线，射线同时停止旋转，设旋转的时间为t秒，求t为何值时，射线是的“妙分线”． 【答案】(1)或或 (2)当t为或6或10时，射线是的“妙分线” 【分析】（1）根据妙分线定义即可求解； （2）分3种情况：当时，当时，当时，根据妙分线定义即可求解． 【详解】（1）解：∵，且射线在的“妙分线”， ∴或或， ∴或或； （2）解：根据题意得： 当时，有 ，解得； 当时，有 ，解得； 当时，有 ，解得． 故当t为或6或10时，射线是的“妙分线”． 【点睛】本题考查了旋转的性质，妙分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“妙分线”的定义是解题的关键． 【拓展训练一 方向角、钟面角计算综合】 61．如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 【答案】(1)学校和公园 (2)商场在小明家北偏西方向上，学校在小明家北偏东方向上，公园在小明家南偏东方向上，停车场在小明家南偏东方向上；公园和停车场的方位相同 (3)； 【分析】本题主要考查了用方位角和距离确定位置，正确读懂图示是解题的关键． （1）求出的长，得到即可得到答案； （2）根据图示结合方位角的表示方法求解即可； （3）根据题意可知地图上表示实际，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵C为的中点，， ∴， ∴， ∴图中距小明家距离相同的是学校和公园； （2）解：由题意得，商场在小明家北偏西方向上， 学校在小明家北偏东方向上， 公园在小明家南偏东方向上， 停车场在小明家南偏东方向上， ∴公园和停车场的方位相同． （3）解：∵学校距离小明家， ∴商场距离小明家，停车场距离小明家． 62．刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型（点和点是表带的两端，点、、、在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若是中点，求：手表的全长． (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，琪琪一看现在正好是，如图③所示．则时分针和时针的夹角为__________度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段的和差关系，中点有关的计算，钟面角： （1）根据是中点，，可得，，即可求解； （2）先计算出每分钟时针走过的角度，再根据时，时针与分针的位置，即可求解． 【详解】（1）解：，是中点， ， ， ， ， 即手表的全长为． （2）解：由图可知，每分钟时针走过的度数为， 8点整，时针刚好落在8时上，30分钟后时针转动， 则时，分针指向6，时针在8时过的地方， 即． 63．综合与探究 时钟是生活中常用的一种计时器，人们常通过时钟记录时间．下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据下表给出的国外四个城市与北京的时差，请回答问题： 城市 时差/h 纽约 悉尼 伦敦 罗马 (1)悉尼时间对应的是时钟______（填写：A或B或C或D）；时钟A表示的城市是______． (2)在如图表示北京时间的时钟内，此时秒针与分针重合： 秒针每秒转过______°；分针每秒转过______°；时针每秒转过______° (3)在4点整以后的1分钟内，经过多长时间，秒针恰好平分时针与分针形成的角？ 【答案】(1)D；伦敦 (2)6；； (3)经过秒或秒，秒针恰好平分时针与分针形成的角 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，钟面角，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由时间差可得悉尼时间对应的是时钟，时钟表示的城市是伦敦； （2）在如图表示北京时间的时钟内，此时秒针与分针重合：秒针每秒转过；分针每秒转过；时针每秒转过； （3）分两种情况进行讨论即可：①当秒针平分时针与分针形成的小于或等于的角时；②当秒针平分时针与分针形成的大于的角时． 【详解】（1）解：∵北京时间是4时，悉尼与北京的时差为， ∴悉尼时间为时， ∴悉尼时间对应的是时钟； ∵北京时间是4时，伦敦与北京的时差为， ∴伦敦时间为时 ∴时钟表示的城市是伦敦， 故答案为：；伦敦． （2）解：在如图表示北京时间的时钟内，此时秒针与分针重合： 秒针每秒转过， 分针每秒转过， 时针每秒转过， 故答案为：6；；． （3）解：设秒后，秒针恰好平分时针与分针形成的角，且， ①当秒针平分时针与分针形成的小于或等于的角时， 由题意得：， 解得：； ②当秒针平分时针与分针形成的大于的角时， 由题意得：， 解得：； 综上所述：经过秒或秒，秒针恰好平分时针与分针形成的角． 【拓展训练二 三角板中角度计算综合】 64．如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为∠的角平分线时，求此时的值； (2)当旋转至∠的内部时，求∠与∠的数量关系． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，与角平分线相关的角的运算，找相等关系是解题的关键． （1）根据“角平分线的定义”列方程求解； （2）根据角的和差及等式的性质求解． 【详解】（1）解： 为的角平分线， ， ， 解得：； ∴此时的值是3． （2）解：当旋转至∠的内部时，如图2， ①，②， 得：， ∴当旋转至∠的内部时，∠DCA与∠ECB的数量关系是：． 65．一副三角尺按照如图所示的方式摆放在量角器上，边与量角器0刻度线重合，边与量角器刻度线重合，，．将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动．设三角尺的运动时间为秒． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数（内圈刻度）为__________°． (2)__________时，边平分． (3)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)100 (2)15 (3)①10.5 ；②存在；或 13 【分析】本题主要考查了角的旋转，量角器的识别，表示出与是解本题的关键． （1）当秒时，由旋转知，即可得出结论； （2）由旋转知，旋转角为，进而建立方程，即可得出结论； （3）①由旋转建立方程，即可得出结论； ②分两种情况表示出，用，建立方程即可得出结论． 【详解】（1）解：当秒时，由旋转知，， ∵， ∴开始时边经过量角器刻度对应的度数是， ∴旋转5秒时，边经过量角器刻度对应的度数是， 故答案为：100 ； （2）解：由旋转知，旋转角为， ∵边平分且， ， 秒， 故答案为：15 ； （3）解：①同（2）的方法得，， 秒， ②当边在边左侧时， 由旋转知，， ， ， 秒， 当边在边右侧时， 由旋转知，， ， ， ， 秒， 即秒或13秒时，． 66．