（新课衔接）专题05 圆（单元复习）知识梳理+易错点拨+14个高频考点讲练+真题强化 共62题-2025年北师大版数学五升六年级暑假衔接精讲练过关金牌讲义（原卷版+解析版）

（新课衔接站） 2025-2026学年北师大版数学五升六年级暑假衔接金牌讲练 知识梳理+易错点拨+14个高频考点讲练+真题强化 （共62题） 专题05 圆（单元复习） 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 姓名： 班级： 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 课前指导 讲义简介 3 单元复习 知识梳理 3 知识点01：圆的认识 3 知识点02：扇形的认识 4 知识点03：圆的周长 4 知识点04：圆及圆环的面积 4 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：圆的特征误解 5 易错知识点02：半径与直径关系混淆 5 易错知识点03：圆周率π的理解 5 易错知识点04：圆的周长计算错误 5 易错知识点05：对称轴理解偏差 5 易错知识点06：圆与直线、其他圆的位置关系判断失误 5 优选题型 考点讲练 5 高频考点讲练01：圆的概念及特点 5 高频考点讲练02：画圆 6 高频考点讲练03：与圆相关的轴对称图形 7 高频考点讲练04：圆的周长 8 高频考点讲练05：半圆的周长 9 高频考点讲练06：圆的周长的应用 9 高频考点讲练07：含圆的组合图形的周长 10 高频考点讲练08：圆的面积的计算与转化 11 高频考点讲练09：圆的面积的应用 12 高频考点讲练10：圆环的面积 13 高频考点讲练11：求最大面积 15 高频考点讲练12：含圆的组合图形的面积 15 高频考点讲练13：方中圆和圆中方的面积问题 16 高频考点讲练14：用转化法求圆的组合图形的周长和面积 17 真题汇编 能力强化 18 同学，你好！该份讲义复习六年级上册第一单元《圆》主要知识点，初步学习新学期重点知识，讲义包含知识梳理，易错点拨，考点分类真题讲练，优选题培优训练20题等4大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点01：圆的认识 1、圆是由一条曲线围成的平面图形。(以前所学的图形如长方形、梯形等 都是由几条线段围成的平面图形) 2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母 O 表示;连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母 r 表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d 表示。在同一个圆里，有无数条半径和直径。在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。 3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动;两脚间的距离必须保持不变； 要旋转一周。 4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的 2 倍。(d=2r,r=d÷2) 5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径。 6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。所以要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。 7、正方形里最大的圆: 两者联系：边长=直径画法： 画出正方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 8、长方形里最大的圆: 两者联系：宽=直径画法： 画出长方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆9、同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。 知识点02：扇形的认识 1.圆上两点间的曲线是弧； 2.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形； 3.顶点在圆心的角叫作圆心角； 4.在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。 知识点03：圆的周长 1、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。 每分前进米数(速度)=车轮的周长×转数 2、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做 圆周率。用字母π(读 pài)表示。π是一个无限不循环小数。π=3.141592653……我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值 3.14。π>3.14 3、如果用 C 表示圆的周长，那么 C=πd 或 C = 2πr 4、求圆的半径或直径的方法： d=C÷π r =C÷ π÷2= C÷2π 5、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。C 半圆= πr+2r C 半圆= πd÷2+d 6、常用的 3.14 的倍数： 3.14×2=6.28 3.14×3=9.42 3.14×4=12.56 3.14×5=15.7 3.14×6=18.84 3.14×7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26 知识点04：圆及圆环的面积 1、圆的面积公式：S=πr²。 圆的面积是半径平方的π倍。 2、圆的面积推导：圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面 积相等(即S 长方形=S 圆);长方形的宽是圆的半径(即b=r);长方形的长是圆周长的一半(即a=c/2=πr)。 即：S 长方形= a × b S 圆 = πr × r=πr² 注意：切拼后的长方形的周长比圆的周长多了两条半径。 C 长方形=2πr+2r=C 圆+d 3、半圆的面积和周长。S 半圆=πr²÷2 C 半圆=C/2+d 4、大小两个圆比较，半径的倍数=直径的倍数=周长的倍数， 面积的倍数=半径的倍数的平方 5、周长相等的平面图形中，圆的面积最大； 面积相等的平面图形中，圆的周长最短。 6、求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积，还可以利用乘法 分配律进行简便计算。S 圆环=πR²－πr²=π(R²－r²) 7、常用的平方数： 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400 易错知识点01：圆的特征误解 学生可能会误认为圆内所有线段都是半径或直径，实际上，只有通过圆心且两端在圆上的线段才是直径，从圆心到圆上任一点的线段才是半径。 易错知识点02：半径与直径关系混淆 学生可能不清楚半径是直径的一半，或直径是半径的两倍这一关系，导致在计算时出错。 易错知识点03：圆周率π的理解 π是一个无理数，常取近似值3.14进行计算。学生可能误将π等同于3.14，而忽略其精确值的无限不循环特性。 易错知识点04：圆的周长计算错误 在应用圆的周长公式C = πd或C = 2πr时，学生可能因对公式理解不透彻或计算粗心而导致结果错误。 易错知识点05：对称轴理解偏差 圆有无数条对称轴，即每条经过圆心的直线都是对称轴。学生可能误认为只有几条特定的直线才是圆的对称轴。 易错知识点06：圆与直线、其他圆的位置关系判断失误 在判断圆与直线、其他圆的位置关系时，如相切、相交、相离等，学生可能因对概念理解不准确而做出错误判断。 高频考点讲练01：圆的概念及特点 【典例精讲】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）下图是王叔叔制作的零件的形状，两个圆交错在一起，线段AC是大圆的半径，线段BC是小圆的半径，两圆半径分别是12厘米和8厘米，你能求出王叔叔制作的零件中线段AB的长是多少厘米吗？ 【演练1】（23-24五年级上·辽宁·单元测试）在如图所示的平面图形中，对称轴最多的是( )，对称轴最少的是( )。 【演练2】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）淘气设计了下面4种自行车的车轮，骑上这样的自行车会怎样？用硬纸板做成下面的图形，试着滚一滚，并与同伴交流。 高频考点讲练02：画圆 【典例精讲】（22-23六年级下·辽宁大连·期末）如图，要画一个以三角形的其中一个顶点为圆心，另外两个顶点在圆上的圆，必须要以（      ）为圆心；如果三个点都要在圆上，请在图上标注圆心O的位置。 【演练1】（19-20六年级上·甘肃白银·期末）（1）如图，要画一个以三角形的其中一个顶点为圆心，另外两个顶点在圆上的圆，必须以点（    ）为圆心。 因为______________________。（请在横线上说明理由） （2）如果图中的三角形的三个顶点都要在圆上，这个圆的圆心应该在哪里？请在图中标注圆心，并画出这个圆。 【演练2】（21-22六年级上·四川成都·期末）按要求画出指定的图形。（每个方格的边长都是1厘米） （1）画一个边长是4厘米的正方形； （2）在正方形中画一个最大的圆。 高频考点讲练03：与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】（23-24六年级上·广东深圳·期中）下面图形中，轴对称图形有（    ）。 A．①③⑤ B．①②⑤ C．③⑤ D．①⑤ 【演练1】．（24-25六年级上·辽宁·课后作业）下面不是轴对称图形的是（    ）。 A． B． C． 【演练2】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）星光小学打算在一个长方形草坪里（如图）里建一个最大的圆形喷水池，使喷水池和草坪组成的图形有两条对称轴。你能设计一下吗？ 高频考点讲练04：圆的周长 【典例精讲】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）图中小圆的半径是5cm。 （1）大圆的直径是多少厘米？ （2）你能估计出一个小圆的周长是多少厘米吗？请写出你的思考过程。 （3）你能估计出大圆的周长是多少厘米吗？请写出你的思考过程。 【演练1】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）用圆规画一个周长约是25.12厘米的圆，那么圆规两脚之间的距离约为（    ）厘米。 A．2 B．8 C．4 【演练2】（23-24六年级上·辽宁·单元测试）一辆行驶中的小轿车前轮压碎一个苹果，在路上留下了几个印记（如图）。苹果与第一个印记之间的距离大约是2米，则2米表示（    ）。 A．车轮的直径 B．车轮的周长 C．两车轮之间的距离 高频考点讲练05：半圆的周长 【典例精讲】（23-24六年级上·甘肃定西·期中）一个圆形纸片的周长是62.8cm，把它平均分成两个半圆，得到的其中一个半圆的周长是( )。 【演练1】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）如图，把一个半圆分成16等份，拼成一个近似的长方形。下列说法中正确的是（    ）。 A．半圆的周长长 B．长方形的周长长 C．它们的周长一样长 【演练2】（23-24五年级下·辽宁·假期作业）下面是小勇对一道题的解答过程。 把一个半径是5厘米的圆分成两个半圆，每个半圆的周长是多少厘米？ （厘米） 答：每个半圆的周长是15.7厘米。 （1）你认为他的解法错在哪里？     （2）你能正确解答这道题吗？ 高频考点讲练06：圆的周长的应用 【典例精讲】（24-25六年级上·辽宁·单元测试）两只蚂蚁分别沿着如图所示的正方形和圆的边沿爬一圈，沿哪个图形爬的路程较长？（    ） A．圆 B．正方形 C．一样长 【演练1】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）为了更好地提高学生的核心素养，科学老师带领学生去观察树木，探求树木的生长情况。科学老师用一根20米长的绳子测一棵树的树干周长，绳子在树干上绕了6圈，还剩余1.16米。你能求出这棵树的树干的半径是多少米吗？ 【演练2】（24-25六年级上·辽宁·单元测试）“天宫一号”与“天宫二号”目标飞行器是中国自主研制的载人空间实验平台，地球的半径大约是6400千米，“天宫一号”在距地球340千米高的圆形轨道上运转，“天宫二号”在距地球390千米高的圆形轨道上运转，“天宫二号”比“天宫一号”的轨道长多少千米？ 高频考点讲练07：含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（23-24六年级上·广东深圳·期中）如图所示，两个边长相等的正方形，比较图中阴影部分的周长（    ）。 A．甲周长＞乙周长 B．甲周长＜乙周长 C．甲周长＝乙周长 D．无法确定 【演练1】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）如图，甲、乙两部分的周长关系是（    ）。 A．甲比乙长 B．乙比甲长 C．甲、乙一样长 【演练2】（23-24六年级下·陕西渭南·期末）下图中大圆的半径是8cm，则阴影部分的周长是（    ）cm。 A．132.48 B．100.48 C．82.24 D．107.36 高频考点讲练08：圆的面积的计算与转化 【典例精讲】（23-24六年级上·陕西咸阳·期中）某公园有一个圆形金鱼池，半径是10米，它的直径是( )米，它的周长是( )米，占地( )平方米。 【演练1】（23-24六年级上·四川成都·期末）奇思用面积分割的方法推导圆的面积公式，下面说法正确的是（    ）。 ①把圆分成了若干等份可以转化成近似的长方形求面积 ②圆转化后得到的近似长方形的长近似于圆周长的一半 ③圆转化后得到的近似长方形的宽等于圆直径 ④圆转化后的图形面积和圆的面积相等 A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【演练2】（23-24六年级上·广东深圳·期中）推导圆的面积公式有很多种方法。淘气把一个圆平均分成16份，得到16个完全一样的扇形，再把这些小扇形拼成一个近似的三角形（如图）。请你结合以上思路，写出圆面积公式的推导过程。 高频考点讲练09：圆的面积的应用 【典例精讲】（23-24六年级下·陕西西安·期末）某休闲农庄修建了一个“月牙形”的鱼塘（如图），已知鱼塘所在圆的半径是30米，钓鱼台的半径是20米。“月牙形”鱼塘的面积是多少平方米？（π取3.14） 【演练1】（24-25六年级上·辽宁·期末）从图1和图2中选择一个，画在框内，并计算该图中涂色部分的面积。我选择的图（    ）（填1或2）。 【演练2】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）圆是很美的。在中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。如下图所示，两幅图中的两个圆的半径都是1米。 （1）请你分别求出每幅图中正方形和圆之间部分的面积。 （2）请你以下面的圆为基础，设计“外方内圆”“外圆内方”的图案各一个。 高频考点讲练10：圆环的面积 【典例精讲】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）求下图中阴影部分的面积。 【演练1】（23-24六年级上·四川成都·期末）本学期，我们学习了探究图形的一些数学思想方法，结累了一定的关于图形的活动经验。如：通过“猜想”、“实验”等探索圆的周长，运用“转化”、“极限”思想探索圆面积计算公式；又如：在综合与实践中运用“简单情况找规律”解决比赛场次等生活中的数学问题。试试用学习的这些策略解决下面问题。 笑笑和淘气分别从A、B处出发，分别沿一个大圆和一个小圆走一圈（如图所示）。 （1）两人走过的路程差是多少米？ （2）这两个圆的面积相差多少平方米？ （3）如果这两个圆之间的道宽2米不变，而大、小圆的半径都增加的话，这两个圆的周长差会增加吗？为什么？ （4）如果这两个圆之间的道宽2米不变，而大、小圆的半径都增加的话，这两个圆的面积差会增加吗？为什么？ 【演练2】（18-19六年级上·辽宁·课后作业）下图中阴影部分的面积是3，圆环的面积是多少平方厘米？ 高频考点讲练11：求最大面积 【典例精讲】（19-20六年级下·四川广安·期末）在边长相同的两个正方形里分别画一个最大的圆和一个最大的扇形，圆和扇形的面积比较（    ）。 A．圆面积大 B．扇形面积大 C．一样大 【演练1】（21-22六年级上·辽宁·期中）周长相等的长方形、正方形、圆，( )的面积最大。面积相等的长方形、正方形、圆，( )的周长最小。 【演练2】（18-19五年级上·辽宁·单元测试）在下面各圆中，面积最大的圆是：（    ）。 A．半径3厘米 B．直径4厘米 C．周长12.56厘米 高频考点讲练12：含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（2024·黑龙江大兴安岭地·小升初真题）求如图各图形中涂色部分的面积。                【演练1】（23-24六年级上·四川成都·期末）课堂上，老师组织探究活动：已知如图正方形的面积是40cm2，求涂色部分的面积。小明举手说：“解决问题的关键是求出圆的面积。此时，我们求不出圆的半径，但能把正方形分成四个相等的小正方形，先求出小正方形的面积，它恰好是圆的半径的平方，从而可求出圆的面积，可求出涂色部分的面积是( )cm2”。 【演练2】（2024六年级下·辽宁·专题练习）求下面各图形中涂色部分的面积。（单位：厘米）                 长方形面积45平方厘米。                  高频考点讲练13：方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（23-24六年级上·陕西西安·期中）求下面各图中涂色部分的面积。（单位：cm） 【演练1】（23-24六年级上·陕西西安·期中）求下面阴影部分的周长和面积。 【演练2】（2025六年级下·全国·专题练习）如图，圆中三个小正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是2厘米、3厘米、4厘米。最大正方形的面积是( )平方厘米，圆的面积是( )平方厘米。 高频考点讲练14：用转化法求圆的组合图形的周长和面积 【典例精讲】（2024·广东梅州·小升初真题）下列各图中的正方形面积相等，图（    ）的阴影面积与另外三图不同。 A． B． C． D． 【演练1】（20-21六年级上·辽宁·单元测试）求阴影部分的周长和面积。 （1）             （2） 【演练2】（21-22六年级上·安徽阜阳·期末）求阴影部分的面积。（单位：） 1．（24-25六年级上·吉林长春·期末）如图，已知正方形的边长是6dm，则图中阴影部分的面积是（    ）dm2。 A．6.32 B．7.18 C．7.74 D．10 2．（24-25六年级上·吉林四平·期末）一个钟表的分针长10cm，分针从2走到5，它的针尖走过了（    ）cm。 A．31.4 B．62.8 C．15.7 D．3.14 3．（24-25六年级上·吉林长春·期末）如图所示，直径为10cm的圆从箭头指向处，沿直尺向右滚动一周后，圆上的箭头指向刻度在（    ）。 A．20～30之间 B．30～40之间 C．40～50之间 4．（2024六年级下·全国·专题练习）下面三幅图是用相同大小的正方形纸画成的，其中空白部分面积（    ）。 A．一样大 B．图③最大 C．图②最大 5．（24-25六年级上·四川成都·期末）新都某大型商场旁的摩天轮（如图）是新都的大型地标之一，被称为“新都之眼”。这个摩天轮的半径是( )米，周长是( )米。 6．（24-25六年级上·辽宁丹东·期末）把一个周长为20.56厘米的半圆形，沿对称轴剪开得到两个同样的平面图形，这个新的平面图形的面积是( )平方厘米。 7．（24-25六年级上·吉林长春·期末）笑笑用圆规画一个圆，圆规两脚间的距离是3厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。 8．（24-25六年级上·辽宁丹东·期末）在图中，一张半径为3厘米的圆形纸片在一个足够大的正方形内任意移动，这张圆形纸片不可能接触到的部分的面积是( )平方厘米。 9．（20-21六年级上·陕西咸阳·期中）圆的半径增加3厘米，它的周长就增加18.84厘米。( )（判断对错） 10．（22-23六年级上·山西吕梁·期中）笑笑和淘气分别从A、B处出发，沿半圆走到C、D，他们两人走过的路程一样长。( )（判断对错） 11．（2023六年级上·辽宁·专题练习）如图，把一个圆剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的周长是33.12厘米，则阴影部分面积是30.68平方厘米。( )（判断对错） 12．（24-25六年级上·甘肃定西·期中）计算阴影部分的面积。 13．