【第二章 代数式 01讲 代数式的概念和列代数式】暑假小升初衔接讲义2025-2026学年湘教版数学七年级上册

第二章 代数式 01讲 代数式的概念和列代数式 目录 【知识点1. 代数式】………………………………………………………………… 1 【知识点2. 列代数式】……………………………………………………………… 2 【题型1. 代数式的概念】…………………………………………………………… 4 【题型2. 列代数式】………………………………………………………………… 4 【题型3. 代数式的书写规范】……………………………………………………… 5 【题型4. 用列代数式表示数的规律】……………………………………………… 6 【题型5. 用列代数式表示图形的规律】…………………………………………… 7 【题型6. 代数式表示的实际意义】………………………………………………… 9 【课后作业】…………………………………………………………………………… 11 知识清单 1、代数式 把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫做代数式。 单独一个字母或一个数也是代数式。如：16n ，2a+3b ，34 ，，等。 注意：含有等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式． 巩固基础 1．下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【分析】本题考查了代数式的概念，准确理解代数式的概念是解题关键．根据代数式的概念：用运算符号（、、、、乘方）将数与表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．单独一个数或者一个字母也称代数式．据此逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、，含有等号，不是代数式，符合题意； B、5是代数式，不符合题意； C、是代数式，不符合题意； D、是代数式，不符合题意． 故选：A． 2．下列不是代数式的是（   ） A． B． C． D．0 【分析】本题考查了代数式的定义．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方等）把数或表示数的字母连结而成的式子，单独的一个数或字母也是代数式，根据代数式的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：、、都是代数式；不是代数式； 故选：C． 3．在，，，，，0，中，代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【分析】本题考查了代数式，熟练掌握代数式的定义是解题的关键； 根据代数式的定义，逐个判断即可； 【详解】解：是单独的一个数，是代数式； 是由数、字母通过运算得到的式子，是代数式； 是等式，不是代数式； 是由字母通过乘法运算得到的式子，是代数式； 是不等式，不是代数式； 0是单独的一个数，是代数式； 是由数与字母通过除法运算得到的式子，是代数式 ． ∴代数式共5个， 故选：B． 4．下面每个选项中的两种量成反比例关系的是（   ） A．被减数一定，减数和差 B．练习本的单价一定，购买的本数和总价 C．路程一定，速度和时间 D．球的半径和它的表面积 【分析】本题考查两种量成反比例关系，读懂题意，根据成反比例的定义“两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量”求解即可得到答案． 【详解】解：、被减数一定，减数和差的和一定，不成反比例关系，故本选项不符合题意； 、练习本的单价一定，购买的总价与本数的比值一定，成正比例关系，故本选项不符合题意； 、路程一定，速度和时间的积一定，成反比例关系，故本选项符合题意； 、球的半径和它的表面积不成反比例关系，故本选项不符合题意； 故选：． 8．代数式用 (基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子． 【分析】根据代数式的定义解答即可. 【详解】解：代数式是用基本运算符号 (基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子． 故答案为：基本运算符号 9．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．如就是完全对称式．下列三个代数式：①；②；③．其中是完全对称式的是 ．（填写序号） 【分析】对所给的代数式，任意交换两个字母，然后进行分析判断即可得到答案． 【详解】解：①代数式交换字母顺序后得，因为，所以代数式是完全对称式； ②中，任意交换，得到的代数式都是，故是完全对称式； ③，交换得到，与原代数式不一样，所以不是完全对称式． 所以是完全对称式的是：①② 故答案为：①② 知识清单 2、列代数式 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性。 代数式的书写规范： 1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； 2）除法运算一般以分数的形式表示； 3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； 4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； 5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写。 巩固基础 1．若用，，分别表示一个三位数的百位、十位和个位上的数字，则这个三位数可以表示为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了列代数式，掌握三位数的表示方法是解题的关键．根据百位上的数字乘100，十位上的数字乘10，个位上数字乘1，然后把得到的数加起来，即为所表示的三位数． 【详解】解：这个三位数的百位，十位，个位上的数字分别位，，， 这个三位数为：． 故选：C． 2．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数幂的定义和有理数的乘法的定义，进行求解即可． 【详解】解：． 故选D 3．某商品先按批发价元提高零售，后又按零售价降低出售，则它最后的单价是（  ）元． A． B． C． D． 【分析】本题考查了列代数式的知识，解答本题的关键是按照步骤分别求出零售价和降价之后的价钱．先求出零售价，然后求出降价之后的价钱． 【详解】解：根据题意得：零售价为：， 所以降价之后价钱为：． 故选：C． 4．某产品前年的产量是件，去年的产量比前年产量的3倍少5件，则去年的产量为 件（用含的代数式表示）． 【分析】本题主要考查了列代数式，根据前年的产量是件，去年的产量比前年产量的3倍少5件，列出代数式即可． 【详解】解：产品前年的产量是件，去年的产量比前年产量的3倍少5件，则去年的产量为件． 故答案为：． 5．若一支钢笔的价格为元，则表示的意义是 ． 【分析】本题考查了代数式表示的实际意义，理解代数式中的每一部分的意义是解题关键．根据一支钢笔的价格为元，、表示5支钢笔的总价，由此即可得． 【详解】解：若一支钢笔的价格为元，则表示的意义是5支钢笔的总价， 故答案为：5支钢笔的总价． 6．用代数式表示“a的2倍与5的差”，其结果是 ． 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接进行求解 【详解】解：由题意可列代数式为； 故答案为： ． 7．食品加工厂准备把一批新酿的醋装瓶运往商店，每瓶容量和所装瓶数如下表： 每瓶容量/ 250 500 750 1500 所装瓶数/瓶 1200 400 200 (1)表中空格 (2)用n表示所装瓶数，m表示每瓶容量，请问n与m成什么比例关系，并说明理由？ 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，变量之间的关系，正确理解题意是解题的关键． （1）根据醋的总容量一定，则所装瓶数与每瓶容量的乘积一定，据此求解即可； （2）根据题意可得m、n的乘积一定，据此可得结论． 【详解】（1）解；瓶， 故答案为；600； （2）解：n与m成反比例关系，理由如下： 由题意得，， ∴m、n的乘积一定， ∴n与m成反比例关系． 8．（1）小明每季度有零花钱a元，拿出b元捐给爱心基金，平均每月剩余的零花钱是多少？ （2）七年级（1）班共有a名学生，其中有b名男生，男生的三分之一去参加篮球比赛了，班级剩余多少人？ （3）某商品原价每件a元，商场打折．现价每件b元，现买3件可以省多少元？ （4）某种汽车油箱装满后有油a升，每小时耗油b升，行驶了3小时，油箱剩余油量是多少？ 【分析】本题考查根据实际问题列代数式的能力，列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来． （1）用一个季度零花钱的总数除以3即可； （2）全班总人数减去参加篮球赛的人数即可得出剩余人数； （3）用一件剩的钱数乘以3即可得出答案； （4）用油的总体积减去用去油的体积，即可得出剩余油的数量． 【详解】解：（1）解：小明每季度有零花钱a元，拿出b元捐给希望工程，一个季度有3个月，则平均每月剩余零花钱元； （2）解：七年级（1）班共有a名学生，其中有b名男同学，男生的三分之一去参加篮球比赛，则班里还有人； （3）解：某商品原价每件a元，商场打折，现价每件b元，现买3件可以省元； （4）解：某种汽车油箱装满后有油升，每小时耗油升，行驶了，油箱剩余油量升． 直击考点 题型1：代数式的概念 例1．下列式子是代数式的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．① B．② C．③ D．④ 【分析】本题考查了代数式的定义，熟练掌握代数式的定义是解题的关键； 根据代数式的定义逐项判断即可． 【详解】解：①，表示左右两边的式子相等关系，不是代数式； ②是数5与字母t的乘积，符合代数式的定义，是代数式； ③，表示左右两边式子的不等关系，是不等式，不是代数式； ④，表示左右两边式子的不等关系，是不等式，不是代数式；； 综上可知，是代数式的有②， 故选：B． 例2．下列各式中，代数式的个数是（　　） ①②③④⑤⑥a⑦⑧ A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．本题考查了代数式的定义． 【详解】解：式子，，，，a，，，符合代数式的定义，是代数式； 式子，是等式，不是代数式． 故代数式有7个． 故选：C． 例3．下列是代数式的有： ．（写序号） （1）； （2）；    （3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）0． 【分析】本题考查了代数式的概念：用运算符号把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，根据此概念判断即可． 【详解】解：；；；； 0是代数式，其它都不是代数式； 即（1）（2）（3）（6）（8）是代数式； 故答案为：（1）（2）（3）（6）（8）． 变式1．下面说法错误的是（   ） A．长方形的面积一定，长与宽成反比例 B．在工程问题中，工作总量一定，工作效率与工作时间成正比例 C．在行程问题中，速度一定，路程与时间成正比例 D．圆柱的体积一定，底面积和高成反比例 【分析】本题考查了正比例和反比例，两个量乘积一定成反比例，比值一定成正比例，据此判断即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：、长方形的面积一定，长与宽成反比例，该选项说法正确，不合题意； 、在工程问题中，工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例，该选项说法错误，符合题意； 、在行程问题中，速度一定，路程与时间成正比例，该选项说法正确，不合题意； 、圆柱的体积一定，底面积和高成反比例，该选项说法正确，不合题意； 故选：． 变式2．下列说法正确的是（　 ） A．表示和相乘 B．的值一定比的值大 C．的值一定比2大 D．的值随的增大而增大 【分析】利用代数式的意义逐项分析判断即可获得答案． 【详解】解：A. 表示2和相乘，故本选项错误，不符合题意； B. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； C. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； D. 的值随的增大而增大，该说法正确，符合题意． 故选：D． 变式3．下列数与式子：① ② ③ ④ ⑤a ⑥0其中是代数式的是（填序号） ． 【分析】本题考查了代数式的定义，代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，，a ，0都是代数式， 故答案为：①②⑤⑥． 题型2：列代数式 例1．一个两位数，个位数字为m，十位数字为n，则这个两位数用代数式可以表示为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是理解十位数字需要乘上，然后相加即可． 【详解】解：个位数字为m，十位数字为n， 这个两位数是， 故选D． 例2．用代数式表示“比a大2的数”，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查代数式，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接进行求解． 【详解】解：用代数式表示“比a大2的数”为； 故选B． 例3．x的3倍与y的倒数的和用代数式表示为 ． 【分析】本题主要考查了列代数式，理解题意，是解题的关键．表示出x的3倍与y的倒数的和，即可． 【详解】解：x的3倍与y的倒数的和为． 故答案为：． 变式1．若m，n为正整数，则的结果可表示为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了用代数式表示数，先得出m个3相加表示为，n个2相乘表示为，然后相加即可得出答案． 【详解】解：由条件可知的结果可表示为， 故选：A． 变式2．如图，下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（   ）    A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了列代数式，阴影部分面积等于最大长方形面积减去空白部分面积，阴影部分面积等于上部分一个长方形面积加上右下角长方形面积，阴影部分面积等于右部分一个长方形面积加上左上角正方形面积，据此分别列式表示出阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：阴影部分面积等于最大长方形面积减去空白部分面积，即阴影部分面积为，故D表示正确，不符合题意； 阴影部分面积等于上部分一个长方形面积加上右下角长方形面积，即阴影部分面积为，故B表示正确，不符合题意； 阴影部分面积等于右部分一个长方形面积加上左上角正方形面积，即阴影部分面积为，故C表示正确，不符合题意； 根据现有条件无法用表示阴影部分面积，故A表示错误，符合题意； 故选：A． 变式3．体育用品商店的每个排球的价格为x元，每个篮球的价格为y元，学校到体育用品商店购买6个排球，8个篮球共需的费用为 元．（用含x、y的代数式表示） 【分析】本题主要考查了列代数式．根据题意可得购买6个排球需要元，购买8个篮球需要元，最后二者相加即可． 【详解】解：∵每个排球的价格为元， ∴购买6个排球需要元； ∵每个篮球的价格为元， ∴购买8个篮球需要元． ∴一共需要元 故答案为：． 变式4．买一副羽毛球拍需要元，买一副乒乓球拍需要元.买3副羽毛球拍和5副乒乓球拍一共需要 元. 【分析】本题主要考查了列代数式，根据总价乒乓球拍的单价乒乓球拍的数量羽毛球拍的单价羽毛球拍的数量进行求解即可． 【详解】解：根据题意，买3副羽毛球拍和5副乒乓球拍一共需要：元； 故答案为：． 变式5．对于一个四位自然数，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“天真数”．例如：四位数7311，是“天真数”；四位数不是“天真数”．则最小的“天真数”为 ． 【分析】本题考查了新定义，列代数式，根据“天真数”的定义进行分析，即可求解． 【详解】解：依题意，， 0是最小的自然数， 由“天真数”的定义可知，最小的“天真数”的个位数和十位数为0，即， 千位数为，百位数为， 最小的“天真数”为； 故答案为：． 题型3：代数式的书写规范 例1．下列式子中，符合代数式书写要求的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查代数式的书写要求．根据代数式的书写要求即可作出判断． 【详解】解：A、应写成，故本选项不符合题意； B、应写成，故本选项不符合题意； C、书写正确，故本选项符合题意； D、应写成，故本选项不符合题意； 故选：C． 例2．下列各式最符合书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了代数式，代数式的书写要求：在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式；根据代数式的书写要求逐项判断即可得解，熟练掌握代数式的书写要求是解此题的关键 【详解】解：A、中的乘号应省略不写，且写在前面，故原选项错误，不符合题意； B、符合书写规范，故原选项正确，符合题意； C、应按照分数的写法来写，故原选项错误，不符合题意； D、中带分数要写成假分数的形式，故原选项错误，不符合题意； 故选：B． 例3．下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的含义是a与4的差除以b的商；④a，b两数的平方差与两数的积的4倍的和表示为．其中正确的有 ．（填序号） 【分析】本题考查了代数式的意义，代数式的书写方法，理解除和除以的区别，在解答的过程中要认真分析题意，搞清运算顺序是关键，代数式书写时带分数必须化为假分数． 【详解】解：a是代数式，1也是代数式，故①不正确； 表示数a，b，的积的代数式是，故②不正确； 代数式的含义是a与4的差除以b的商，故③正确； a，b两数的平方差与两数的积的4倍的和表示为，故④不正确． 综上，正确的有③， 故答案为：③． 变式1．有下列各式：下列代数式中，符合代数式书写要求的有（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中如果出现乘号“”，通常将乘号写作“”或省略不写，解题的关键是正确理解代数式的书写要求，数字与字母相乘时，数字写在字母前． 【详解】解：（1）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （2）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （3）书写形式规范，符合题意； （4）书写形式规范，符合题意； （5）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （6）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （7）应书写成，，书写形式不规范，不符合题意； ∴符合书写要求的有2个， 故选：B． 变式2．下列式子：①；②；③；④，其中符合代数式书写规范的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查代数式的书写规则，根据代数式的书写规则：数字和字母的乘积的形式，用点乘或省略乘号，除号用分数线表示，带分数化为假分数，系数为1的数字1省略，逐一进行判断即可． 【详解】解：①应该写成，不符合题意； ②符合题意； ③应该写成，不符合题意； ④符合题意； 综上所述，其中符合代数式书写规范的有2个． 故选B． 变式3．，，，，，中，其中符合书写要求的代数式的个数为 ． 【分析】此题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．解题关键是掌握代数式的书写要求．根据代数式的书写要求分别进行判断即可． 【详解】解：用字母表示数的式子中，符合书写要求的有：，，，共3个， 应该写成或，应该写成， 应该写成中， 故答案为：． 变式4．下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）； （2）； （3）； （4）； 【分析】本题考查代数式的书写规范，熟练掌握代数式的书写规范是解题的关键. （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． 【详解】（1）解：应写为； 故答案为：． （2）解：应写为； 故答案为：． （3）解：应写为/； 故答案为：/． （4）解：应写为； 故答案为：． 题型4：用代数式表示数的规律 例1．按一定规律排列的代数式：，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的多项式中各单项式的特点，探索出一般规律是解题的关键． 通过观察各单项式的系数和次数，可得规律第个多项式为． 【详解】解：∵， ∴第个多项式为， 故选：B． 例2．已知下列一组数：1，，，，，…，则用式子表示第个数（    ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了数字变化规律，根据已知分别得出分子与分母的变化规律是解题关键．根据数字规律，分母是连续数字平方，分子是连续奇数，进而得出答案． 【详解】解：∵ ∴分母是： 分子是：   第n个数为：， 故选：B． 例3．礼堂第一排有个座位，后面每一排比前一排多个座位，那么第12排有 个座位．（用含m，n的代数式表示） 【分析】本题主要考查了列代数式，根据第一排有m个座位，后面每排比前一排多n个座位，列出代数式即可求解． 【详解】解：∵礼堂第一排有个座位，后面每一排比前一排多个座位， ∴第12排有个座位． 故答案为：． 变式1．按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了数字变化的规律，找到代数式的系数和指数规律是解题的关键．观察代数式的系数和指数，找到变化的规律即可解答． 【详解】解：第1个代数式是， 第2个代数式是， 第3个代数式是， 第4个代数式是， 第5个代数式是， …… 依此类推，第个代数式是． 故选：A． 变式2．如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6……第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（   ） A．36 B．96 C．226 D．426 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给排列方式，发现从第三行起，第n行的左起的第3个数可表示为：（n为大于等于2的整数）是解题的关键． 根据所给排列方式，发现每行最后一个数可表示为两个连续整数的积，据此发现第三行开始的每行左起第3个数的规律即可解答． 【详解】解：由题知，， 所以第n行的最后一个数可表示为， 则从第三行起，第n行的左起的第3个数可表示为：（n为大于等于2的整数）． 因为，故A选项不符合题意； 因为，故B选项不符合题意； 因为且，故C选项符合题意； 因为，故D选项不符合题意． 故选：C． 变式3．观察下面一列有规律的数：，，，，，，…根据规律可知第个数应是 ．（为正整数） 【分析】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．找分数的规律时，一定要分别观察分数的分子和分母的规律．观察分数的规律时：第n个的分子是n，分母是分子加1的平方减去1，即 或． 【详解】解：∵ ； ； … 则根据分子和分母的规律可知第n个数为 或． 题型5：用代数式表示图形的规律 例1．如图是三种化合物的结构式及分子式，则按其规律第9个化合物的分子式为（    ） 结构式：…… 分子式：                                               …… A． B． C． D． 【分析】本题考查规律探究，根据图示得到第个化合物中含有个C，个H，即可得到第个化合物的分子式解题即可． 【详解】解：根据题意可得第个化合物中含有个C，个H， 第个化合物中含有个C，个H， 第个化合物中含有个C，个H， ， 第个化合物中含有个C，个H， 所以第个化合物中含有个C，20个H，即， 故选：D． 例2．“中国结”寓意吉祥如意，中间的图案是一些小正方形．如图，将一定数量的“中国结”按某规律放置，得到中间小正方形的个数如下：第1个图形共有小正方形16个，第2个图形共有小正方形23个，第3个图形共有小正方形30个，…，依照此规律，第200个图形中共有小正方形（   ） A．1309个 B．1409个 C．1509个 D．1609个 【分析】本题主要考查了图形的规律探索，合理分析图形数量变化的规律是解题的关键．根据图形数量的变化寻找规律得出第n 图形中小正方形的个数，然后再求出时，代数式的值即可． 【详解】解：第一个图形可以看作是个正方形， 第二个图形可看作是个正方形， 第三个图形可看作是个正方形， ∴第个图形的小正方形数量为：； ∴时，， ∴第200个图形中共有小正方形1409个． 故选：B． 例3．如图，将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5朵梅花，第2个图形中有8朵梅花，第3个图形中有13朵梅花，第4个图形中有20朵梅花……依此规律，第n个图形中含有的梅花朵数是 ．（用含n的代数式表示） 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据题意可得第1个图形中有朵梅花，第2个图形中有朵梅花，第3个图形中有朵梅花，第4个图形中有朵梅花，据此归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：由图可知，第1个图形中含有的梅花朵数是， 第2个图形中含有的梅花朵数是， 第3个图形中含有的梅花朵数是， 第4个图形中含有的梅花朵数是， 归纳类推得：第个图形中含有的梅花朵数是，（其中为正整数） 故答案为：． 变式1．观察下面图形，它们是由按一定规律排列的小黑点组成，则第n个图小黑点数量的代数式为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形可知，后一个图形比前一个图形多4个小黑点，进而求出第n个图小黑点数量的代数式即可． 【详解】解：观察图形可知，第1个图形有1个小黑点，后一个图形比前一个图形多4个小黑点， ∴第n个图小黑点数量的代数式为； 故选D． 变式2．小明用火柴棒摆正方形，图1用了4根火柴棒，图2用了7根火柴棒，图3用了10根火柴棒，……，照此规律摆下去，图n要用火柴棒的根数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查用代数式表示图形的规律，根据已知图形找出变化规律，利用规律列代数式即可． 【详解】解：摆1个正方形，需要4根火柴，可以写成； 摆2个正方形，需要7根火柴，可以写成； 摆3个正方形，需要10根火柴，可以写成； …… 以此类推，图n要用火柴棒的根数为． 故选C． 变式3．如图是用黑白两色正方形瓷砖按一定规律铺设地板的图案，则第101个图案中白色瓷砖的块数是 块． 【分析】本题主要考查了图形规律，结合图形根据已有的特殊数据找到一般规律，再利用一般规律解决问题成为解题的关键． 由图形可知：第1个图案中白色瓷砖是5个，第2个图案中白色瓷砖是8个，第3个图案中白色瓷砖是11个，…，依此类推，发现后一个图案中的白色瓷砖总比前一个多3个，由此得出第n个图案中白色瓷砖块数是，最后将101代入计算即可． 【详解】解：∵第1个图案中白色瓷砖是个， 第2个图案中白色瓷砖有块， 第3个图案中白色瓷砖有块， … ∴第n个图案中白色瓷砖有块． 第101个图案中白色瓷砖块数是． 故答案为：305． 变式4．下列是由一些五角星搭成的图形，第1个图形用了4个五角星，第2个图形用了7个五角星，第3个图形用了10个五角星，……按照这种方式搭下去，搭第10个图形需要用 个五角星． 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需五角星的个数依次增加3是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中五角星的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 搭第1个图形需要用的五角星个数为：， 搭第2个图形需要用的五角星个数为：， 搭第3个图形需要用的五角星个数为：， 搭第n个图形需要用的五角星个数为个， 当时，（个）， 即搭第10个图形需要用的五角星个数为31个， 故答案为：31． 变式5．实践与探究 【观察思考】 （1）上面按一定规律排列的图形都是用长的绳子围成的，请将下表补充完整． 正方形的个数 1 2 3 4 … 正方形的边长 12 6 … 【规律总结】 （2）正方形的边长是怎样随着正方形的个数的变化而变化的？ （3）用表示正方形的个数，用表示正方形的边长，用式子表示与的关系．与成什么比例关系？ 【分析】本题考查了反比例关系的判断，两个相关联的量，当它们的乘积一定时，这两个量成反比例． （1）分别求出每个图形中的正方形的边长即可； （2）根据表格中的数据即可得到答案； （3）当两个量的乘积一定时，这两个量成反比例，据此解答． 【详解】（1）解：1个正方形，共条边，每个正方形的边长为； 2个正方形，共条边，每个正方形的边长为； 3个正方形，共条边，每个正方形的边长为； 4个正方形，共条边，每个正方形的边长为； …… 填表如下： 正方形的个数 1 2 3 4 … 正方形的边长 12 6 4 3 … （2）正方形的边长随着正方形的个数的增加而减少； （3）（一定）， 即正方形的个数每个正方形的边长（一定）， ∴，与成反比例关系． 题型6：代数式表示的实际意义 例1．用字母表示的代数式是具有一定意义的，下列赋予实际意义的例子中错误的是（   ） A．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 B．若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则表示这工程队4天完成的工作量 C．若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则表示这个两位数 D．若汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程 【分析】本题考查代数式，根据题意列代数式是解题的关键． 逐项列代数式，能用表示的即正确，否则就是错误的． 【详解】解：A、若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长，正确，故此选项不符合题意； B、若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则表示这工程队4天完成的工作量，正确，故此选项不符合题意； C、若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则表示这个两位数，原说法，故此选项符合题意； D、若汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程，故此选项不符合题意． 故选：C． 例2．甲、乙两人赋予实际意义如下，则判断正确的是（   ） 甲：若等边三角形的边长为，则表示等边三角形的周长； 乙：若苹果的单价为元/千克，则表示千克梨的金额． A．甲、乙都对 B．只有甲对 C．只有乙对 D．甲、乙都错 【分析】本题考查了代数式的意义，正确理解代数式的意义是解题关键； 根据甲乙的说法列出代数式，即可求解． 【详解】解：甲：若等边三角形的边长为，则表示等边三角形的周长，说法正确； 乙：若苹果的单价为元/千克，则表示3千克梨的金额，说法不正确． 故只有甲对； 故选：B 例3．联系实际背景，说明代数式的意义 ． 【分析】本题考查了代数式的实际意义，解题的关键是理解代数式所表示的实际意义；因此此题可根据代数式进行求解即可 【详解】解：代数式的意义可表示为6个边长为a的正方形的面积之和（答案不唯一，合理即可）； 故答案为：6个边长为a的正方形的面积之和（答案不唯一，合理即可） ． 变式1．“腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为元的一批图书以元的价格出售，下列说法中能正确表达这批图书的促销方法的是(　　) A．在原价的基础上打折后再减去元 B．在原价的基础上打折后再减去元 C．在原价的基础上减去元后再打折 D．在原价的基础上减去元后再打折 【分析】本题考查代数式的意义，熟练掌握其实际意义是解题的关键．根据代数式的实际意义即可求得答案． 【详解】解：由题意可得将原价为元的一批图书以元的价格出售表示的意义为在原价的基础上减去元后再打折， 故选：C． 变式2．某商店举办促销活动，促销的方法是将原价为元的衣服以元出售，则下列关于代数式的含义描述正确的是（   ） A．原价加上4元后再打7折 B．原价打7折后再加上4元 C．原价加上4元后再打3折 D．原价打3折后再加上4元 【分析】本题考查代数式表示的意义，表示原价，得到表示在原价打7折的基础上加4元，进行判断即可． 【详解】解：由题意，代数式的含义为原价打7折后再加上4元； 故选B． 变式3．新课标开放性试题请给赋一个实际意义： ．（答案不唯一） 【分析】本题考查了代数式的实际意义，根据代数式写出实际意义即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：每本笔记本元，购买本的钱数为元， 故答案为：每本笔记本元，购买本的钱数为元． 变式4．说出下列代数式的意义： (1)圆珠笔每支售价a元，练习簿每本售价b元，那么表示什么？ (2)长方形的长、宽分别为a，b，那么表示什么？ 【分析】本题考查了代数式． （1）根据题意解释代数式的意义即可； （2）根据题意解释代数式的意义即可． 【详解】（1）表示3支圆珠笔与4本练习簿的总价格； （2）表示长为a，宽为的长方形的面积． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级上·广西柳州·期中）一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，这个两位数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了列代数式，根据十位上的数字是，个位上的数字是，则这个两位数是，即可作答． 【详解】解：∵一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是， ∴这个两位数是， 故选：D 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）我市居民用电每度元，黄老师家本月电表显示数为度，上月底电表显示数为 度，则黄老师本月应交电费(    )元. A． B． C． D． 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题中的数量关系来列代数式．先用本月电表显示的度数减上月底电表显示的度数，再乘，即可得到答案． 【详解】解：黄老师本月应交电费：， 故选：D． 3．（24-25七年级上·河北邢台·期中）两地之间的公路全长，若以的速度行驶，全程行驶时间为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查列代数式以及行程问题中路程、速度、时间三者的关系，解题的关键是牢记路程=速度时间这一公式，并能灵活变形求出时间． 根据路程、速度、时间的关系，已知路程和速度，通过公式变形求出时间． 【详解】在行程问题中，基本公式为路程速度时间，变形得时间． 根据题意得：路程，速度，将其代入变形公式，得： 全程行驶时间， 故选：D． 4．（24-25七年级上·云南临沧·期末）下列两个量中，成反比例的是（   ） A．路程一定时，速度和时间 B．圆的半径和它的面积 C．被减数一定时，减数和差 D．单价一定时，商品的总价和件数 【分析】本题考查反比例的意义和辨别，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系．据此逐一判断即可． 【详解】解：路程一定，行驶的时间和速度成反比关系，故A符合题意； 圆的面积与圆的半径成正比关系，故B不符合题意； 被减数一定，减数和差不成比例关系，故C不符合题意； 单价一定时，商品的总价和件数成正比关系，故D不符合题意． 故选：A． 5．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图、、、分别是长方形的四个顶点长，宽，以点为圆心为半径画圆弧，再以为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为和，则的值是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，利用扇形的面积（长方形的面积半圆的面积）计算即可求解，正确识图是解题的关键 【详解】解：∵扇形的面积，半圆的面积，长方形的面积， ∴扇形的面积（长方形的面积半圆的面积） ， 故选：． 6．（24-25七年级上·广东广州·期末）n支球队进行单循环比赛，每两队之间都比赛一场，总的比赛场数是多少？（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了根据实际问题列代数式，解题的关键是读懂题意，明确单循环赛制的含义． n支球队进行单循环比赛，每个球队与其他队比赛场，进而求解即可． 【详解】解：n支球队举行单循环比赛，比赛的总场数为． 故选：B． 7．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图：第1个图案中，内部“△”的个数为个，外侧边上“•”的个数为个；第个图案中，内部“△”的个数为个，外侧边上“•”的个数为个；第个图案中，内部“△”的个数为个，外侧边上“•”的个数为个；依此类推，当内部“△”的个数是时，外侧边上“•”的个数为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、列代数式，解决本题的关键是根据所给图形发现图形内部“△”的个数和外侧边上“•”的个数变化规律，根据规律求出外侧边上“•”的个数． 【详解】解：由图可知， 第个图形内部“△”的个数为：，外侧边上“•”的个数为：， 第个图形内部“△”的个数为：，外侧边上“•”的个数为：， 第个图形内部“△”的个数为：，外侧边上“•”的个数为：， ， 第个图形内部“△”的个数为：个，外侧边上“•”的个数为个， 当时， 解得：，(不符合题意，舍去)， 外侧边上“•”的个数为． 故选：C． 8．（24-25七年级上·河南郑州·期末）长方形内点的个数与三角形个数的有关数据如表： 长方形内点的个数 1 2 3 4 … 三角形的个数 4 6 8 10 … 如果长方形内有100个点时，可以形成的三角形有（    ）个． A．198 B．200 C．202 D．204 【分析】认真观察图形和数字之间的关系，总结规律：三角形内有n个点时，可以形成的三角形个数是，据此作答． 【详解】解：如图：    当内的点的个数是时，可以形成的三角形个数是； 当内的点的个数是时，可以形成的三角形个数是； 依此类推得到当内的点的个数是时，可以形成的三角形个数是； 当内的点的个数是时，可以形成的三角形个数是； 所以当内的点的个数是时，可以形成的三角形有． 故选：C． 9．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）如图，这是由一些火柴棒摆成的图案，按照这种方式摆下去，摆第n个图案需用火柴棒的根数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现需要的火柴棒的根数依次增加是解题的关键． 先依次求出前几个图形中火柴棒的根数，然后归纳规律，最后运用规律解答即可． 【详解】解：由题图可知，摆第个图案需用的火柴棒的根数为； 摆第个图案需用的火柴棒的根数为； 摆第个图案需用的火柴棒的根数为； …， 所以摆第n个图案需用的火柴棒的根数为． 故答案为：B． 10．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为立方米，则应缴水费为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【分析】本题考查了列代数式，能够根据题意列出代数式是解答本题的关键． 根据题意列出代数式解答即可． 【详解】解：根据题意可得：应缴水费为：元， 故选：A． 二、填空题 11．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）在下列各式：①；②：③；④；⑤，⑥中，代数式的有 个． 【分析】本题考查了代数式的定义，根据代数式即用运算符号把数或字母连起来的式子，逐项判断即可，熟练掌握代数式的定义是解此题的关键． 【详解】解：①是整式，是代数式； ②，是等式，不是整式，不是代数式； ③是整式，是代数式； ④是不等式，不是整式，不是代数式； ⑤是分式，不是整式，是代数式； ⑥是整式，是代数式； 综上所述，代数式有①③⑤⑥， 故答案为：4． 12．（2025·吉林长春·二模）某商品的进价为元，先按进价的倍标价，后又降价50元出售，这件商品现在的售价为 元（用含的代数式表示）． 【分析】本题主要考查了列代数式，解题的关键是正确理解题意列出代数式． 根据题意列出代数式即可． 【详解】解：根据题意得，商品现在的售价为元， 故答案为：． 13．（2025·山西太原·一模）如图是用若干个相同的小正方形拼成的图案．第1个图案中有4个小正方形，第2个图案中有7个小正方形，第3个图案中有10个小正方形，······，依此规律，第n个图案中小正方形的个数为 （用含的代数式表示）． 【分析】本题考查了图形的变化规律、列代数式，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．根据图形的变化规律可知，从第二个图形起每个图形都比前一个多3个小正方形，以此即可找到图形规律． 【详解】解：第1个图案有4个正方形，即， 第2个图案有7个正方形，即， 第3个图案有10个正方形，即， …… 以此类推，第个图案有个正方形， 故答案为：． 14．（24-25六年级上·上海·期中）小明分别将3个、8个相同的纸杯整齐地叠放在一起（如图），根据图中的信息，当小明把个这样相同的纸杯整齐叠放在一起时，这个纸杯的高度约为 ． 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．根据题意和图形可以求得每增加一个纸杯增加的高度，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得，每增加一个纸杯，增加的高度是：， ∴个这样相同的纸杯整齐叠放在一起时，这m个纸杯的高度约为：， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·河南商丘·期中）代数式用文字语言表示为 ． 【分析】本题考查了代数式的文字语言，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据表示的平方和表示的倒数即可解答． 【详解】解：表示的平方，表示的倒数， 代数式用文字语言表示为的平方与的倒数的差， 故答案为：的平方与的倒数的差． 16．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在宽为，长为的矩形地面上按A、B两种方案修筑同样宽的道路（图中阴影部分）．两种方案阴影部分的面积分别记为，，则 （填“”或“”或“”）． 【分析】本题考查了列代数式，解决本题的关键是表示出两条道路的面积．阴影的面积道路的面积和，设道路宽米，可根据此关系列出方程求出阴影部分的面积，再进行比较即可． 【详解】解：设道路宽米．平方米， 平方米， 所以 故答案为：． 17．（24-25七年级上·福建漳州·期中）商店对商品尾货进行亏本促销活动，促销的方法是将成本为元的商品提价后标价，再以元的促销价出售，则下列说法中，①标价减去30元后再打9折；②标价打9折后再减去30元；③标价减去50元后再打6折；④标价打6折后再减去30元．能正确表达该商店促销方法的是 ．（填序号） 【分析】此题主要考查了代数式，成本为元的商品提价后标价为，分别列出四个说法的促销价，再可判断即可． 【详解】解：成本为元的商品提价后标价为， ①标价减去30元后再打9折，则促销价为：， 故①不符合； ②标价打9折后再减去30元，则促销价为：， 故②不符合； ③标价减去50元后再打6折，则促销价为：， 故③符合； ④标价打6折后再减去30元，则促销价为：， 故④符合； 综上，能正确表达该商店促销方法的是③④． 故答案为：③④． 18．（24-25七年级上·贵州黔南·期末）设一个长方形的长与宽分别为，当该长方形的面积为时，长与宽的关系可用式子表示为： ，它们成 关系． 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系式，根据长方形面积长宽，长方形的长与宽分别为，面积为，即可得到长与宽的关系式，再判断出它们所成的关系． 【详解】解：长方形的长与宽分别为，面积为， 则，它们成反比例关系． 故答案为：，反比例 19．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）九连环作为一种中国传统民间玩具，由九个完全一样的圆环和中间的直杆连接而成（如图1），从上往下看，可以看成九个水平摆放且间距一样的圆环（如图2），若相邻两个圆环之间重叠部分的宽度均为，整个九连环的宽度为，则一个圆环的直径可以表示为 （用含、的代数式表示）． 【分析】本题考查图形规律类．熟练掌握重叠后长度，重叠部分长度，并排长度的关系，是解题的关键． b加的和除以9，即得． 【详解】． 故答案为：． 20．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）有三行数： 2、、8、、32、、……① 0、、6、、30、、……② 、2、、8、、32、……③ 取每行数的第7个数，那么这三个数的和是 【分析】本题考查了数字类变化规律、有理数的加减，由题目中所给数据得出规律，从而得出第一行的第7个数为，第二行的第7个数为，第三行的第7个数为，相加即可得解． 【详解】解：由题目中的数据可得： 第一行数据的第个数为， 第二行数据的第个数为 第三行数据的第个数为， 故第一行的第7个数为，第二行的第7个数为，第三行的第7个数为， ∴取每行数的第7个数，那么这三个数的和是， 故答案为：． 三、解答题 21．（24-25七年级上·河北邢台·期中）河北枣类特产体验店上架了两种商品：赞皇大枣和金丝小枣，单价分别为5元/份､8元/份．现已售出m份赞皇大枣和n份金丝小枣，共卖出Q元． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)当时，用科学记数法表示Q的值． 【分析】本题考查列代数式以及科学记数法，解题的关键是根据单价，数量和总价的关系列出代数式，并正确进行数值计算和科学记数法的转换．根据“总价=单价数量”分别求出两种枣的销售额，再求和得到的表达式． （1）将m，n的值代入表达式计算的值． （2）将计算结果用科学记数法表示． 【详解】（1）解：根据“总价=单价数量”，赞皇大据的销售额为元；金丝小枣的销售额为元． 两种枣的总销售额等于赞皇大据销售额与金丝小枣销售额之和， 所以； （2）由题意得：． 22．（24-25七年级下·四川泸州·开学考试）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的付款． (1)若该客户购买西装20套，领带22条，按方案一需付款多少元？按方案二需付款多少元？ (2)若该客户购买西装20套，领带条，按方案一购买需付款多少元？按方案二购买需付款多少元？