综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是________，的度数________，的度数是________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】（1）①，，；  ②， （2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了角度的计算，利用几何图形计算角的和与差是解决此题的关键． （1）利用三角板是直角三角形的性质，先计算出，再根据即可求解； （2）根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （3）利用周角定义得，而，即可得到． 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：，，； ②∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：当与没有重合部分时，上述中发现的结论，依然成立.理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【拓展训练三 几何图形中角度计算综合】 67．如图，，以O为顶点，为一边作，，分别平分与． (1)如图1，若射线在内部，锐角，则=_______°； (2)如图2，若射线在外部，锐角，求的度数； (3)将问题（2）中“锐角”改为“为任意大小的钝角”，其余条件不变，能否求出的度数？若能，求出的度数；若不能，说明理由． 【答案】(1)45 (2) (3)能，的度数为135°或45° 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是利用角平分线的定义，将所求角转化为与已知角相关的表达式． （1）先求出的度数，再根据角平分线定义分别求出与，进而求出； （2）先表示出，再依据角平分线定义得到与的表达式，最后求出； （3）分两种情况讨论，根据角平分线定义求出． 【详解】（1） ， ， 平分， ， 平分， ， ； （2），， ， 平分，平分， ，， ； （3）如图①所示，平分，平分， ，， ； 图① 如图所示，平分，平分， ，， ． 综上，的度数为或． 68．如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． (1)若，则______． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； (3)对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． ①若，，求； ②请你猜想，和会有怎样的数量关系，直接写出你的结论． 【答案】(1)15 (2)不变，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的性质，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． （1）根据线段中点的性质得出，根据线段的和差关系得出，进而根据即可求解； （2）根据（1）的方法进行求解即可求解． （3）①根据角平分线的定义得出，，根据，即可求解．②根据①的方法进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，分别是，的中点， ∴，， ∴； （2）解：的长度不变．理由如下： 、分别是、的中点， ，， ，， ； （3）解：①、分别平分和， ，， ． ②、分别平分和， ，， ∴． 69．如图1，已知线段，线段在线段上运动（点C在A 点右侧，点D在B点左侧，且点C不与点A重合，点D不与点B重合，），点E、F分别是的中点． (1)若，则 ； (2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由； (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，、分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，求的度数． 【答案】(1)16 (2)当线段在线段上运动时，线段长度不变为，理由见解析 (3) 【分析】此题主要考查了线段的中点，角平分线的定义，线段的计算，角的计算，理解线段的中点，角平分线的定义，熟练掌握线段的计算，角的计算是解决问题的关键． （1）先求出，根据线段中点的定义得，，再根据即可得出答案； （2）先求出，根据线段中点的定义得，，进而得，然后根据可得出结论； （3）设，，根据角平分线的定义得，，进而得，再得，则可得，然后根据可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ，点为的中点， ， 点为的中点，， ， ， 故答案为：16． （2）解：当线段在线段上运动时，线段长度不变，始终为，理由如下： ， ， 点、分别是、的中点 ，， ， ． 当线段在线段上运动时，线段长度不变，； （3）解：设，， 、分别平分和， ，， ， ， ， ， ， ． 【拓展训练四 角平分线的有关计算综合】 70．数学活动课上，老师以直线上一点为端点作射线，使平分，平分． (1)如图1，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点处，即，则的度数为___________； (2)受“兴趣小组”的启发，如图2，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点处，即，求的度数； (3)如图3，已知，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角的平分线定义，平角的定义，角的和的定义解答即可． （2）仿照（1）的思路解答即可． （3）仿照（1）的思路解答即可． 本题考查了角的和差，角的平分线，平角的定义，熟练掌握平角定义，角的平分线是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴． （3）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴． 71．探究学习，寻求真知 (1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点． ①若，则______； ②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由． (2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由． (3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）． 