精品解析：湖南省张家界市桑植县2024—2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2025年上学期八年级期中教学质量检测 数学试卷 考生注意：本卷满分120分，时量90分钟． 一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 习近平主席在贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 从一个多边形的一个顶点出发，最多可画条对角线，则它是（ ）边形． A. B. C. D. 3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，D、E分别是AC、AB的中点，则DE的长是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 如图，，以点为圆心，以适当长为半径作弧交于点，交于点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点；画射线，在射线上截取线段，则点到的距离为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 5. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. 10，8，6 B. ，， C. ，， D. 10，15， 6. 下列说法正确的是(    ) A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 7. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（ ） A. 36 B. 18 C. 24 D. 64 10. 如图，在正方形中，点分别在上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②当时，为等边三角形；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 11. 若一个n边形的外角和与它的内角和之和为，则边数_______． 12. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则这个三角形的周长是______． 13. 如图，在中，，的角平分线交于点，，则的周长等于________． 14. 如图，已知▱ABCD的周长为38，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△DOE的周长为16，则BD的长为 _____． 15. 如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是________． 16. 如图，∠C＝90°，AC＝，BC＝8，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝___________，△ABC与△APQ全等． 17. 如图，在矩形中，，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最小值为______． 18. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为________． 三、解答题（本大题8个小题，第19、20、21小题每小题6分，第22、23小题每小题8分，第24、25小题每小题10分，第26小题12分，满分66分） 19. 如图，方格纸中有三个点，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； （3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形． （注：图甲、图乙、图丙在答题纸上） 20. 如图所示，与关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了． （1）请你找到对称中心O的位置． （2）连接线段和线段，试判断四边形的形状，并说明理由． 21. 如图，矩形的一条对角线长，两条对角线的一个交角，求这个矩形的周长． 22. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 23. 如图，在四边形中，为一条对角线，，为的中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接，若平分，，求的长． 24. 如图，在平行四边形中，对角线，，相交于点O，若E，F是上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为． （1）证明：当E在上运动，F在上运动，且E与F不重合时，四边形是平行四边形； （2）点E，F在上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形?如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由． 25. 如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． （1）求证：； （2）如图2，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，求证：四边形正方形． 26. 将平行四边形纸片ABCD按图1所示的方式折叠，使顶点A，B同时落在线段HF上的M点处，顶点C，D同时落在线段HF上的N点处，其中AD长为6，AE长为x． （1）求证：四边形EFGH为矩形； （2）探究：线段HF的长度会随着AE长度的变化而变化吗？如果会，请用含x的代数式表示HF的长度；如果不会，请直接写出HF的长度； （3）若，连接AF，当时（如图2），求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期八年级期中教学质量检测 数学试卷 考生注意：本卷满分120分，时量90分钟． 一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 习近平主席在贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意， C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键． 2. 从一个多边形的一个顶点出发，最多可画条对角线，则它是（ ）边形． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形从一点出发引对角线的计算方法是，为多边形的边数，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，，解得，， 故选：． 【点睛】本题主要考查多边形的对角线与边数的关系，掌握多边形每个顶点引对角线的计算方法是解题的关键． 3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，D、E分别是AC、AB的中点，则DE的长是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理求出DE． 【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5， 则， ∵D、E分别是AC、AB的中点， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 4. 如图，，以点为圆心，以适当长为半径作弧交于点，交于点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点；画射线，在射线上截取线段，则点到的距离为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，由角平分线的定义可得，在中，可得，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，为的平分线， ， 在中，，， ， 即点到的距离为5． 故选：C． 【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、含角的直角三角形，熟练掌握角平分线的定义以及作图步骤是解答本题的关键． 5. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. 10，8，6 B. ，， C. ，， D. 10，15， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，解题的关键是掌握两数平方和等于第三个数平方的三个正整数是勾股数． 【详解】解：A、∵， ∴10，8，6是勾股数，符合题意； B、∵， ∴，，不是勾股数，不符合题意； C、∵，，不是正整数， ∴，，不是勾股数，不符合题意； D、∵不是正整数， ∴10，15，不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 6. 