（24-25六年级上·广东深圳·期中）如图，院子两堵墙的长度分别为5米和7米，墙外是一片草地，如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4米（绳子两端连接处忽略不计），画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据并求其面积。 14．（24-25六年级上·福建泉州·期中）本学期，我们学习了探究图形的一些数学思想方法，积累了一些关于图形测量的活动经验。如：通过“猜想”“实验”等探索圆的周长；运用“转化”“极限”思想探索圆面积计算公式等。请试着运用学过的策略解决下面的问题。 赵莉和李淘分别从A，B两处出发，分别沿一个大圆和一个小圆走一圈（如图所示）。 （1）两人走过的路程差是多少米？ （2）这两个圆的面积相差多少平方米？ （3）如果这两个圆之间的道宽2米不变，而大、小圆的半径都增加，这两个圆的周长差会增加吗？为什么？ 15．（24-25六年级上·福建泉州·期中）某款汽车上安装的雨刷是在一个摆臂上安装胶条，只有胶条才能把挡风玻璃上的灰尘刷干净（如下图所示）。这款汽车的雨刷摆臂长50厘米，胶条长30厘米，旋转角度是180°，那么这种雨刷能刷到的面积是多少？ 16．（23-24六年级上·陕西咸阳·期中）捣药罐由捣药筒、捣药杆和盖子组成，是家庭日常用品，主要作用是将放入其中的物品（如中药、大蒜等）捣碎。如图是一个捣药罐盖子的形状（近似一个圆环），已知外圆半径为10厘米，内圆半径为2厘米，请你求出盖子面（涂色部分）的面积。 17．（20-21六年级下·陕西咸阳·期末）如图BC＝12cm，CD＝DE＝6cm，①与②两阴影部分的面积的差（较大的减去较小的）是多少？ 18．（21-22六年级上·辽宁·课后作业）如图是一幅钟面的示意图，图中的阴影部分是一个近似的梯形。已知钟面直径是24厘米，则这个近似梯形的面积是多少平方厘米？ 19．（19-20六年级上·陕西西安·期中）如图，正方形的边长是4厘米，以正方形的边为直径画一个半圆，分别以A、B为圆心，正方形的边长为半径画两段圆弧。图中两个阴影部分的面积相差多少平方厘米？ 20．（20-21六年级上·四川成都·期末）如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AC＝4厘米，BC是半圆的直径，A为扇形ACD的圆心，求阴影部分的面积是多少平方厘米。 $$（新课衔接站） 2025-2026学年北师大版数学五升六年级暑假衔接金牌讲练 知识梳理+易错点拨+14个高频考点讲练+真题强化 （共62题） 专题05 圆（单元复习） 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 姓名： 班级： 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 课前指导 讲义简介 3 单元复习 知识梳理 3 知识点01：圆的认识 3 知识点02：扇形的认识 4 知识点03：圆的周长 4 知识点04：圆及圆环的面积 4 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：圆的特征误解 5 易错知识点02：半径与直径关系混淆 5 易错知识点03：圆周率π的理解 5 易错知识点04：圆的周长计算错误 5 易错知识点05：对称轴理解偏差 5 易错知识点06：圆与直线、其他圆的位置关系判断失误 5 优选题型 考点讲练 6 高频考点讲练01：圆的概念及特点 6 高频考点讲练02：画圆 7 高频考点讲练03：与圆相关的轴对称图形 9 高频考点讲练04：圆的周长 11 高频考点讲练05：半圆的周长 13 高频考点讲练06：圆的周长的应用 14 高频考点讲练07：含圆的组合图形的周长 15 高频考点讲练08：圆的面积的计算与转化 17 高频考点讲练09：圆的面积的应用 19 高频考点讲练10：圆环的面积 21 高频考点讲练11：求最大面积 24 高频考点讲练12：含圆的组合图形的面积 26 高频考点讲练13：方中圆和圆中方的面积问题 30 高频考点讲练14：用转化法求圆的组合图形的周长和面积 32 真题汇编 能力强化 34 同学，你好！该份讲义复习六年级上册第一单元《圆》主要知识点，初步学习新学期重点知识，讲义包含知识梳理，易错点拨，考点分类真题讲练，优选题培优训练20题等4大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点01：圆的认识 1、圆是由一条曲线围成的平面图形。(以前所学的图形如长方形、梯形等 都是由几条线段围成的平面图形) 2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母 O 表示;连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母 r 表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d 表示。在同一个圆里，有无数条半径和直径。在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。 3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动;两脚间的距离必须保持不变； 要旋转一周。 4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的 2 倍。(d=2r,r=d÷2) 5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径。 6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。所以要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。 7、正方形里最大的圆: 两者联系：边长=直径画法： 画出正方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 8、长方形里最大的圆: 两者联系：宽=直径画法： 画出长方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆9、同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。 知识点02：扇形的认识 1.圆上两点间的曲线是弧； 2.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形； 3.顶点在圆心的角叫作圆心角； 4.在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。 知识点03：圆的周长 1、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。 每分前进米数(速度)=车轮的周长×转数 2、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做 圆周率。用字母π(读 pài)表示。π是一个无限不循环小数。π=3.141592653……我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值 3.14。π>3.14 3、如果用 C 表示圆的周长，那么 C=πd 或 C = 2πr 4、求圆的半径或直径的方法： d=C÷π r =C÷ π÷2= C÷2π 5、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。C 半圆= πr+2r C 半圆= πd÷2+d 6、常用的 3.14 的倍数： 3.14×2=6.28 3.14×3=9.42 3.14×4=12.56 3.14×5=15.7 3.14×6=18.84 3.14×7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26 知识点04：圆及圆环的面积 1、圆的面积公式：S=πr²。 圆的面积是半径平方的π倍。 2、圆的面积推导：圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面 积相等(即S 长方形=S 圆);长方形的宽是圆的半径(即b=r);长方形的长是圆周长的一半(即a=c/2=πr)。 即：S 长方形= a × b S 圆 = πr × r=πr² 注意：切拼后的长方形的周长比圆的周长多了两条半径。 C 长方形=2πr+2r=C 圆+d 3、半圆的面积和周长。S 半圆=πr²÷2 C 半圆=C/2+d 4、大小两个圆比较，半径的倍数=直径的倍数=周长的倍数， 面积的倍数=半径的倍数的平方 5、周长相等的平面图形中，圆的面积最大； 面积相等的平面图形中，圆的周长最短。 6、求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积，还可以利用乘法 分配律进行简便计算。S 圆环=πR²－πr²=π(R²－r²) 7、常用的平方数： 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400 易错知识点01：圆的特征误解 学生可能会误认为圆内所有线段都是半径或直径，实际上，只有通过圆心且两端在圆上的线段才是直径，从圆心到圆上任一点的线段才是半径。 易错知识点02：半径与直径关系混淆 学生可能不清楚半径是直径的一半，或直径是半径的两倍这一关系，导致在计算时出错。 易错知识点03：圆周率π的理解 π是一个无理数，常取近似值3.14进行计算。学生可能误将π等同于3.14，而忽略其精确值的无限不循环特性。 易错知识点04：圆的周长计算错误 在应用圆的周长公式C = πd或C = 2πr时，学生可能因对公式理解不透彻或计算粗心而导致结果错误。 易错知识点05：对称轴理解偏差 圆有无数条对称轴，即每条经过圆心的直线都是对称轴。学生可能误认为只有几条特定的直线才是圆的对称轴。 易错知识点06：圆与直线、其他圆的位置关系判断失误 在判断圆与直线、其他圆的位置关系时，如相切、相交、相离等，学生可能因对概念理解不准确而做出错误判断。 高频考点讲练01：圆的概念及特点 【典例精讲】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）下图是王叔叔制作的零件的形状，两个圆交错在一起，线段AC是大圆的半径，线段BC是小圆的半径，两圆半径分别是12厘米和8厘米，你能求出王叔叔制作的零件中线段AB的长是多少厘米吗？ 【答案】17厘米 【思路引导】AC是大圆的半径，长12厘米，BC是小圆的半径，长8厘米，而AB的长度是一条大圆的半径与一条小圆的半径和再减去重合的3厘米，据此解答。 【规范解答】12＋8－3＝17（厘米） 答：王叔叔制作的零件中线段AB的长是17厘米。 【演练1】（23-24五年级上·辽宁·单元测试）在如图所示的平面图形中，对称轴最多的是( )，对称轴最少的是( )。 【答案】 ② ① 【思路引导】如果一个图形沿一条直线对折，两边部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，找出每个图形对称轴的条数，解答即可。 【规范解答】①是长方形，有2条对称轴； ②是圆环，有无数条对称轴； ③是等边三角形，有3条对称轴； ④是正六边形，有6条对称轴； ⑤是正方形，有4条对称轴； 所以对称轴最多的是②，对称轴最少的是①。 【演练2】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）淘气设计了下面4种自行车的车轮，骑上这样的自行车会怎样？用硬纸板做成下面的图形，试着滚一滚，并与同伴交流。 【答案】这样的车轮骑起来会上下颠簸，而圆形的骑起来会很平稳，车轮形状越接近圆形，车轮就越稳定；五边形比正方形更接近圆形，正方形比三角形稳定，五边形比正方形稳定，六边形比五边形稳定。 【思路引导】根据滚动的实验结果，会发现滚动起来不太顺利，而且图形越接近圆形越好滚动，据此解答即可。 【规范解答】这样的车轮骑起来会上下颠簸，而圆形的骑起来会很平稳，车轮形状越接近圆形，车轮就越稳定；五边形比正方形更接近圆形，正方形比三角形稳定，五边形比正方形稳定，六边形比五边形稳定。 【考点剖析】本题考查圆，解答本题的关键是掌握圆的特征。 高频考点讲练02：画圆 【典例精讲】（22-23六年级下·辽宁大连·期末）如图，要画一个以三角形的其中一个顶点为圆心，另外两个顶点在圆上的圆，必须要以（      ）为圆心；如果三个点都要在圆上，请在图上标注圆心O的位置。 【答案】B；见详解 【思路引导】根据圆上的点到圆心的距离相等，因为点B到点A和点C的距离都是2小格，距离相等，所以要画一个以三角形的其中一个顶点为圆心，另外两个顶点在圆上的圆，必须要以B为圆心；如果三个点都要在圆上，则圆心到A、B、C的距离相等，AC的中点到A点的距离是小正方形的对角线，到C点的距离也是小正方形的对角线，到B点的距离也是小正方形的对角线，所以AC的中点到A、B、C的距离相等，以AC的中点为圆心画圆，三点都在圆上。 【规范解答】如图，要画一个以三角形的其中一个顶点为圆心，另外两个顶点在圆上的圆，必须要以B为圆心；如果三个点都要在圆上，标注圆心O的位置，如图： 【考点剖析】本题需要根据圆的特征进行作答，掌握圆的相关知识点是解答本题的关键。 【演练1】（19-20六年级上·甘肃白银·期末）（1）如图，要画一个以三角形的其中一个顶点为圆心，另外两个顶点在圆上的圆，必须以点（    ）为圆心。 因为______________________。（请在横线上说明理由） （2）如果图中的三角形的三个顶点都要在圆上，这个圆的圆心应该在哪里？请在图中标注圆心，并画出这个圆。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）由于以一个三角形的顶点为圆心，另外两个点必须在圆上，那么说明另外两个点到圆心的距离是相等的，由于是一个等腰直角三角形，AB＝BC，所以以B为圆心，据此即可解答。 （2）由于三个顶点都在圆上，说明三个顶点到圆心的距离是相等的，由于AC边的中点到A点和C点还有B点都是一个小正方形的对角线的长度，所以AC的中点是圆心，据此即可画图。 【规范解答】（1）由于AB＝BC＝2，所以以B为圆心，另外两个顶点在圆上。 （2） 【考点剖析】本题主要考查圆的特点，熟练掌握圆的特点是解题的关键。 【演练2】（21-22六年级上·四川成都·期末）按要求画出指定的图形。（每个方格的边长都是1厘米） （1）画一个边长是4厘米的正方形； （2）在正方形中画一个最大的圆。 【答案】见详解 【思路引导】（1）正方形的四条边都相等，四个角都是直角，据此根据边长是4厘米画出对应的正方形即可； （2）在正方形中画一个最大的圆，则这个圆的直径等于正方形的边长等于4厘米，据此画出这个圆即可。 【规范解答】 【考点剖析】掌握画正方形以及在正方形里面画最大圆的方法是解答本题的关键。 高频考点讲练03：与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】（23-24六年级上·广东深圳·期中）下面图形中，轴对称图形有（    ）。 A．①③⑤ B．①②⑤ C．③⑤ D．①⑤ 【答案】D 【思路引导】轴对称图形是指一个图形关于某条直线对称，即如果沿该直线折叠，图形的两部分可以完全重合，据此逐个分析图形是否是轴对称图形。 【规范解答】如下图所示，根据轴对称图形的概念，①⑤是轴对称图形（①有两条对称轴、⑤有无数条对称轴）。 故答案为：D 【演练1】．（24-25六年级上·辽宁·课后作业）下面不是轴对称图形的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴，据此选择即可。 【规范解答】 A．是轴对称图形； B．是轴对称图形； C．不是轴对称图形； 故答案为：C 【演练2】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）星光小学打算在一个长方形草坪里（如图）里建一个最大的圆形喷水池，使喷水池和草坪组成的图形有两条对称轴。你能设计一下吗？ 【答案】 图见详解 【思路引导】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。 要在长方形内画一个最大的圆，那么长方形的宽等于圆的直径，圆的半径等于长方形宽的一半。 长方形有两条对称轴，先画出长方形的两条对称轴，对称轴交点就是要画圆的圆心，以长方形宽的一半为半径画出这个圆即可。 【规范解答】如图： 高频考点讲练04：圆的周长 【典例精讲】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）图中小圆的半径是5cm。 （1）大圆的直径是多少厘米？ （2）你能估计出一个小圆的周长是多少厘米吗？请写出你的思考过程。 （3）你能估计出大圆的周长是多少厘米吗？请写出你的思考过程。 【答案】（1）20厘米 （2）31.4厘米；圆的周长＝×直径，代入数据解答。 （3）62.8厘米；大圆的周长是小圆周长的2倍。 【思路引导】（1）由图可知，小圆的直径等于半径的2倍，大圆的直径等于小圆直径的2倍，所以大圆的直径是小圆半径的4倍，据此用小圆的半径乘4就是大圆的直径； （2）根据圆的周长＝×直径，代入数据即可解答； （3）根据圆的周长公式，圆的周长＝×直径，可知圆的周长取决于圆的直径的大小，大圆的直径是小圆直径的2倍，所以大圆的周长是小圆周长的2倍，据此用小圆的周长乘2即可解答。 【规范解答】（1）5×4＝20（厘米） 答：大圆的直径是20厘米。 （2）5×2＝10（厘米） 3.14×10＝31.4（厘米） 答：一个小圆的周长是31.4厘米。 （3）20÷10＝2 31.4×2＝62.8（厘米） 答：大圆的周长是62.8厘米。 【演练1】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）用圆规画一个周长约是25.12厘米的圆，那么圆规两脚之间的距离约为（    ）厘米。 A．2 B．8 C．4 【答案】C 【思路引导】圆规两脚之间的距离即圆的半径，根据“r＝C÷π÷2”求出圆的半径即可。 【规范解答】25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 圆规两脚之间的距离约为4厘米。 故答案为：C 【演练2】（23-24六年级上·辽宁·单元测试）一辆行驶中的小轿车前轮压碎一个苹果，在路上留下了几个印记（如图）。苹果与第一个印记之间的距离大约是2米，则2米表示（    ）。 A．车轮的直径 B．车轮的周长 C．两车轮之间的距离 【答案】B 【思路引导】根据题意可知，车轮留一个印记后，滚动一圈会再次留有印记，车轮的一圈相当于车轮的周长。据此解答。 【规范解答】苹果与第一个印记之间的距离大约是2米。这个“2米”表示车轮的周长。 故答案为：B 高频考点讲练05：半圆的周长 【典例精讲】（23-24六年级上·甘肃定西·期中）一个圆形纸片的周长是62.8cm，把它平均分成两个半圆，得到的其中一个半圆的周长是( )。 【答案】51.4cm 【思路引导】用圆的周长公式：C＝πd的逆运算，计算圆的直径；再利用半圆的周长的计算方法：圆的周长的一半加直径，计算半圆的周长。 【规范解答】62.8÷3.14＝20（cm） 62.8÷2＋20 ＝31.4＋20 ＝51.4（cm） 得到的其中一个半圆的周长是51.4cm。 【演练1】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）如图，把一个半圆分成16等份，拼成一个近似的长方形。下列说法中正确的是（    ）。 A．半圆的周长长 B．长方形的周长长 C．它们的周长一样长 【答案】C 【思路引导】半圆的周长：半圆的周长等于圆周长的一半加上直径，即×2πr＋2r，其中r是圆的半径。拼成的近似长方形的周长：把半圆分成16等份拼成近似长方形时，长方形的两个长近似为半圆的弧长，即×2πr＝πr，宽近似为圆的半径。那么长方形的周长为πr＋2r。 【规范解答】半圆的周长为πr＋2r，近似长方形的周长也为πr＋2r，所以它们的周长一样长。 故答案为：C 【演练2】（23-24五年级下·辽宁·假期作业）下面是小勇对一道题的解答过程。 把一个半径是5厘米的圆分成两个半圆，每个半圆的周长是多少厘米？ （厘米） 答：每个半圆的周长是15.7厘米。 （1）你认为他的解法错在哪里？     （2）你能正确解答这道题吗？ 【答案】（1）错在没有加上半圆的直径，半圆的周长等于圆周长的一半加上直径；（2）25.7厘米 【思路引导】（1）根据周长的定义，可知半圆的周长等于圆周长的一半加上直径，根据圆周长公式：C＝2πr，可知小勇只求解出圆周长的一半，需要再加上直径。 （2）根据题意可知，半圆的周长为C＝2πr÷2＋2r，代入数据即可解答。 【规范解答】（1）小勇错在没有加上半圆的直径，半圆的周长等于圆周长的一半加上直径。 （2） （厘米） 答：半圆的周长是25.7厘米。 高频考点讲练06：圆的周长的应用 【典例精讲】（24-25六年级上·辽宁·单元测试）两只蚂蚁分别沿着如图所示的正方形和圆的边沿爬一圈，沿哪个图形爬的路程较长？（    ） A．圆 B．正方形 C．一样长 【答案】B 【思路引导】根据正方形周长＝边长×4，圆的周长＝圆周率×直径，分别计算出两只蚂蚁沿着正方形和圆的边沿爬一圈的距离，比较即可。 【规范解答】3×4＝12（dm） 3.14×3＝9.42（dm） 12＞9.42 沿正方形爬的路程较长。 故答案为：B 【演练1】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）为了更好地提高学生的核心素养，科学老师带领学生去观察树木，探求树木的生长情况。科学老师用一根20米长的绳子测一棵树的树干周长，绳子在树干上绕了6圈，还剩余1.16米。你能求出这棵树的树干的半径是多少米吗？ 【答案】0.5米 【思路引导】先算出绕树干6圈所用绳子的长度，然后除以6，就可以得到树干1圈的长度，也就是树干的周长，再根据r＝C÷π÷2，代入数据计算，就可以求出这棵树的树干的半径，据此解答。 【规范解答】（20－1.16）÷6 ＝18.84÷6 ＝3.14（米） 3.14÷3.14÷2＝0.5（米） 答：这棵树的树干的半径是0.5米。 【演练2】（24-25六年级上·辽宁·单元测试）“天宫一号”与“天宫二号”目标飞行器是中国自主研制的载人空间实验平台，地球的半径大约是6400千米，“天宫一号”在距地球340千米高的圆形轨道上运转，“天宫二号”在距地球390千米高的圆形轨道上运转，“天宫二号”比“天宫一号”的轨道长多少千米？ 【答案】314千米 【思路引导】“天宫一号”在距地球340千米高的圆形轨道上运转，可以得出“天宫一号”运转一周的路程是一个半径为6400＋340＝6740（千米）圆的周长，“天宫二号”在距地球390千米高的圆形轨道上运转，可以得出“天宫二号”运转一周的路程是一个半径为6400＋390＝6790（千米）圆的周长，用“天宫二号”运转圆的周长和用“天宫一号”运转圆的周长相减。 【规范解答】2×3.14×（6400＋390）－2×3.14×（6400＋340） ＝2×3.14×6790－2×3.14×6740 ＝2×3.14×（6790－6740） ＝6.28×50 ＝314（千米） 答：“天宫二号”比“天宫一号”的轨道长314千米。 高频考点讲练07：含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（23-24六年级上·广东深圳·期中）如图所示，两个边长相等的正方形，比较图中阴影部分的周长（    ）。 A．甲周长＞乙周长 B．甲周长＜乙周长 C．甲周长＝乙周长 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】甲：阴影部分的周长＝圆的周长＋正方形边长×2；乙：阴影部分的周长＝圆的周长＋正方形边长×2，据此分析。 【规范解答】根据分析，甲和乙阴影部分的都长都等于圆的周长＋正方形边长×2，因此甲周长＝乙周长。 故答案为：C 【演练1】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）如图，甲、乙两部分的周长关系是（    ）。 A．甲比乙长 B．乙比甲长 C．甲、乙一样长 【答案】C 【思路引导】正方形中一条圆心角是90°的弧把正方形一分为二，分别计算甲、乙两部分的周长，再比较即可。 【规范解答】甲、乙的周长都是两条正方形的边长加上圆心角是90°的弧长，所以甲、乙两部分的周长相等。 故答案为：C 【演练2】（23-24六年级下·陕西渭南·期末）下图中大圆的半径是8cm，则阴影部分的周长是（    ）cm。 A．132.48 B．100.48 C．82.24 D．107.36 【答案】A 【思路引导】观察图形可知，阴影部分的周长包括大圆的周长、4个小半圆组成的2个小圆的周长、4条大圆的半径。圆的周长＝πd＝2πr，据此计算出各部分的长度，再把它们相加即可解答。 【规范解答】8×2×3.14＋8×3.14×2＋8×4 ＝50.24＋50.24＋32 ＝132.48（cm） 则阴影部分的周长是132.48cm。 故答案为：A 高频考点讲练08：圆的面积的计算与转化 【典例精讲】（23-24六年级上·陕西咸阳·期中）某公园有一个圆形金鱼池，半径是10米，它的直径是( )米，它的周长是( )米，占地( )平方米。 【答案】 20 62.8 314 【思路引导】圆的直径等于它半径的2倍；利用周长公式代入数据计算即可；占地多少平方米就是求圆的面积，利用圆的面积公式：，代入数据计算即可。 【规范解答】10×2＝20（米） 圆的周长：＝3.14×20＝62.8（米） 圆的面积：＝3.14×100＝314（平方米） 某公园有一个圆形金鱼池，半径是10米，它的直径是20米，它的周长是62.8米，占地314平方米。 【演练1】（23-24六年级上·四川成都·期末）奇思用面积分割的方法推导圆的面积公式，下面说法正确的是（    ）。 ①把圆分成了若干等份可以转化成近似的长方形求面积 ②圆转化后得到的近似长方形的长近似于圆周长的一半 ③圆转化后得到的近似长方形的宽等于圆直径 ④圆转化后的图形面积和圆的面积相等 A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】根据圆的面积公式推导过程，把圆平均分成若干等份，可以拼成近似的长方形，长方形的面积＝圆的面积，长方形的长＝圆周长的一半，长方形的宽＝圆的半径，根据长方形的面积＝长×宽，可以推导出圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此分析。 【规范解答】①把圆分成了若干等份可以转化成近似的长方形求面积，说法正确 ②圆转化后得到的近似长方形的长近似于圆周长的一半，说法正确 ③圆转化后得到的近似长方形的宽等于圆半径，原说法错误； ④圆转化后的图形面积和圆的面积相等，说法正确。 说法正确的是①②④。 故答案为：C 【演练2】（23-24六年级上·广东深圳·期中）推导圆的面积公式有很多种方法。淘气把一个圆平均分成16份，得到16个完全一样的扇形，再把这些小扇形拼成一个近似的三角形（如图）。请你结合以上思路，写出圆面积公式的推导过程。 【答案】见详解 【思路引导】由图可知，小扇形的总数是16个，拼成三角形的底占整个圆周长的4÷16＝，拼成的三角形的高相当于半径的4倍，再根据三角形的面积＝底×高÷2，进而表示出圆的面积，据此解答。 【规范解答】设这个圆的半径为r，则圆的周长为， 三角形的底： 三角形的高： 三角形的面积： ＝ ＝ 所以，圆的面积。 【考点剖析】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式推导，准确找到三角形的底和高是解决这道题的关键。 高频考点讲练09：圆的面积的应用 【典例精讲】（23-24六年级下·陕西西安·期末）某休闲农庄修建了一个“月牙形”的鱼塘（如图），已知鱼塘所在圆的半径是30米，钓鱼台的半径是20米。“月牙形”鱼塘的面积是多少平方米？（π取3.14） 【答案】1570平方米 【思路引导】观察图形可知，“月牙形”鱼塘的面积＝鱼塘所在圆的面积－钓鱼台的面积。根据圆的面积＝πr2，分别求出鱼塘所在圆的面积和钓鱼台的面积，再把它们相减即可解答。 【规范解答】3.14×302－3.14×202 ＝3.14×900－3.14×400 ＝2826－1256 ＝1570（平方米） 答：“月牙形”鱼塘的面积是1570平方米。 【演练1】（24-25六年级上·辽宁·期末）从图1和图2中选择一个，画在框内，并计算该图中涂色部分的面积。我选择的图（    ）（填1或2）。 【答案】1；1.72平方厘米或2；0.86平方厘米 【思路引导】方法一：选择图1。涂色部分的面积＝长方形的面积－半圆的面积，根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 方法二：选择图2。涂色部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【规范解答】方法一：我选择的图1。 （2×2）×2－3.14×22÷2 ＝4×2－3.14×4÷2 ＝8－6.28 ＝1.72（平方厘米） 方法二：我选择的图2。 2×2－3.14×22× ＝4－3.14×4× ＝4－3.14 ＝0.86（平方厘米） 【演练2】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）圆是很美的。在中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。如下图所示，两幅图中的两个圆的半径都是1米。 （1）请你分别求出每幅图中正方形和圆之间部分的面积。 （2）请你以下面的圆为基础，设计“外方内圆”“外圆内方”的图案各一个。 【答案】（1）0.86平方米；1.14平方米 （2）见详解 【思路引导】（1）第一个图正方形的边长等于圆的直径即是2米，用正方形面积减去圆的面积即可。第二个图中连接正方形对角顶点，得到圆的直径是正方形的对角线，正方形面积转化成两个底是直径长，高是半径长的三角形面积。再用圆的面积减去正方形面积即可解答。 （2）设计外圆内方、外方内圆的图案，可以结合中国古代的建筑、家具内饰、货币等方面的图案与结构，据此解答。 【规范解答】（1） （平方米） （平方米） （2）如下图所示。（答案不唯一） 高频考点讲练10：圆环的面积 【典例精讲】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）求下图中阴影部分的面积。 【答案】251.2cm2；28.5cm2 【思路引导】第一个图形是个圆环，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），列式计算； 第二个图形的面积＝圆的面积－正方形面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方，正方形可以看成2个等腰直角三角形，三角形的底＝圆的直径，三角形的高＝圆的半径，三角形面积＝底×高÷2，据此列式计算。 【规范解答】3.14×（122－82） ＝3.14×（144－64） ＝3.14×80 ＝251.2（cm2） 3.14×52－（5×2）×5÷2×2 ＝3.14×25－10×5÷2×2 ＝78.5－50 ＝28.5（cm2） 阴影部分的面积分别是251.2cm2，28.5cm2。 【演练1】（23-24六年级上·四川成都·期末）本学期，我们学习了探究图形的一些数学思想方法，结累了一定的关于图形的活动经验。如：通过“猜想”、“实验”等探索圆的周长，运用“转化”、“极限”思想探索圆面积计算公式；又如：在综合与实践中运用“简单情况找规律”解决比赛场次等生活中的数学问题。试试用学习的这些策略解决下面问题。 笑笑和淘气分别从A、B处出发，分别沿一个大圆和一个小圆走一圈（如图所示）。 （1）两人走过的路程差是多少米？ （2）这两个圆的面积相差多少平方米？ （3）如果这两个圆之间的道宽2米不变，而大、小圆的半径都增加的话，这两个圆的周长差会增加吗？为什么？ （4）如果这两个圆之间的道宽2米不变，而大、小圆的半径都增加的话，这两个圆的面积差会增加吗？为什么？ 【答案】（1）12.56米 （2）75.36平方米 （3）不会增加；原因见详解 （4）会增加；原因见详解 【思路引导】（1）大圆半径＝2＋5＝7米；求两人走过的路程差，就是求两个圆的周长差；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，分别求出大圆周长和小圆周长，再用大圆周长－小圆周长，即周长差＝2π×（大圆半径－小圆半径）； （2）求这个两个圆的面积差，就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，即可解答； （3）根据题意这两个圆之间的道宽2米不变可知，大圆半径增加的长度与小圆半径增加的长度相同，大圆半径与小圆半径差不变，由此解答； （4）大圆半径和小圆半径都增加，根据圆环的面积公式可知，半径增加，那么大圆的半径2与小圆半径2的差都会增加，由此进行解答。 【规范解答】（1）2＋5＝7（米） 3.14×2×（7－5） ＝6.28×2 ＝12.56（米） 答：两人走过的路程差是12.56米。 （2）3.14×（72－52） ＝3.14×（49－25） ＝3.14×24 ＝75.36（平方米） 答：这两个圆的面积相差75.36平方米。 （3）这两个圆的周长差不会增加； 根据周长差＝大圆周长－小圆周长＝2π×（大圆半径－小圆半径）；这两个圆之间的道宽2米不变，即大圆半径与小圆半径差为2米，由此可知，圆的周长差不变。 （4） 这两个圆的面积差会增加； 面积差＝大圆面积－小圆面积＝2π×（大圆半径2－小圆半径2），这两个圆之间的道宽2米不变，即大圆半径与小圆半径差为2米，但是大圆半径2与小圆半径2的差是不固定的，半径增加，圆的面积差也就会增加。 【演练2】（18-19六年级上·辽宁·课后作业）下图中阴影部分的面积是3，圆环的面积是多少平方厘米？ 【答案】18.84 【思路引导】阴影部分的面积是大直角三角形的面积减去小直角＝三角形的面积，大直角三角形的两条直角边都是外圆的半径，小直角三角形的两条直角边都是内圆的半径，所以两个直角三角形的面积之差(阴影部分面积)＝，而圆环的面积是 【规范解答】3.14×3×2＝18.84() 答：圆环的面积是18.84． 高频考点讲练11：求最大面积 【典例精讲】（19-20六年级下·四川广安·期末）在边长相同的两个正方形里分别画一个最大的圆和一个最大的扇形，圆和扇形的面积比较（    ）。 A．圆面积大 B．扇形面积大 C．一样大 【答案】C 【思路引导】如下图： 可用设数法解答，假设正方形边长是2厘米，分别求出直径为2厘米圆的面积和扇形面积，扇形面积可以转化为半径为2厘米的圆面积的，利用圆面积计算公式S＝2计算比较即可。 【规范解答】假设正方形边长是2厘米。 圆的面积：3.14×（2÷2）2 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 扇形的面积：3.14×22÷4 ＝12.56÷4 ＝3.14（平方厘米） 因为3.14＝3.14，所以圆和扇形的面积一样大。 故答案为：C 【考点剖析】此题重点考查圆面积和扇形面积的计算方法，在正方形内准确画出最大的圆和扇形是解答此题的关键。 【演练1】（21-22六年级上·辽宁·期中）周长相等的长方形、正方形、圆，( )的面积最大。面积相等的长方形、正方形、圆，( )的周长最小。 【答案】 圆 圆 【思路引导】（1）要比较周长相等的长方形、正方形和圆，谁的面积大，可以先假设这三种图形的周长是多少，再利用这三种图形的面积公式，分别求出它们的面积，最后比较这三种图形面积大小； （2）周长相等时，形状越近似圆，面积越大，反之，面积相等，形状越接近圆，周长越小；长方形、正方形和圆的面积相等，它们的周长排列顺序为：长方形＞正方形＞圆；据此解答。 【规范解答】为了便于理解，假设长方形、正方形和圆的周长都是16 圆的半径：＝ 面积：π××＝≈20.38 正方形边长：16÷4＝4 面积：4×4＝16 长方形取长为5，宽为3 面积：5×3＝15 当长方形的长和宽最接近时面积也小于16； 长方形面积＜正方形面积＜圆的面积 当长方形、正方形和圆的面积相等，它们周长关系是相反的； 长方形周长＞正方形周长＞圆的周长。 周长相等的长方形、正方形和圆，圆的面积最大；面积相等的长方形、正方形和圆，圆的周长最小。 【考点剖析】本题考查图形的面积以及周长的比较，是一个经典的题型，本题从数量上认证了面积一定，长方形周长＞正方形的周长＞圆形的周长，还考查长方形、正方形、圆的面积公式以及灵活运用。 【演练2】（18-19五年级上·辽宁·单元测试）在下面各圆中，面积最大的圆是：（    ）。 A．半径3厘米 B．直径4厘米 C．周长12.56厘米 【答案】A 【思路引导】根据圆的面积公式：π×半径2，求出下列各选项的半径，半径大，圆的面积就大，据此解答。 【规范解答】A．半径是3厘米 B．半径＝4÷2＝2（厘米） C．半径＝12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 半径是3厘米的圆的面积最大。 故答案选：A 【考点剖析】本题考查圆的面积公式的应用，圆的面积大小与圆的半径有关，半径越大，圆的面积越大。 高频考点讲练12：含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（2024·黑龙江大兴安岭地·小升初真题）求如图各图形中涂色部分的面积。                【答案】30cm2；6.28dm2 【思路引导】（1）从图中可知，涂色部分是两个等高的三角形，这两个三角形的底边之和是10cm，所以可以把涂色部分看作一个底为10cm、高为6cm的三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 （2）从图中可知，涂色部分的面积＝半径为4dm的圆的面积－直径为4dm的圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【规范解答】（1）10×6÷2 ＝60÷2 ＝30（cm2） 涂色部分的面积是30cm2。 （2）3.14×42×－3.14×（4÷2）2× ＝3.14×16×－3.14×22× ＝3.14×16×－3.14×4× ＝12.56－6.28 ＝6.28（dm2） 涂色部分的面积是6.28dm2。 【演练1】（23-24六年级上·四川成都·期末）课堂上，老师组织探究活动：已知如图正方形的面积是40cm2，求涂色部分的面积。小明举手说：“解决问题的关键是求出圆的面积。此时，我们求不出圆的半径，但能把正方形分成四个相等的小正方形，先求出小正方形的面积，它恰好是圆的半径的平方，从而可求出圆的面积，可求出涂色部分的面积是( )cm2”。 【答案】8.6 【思路引导】 如图，小正方形的边长＝圆的半径，小正方形的面积＝大正方形的面积÷4，小正方形的面积＝圆的半径的平方，圆的面积＝圆周率×半径的平方，涂色部分的面积＝大正方形面积－圆的面积，据此列式计算。 【规范解答】40－3.14×（40÷4） ＝40－3.14×10 ＝40－31.4 ＝8.6（cm2） 涂色部分的面积是8.6cm2。 【演练2】（2024六年级下·辽宁·专题练习）求下面各图形中涂色部分的面积。（单位：厘米）                 长方形面积45平方厘米。                  【答案】21.5平方厘米；1425平方厘米； 15.375平方厘米；8平方厘米 【思路引导】 （1）观察图形可知，涂色部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 （2）观察图形可知，涂色部分的面积＝梯形的面积－空白三角形的面积，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 （3）已知长方形的面积是45平方厘米，宽是5厘米，根据长方形的长＝面积÷宽，据此求出长方形的长；观察图形可知，涂色部分的面积＝长方形的面积－三角形的面积－圆的面积；根据三角形的面积＝底×高÷2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 （4）如下图，把涂色的半圆分成2个圆，如箭头所示分别移补到空白处，这样涂色部分组成一个长方形，长方形的长等于圆的直径，宽等于圆的半径，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算求解。 【规范解答】 （1）10×10－3.14×102× ＝100－3.14×100× ＝100－78.5 ＝21.5（平方厘米） 涂色部分的面积是21.5平方厘米。 （2）（30＋60）×40÷2－30×25÷2 ＝90×40÷2－750÷2 ＝1800－375 ＝1425（平方厘米） 涂色部分的面积是1425平方厘米。 （3）长方形的长：45÷5＝9（厘米） 三角形的面积： （9－5）×5÷2 ＝4×5÷2 ＝10（平方厘米） 圆的面积： 3.14×52× ＝3.14×25× ＝78.5× ＝19.625（平方厘米） 涂色部分的面积： 45－10－19.625＝15.375（平方厘米） 涂色部分的面积是15.375平方厘米。 （4）4×（4÷2） ＝4×2 ＝8（平方厘米） 涂色部分的面积是8平方厘米。 高频考点讲练13：方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（23-24六年级上·陕西西安·期中）求下面各图中涂色部分的面积。（单位：cm） 【答案】10.75cm2；1.14cm2 【思路引导】（1）观察图形可知，长方形的宽等于圆的半径，长方形的长等于圆的直径； 涂色部分的面积＝长方形的面积－半圆的面积，根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 （2）已知圆的半径是1cm，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； 因为正方形是圆内最大的正方形，用一条对角线把正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，就是这个正方形的面积； 然后根据涂色部分的面积＝圆的面积－正方形的面积，代入数据计算求解。 【规范解答】（1）（5×2）×5－3.14×52÷2 ＝10×5－3.14×25÷2 ＝50－39.25 ＝10.75（cm2） 涂色部分的面积是10.75cm2。 （2）3.14×12－（1×2）×1÷2×2 ＝3.14×1－2×1÷2×2 ＝3.14－2 ＝1.14（cm2） 涂色部分的面积是1.14cm2。 【演练1】（23-24六年级上·陕西西安·期中）求下面阴影部分的周长和面积。 【答案】周长：18.84厘米；面积：7.74平方厘米 【思路引导】观察图形可知，空白处的四个扇形正好可以拼成一个整圆，且圆的半径为6÷2＝3（厘米）所以阴影部分的周长就是圆的周长，由此根据圆的周长公式解答； 阴影部分的面积等于正方形的面积减去四个扇形面积的和，也就是正方形的面积减去1个整圆的面积，据此计算即可解答。 【规范解答】观察图形可知：空白处的四个扇形正好可以拼成一个整圆，且圆的半径为6÷2＝3（厘米）。 阴影部分的周长＝（厘米） 阴影部分的面积＝6×6－ ＝ ＝ ＝ ＝7.74（平方厘米） 【演练2】（2025六年级下·全国·专题练习）如图，圆中三个小正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是2厘米、3厘米、4厘米。最大正方形的面积是( )平方厘米，圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 81 127.17 【思路引导】据图可知，最大正方形的边长等于三个小正方形的边长之和，即（2＋3＋4），根据正方形的面积＝边长×边长求出最大正方形的面积；最大正方形的一条对角线把正方形分成两个完全相同的等腰三角形，等腰三角形的底是圆的直径，即2r，高是圆的半径，即r，根据三角形的面积＝底×高÷2可知正方形的面积可以表示为：2r×r÷2×2＝2r2，据此用最大正方形的面积除以2即可求出r2，最后根据圆的面积＝πr2列式求出圆的面积即可。 【规范解答】（2＋3＋4）×（2＋3＋4） ＝9×9 ＝81（平方厘米） 81÷2×3.14 ＝40.5×3.14 ＝127.17（平方厘米） 因此，最大正方形的面积是81平方厘米，圆的面积是127.17平方厘米。 【考点剖析】本题的关键是找到r2与圆中最大正方形的面积关系，从而可以通过不求出半径即可求出圆的面积。 高频考点讲练14：用转化法求圆的组合图形的周长和面积 【典例精讲】（2024·广东梅州·小升初真题）下列各图中的正方形面积相等，图（    ）的阴影面积与另外三图不同。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】阴影部分的面积＝正方形的面积－空白部分的面积，据此选择。 【规范解答】由图可知：从左到右A、C、D的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等。 故答案为：B 【考点剖析】此题考查了面积及等积变换，将阴影面积转化为易求的图形的面积的差或和是解题的常用方法。 【演练1】（20-21六年级上·辽宁·单元测试）求阴影部分的周长和面积。 （1）             （2） 【答案】（1）周长：25.12cm；面积：25.12cm² （2）周长：90.24cm；面积：119.04cm² 【思路引导】（1）阴影部分的周长＝半径是4厘米的圆的周长的一半＋直径是4厘米的圆的周长；阴影部分面积＝半径是4厘米的半圆的面积； （2）阴影部分的周长＝直径是16厘米的圆的周长＋长方形的2个长；阴影部分的面积＝长方形面积－直径是16厘米的圆的面积。 【规范解答】（1）周长：3.14×4×2÷2＋3.14×4 ＝3.14×4＋3.14×4 ＝12.56＋12.56 ＝25.12（cm） 面积：3.14×42÷2 ＝3.14×8 ＝25.12（cm2） （2）周长：3.14×16＋20×2 ＝50.24＋40 ＝90.24（cm） 面积：20×16－3.14×（16÷2）2 ＝320－200.96 ＝119.04（cm2） 【考点剖析】本题主要考查含圆的阴影部分的周长和面积，通常采用转化法进行解答。 【演练2】（21-22六年级上·安徽阜阳·期末）求阴影部分的面积。（单位：） 【答案】11.44平方厘米；8平方厘米 【思路引导】左图，阴影部分面积等于梯形面积减去圆面积。虽然梯形上底未标注长度，但由图可知，上底等于圆的半径，也是4厘米。右图，如图所示，可以把右侧阴影部分顺时针旋转90度，等面积转化为边长为4厘米的小正方形的一半。 右图： 【规范解答】左图阴影面积： （8＋4）×4÷2 ＝12×4÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 3.14×42÷4 ＝50.24÷4 ＝12.56（平方厘米） 24－12.56＝11.44（平方厘米） 右图阴影面积： 8÷2＝4（厘米） 4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（平方厘米） 1．（24-25六年级上·吉林长春·期末）如图，已知正方形的边长是6dm，则图中阴影部分的面积是（    ）dm2。 A．6.32 B．7.18 C．7.74 D．10 【答案】C 【思路引导】将右下角的阴影部分移动到左上角，如下图： 从图中可知：阴影部分的面积＝正方形的面积－半径6dm的圆的面积÷4。根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积：S＝πr2，代入数据计算即可。 【规范解答】6×6－62×3.14÷4 ＝6×6－36×3.14÷4 ＝36－28.26 ＝7.74（dm2） 阴影部分的面积是7.74dm2。 故答案为：C 2．（24-25六年级上·吉林四平·期末）一个钟表的分针长10cm，分针从2走到5，它的针尖走过了（    ）cm。 A．31.4 B．62.8 C．15.7 D．3.14 【答案】C 【思路引导】表盘上12个大格，分针转动一圈是360°，则每一个大格是30°，则分针从2走到5，就是走了3个大格也就是90°，也就是的圆，则扇形的周长就是对应的半径是10cm圆的周长除以4即可。 【规范解答】 （cm） 则它的针尖走过了15.7cm。 故答案为：C 3．（24-25六年级上·吉林长春·期末）如图所示，直径为10cm的圆从箭头指向处，沿直尺向右滚动一周后，圆上的箭头指向刻度在（    ）。 A．20～30之间 B．30～40之间 C．40～50之间 【答案】C 【思路引导】先根据圆的周长公式C＝πd求出它的周长，再加上起点的刻度10cm，即是圆滚动一周后箭头指向的刻度。 【规范解答】3.14×10＝31.4（cm） 31.4＋10＝41.4（cm） 40＜41.4＜50 圆上的箭头指向刻度在40～50之间。 故答案为：C 4．（2024六年级下·全国·专题练习）下面三幅图是用相同大小的正方形纸画成的，其中空白部分面积（    ）。 A．一样大 B．图③最大 C．图②最大 【答案】A 【思路引导】通过观察图形可知，空白部分的面积等于正方形的面积减去阴影部分的面积，假设正方形的边长是4，根据正方形的面积边长边长，圆的面积公式：，把数据代入公式分别求出空白部分的面积，然后进行比较即可。 【规范解答】假设正方形的边长是4 ① ② ③ 所以空白部分的面积一样大。 故答案为：A 【考点剖析】此题主要考查正方形的面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 5．（24-25六年级上·四川成都·期末）新都某大型商场旁的摩天轮（如图）是新都的大型地标之一，被称为“新都之眼”。这个摩天轮的半径是( )米，周长是( )米。 【答案】 25 157 【思路引导】观察图形可知，这个摩天轮的直径是50米，根据圆的直径＝半径÷2，求出这个摩天轮的半径； 根据圆的周长公式C＝πd，求出这个摩天轮的周长。 【规范解答】50÷2＝25（米） 3.14×50＝157（米） 这个摩天轮的半径是25米，周长是157米。 6．（24-25六年级上·辽宁丹东·期末）把一个周长为20.56厘米的半圆形，沿对称轴剪开得到两个同样的平面图形，这个新的平面图形的面积是( )平方厘米。 【答案】12.56 【思路引导】 如图，设半圆的半径为r，根据圆周率×半径＋半径×2＝半圆的周长，列出方程求出r的值，再根据半圆的面积＝圆周率×半径的平方÷2，求出半圆的面积，除以2即可。 【规范解答】解：设半圆的半径为r。 3.14r＋2r＝20.56 5.14r＝20.56 5.14r÷5.14＝20.56÷5.14 r＝4 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方厘米） 25.12÷2＝12.56（平方厘米） 这个新的平面图形的面积是12.56平方厘米。 7．（24-25六年级上·吉林长春·期末）笑笑用圆规画一个圆，圆规两脚间的距离是3厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。 【答案】28.26 【思路引导】圆规两脚之间的距离是圆的半径，即r＝3厘米，根据圆的面积＝，代入数据计算即可。 【规范解答】 （平方厘米） 则这个圆的面积是28.26平方厘米。 8．（24-25六年级上·辽宁丹东·期末）在图中，一张半径为3厘米的圆形纸片在一个足够大的正方形内任意移动，这张圆形纸片不可能接触到的部分的面积是( )平方厘米。 【答案】7.74 【思路引导】这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积就是以半径为边长的小正方形的面积与圆的面积的差，然后再乘4即可，根据正方形的面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【规范解答】根据分析： （）×4 ＝（）×4 ＝1.935×4 ＝7.74（平方厘米） 这张圆形纸片不可能接触到的部分的面积是7.74平方厘米。 【考点剖析】解答此题的关键是分析出不可能接触的是哪部分，以及掌握圆的面积公式和正方形的面积公式。 9．（20-21六年级上·陕西咸阳·期中）圆的半径增加3厘米，它的周长就增加18.84厘米。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】设原来圆的半径是r厘米，增加后圆的半径是（r＋3）厘米，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，分别求出原来圆的周长和增加后圆的周长，再用增加后圆的周长减原来圆的周长，再进行判断。 【规范解答】设：原来圆的半径为r厘米，则增加后圆的半径为（r＋3）厘米。 3.14×（r＋3）×2－3.14×r×2 ＝3.14r×2＋3.14×3×2－3.14r×2 ＝6.28r＋9.42×2－6.28r ＝18.84（厘米） 圆的半径增加3厘米，它的周长就增加18.84厘米。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【考点剖析】熟练掌握圆的周长公式是解答本题的关键。 10．（22-23六年级上·山西吕梁·期中）笑笑和淘气分别从A、B处出发，沿半圆走到C、D，他们两人走过的路程一样长。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】由于一个人是走里面的圆弧，半径是10米，另一个是走外面的圆弧，半径是：10＋1＝11米，根据半圆弧的周长公式：C＝πr，把数代入求出两个弧长，即可比较。 【规范解答】3.14×10＝31.4（米） 3.14×（10＋1） ＝3.14×11 ＝34.54（米） 34.54＞31.4 所以他们两人走过的路程不一样长，原题说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】本题主要考查圆的周长公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。 11．（2023六年级上·辽宁·专题练习）如图，把一个圆剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的周长是33.12厘米，则阴影部分面积是30.68平方厘米。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆剪拼成一个近似长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径，拼成的长方形的周长比圆的周长增加了两条半径的长度，设圆的半径为r厘米，根据圆的周长公式：C＝2πr，已知长方形的周长是33.12厘米，据此可以求出半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出这个圆的面积，阴影部分的面积等于圆面积的四分之三，求出阴影部分的面积然后与30.68平方厘米进行比较即可。 【规范解答】解：设圆的半径为r厘米。 2×3.14×r＋2r＝33.12 6.28r＋2r＝33.12 8.28r＝33.12 8.28r÷8.28＝33.12÷8.28 r＝4 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 50.24÷4×3 ＝12.56×3 ＝37.68（平方厘米） 37.68平方厘米≠30.68平方厘米 因此题干中的结论是错误的。 故答案为：× 【考点剖析】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用，圆的周长公式、长方形的周长公式及应用。 12．（24-25六年级上·甘肃定西·期中）计算阴影部分的面积。 【答案】60平方厘米；21.5平方厘米 【思路引导】 第一个图形：如图：，把左边半圆部分移到右边空白部分，阴影部分等于长是10厘米，宽是6厘米的长方形面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 第二个图形：阴影部分面积＝边长是10厘米的正方形面积－直径是10厘米的圆的面积，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【规范解答】10×6＝60（平方厘米） 10×10－3.14×（10÷2）2 ＝100－3.14×52 ＝100－78.5 ＝21.5（平方厘米） 第一个图形的面积是60平方厘米，第二个图形的面积是21.5平方厘米。 13．（24-25六年级上·广东深圳·期中）如图，院子两堵墙的长度分别为5米和7米，墙外是一片草地，如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4米（绳子两端连接处忽略不计），画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据并求其面积。 【答案】28.26平方米；图见详解 【思路引导】通过观察图形可知，这只小羊能吃到草的面积等于半径为4米的圆面积的加上半径为2米的圆面积的，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【规范解答】3.14×42×＋3.14×22× ＝3.14×16×＋3.14×4× ＝50.24×＋12.56× ＝25.12＋3.14 ＝28.26（平方米） 答：这只小羊吃草的面积是28.26平方米。 作图如下： 14．（24-25六年级上·福建泉州·期中）本学期，我们学习了探究图形的一些数学思想方法，积累了一些关于图形测量的活动经验。如：通过“猜想”“实验”等探索圆的周长；运用“转化”“极限”思想探索圆面积计算公式等。请试着运用学过的策略解决下面的问题。 赵莉和李淘分别从A，B两处出发，分别沿一个大圆和一个小圆走一圈（如图所示）。 （1）两人走过的路程差是多少米？ （2）这两个圆的面积相差多少平方米？ （3）如果这两个圆之间的道宽2米不变，而大、小圆的半径都增加，这两个圆的周长差会增加吗？为什么？ 【答案】（1）12.56米； （2）75.36平方米； （3）不会增加，原因见详解 【思路引导】（1）由题意知：小圆半径（米），大圆半径（米）；求两人走过的路程差，就是求两个圆的周长差；根据圆的周长公式，分别求出大圆周长和小圆周长再相减，即周长差＝大圆周长－小圆周长＝＝，代入数据计算即可； （2）求这个两个圆的面积差，就是求圆环的面积，根据圆环的面积＝大圆面积－小圆面积＝＝，代入数据计算即可； （3）根据这两个圆之间的道宽2米不变可知，大圆半径与小圆半径差不变，由此解答； 【规范解答】（1）由题意得：小圆半径（米），大圆半径（米） 圆环的面积＝ ＝ ＝ ＝6.28×2 ＝12.56（米） 答：两人走过的路程差是12.56米。 （2）两个圆的面积差＝ ＝ ＝3.14×（49－25） ＝3.14×24 ＝75.36（平方米） 答：两个圆的面积相差75.36平方米。 （3）这两个圆的周长差不会增加。因为“这两个圆之间的道宽2米不变，而大、小圆的半径都增加”可知，大圆的半径和小圆半径的差不变一直都是2米。 根据周长差＝大圆周长－小圆周长＝＝＝（米）知，两个圆的周长差不变。 15．（24-25六年级上·福建泉州·期中）某款汽车上安装的雨刷是在一个摆臂上安装胶条，只有胶条才能把挡风玻璃上的灰尘刷干净（如下图所示）。这款汽车的雨刷摆臂长50厘米，胶条长30厘米，旋转角度是180°，那么这种雨刷能刷到的面积是多少？ 【答案】3297平方厘米 【思路引导】雨刷臂能刷到的位置是外半径50厘米（雨刷摆臂长），内半径厘米（臂长减去胶条长）的半圆环，根据，计算雨刷能刷到的面积即可。 【规范解答】（厘米） （平方厘米） 答：这种雨刷能刷到的面积是3297平方厘米。 16．（23-24六年级上·陕西咸阳·期中）捣药罐由捣药筒、捣药杆和盖子组成，是家庭日常用品，主要作用是将放入其中的物品（如中药、大蒜等）捣碎。如图是一个捣药罐盖子的形状（近似一个圆环），已知外圆半径为10厘米，内圆半径为2厘米，请你求出盖子面（涂色部分）的面积。 【答案】301.44平方厘米 【思路引导】观察图形可知，求盖子面（涂色部分）的面积，就是求圆环的面积；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求解。 【规范解答】3.14×（102－22） ＝3.14×（100－4） ＝3.14×96 ＝301.44（平方厘米） 答：盖子面（涂色部分）的面积是301.44平方厘米。 17．（20-21六年级下·陕西咸阳·期末）如图BC＝12cm，CD＝DE＝6cm，①与②两阴影部分的面积的差（较大的减去较小的）是多少？ 【答案】12.78cm2 【思路引导】如下图所示，用③表示一块阴影部分的面积，则①－②＝（①＋③）－（②＋③）。用半径是12cm的大扇形的面积减去半径是6cm的小扇形的面积即可得出①与③两阴影部分的面积之和，而②与③两阴影部分的面积之和等于长方形的面积，那么用大扇形的面积减去小扇形的面积，再减去长方形的面积，即可求出①与②两阴影部分的面积的差。图中扇形的面积是整圆面积的，根据S＝πr2求出整圆面积，再除以4分别求出两个扇形的面积；根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形的面积。最后根据上面的分析结果进行解答。 【规范解答】 ＝3.14×27－72 （cm2） 答：①与②两阴影部分的面积的差是12.78cm2。 【考点剖析】把①与②两阴影部分的面积的差，转化为①与③的面积之和，与②与③面积之和的差，是解题的关键。再运用圆的面积公式和长方形的面积公式分别求出两部分的面积。 18．（21-22六年级上·辽宁·课后作业）如图是一幅钟面的示意图，图中的阴影部分是一个近似的梯形。已知钟面直径是24厘米，则这个近似梯形的面积是多少平方厘米？ 【答案】75.36平方厘米 【思路引导】由图可知，虚线将上面半圆分成了两部分，左边是右边的2倍，左边比右边多的恰好是阴影部分的面积，据此解答。 【规范解答】3.14×（24÷2）2÷2÷3×（2－1） ＝3.14×144÷6 ＝3.14×24 ＝75.36（平方厘米） 答：这个近似梯形的面积是75.36平方厘米。 【考点剖析】明确半圆部分虚线左边比右边多的面积恰好就是阴影部分的面积是解决此题的关键。 19．（19-20六年级上·陕西西安·期中）如图，正方形的边长是4厘米，以正方形的边为直径画一个半圆，分别以A、B为圆心，正方形的边长为半径画两段圆弧。图中两个阴影部分的面积相差多少平方厘米？ 【答案】2.84平方厘米 【思路引导】如下图： 根据差不变原理，不规则图形AED是不规则图形ACD与不规则图形ABD的公共部分，所以两个阴影部分的面积差＝不规则图形ABD的面积－不规则图形ACD的面积；不规则图形ACD的面积＝正方形的面积－四分之一圆的面积；不规则图形ABD的面积＝四分之一圆的面积－下面小半圆的面积；然后求出面积差即可。 【规范解答】4×4－3.14×42÷4 ＝16－12.56 ＝3.44（平方厘米） 3.14×42÷4－3.14×（4÷2）2÷2 ＝12.56－6.28 ＝6.28（平方厘米） 6.28－3.44＝2.84（平方厘米） 答：图中两个阴影部分的面积相差2.84平方厘米。 【考点剖析】本题主要考查圆与组合图形的面积计算，根据差不变原理添加公共部分是解题的关键。 20．（20-21六年级上·四川成都·期末）如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AC＝4厘米，BC是半圆的直径，A为扇形ACD的圆心，求阴影部分的面积是多少平方厘米。 【答案】4.56平方厘米 【思路引导】将图形分割，将阴影部分面积转化为两部分，一部分是扇形ACD面积与三角形ABC面积一半的差，另一部分是半圆形BEC的面积与三角形ABC面积一半的差，相加即可。 【规范解答】如图分割： 阴影部分①的面积＝扇形ACD面积－三角形ACE的面积， 阴影部分②的面积＝半圆BEC面积－三角形BCE的面积， 三角形ACE的面积＋三角形BCE的面积＝三角形ABC的面积， 阴影部分面积＝扇形ACD的面积＋半圆BEC的面积－三角形ABC的面积 ＝×3.14×4²＋×3.14×（4÷2）²﹣×4×4 ＝×3.14×16＋×3.14×4﹣8 ＝6.28＋6.28﹣8 ＝12.56﹣8 ＝4.56（平方厘米） 答：阴影部分的面积是4.56平方厘米。 【考点剖析】本题主要考查了圆与组合图形的面积，将要求的面积合理分割，转化为规则图形的面积差是本题解题的关键。 $$