（用含的代数式表示） 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，读懂题目信息，理解两种优惠方案的优惠方法是解题的关键． （1）根据两种方案的优惠方法分别列式整理即可； （2）根据两种方案的优惠方法分别列式整理即可． 【详解】（1）解：由题意得，方案一：元， 方案二：元； 答：按方案一需付款4080元，按方案二是4392元． （2）由题意得，方案一：， 方案二：； 即：按方案一购买需付款元，按方案二购买需付款元． 23．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）规定一种新运算法则：※，例如3※． (1)求的值； (2)求的值． 【分析】此题考查了列代数式以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用已知的新定义计算即可求出值； （2）原式利用已知的新定义计算即可求出代数式． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：原式； （2）解：根据题中的新定义得：原式． 24．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，一幅长为，宽为的长方形风景画，画面的四周留有空白区域作装饰，其中四角均是边长为的正方形，正中间画面的面积是多少平方米？ 【分析】本题主要考查列代数式，熟练掌握列代数式是解题的关键．根据题意将画面的长和宽表示出来，即可得到答案． 【详解】解：正中间画面的长为， 宽为， 面积是平方米． 25．（24-25七年级上·河南南阳·期末）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．请运用所学知识，解答下列问题． (1)设是一个四位数，如果可以被9整除，那么这个数可以被9整除．为什么？ (2)设是一个四位数，如果，那么这个数一定是11的倍数．为什么？ (3)设是一个三位数，要使这个数是11的倍数，、、应满足什么条件？不需说明理由，请直接写出你的结果． 【分析】本题考查了列代数式，新定义下的实数运算：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．同时考查了数的整除性问题．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得，整理得，结合能被9整除，可以被9整除，即可作答． （2）依题意，，因为，则，显然能被11整除，∴这个数一定是11的倍数． （3）设，则，显然能被11整除，因为要使这个数是11的倍数，则当是11的倍数时，能被11整除，即可作答． 【详解】（1）解：依题意 ， 显然能被9整除， ∵可以被9整除， ∴就能被9整除． （2）解：依题意，， ∵， ∴ ； 显然能被11整除， ∴这个数一定是11的倍数． （3）解：∵是一个三位数， 设， ∴， 显然能被11整除， ∵要使这个数是11的倍数， 则当是11的倍数时，能被11整除． 26．（24-25七年级上·河南焦作·期末）观察下表，回答问题 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第 6 列 第1行 1 2 3 4 5 6 第2行 7 8 9 10 11 12 第3行 13 14 15 16 17 18 第4行 19 20 21 22 23 24 … … … … … … … (1)比9大6的数在第______行，比15大13的数在第______列； (2)若第2行第n列的数记为x，则第a行第n列的数记为______，第2行第b列的数记为______； (3)若第m行第n列的数记为y，则第a行第b列的数记为______． 【分析】本题主要考查了数字变化规律，用代数式表示， （1）先确定这个数，再观察表格可知每行有6个数，可得这个数在第几行，第几列； （2）根据第2行第n列的数可知列数相同相邻的行数相差6可解答；再以第2行第n列的数为x，可得第b列的数； （3）先表示第m行n列的数记为y，可得，再表示第a行第b列的数，然后代入可得答案. 【详解】（1）解：比9大6的数是，观察表格可知每行有6个数， ， 所以比9大6的数在第3行； 同上，，余数是4， 所以比15大13的数在第4列． 故答案为3，4； （2）解：第2行第n列的数表示为， 第a行第n列的数表示为； 第2行第b列的数表示为； 故答案为：，； （3）解：根据题意可知第m行n列的数记为y，可知， 则. 则第a行第b列的数表示为 ． 故答案为：. 27．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）用字母表示数是数学发展史上的一个里程碑．用字母表示数，字母可以像数一样参与运算，使问题中的数量关系和运算表示得更简明，更具有一般性． (1)用字母、表示两个数，若这两个数互为倒数，则我们可得到等式 ； (2)计算下面的算式并把所得的结果填在后面的横线上： 的结果是 ，请写出你的求解过程； (3)甲、乙两家商店都经营一种商品，一开始标价相同．甲先涨价，发现销量不好，接着降价出售；乙先降价，后来又涨价．设最后的实际售价分别是和，请比较和的大小并说明理由． 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，关键是理解题意，正确表示甲、乙店现在的价格． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）设，根据乘法分配律变形，求解即可； （3）本题对题意进行分析，先求出甲、乙店现在的价格，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：用字母a、b表示两个数，若这两个数互为倒数，则我们可得到等式． 故答案为：； （2）解：设， ； 故答案为：； （3）解：．理由如下： 设开始标价为a， 由题意知：甲商店：先涨价再降价， 可知现有价格为， 乙商店：先降价，后来又涨价， 现有价格为， 则． 28．（24-25六年级上·山东烟台·期末）日历是一份来自时间的礼物，它让生活有迹可循，同时提醒我们要珍惜时间，不负韶华．如图是年月份的日历，小颖用一个“”形框选中了个数． (1)请通过计算说明图中“”形框选中的五个数的和与中间数的关系； (2)若在日历中任意画一个这样的“”形框且选中个数，（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由． 【分析】本题考查有理数的加法，求代数式的值，根据题意列代数式是解题的关键； （1）计算这五个数的和，即可找到与中间数的关系； （2）设中间的数为，其余四个数分别为，，，，计算五个数的和即可求解； 【详解】（1）解：； 图中“”形框选中的五个数的和是中间数的倍； （2）解：成立； 设中间的数为，其余四个数分别为，，，， 五个数的和为：； 图中“”形框选中的五个数的和是中间数的倍； 29．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）列代数式． (1)糖果厂生产一批水果糖．把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如下表所示． 每袋装的颗数 10 12 18 20 24 … 总袋数 360 300 200 180 150 … 这批水果糖共有_______颗；用n表示总袋数，m表示每袋装的颗数，用式子表示n与m的关系是___． (2)甲、乙两地之间公路全长km，汽车从甲地开往乙地，原计划行驶速度为． ①若汽车速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶______小时；汽车比原计划早到_____小时． ②若出发的第1小时以匀速行驶，1小时后速度增加继续行驶至乙地，汽车比原计划早到_________小时． (3)现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章的示意图如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为b，那么这个印章的表面积为________；这个印章所有棱长的和为_______． 【分析】本题考查了列代数式，解题关键是明确题目中的数量关系，列出代数式； （1）用总袋数乘以每袋装的颗数就能得出这批水果糖共有多少颗，再列出代数式即可； （2）①根据时间等于路程除以速度即可列出代数式，再相减即可；②类似①的方法列出代数式求解即可； （3）求出正方形和等边三角形的面积，再乘以个数，再相加即可；计算出多少条棱，再乘以边长即可． 【详解】（1）解：这批水果糖共有（颗）； 用n表示总袋数，m表示每袋装的颗数，用式子表示n与m的关系是； 故答案为：3600；． （2）解：①若汽车速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶（小时），汽车比原计划早到（小时）； ②若出发的第1小时以匀速行驶，1小时后速度增加继续行驶至乙地，那么汽车从甲地到乙地需要行驶（小时），汽车比原计划早到小时或小时； 故答案为：或． （3）解：一个正方形的面积为，一个等边三角形的面积为，那么这个印章的表面积为； 这个印章共有18个正方形，总共有棱（条），重复的棱有（条）， 这个印章共有48条棱，这个印章所有棱长的和为； 故答案为：；． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$第二章 代数式 01讲 代数式的概念和列代数式 目录 【知识点1. 代数式】………………………………………………………………… 1 【知识点2. 列代数式】……………………………………………………………… 2 【题型1. 代数式的概念】…………………………………………………………… 4 【题型2. 列代数式】………………………………………………………………… 4 【题型3. 代数式的书写规范】……………………………………………………… 5 【题型4. 用列代数式表示数的规律】……………………………………………… 6 【题型5. 用列代数式表示图形的规律】…………………………………………… 7 【题型6. 代数式表示的实际意义】………………………………………………… 9 【课后作业】…………………………………………………………………………… 11 知识清单 1、代数式 把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫做代数式。 单独一个字母或一个数也是代数式。如:16n ,2a+3b ,34 ,,等。 注意:含有等号或不等号的式子不是代数式,如,,等都不是代数式. 巩固基础 1.下列各式中,不是代数式的是( ) A. B.5 C. D. 2.下列不是代数式的是( ) A. B. C. D.0 3.在,,,,,0,中,代数式有( ) A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 4.下面每个选项中的两种量成反比例关系的是( ) A.被减数一定,减数和差 B.练习本的单价一定,购买的本数和总价 C.路程一定,速度和时间 D.球的半径和它的表面积 8.代数式用 (基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子. 9.若将代数式中的任意两个字母交换,代数式不变,则称这个代数式为完全对称式.如就是完全对称式.下列三个代数式:①;②;③.其中是完全对称式的是 .(填写序号) 知识清单 2、列代数式 在解决实际问题时,常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来,即列出代数式,使问题变得简洁,更具一般性。 代数式的书写规范: 1)字母与数字或字母与字母相乘时,通常把乘号写成“ ”或省略不写; 2)除法运算一般以分数的形式表示; 3)字母与数字相乘时,通常把数字写在字母的前面; 4)字母前面的数字是分数的,如果既能写成带分数又能写成假分数,一般写成假分数的形式; 5)如果字母前面的数字是1,通常省略不写。 巩固基础 1.若用,,分别表示一个三位数的百位、十位和个位上的数字,则这个三位数可以表示为( ) A. B. C. D. 2.化简的结果为( ) A. B. C. D. 3.某商品先按批发价元提高零售,后又按零售价降低出售,则它最后的单价是( )元. A. B. C. D. 4.某产品前年的产量是件,去年的产量比前年产量的3倍少5件,则去年的产量为 件(用含的代数式表示). 5.若一支钢笔的价格为元,则表示的意义是 . 6.用代数式表示“a的2倍与5的差”,其结果是 . 7.食品加工厂准备把一批新酿的醋装瓶运往商店,每瓶容量和所装瓶数如下表: 每瓶容量/ 250 500 750 1500 所装瓶数/瓶 1200 400 200 (1)表中空格 (2)用n表示所装瓶数,m表示每瓶容量,请问n与m成什么比例关系,并说明理由? 8.(1)小明每季度有零花钱a元,拿出b元捐给爱心基金,平均每月剩余的零花钱是多少? (2)七年级(1)班共有a名学生,其中有b名男生,男生的三分之一去参加篮球比赛了,班级剩余多少人? (3)某商品原价每件a元,商场打折.现价每件b元,现买3件可以省多少元? (4)某种汽车油箱装满后有油a升,每小时耗油b升,行驶了3小时,油箱剩余油量是多少? 直击考点 题型1:代数式的概念 例1.下列式子是代数式的是( ) ① ② ③ ④ A.① B.② C.③ D.④ 例2.下列各式中,代数式的个数是( ) ①②③④⑤⑥a⑦⑧ A.5 B.6 C.7 D.8 例3.下列是代数式的有: .(写序号) (1); (2); (3); (4); (5); (6);(7); (8)0. 变式1.下面说法错误的是( ) A.长方形的面积一定,长与宽成反比例 B.在工程问题中,工作总量一定,工作效率与工作时间成正比例 C.在行程问题中,速度一定,路程与时间成正比例 D.圆柱的体积一定,底面积和高成反比例 变式2.下列说法正确的是( ) A.表示和相乘 B.的值一定比的值大 C.的值一定比2大 D.的值随的增大而增大 变式3.下列数与式子:① ② ③ ④ ⑤a ⑥0其中是代数式的是(填序号) . 题型2:列代数式 例1.一个两位数,个位数字为m,十位数字为n,则这个两位数用代数式可以表示为( ) A. B. C. D. 例2.用代数式表示“比a大2的数”,结果正确的是( ) A. B. C. D. 例3.x的3倍与y的倒数的和用代数式表示为 . 变式1.若m,n为正整数,则的结果可表示为( ) A. B. C. D. 变式2.如图,下列四个式子中,不能表示阴影部分面积的是( ) A. B. C. D. 变式3.体育用品商店的每个排球的价格为x元,每个篮球的价格为y元,学校到体育用品商店购买6个排球,8个篮球共需的费用为 元.(用含x、y的代数式表示) 变式4.买一副羽毛球拍需要元,买一副乒乓球拍需要元.买3副羽毛球拍和5副乒乓球拍一共需要 元. 变式5.对于一个四位自然数,若它的千位数字比个位数字多6,百位数字比十位数字多2,则称为“天真数”.例如:四位数7311,是“天真数”;四位数不是“天真数”.则最小的“天真数”为 . 题型3:代数式的书写规范 例1.下列式子中,符合代数式书写要求的是( ) A. B. C. D. 例2.下列各式最符合书写规范的是( ) A. B. C. D. 例3.下列说法:①a是代数式,1不是代数式;②表示数a,b,的积的代数式是;③代数式的含义是a与4的差除以b的商;④a,b两数的平方差与两数的积的4倍的和表示为.其中正确的有 .(填序号) 变式1.有下列各式:下列代数式中,符合代数式书写要求的有( ) (1);(2);(3);(4);(5);(6);(7) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式2.下列式子:①;②;③;④,其中符合代数式书写规范的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式3.,,,,,中,其中符合书写要求的代数式的个数为 . 变式4.下列式子是一些书写规范吗?若不规范,请将它们的规范写法填在横线处; (1); (2); (3); (4); 题型4:用代数式表示数的规律 例1.按一定规律排列的代数式:,第n个代数式是( ) A. B. C. D. 例2.已知下列一组数:1,,,,,…,则用式子表示第个数( ) A. B. C. D. 例3.礼堂第一排有个座位,后面每一排比前一排多个座位,那么第12排有 个座位.(用含m,n的代数式表示) 变式1.按一定规律排列的代数式:,第个代数式是( ) A. B. C. D. 变式2.如图,将全体正偶数排成一个三角数阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个数为2,第二行有2个数为4,6……第n行有n个数…….探究其中规律,你认为第n行从左至右第3个数不可能是( ) A.36 B.96 C.226 D.426 变式3.观察下面一列有规律的数:,,,,,,…根据规律可知第个数应是 .(为正整数) 题型5:用代数式表示图形的规律 例1.如图是三种化合物的结构式及分子式,则按其规律第9个化合物的分子式为( ) 结构式:…… 分子式: …… A. B. C. D. 例2.“中国结”寓意吉祥如意,中间的图案是一些小正方形.如图,将一定数量的“中国结”按某规律放置,得到中间小正方形的个数如下:第1个图形共有小正方形16个,第2个图形共有小正方形23个,第3个图形共有小正方形30个,…,依照此规律,第200个图形中共有小正方形( ) A.1309个 B.1409个 C.1509个 D.1609个 例3.如图,将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放,其中第1个图形中有5朵梅花,第2个图形中有8朵梅花,第3个图形中有13朵梅花,第4个图形中有20朵梅花……依此规律,第n个图形中含有的梅花朵数是 .(用含n的代数式表示) 变式1.观察下面图形,它们是由按一定规律排列的小黑点组成,则第n个图小黑点数量的代数式为( ) A. B. C. D. 变式2.小明用火柴棒摆正方形,图1用了4根火柴棒,图2用了7根火柴棒,图3用了10根火柴棒,……,照此规律摆下去,图n要用火柴棒的根数为( ) A. B. C. D. 变式3.如图是用黑白两色正方形瓷砖按一定规律铺设地板的图案,则第101个图案中白色瓷砖的块数是 块. 变式4.下列是由一些五角星搭成的图形,第1个图形用了4个五角星,第2个图形用了7个五角星,第3个图形用了10个五角星,……按照这种方式搭下去,搭第10个图形需要用 个五角星. 变式5.实践与探究 【观察思考】 (1)上面按一定规律排列的图形都是用长的绳子围成的,请将下表补充完整. 正方形的个数 1 2 3 4 … 正方形的边长 12 6 … 【规律总结】 (2)正方形的边长是怎样随着正方形的个数的变化而变化的? (3)用表示正方形的个数,用表示正方形的边长,用式子表示与的关系.与成什么比例关系? 题型6:代数式表示的实际意义 例1.用字母表示的代数式是具有一定意义的,下列赋予实际意义的例子中错误的是( ) A.若a表示一个正方形的边长,则表示这个正方形的周长 B.若工程队平均每天铺设管道长度a千米,则表示这工程队4天完成的工作量 C.若一个两位数的十位数字是4,个位数字a,则表示这个两位数 D.若汽车行驶速度是a千米/小时,则表示这辆汽车行驶4小时的路程 例2.甲、乙两人赋予实际意义如下,则判断正确的是( ) 甲:若等边三角形的边长为,则表示等边三角形的周长; 乙:若苹果的单价为元/千克,则表示千克梨的金额. A.甲、乙都对 B.只有甲对 C.只有乙对 D.甲、乙都错 例3.联系实际背景,说明代数式的意义 . 变式1.“腹有诗书气自华,最是书香能放远.”为鼓励和推广全民阅读活动,某书店开展促销活动,促销方法是将原价为元的一批图书以元的价格出售,下列说法中能正确表达这批图书的促销方法的是( ) A.在原价的基础上打折后再减去元 B.在原价的基础上打折后再减去元 C.在原价的基础上减去元后再打折 D.在原价的基础上减去元后再打折 变式2.某商店举办促销活动,促销的方法是将原价为元的衣服以元出售,则下列关于代数式的含义描述正确的是( ) A.原价加上4元后再打7折 B.原价打7折后再加上4元 C.原价加上4元后再打3折 D.原价打3折后再加上4元 变式3.新课标开放性试题请给赋一个实际意义: .(答案不唯一) 变式4.说出下列代数式的意义: (1)圆珠笔每支售价a元,练习簿每本售价b元,那么表示什么? (2)长方形的长、宽分别为a,b,那么表示什么? 课后作业 一、单选题 1.(24-25七年级上 广西柳州 期中)一个两位数,十位上的数字是,个位上的数字是,这个两位数是( ) A. B. C. D. 2.(24-25七年级上 广东广州 期中)我市居民用电每度元,黄老师家本月电表显示数为度,上月底电表显示数为 度,则黄老师本月应交电费( )元. A. B. C. D. 3.(24-25七年级上 河北邢台 期中)两地之间的公路全长,若以的速度行驶,全程行驶时间为( ) A. B. C. D. 4.(24-25七年级上 云南临沧 期末)下列两个量中,成反比例的是( ) A.路程一定时,速度和时间 B.圆的半径和它的面积 C.被减数一定时,减数和差 D.单价一定时,商品的总价和件数 5.(24-25七年级上 江苏泰州 期中)如图、、、分别是长方形的四个顶点长,宽,以点为圆心为半径画圆弧,再以为直径画半圆,若图中阴影部分的面积分别为和,则的值是( ) A. B. C. D. 6.(24-25七年级上 广东广州 期末)n支球队进行单循环比赛,每两队之间都比赛一场,总的比赛场数是多少?( ) A. B. C. D. 7.(24-25七年级上 四川成都 期末)如图:第1个图案中,内部“ ”的个数为个,外侧边上“•”的个数为个;第个图案中,内部“ ”的个数为个,外侧边上“•”的个数为个;第个图案中,内部“ ”的个数为个,外侧边上“•”的个数为个;依此类推,当内部“ ”的个数是时,外侧边上“•”的个数为( ) A. B. C. D. 8.(24-25七年级上 河南郑州 期末)长方形内点的个数与三角形个数的有关数据如表: 长方形内点的个数 1 2 3 4 … 三角形的个数 4 6 8 10 … 如果长方形内有100个点时,可以形成的三角形有( )个. A.198 B.200 C.202 D.204 9.(24-25七年级上 云南曲靖 期末)如图,这是由一些火柴棒摆成的图案,按照这种方式摆下去,摆第n个图案需用火柴棒的根数为( ) A. B. C. D. 10.(24-25七年级上 河北石家庄 期中)某地居民生活用水收费标准:每月用水量不超过立方米,每立方米元;超过部分每立方米元.该地区某用户上月用水量为立方米,则应缴水费为( ) A.元 B.元 C.元 D.元 二、填空题 11.(23-24七年级上 湖南衡阳 阶段练习)在下列各式:①;②:③;④;⑤,⑥中,代数式的有 个. 12.(2025 吉林长春 二模)某商品的进价为元,先按进价的倍标价,后又降价50元出售,这件商品现在的售价为 元(用含的代数式表示). 13.(2025 山西太原 一模)如图是用若干个相同的小正方形拼成的图案.第1个图案中有4个小正方形,第2个图案中有7个小正方形,第3个图案中有10个小正方形, ,依此规律,第n个图案中小正方形的个数为 (用含的代数式表示). 14.(24-25六年级上 上海 期中)小明分别将3个、8个相同的纸杯整齐地叠放在一起(如图),根据图中的信息,当小明把个这样相同的纸杯整齐叠放在一起时,这个纸杯的高度约为 . 15.(24-25七年级上 河南商丘 期中)代数式用文字语言表示为 . 16.(24-25九年级上 河南郑州 期末)如图,在宽为,长为的矩形地面上按A、B两种方案修筑同样宽的道路(图中阴影部分).两种方案阴影部分的面积分别记为,,则 (填“”或“”或“”). 17.(24-25七年级上 福建漳州 期中)商店对商品尾货进行亏本促销活动,促销的方法是将成本为元的商品提价后标价,再以元的促销价出售,则下列说法中,①标价减去30元后再打9折;②标价打9折后再减去30元;③标价减去50元后再打6折;④标价打6折后再减去30元.能正确表达该商店促销方法的是 .(填序号) 18.(24-25七年级上 贵州黔南 期末)设一个长方形的长与宽分别为,当该长方形的面积为时,长与宽的关系可用式子表示为: ,它们成 关系. 19.(24-25七年级上 浙江湖州 期末)九连环作为一种中国传统民间玩具,由九个完全一样的圆环和中间的直杆连接而成(如图1),从上往下看,可以看成九个水平摆放且间距一样的圆环(如图2),若相邻两个圆环之间重叠部分的宽度均为,整个九连环的宽度为,则一个圆环的直径可以表示为 (用含、的代数式表示). 20.(24-25七年级上 云南曲靖 期中)有三行数: 2、、8、、32、、……① 0、、6、、30、、……② 、2、、8、、32、……③ 取每行数的第7个数,那么这三个数的和是 三、解答题 21.(24-25七年级上 河北邢台 期中)河北枣类特产体验店上架了两种商品:赞皇大枣和金丝小枣,单价分别为5元/份､8元/份.现已售出m份赞皇大枣和n份金丝小枣,共卖出Q元. (1)用含m,n的代数式表示Q; (2)当时,用科学记数法表示Q的值. 22.(24-25七年级下 四川泸州 开学考试)某服装厂生产一种西装和领带,西装每套定价200元,领带每条定价40元.厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案: 方案一:买一套西装送一条领带; 方案二:西装和领带都按定价的付款. (1)若该客户购买西装20套,领带22条,按方案一需付款多少元?按方案二需付款多少元? (2)若该客户购买西装20套,领带条,按方案一购买需付款多少元?按方案二购买需付款多少元?(用含的代数式表示) 23.(24-25七年级上 江苏宿迁 期中)规定一种新运算法则:※,例如3※. (1)求的值; (2)求的值. 24.(24-25七年级下 山西太原 阶段练习)如图,一幅长为,宽为的长方形风景画,画面的四周留有空白区域作装饰,其中四角均是边长为的正方形,正中间画面的面积是多少平方米? 25.(24-25七年级上 河南南阳 期末)初中数学中,在图形与几何领域有推理或证明的内容,在数与代数领域也有推理或证明的内容.请运用所学知识,解答下列问题. (1)设是一个四位数,如果可以被9整除,那么这个数可以被9整除.为什么? (2)设是一个四位数,如果,那么这个数一定是11的倍数.为什么? (3)设是一个三位数,要使这个数是11的倍数,、、应满足什么条件?不需说明理由,请直接写出你的结果. 26.(24-25七年级上 河南焦作 期末)观察下表,回答问题 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第 6 列 第1行 1 2 3 4 5 6 第2行 7 8 9 10 11 12 第3行 13 14 15 16 17 18 第4行 19 20 21 22 23 24 … … … … … … … (1)比9大6的数在第_行,比15大13的数在第_列; (2)若第2行第n列的数记为x,则第a行第n列的数记为_,第2行第b列的数记为_; (3)若第m行第n列的数记为y,则第a行第b列的数记为_. 27.(24-25七年级上 江苏扬州 期中)用字母表示数是数学发展史上的一个里程碑.用字母表示数,字母可以像数一样参与运算,使问题中的数量关系和运算表示得更简明,更具有一般性. (1)用字母、表示两个数,若这两个数互为倒数,则我们可得到等式 ; (2)计算下面的算式并把所得的结果填在后面的横线上: 的结果是 ,请写出你的求解过程; (3)甲、乙两家商店都经营一种商品,一开始标价相同.甲先涨价,发现销量不好,接着降价出售;乙先降价,后来又涨价.设最后的实际售价分别是和,请比较和的大小并说明理由. 28.(24-25六年级上 山东烟台 期末)日历是一份来自时间的礼物,它让生活有迹可循,同时提醒我们要珍惜时间,不负韶华.如图是年月份的日历,小颖用一个“”形框选中了个数. (1)请通过计算说明图中“”形框选中的五个数的和与中间数的关系; (2)若在日历中任意画一个这样的“”形框且选中个数,(1)中的关系是否仍然成立?请说明理由. 29.(24-25七年级上 湖北武汉 期中)列代数式. (1)糖果厂生产一批水果糖.把这些水果糖平均分装在若干袋子里,每袋装的颗数和总袋数如下表所示. 每袋装的颗数 10 12 18 20 24 … 总袋数 360 300 200 180 150 … 这批水果糖共有_颗;用n表示总袋数,m表示每袋装的颗数,用式子表示n与m的关系是_. (2)甲、乙两地之间公路全长km,汽车从甲地开往乙地,原计划行驶速度为. ①若汽车速度增加,那么汽车从甲地到乙地需要行驶_小时;汽车比原计划早到_小时. ②若出发的第1小时以匀速行驶,1小时后速度增加继续行驶至乙地,汽车比原计划早到_小时. (3)现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章的示意图如图所示,它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成.如果其中正方形和等边三角形的边长都为a,等边三角形的高为b,那么这个印章的表面积为_;这个印章所有棱长的和为_. 18 学科网(北京)股份有限公司 $$