下列说法正确的是(    ) A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，根据正方形、菱形、矩形的判定定理，逐一判断各项是解决问题的关键． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误； C、对角线相等的菱形是正方形，说法正确； D、对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原说法错误； 故选：C． 7. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：根据勾股定理得出：AB===5， ∴EF=AB=5， ∴阴影部分面积是25， 故选：B． 【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2解答． 8. 如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵它的每一级的长宽高分别为, ∴ 即：蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是， 故选：C． 9. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（ ） A. 36 B. 18 C. 24 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形对角线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质．由菱形对角线的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可得，再应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，点O是的中点， ∵，， ∴， ∴菱形的面积为． 故选：C 10. 如图，在正方形中，点分别在上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②当时，为等边三角形；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质可以得到，即，，然后根据三线合一判断①，求出的度数判断②；计算出，判断③；计算出，判断④解题． 【详解】解：∵是正方形， ∴，， 又∵ ∴， ∴，， ∴， ∴垂直平分，故①正确； ∵， ∴， ∵ ∴为等边三角形，故②正确； ∵ ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， 故④正确； ∴正确的个数为个， 故选D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 11. 若一个n边形的外角和与它的内角和之和为，则边数_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和和外角的综合，因为n边形的外角和都是，再结合n边形的内角和公式，列式计算，即可作答． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：10． 12. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则这个三角形的周长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直角三角形三边的特征，斜边比直角边长可知，分两种情况讨论，利用勾股定理求出第三边后再求周长即可得到答案． 【详解】解：一个直角三角形的两边长分别为3和4， 分两种情况：①3和4均为直角边；②3为直角边和4为斜边， 当3和4均为直角边时，利用勾股定理可得第三边为，则这个三角形的周长是； 当3为直角边和4为斜边时，利用勾股定理可得第三边为，则这个三角形的周长是； 综上所述，这个三角形的周长是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，根据题中所给条件分类讨论是解决问题的关键． 13. 如图，在中，，的角平分线交于点，，则的周长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，再由角平分线的性质得到，进一步证明，得到，再根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ， ， 又∵是的角平分线，， ， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，得到是解决问题的关键． 14. 如图，已知▱ABCD的周长为38，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△DOE的周长为16，则BD的长为 _____． 【答案】13 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质知O为BD的中点，即可判断OE是△DBC的中位线，即OE=BC，从而得出△BCD的周长是△DOE的周长的二倍，再根据BC+CD是平行四边形周长的一半求出BD的长即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且周长为38， ∴O是BD的中点，BC+CD=38×=19， ∵点E是CD的中点， ∴OE是△DBC的中位线， ∴△BCD的周长是△DOE的周长的2倍， 即BD+BC+DC=2（OD+OE+ED）=2×16， ∴BD+19=32， 解得：BD=13， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查三角形的中位线定理，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形对角线互相平分的性质是解题的关键． 15. 如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形还应满足的一个条件是等．答案不唯一． 【详解】解：条件是． ∵分别是的中位线， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为： 【点睛】此题主要考查三角形的中位线定理和菱形的判定，正确理解三角形的中位线的性质及菱形的判定定理是解题的关键． 16. 如图，∠C＝90°，AC＝，BC＝8，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝___________，△ABC与△APQ全等． 【答案】8或##或8 【解析】 【分析】分两种情况：①当AP=BC=8时；②当AP=CA=时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果． 【详解】∵AX⊥AC， ∴∠PAQ=90°， ∴∠C=∠PAQ=90°， 分两种情况： ①当AP=BC=8时， 在Rt△ABC和Rt△QPA中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）； ②当AP=CA=10时， 在△ABC和△PQA中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）； 综上所述：当点P运动到AP=8或时，△ABC与△APQ全等； 故答案为：8或． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度适中． 17. 如图，在矩形中，，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理及轴对称−最短路径，熟练掌握相关知识是解题的关键． 过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，的最小值为的长度，延长交于点G，根据对称的性质可得，再根据，点O是的中点，可得，从而求得，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：过点O作关于的对称点，连接交于点Q，连接，的值最小， 的最小值为的长度，延长交于点G， 则， 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴点G是的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为：， 故答案为：． 18. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为________． 【答案】n-1 【解析】 【分析】连接O1B=O1C，证明△BO1E≌△CO1D,进而证明四边形O1ECD面积为1，再得到共有n-1个阴影四边形，问题得解． 【详解】解：如图，连接O1B=O1C，由题意得三个正方形的边长相等， ∴O1B=O1C，∠EBO1=∠DCO1=45°， ∠BO1C=∠EO1D=90°， ∴∠BO1E=∠CO1D, ∴△BO1E≌△CO1D, ∴△BO1E面积=△CO1D面积， ∴四边形O1ECD面积=△BO1C面积=2×2÷4=1， 同理：另一阴影面积=1， 所以n个小正方形按如图摆放，共得到n-1个阴影四边形，面积为n-1． 