【答案】(1)①21；②线段的长度不会发生变化，长度为19 (2) (3) 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）①根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解；②根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由，即可求解； （3）根据，可得， 从而得到，再由，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵点和点分别是的中点， ∴， ∴； 故答案为：21 ②∵， ∴， ∵点和点分别是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度不会发生变化，长度为19； （2）解：∵射线和射线分别平分和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 72．如图，在同一平面内将一副透明的三角尺的直角顶点重合在O 处，且 均小于． (1)当两三角尺的位置是图（1）位置时，请填写： ① （填“>”或“<”或“=”）． ②和的数量关系是： ． (2)当两三角尺的位置是图（2）位置时，第（1）问中： ①和 的大小关系是否成立 （填“是”或“否”）． ②和 的数量关系是否成立 （填“是”或“否”）． (3)当两三角尺的位置是图（3）位置时，若分别是 的平分线，求的度数． 【答案】(1)①；② (2)①是；②是 (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟练进行角度的转换，进行计算是解题的关键． （1）①利用角度转换即可解答；②利用角度转换即可解答； （2）①利用角度转换即可解答；②利用角度转换即可解答； （3）根据角平分线的定义，进行角度的计算即可． 【详解】（1）解：①因为, 所以,即； ②因为， 所以， 所以； 故答案为：；； （2）解：①是，理由如下： 因为, 所以,即； ②是，理由如下： 因为, 所以, 所以； （3）解：根据(1)可知， 分别是的平分线， ， ， ， ． 【拓展训练五 动角计算问题】 73．综合与实践 【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线． (1)【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数； (2)【探究发现】若射线在的内部绕点旋转，请判断的大小是否为定值，并说明理由； (3)【拓展延伸】若射线从出发，绕着点顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写计算过程）． 【答案】(1)； (2)，是一个定值，理由见解析； (3)的度数为或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，一元一次方程的应用： （1）先求出的度数，角平分线求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角平分线的定义和角的和差关系求出，即可； （3）设，分在内部和在外部，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 射线分别是和的角平分线， ， ； （2）解：，是一个定值，理由如下： 射线分别是和的角平分线， ， ， ， ， 故是一个定值，且． （3）解：或． 设，分两种情况： ①如图1，当在内部时， 则：， 射线分别是和的角平分线， ， ， ， ， 解得：， ； ②如图2，当在外部时， 则：， 射线分别是和的角平分线， ， ， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数为或． 74．【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动：已知，是一条射线，射线，分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则______． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点O旋转至任一位置，则的度数是否发生变化．请说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点O按顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 【答案】（1）60；（2）的度数不会发生变化，始终为；（3）为或． 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据角平分线的定义求解即可； （2）根据角平分线的定义求解即可； （3）分两种情况讨论：①当在的内部；②当在的外部，根据角平分线的定义表示出，再根据列方程分别求解即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为射线，分别是和的平分线， 所以，， ， 故答案为：； （2）解：的度数不发生变化，理由如下： 因为射线，分别是和的平分线， 所以，， 所以， 所以的度数不会发生变化，始终为60°； （3）解：为或， 射线绕点O按顺时针方向旋转，分两种情况： ①如图析1，当在的内部， 因为， 所以， 因为射线，分别是和的平分线， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 解得：， 所以，， 所以； ②如图析2，当在的外部， 因为， 所以， 因为射线，分别是和的平分线， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 解得， 所以，， 所以， 综上所述，所以为或． 75．综合与探究 活动情境： 数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 问题情境： （1）老师将三角尺和三角尺按如图所示摆放在直线上，边落在直线上，，已知，则______°； 合作探究： （2）奋进小组将图中三角尺绕点C按逆时针方向进行旋转，当边首次落在直线上时则停止旋转．若三角尺以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒，请你帮忙解答下列问题： ①当______秒时，边落在边上； ②当平分时，_____秒； ③当______秒时，停止旋转． 深度探究： （3）腾飞小组受奋进小组的启发，继续在上图的基础上进行旋转探究：同时将三角尺和三角尺绕点C旋转，三角尺以每秒的速度逆时针旋转，三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时，两三角尺都停止旋转． 提出问题：求t为何值时，？ 【答案】（1）75；（2）①5②10.5③12；（3）t为3秒或4.5秒时， 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算、与角平分线有关的角度的计算、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． （1）由计算即可得到答案； （2）由（1）得，，当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数，因此；先求出旋转的角度，再根据时间路程速度，进行计算即可求解；③根据题意列式计算即可； （3）分两种情况：边与边相遇前；边与边相遇后，列方程进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：由（1）得，， 当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数， 三角尺绕点逆时针旋转的速度为以每秒， ， 故答案为：5； 当边平分时，画出图如图所示， 边平分， ， 旋转角度为， ， 故答案为：10.5； ③由题意可得，， 故答案为：； （3）解：由（1）可知，两个三角尺旋转前，，边旋转的角度为，边旋转的角度为， 边与边相遇前，可得：， 解得：； 边与边相遇后，可得：， 解得：， 为3或4.5秒时，． 1．超市在学校南偏东方向，那么学校在超市的（   ）． A．北偏西方向 B．南偏东方向 C．南偏东方向 D．北偏西方向 【答案】D 【分析】本题考查了方向的相对性知识，根据位置的相对性，方向相反且角度不变．超市在学校南偏东方向，则学校在超市的北偏西方向． 【详解】∵超市在学校南偏东方向， ∴学校在超市的北偏西方向． 故选：D． 2．，，关于两个角的大小，下列正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查角的大小比较，解决本题的关键是熟练掌握度分秒的换算． 先换算单位，再进行比较 【详解】解：， ∴， 故选：B． 3．将一副三角板按如图所示放置，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算问题，根据角的和差关系得出，再根据角度的和差关系即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 4．如图，直线相交于点，，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的运算，先由平角得，平分，得，因为，则，再进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 5．尺规作图：作一个角等于已知角． 如图1，已知：．求作：，使． 下面是打乱顺序的作图步骤： ①如图3，经过点画射线，则即为所求． ②如图3，以点为圆心，长为半径画弧，与已画的弧相交于点； ③如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C、D； ④如图3，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ⑤如图3，画射线．则正确的作图顺序为（    ） A．⑤③④②① B．⑤④③②① C．⑤③②④① D．③④②⑤① 【答案】A 【分析】此题考查作一个角等于已知角的作图方法，根据作一个角等于已知角的作图方法判断即可，熟练掌握作一个角等于一个角的方法是解题的关键． 【详解】解：角的作图步骤： ⑤如图3，画射线． ③如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C、D； ④如图3，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ②如图3，以点为圆心，长为半径画弧，与已画的弧相交于点； ①如图3，经过点画射线，则即为所求． 正确的作图顺序为⑤③④②①， 故选：A． 6．如图，两个直角和有公共顶点O， 下列结论： ①； ②； ③； ④若平分， 则平分 ． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了角度之间的和差运算，角平分线的定义．根据，得出，则，即可判断①；无法判断，即可判断②；易得，即可推出，即可判断③；根据平分，得出，进而得出，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，即，故①正确，符合题意； 当时，，否则不成立，故②不正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①③④，共3个． 故选：C． 7．将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握三角板中的角度计算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，，再求出，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：①，②，③， 由②③得：， ∴④， 将④代入①得：， ∴， 故选：C． 8．如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及角平分线的定义，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由与互补，可求出的度数，结合角平分线的定义，可得出与的度数，由与互余，结合对顶角相等，可求出的度数，根据“在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角”，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 如图，平分，当旋转到直线上时，满足题意， ∴． ∵，， ∴． 根据题意得：或， 解得：或， ∴t的值为6或24． 故选：D． 9．2021年5月29日20时55分，中国在文昌航天发射场用长征七号遥三运载火箭成功发射天舟二号货运飞船．时，时针与分针的较小夹角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时针1分钟转是解题的关键．根据时钟上一大格是，时针1分钟转进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ， ∴时，时针与分针夹角是度， 故答案为：． 10．已知，请你比较大小： （填“或或”）． 【答案】 【分析】本题考查度分秒的换算、角的度数大小比较，熟练掌握度分秒的换算进率是解答的关键．根据度分秒的换算，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 11．将一副直角三角尺如图放置，其中，，若，则的度数为 （结果以“”为单位）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差关系，角度加减运算，根据计算即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴． 故答案为： 12．如图，是直线上一点，平分， ，若， 则 【答案】/50度 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角度计算，正确计算角度是解题关键． 由题意知，求得，角平分线的定义得，再根据平角的定义得出的角度． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，已知是内部的一条射线，图中有三个角：，和，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线为的“巧分线”，如果且是的“巧分线”，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了新定义、角度计算问题、角平分线的定义，理解“巧分线”的定义是解题的关键．根据“巧分线”的定义分情况讨论，画出对应的示意图，再结合图形利用角度之间的和差倍分关系即可求解． 【详解】解：①若平分， 则， ∴是的“巧分线”， ∴； ②若，此时是的“巧分线”， ∴， ∴； ③若，此时是的“巧分线”， ∴， ∴， ∴； ∴综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 14．如图1，点、、依次在直线上．现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度转动．直线保持不动，如图2．设转动时间为秒．转动过程中，当时，t的值为 ． 【答案】10或26/26或10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算等知识， 分两种情况讨论：①当在左侧时②当在右侧时，分别求解，即可得到的值． 【详解】解：由题意可知，， ①如图，当在左侧时，此时， ∴， 解得：， ②如图，当在右侧时，此时 ∴， 解得：． 综上所述，当时，或26． 故答案为：10或26． 15．（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了角的计算，解题的关键是牢记角的化简，注意角的书写形式，根据，求解即可． （1）将度、分、秒分别计算再相加即可； （2）按照分不足则取化为再计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 16．（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． _______              _______                 _______                    _______ （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ 【答案】（1）；；；；（2）时针每经过1小时，转过，分针每分钟转过；（3） 【分析】本题主要考查了钟面角的计算，熟知钟面角的计算方法是解题的关键． （1）时针12小时转一圈，转一圈转360度，则可求出时针每小时转的度数，据此求解即可； （2）时针12小时转一圈，转一圈转360度，分针每60分钟转一圈，转一圈转360度，据此求解即可； （3）先求出10点整时时针与分针的夹角，再求出十分钟分针所转的度数与时针所转的度数之差即可得到答案． 【详解】解：（1）巴黎时间是1点，则时针和分针的夹角为； 伦敦时间是12点，则时针和分针的夹角为； 北京时间是8点，则时针和分针的夹角为； 东京时间是9点，则时针和分针的夹角为； 故答案为：；；；； （2）∵时针12小时转一圈，转一圈转360度， ∴时针每经过1小时，转过， ∵分针每60分钟转一圈，转一圈转360度， ∴分针每分钟转过； （3）， ∴当时钟指向上午，时针与分针的夹角是． 17．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，已知，点在射线上． (1)在射线上取一点，使； (2)以（1）中作出的点为顶点，为一边，在外作，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作线段，作一个角等于已知角； （1）以为圆心，的长为半径作弧交于点，则即为所求； （2）以为圆心，长为半径作弧，再以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，作射线，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 18．在同一平面内已知，平分平分． (1)当，求的度数； (2)在做题过程中聪聪同学认为就算不知道的度数，也能求的度数，请你在的度数未知的情况下，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了角的和差，角平分线定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据题意得到，再结合角平分线定义推出，最后根据求解，即可解题； （2）根据题意得到，再结合角平分线定义表示出，最后根据代换求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ， 平分平分， ∴，， ∴； （2）解：， ∴， 平分平分， ∴，， ∴． 19．综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，其中，，． (1)操作判断 若，则______；若，则______； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】本题考查了叠放三角板中的角的计算．熟练掌握三角板性质，余角补角定义和性质，旋转性质，平行线性质，是解题的关键． （1）先根据直角三角板的性质求出，进而可得、的度数； （2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由，论证即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 若， 则； 若， 则． 故答案为：，． （2）解：．证明如下： ∵， ∴． 20．我们常借助直角三角板进行一些数学问题的探究．如图1所示，在直角三角板中，，，点在直线上，先将边与重合，然后将三角板绕着点按每秒1度的速度顺时针旋转，旋转后的三角板记作，设运动时间为秒，且． (1)当与重合时，______； (2)当时，求的值； (3)如果把原题中的直角三角板换成普通的三角形纸片，不妨设，其他条件不变，在的内部作一条射线，使，如果在旋转过程中，始终有成立，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)120 (2)70或170 (3) 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用平角的定义求出，当与重合时，，结合题意即可求出的值； （2）分两种情况讨论：①在上方；②在下方，求出的度数，结合题意即可的值； （3）在旋转过程中，，则，则有，，再利用角的和差得到，整理即可得出与的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与重合， ∴， ∴． 故答案为：120． （2）解：①当在上方时， 则， ∴； ②当在下方时， 则， ∴； ∴综上所述，的值为70或170． （3）解：在旋转过程中，，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$