故答案为：n-1 【点睛】本题考查了正方形的性质，根据条件求出一个阴影的面积，进而得到共有n-1个阴影是解题关键． 三、解答题（本大题8个小题，第19、20、21小题每小题6分，第22、23小题每小题8分，第24、25小题每小题10分，第26小题12分，满分66分） 19. 如图，方格纸中有三个点，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； （3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形． （注：图甲、图乙、图丙在答题纸上） 【答案】 如图： 【解析】 【分析】可以从特殊四边形着手考虑，平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形，正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 【详解】略 20. 如图所示，与关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了． （1）请你找到对称中心O的位置． （2）连接线段和线段，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 对称中心O的位置如图所示： （2） 解：四边形是平行四边形，理由如下： 由中心对称的性质可得，， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义和性质，平行四边形的判定： （1）两个图形成中心对称，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点O； （2）由中心对称的性质可知：，，再利用平行四边形的判定，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，矩形的一条对角线长，两条对角线的一个交角，求这个矩形的周长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟知矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 先根据矩形的性质证明是等边三角形，从而求出，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴矩形的周长． 22. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 【答案】（1） 解：是，理由如下： 在中，，，， ，，， ， ， 是从村庄到河边的最近路； （2）原来的路线的长为千米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理的内容是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ， 在中，， ， 解得：， 即的长为千米． 23. 如图，在四边形中，为一条对角线，，为的中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接，若平分，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为中点，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形. ∵，为中点， ∴， ∴四边形是菱形 （2）3 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等即可； （2）连接，根据平行线的性质及等角对等边证明，可知，再根据菱形的性质即可得出是含的特殊三角形，最后根据勾股定理即可求的长． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：连 ∵，平分 ∴， ∴ 中， ∵， ∴， 又∵为中点， ∴ ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理等，解题的关键是连接构造． 24. 如图，在平行四边形中，对角线，，相交于点O，若E，F是上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为． （1）证明：当E在上运动，F在上运动，且E与F不重合时，四边形是平行四边形； （2）点E，F在上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形?如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由题意，， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形； （2）当时，四边形为矩形，此时或 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定、一元一次方程的几何应用，熟练掌握平行四边形的性质是解答的关键． （1）证明，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证得结论； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 能为矩形， ∵四边形是平行四边形， ∴只需时，四边形是矩形； ∵，，， ∴，解得． 当点E到F位置上，点F到E位置上， ，解得：； 25. 如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． （1）求证：； （2）如图2，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，求证：四边形正方形． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2） 证明：如图，过点分别作于点，于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形． 【解析】 【分析】此题考查了正方形的判定和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，证明是解题的关键． （1）根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质即可证明； （2）过点分别作于点，于点，证明四边形为正方形，则，，证明，得到，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 将平行四边形纸片ABCD按图1所示的方式折叠，使顶点A，B同时落在线段HF上的M点处，顶点C，D同时落在线段HF上的N点处，其中AD长为6，AE长为x． （1）求证：四边形EFGH为矩形； （2）探究：线段HF的长度会随着AE长度的变化而变化吗？如果会，请用含x的代数式表示HF的长度；如果不会，请直接写出HF的长度； （3）若，连接AF，当时（如图2），求的值． 【答案】（1） 证明：如图1， 由折叠可得∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠2+∠3=90°=∠FEH， 同理可得∠EHG=∠HGF=∠GFE=90°， ∴四边形EFGH为矩形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质证出∠FEH=90°，同理可得∠EHG=∠HGF=∠GFE=90°，由矩形的判定可得出答案； （2）连接EG，证明四边形AEGH是平行四边形，由平行四边形的性质得出AD=EG=6，由（1）知，四边形EFGH为矩形，由矩形的性质得出HF=EG=6．则可得出结论； （3）方法一：连接CH，由折叠的性质证出CH⊥BC，CH=AF，设BF=a，则CF=6-a，由直角三角形的性质得出16-a2=36-（6-a）2，解方程求出a的值，则可得出答案； 方法二：连接EG交AF于点P，由题意：AE=EM=BE，由矩形EFGH的面积求出PF的长，由勾股定理求出BF的长，则可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：线段HF的长度不会随着AE长度的变化而变化，HF=6． 理由：如图2，连接EG， 由折叠可知，AE=EM，BE=EM， ∴AE=BE=EM， 同理可得DG=NG=CG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴AE=DG， ∴四边形AEGH是平行四边形， ∴AD=EG=6， 由（1）知，四边形EFGH为矩形， ∴HF=EG=6． 【小问3详解】 解：法1：如图， 由题意： ∴ ∵， ∴， ∴ 同理： ∴， ∴， 设，则 ∴， ∴ ∴，， ∴； 法2：连接EG交AF于点P， 由题意： ∴ ∵， ∴ 矩形EFGH中， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了翻折变换，勾股定理，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $