专题02 与平面直角坐标系有关的面积计算问题（压轴题专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题02 与平面直角坐标系有关的面积计算问题 目录 1 类型一、与坐标轴围成的图形面积 2 类型二、一边在坐标系上的图形面积 3 类型三、平行于坐标轴的图形面积 4 类型四、各边都不在坐标轴上的图形面积 5 类型五、由面积之间的关系求坐标 6 类型六、直线分面积求值 8 类型七、新定义问题中的面积计算问题 10 类型八、与面积计算有关的规律问题 11 13 求平面直角坐标系中几何图形的面积，常见的图形是三角形和四边形. 1）如图1，当三角形有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，直接应用三角形的面积公式进行计算； 2）如图2，当三角形没有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，要用割补法，将三角形的面积转化为其他图形面积的和或差； 3）如图3，当求不规则多边形的面积时，一般采用割补法，将不规则的多边形割补为规则图形，进而求出其面积.一般地，过图形的顶点向x轴或y轴作垂线，找出不规则图形与规则图形之间的联系. 类型一、与坐标轴围成的图形面积 1．在平面直角坐标系中，已知点和点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12，则直线的解析式为 ． 2．直线沿x轴向右平移2个单位，则平移后的直线与x轴、y轴所围成的三角形面积为 ． 3．已知，则函数与坐标轴围成的三角形的面积为 . 4．平面直角坐标系中，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为：，即． (1)求点的勾股值； (2)若点B在第二象限，且满足，求满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点． (1)求的面积； (2)直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 类型二、一边在坐标系上的图形面积 1．已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线l交于D，交于E，且使和的面积相等． (1)求的面积． (2)求直线l的函数解析式． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，另一条直线经过点A和点，且与x轴交于点D． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 4．如图，点，点M在x轴的负半轴上，，点A为线段上一点，轴，垂足为点B，轴，垂足为点C．    (1)求直线的表达式； (2)若点A的横坐标为，求四边形的面积． 5．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为且a，b满足，已知点C坐标为， (1)的面积 (2)若点M在y轴上，且，求点M的坐标 类型三、平行于坐标轴的图形面积 1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的四个顶点A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形的面积是（   ）个平方单位． A． B．15 C．10 D．无法计算 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，若点C的坐标是，则长方形的面积是 ．    3．如图，的顶点的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到． （1）若，则的长为 ； （2）连接，在（1）的条件下，则四边形的面积是 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积 （用含有k的式子表示） 类型四、各边都不在坐标轴上的图形面积 1．如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 2．如图在平而直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 3．在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A(﹣1，1)，B(3，5)，C(4，1)，D(2，﹣1)，老师要求大家求出四边形ABCD的面积，其中结果正确的是（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 5．如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，且，，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 类型五、由面积之间的关系求坐标 1．已知点A(4，0)、B(0，5)，点C在x轴上，且△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，那么点C的坐标为 ． 2．在平面直角坐标系中，已知点、，为等腰三角形，且其面积等于面积的一半，则符合条件的点P共有（    ） A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 3．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ． 4．在平面直角坐标系中，已知点，，，． （1）四边形的面积为 ； （2）若轴上存在点，使的面积恰为四边形的面积的，则点坐标为 ． 5．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，若点是轴上一动点，且与面积相等，则点坐标是 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点在第四象限，线段轴，且．在第二象限有点． （1）点C的坐标为 ； （2）当四边形的面积与三角形的面积相等时，m的值为 ． 7．在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别是，，且满足，过点C作轴于点B． (1)________，________； (2)如图1，过点B作，交y轴于点D，，分别平分，，若，，求的度数； (3)如图2，在y轴上是否存在一点P使得的面积等于的面积，如果存在请求出点P的坐标，如不存在请说明理由． 类型六、直线分面积求值 1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点的坐标为，的坐标为，分别是边，边上的点，且线段将平行四边形分割成面积相等的两部分．若点的坐标是，则点的坐标为 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是，，，，和．若直线l：将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分、则 ． 3．如图，平面直角坐标系中，已知直线，的边在轴正半轴上，点的坐标是，正以每秒个单位长度的速度沿着轴向左平移，经过 秒，直线将分成面积相等的两部分． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，已知经过点的直线（）分别与线段，相交，并将矩形分成面积比为的两部分，则k的值为 ．      5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C．已知直线． (1)点C的坐标为___________； (2)通过计算说明一次函数的图象一定过点P； (3)直线、直线、直线不能组成三角形时，求k的值； (4)当直线与边有交点，且将四边形分成的两部分面积比为时，直接写出k的值． 6．已知线段两端点坐标，，将向下平移5个单位得线段，其中点的对应点为点． (1)点的坐标为______，线段平移到线段扫过的面积为______． (2)若点是轴正半轴上的动点，连接． ①如图，线段与线段相交于点，三角形的面积为，三角形的面积为，试说明与，之间的数量关系； ②当将四边形的面积分成两部分时，求点的坐标． 类型七、新定义问题中的面积计算问题 1．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．例如：三点的坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20． （1）若点A（﹣1，4），B（3，1），C（﹣3，﹣3），则A，B，C三点的“矩面积”S为 ； （2）若点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，﹣t），则A，B，P三点的“矩面积”S的最小值为 ． 2．在平面直角坐标系中，对于任意三点、 、的“半矩面积”给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“半矩面积”．例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“半矩面积”．已知两点，，若点是轴上任意一点，则、、三点的“半矩面积”的最小值为 ． 3．【问题情境】： 我们知道：在平面直角坐标系中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|． 【拓展】 现在，若规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1）、N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.例如：图中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5， 【应用】 解决下列问题： （1）已知点E（3，2），点F（1，﹣2），求d（E，F）的值． （2）已知点E（3，1），H（﹣1，n），若d（E，H）＝6，直接写出n的值； （3）已知点P（3，4），点Q在y轴上，O为坐标系原点，且△OPQ的面积是4.5，求d（P，Q）的值． 类型八、与面积计算有关的规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为．若点按下列规律跳动：第次由点向左上方跳动至点，第次由点向右跳动至点，第次由点向左上方跳动至点，第次由点向右跳动至点，． 根据上述规律，解答下列问题 (1)写出点的坐标：__________； (2)第次跳动后，点的坐标为__________； (3)求三角形的面积． 2．如图，直线对应的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，，…，，构成形如“7”的图形，阴影部分的面积分别为，，，…． 根据以上规律，解决下列问题： (1)______，______（用含的式子表示）． (2)计算：． 3．如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将1变换成，第三次将变换成. (1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将变换成，则的坐标是　 　，的坐标是　 　． (2)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是　 　，的坐标是　 　． (3)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，则的面积S为　 　． 4．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接，． （1）如图1，求点，的坐标及四边形的面积；             图1 （2）如图1，在轴上是否存在点，连接，，使？若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，试说明理由； （3）如图2，在直线上是否存在点，连接，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由．             图2 （4）在坐标平面内是否存在点，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标的规律；若不存在，请说明理由． 1．已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或B．或C．或 D．或 2．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动，其行走路线如图所示，第次移动到，第次移动到第次移动到，则三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为8的点称为“吉祥点”，现有以下结论：①第一象限内有无数个“吉祥点”；②第三象限内不存在“吉祥点”：③已知点，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为；④已知点，若点是第一象限内的“吉祥点”，三角形的面积记为，则．其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 4．如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（    ）    A．逐渐增大 B．逐渐减少 C．先减少后增大 D．不变 5．对于给定的两点，若存在点，使得三角形的面积等于1，则称点为线段的“单位面积点”，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点．点，，．若将线段沿轴正方向平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，则的值可以是（    ） A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 6．如图，正方形的边长为，点和点在轴正半轴上，点、在第一象限，一次函数的图象交、分别于、．若与的面积比为，则的值为（　　）      A． B． C． D． 7．已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，连接．当的面积等于4时，直线的表达式为 ． 8．如图，点，，，连接，，．若点D在y轴上，三角形与三角形的面积相等，则点D的坐标是 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，点， ，直线与y轴相交于C点，与线段交于P点， （1）求的面积是 ； （2）若点A和点B在直线的两侧，求k的取值范围： ． 10．如图，已知：在平面直角坐标系中点，，． (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的一半时，求点P的坐标． 11．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为． 【实践操作】 （1）若点，则轴，的长度为______；若点，且轴，且，则点N的坐标为_________ 【拓展应用】-3 （2）如图，在平面直角坐标系中，． ①如图1，的面积为_________； ②如图2，点在线段上，将点沿轴正方向向右平移个单位长度至点，若的面积等于，求点坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 与平面直角坐标系有关的面积计算问题 目录 1 类型一、与坐标轴围成的图形面积 2 类型二、一边在坐标系上的图形面积 6 类型三、平行于坐标轴的图形面积 12 类型四、各边都不在坐标轴上的图形面积 16 类型五、由面积之间的关系求坐标 21 类型六、直线分面积求值 29 类型七、新定义问题中的面积计算问题 39 类型八、与面积计算有关的规律问题 41 47 求平面直角坐标系中几何图形的面积，常见的图形是三角形和四边形. 1）如图1，当三角形有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，直接应用三角形的面积公式进行计算； 2）如图2，当三角形没有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，要用割补法，将三角形的面积转化为其他图形面积的和或差； 3）如图3，当求不规则多边形的面积时，一般采用割补法，将不规则的多边形割补为规则图形，进而求出其面积.一般地，过图形的顶点向x轴或y轴作垂线，找出不规则图形与规则图形之间的联系. 类型一、与坐标轴围成的图形面积 1．在平面直角坐标系中，已知点和点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12，则直线的解析式为 ． 【答案】或 【分析】由点，的坐标可得出，的长，结合的面积为12，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出a值，再用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，． 又， ， 解得：或． ∴或， 设直线解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴ 把，代入得： ，解得， ∴ ∴直线的解析式为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质、三角形的面积以及解含绝对值符号的一元一次方程，利用三角形的面积公式，求出值是解题的关键． 2．直线沿x轴向右平移2个单位，则平移后的直线与x轴、y轴所围成的三角形面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的几何变换，以及图象与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”． 根据函数图象“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：直线沿x轴向右平移2个单位长度得到：， 令，即， 解得， 令，得， 所以直线与x轴和y轴的交点坐标分别为：与， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为． 故答案为：． 3．已知，则函数与坐标轴围成的三角形的面积为 . 【答案】// 【分析】先利用平方和绝对值的非负性，求出、的值，进而得到函数解析式，再求出一次函数与坐标轴的交点，即可得到围成的三角形的面积． 【详解】解：， ，， ，， 函数解析式为， 函数图象如下图：    令，则；令，则， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，正确得到一次函数解析式是解题关键． 4．平面直角坐标系中，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为：，即． (1)求点的勾股值； (2)若点B在第二象限，且满足，求满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，一次函数的图象和性质，正确理解勾股值的定义是解题的关键． （1）由勾股值的定义即可求解； （2）设B点的坐标为，由，得到方程，进而得出，求出所有点B与坐标轴围成的三角形的面积即可． 【详解】（1）解：依题意， （2）解：依题意，点B在第二象限， 则设B点的坐标为， 由，得到方程，， 即：． 故所有点B与坐标轴围成的图形如图所示的三角形， 故其面积为． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点． (1)求的面积； (2)直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)16 (2)或 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，两直线的交点，坐标与图形．熟练掌握直线与坐标轴的交点，两直线的交点，坐标与图形是解题的关键． （1）当时，可求；当时，可求，则，计算求解即可； （2）联立，可求，则，由，可得，可求，进而可求点坐标． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为16； （2）解：联立， 解得，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴点坐标为或． 类型二、一边在坐标系上的图形面积 1．已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据三角形的面积求出的长，再分点在点的左边与右边两种情况讨论求解． 【详解】解：点， ， 解得， 若点在点的左边，则， 此时，点的坐标为， 若点在点的右边，则， 此时，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 2．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线l交于D，交于E，且使和的面积相等． (1)求的面积． (2)求直线l的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，求解一次函数的解析式； （1）由点A的坐标为，点B的坐标为，结合三角形的面积公式可得答案； （2）证明和的面积相等，可得，可得E的纵坐标，再求解直线的解析式可得的横坐标，再设直线为：，把坐标代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． （2）解：∵和的面积相等， ∴和的面积相等， ∵，， ∴， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， 解得：， ∴， 设直线为：， ∴， 解得：， ∴直线为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，另一条直线经过点A和点，且与x轴交于点D． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)75 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，用数形结合的思想解答． （1）先直线的解析式求出A点坐标，再根据点A与点C的坐标即可求得直线的解析式； （2）根据直线的解析式求得点B的坐标，根据直线的解析式求得点D的坐标，再根据点A的坐标即可求得的面积． 【详解】（1）∵直线与y轴交于点A， 当时，， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过，， ∴， 解得 ∴直线的解析式为； （2）∵直线与x轴交于点B， 当时，， ∴， ∵直线与x交于点D， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积． 4．如图，点，点M在x轴的负半轴上，，点A为线段上一点，轴，垂足为点B，轴，垂足为点C．    (1)求直线的表达式； (2)若点A的横坐标为，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)3． 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的判定和面积，熟练掌握待定系数法是本题的关键． （1）由点，得出，再由，求得，从而得出点M的坐标；设出直线的解析式为：，代入两点求得答案即可； （2）根据题意求得A的纵坐标，进而得点C的坐标，然后根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）∵点，， ∴． ∵点M在x轴的负半轴上， ∴点M的坐标为． 设直线的表达式为，把点，代入，得 ∴ 解得 ∴直线的表达式为． （2）当时，代入，得， ∴点A的坐标为． ∵轴，垂足为点B，轴，垂足为点C， ∴四边形的面积为． 5．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为且a，b满足，已知点C坐标为， (1)的面积 (2)若点M在y轴上，且，求点M的坐标 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、绝对值与算术平方根的非负性，能根据坐标求出线段长是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性求得，从而得到点A，B得坐标．即可求得，再根据三角形的面积公式即可求解； （2）设点M的坐标为，则，由，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵点A、B的坐标分别为， ∴点A、B的坐标分别为， ∵点C坐标为， ∴， ∴； （2）解：设点M的坐标为，则， ∵， ∴， 即， 解得：或5， ∴点M的坐标为或． 类型三、平行于坐标轴的图形面积 1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的四个顶点A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形的面积是（   ）个平方单位． A． B．15 C．10 D．无法计算 【答案】B 【分析】根据平行四边形在坐标系中的位置得到轴，，高为，利用面积公式直接计算可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴轴，，高为， ∴平行四边形的面积， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，正确理解平行四边形的性质是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，若点C的坐标是，则长方形的面积是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据点C的坐标是，得到，根据长方形的面积公式即可求解． 【详解】解：点C的坐标是，四边形是长方形， ， 长方形的面积是， 故答案为：． 3．如图，的顶点的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到． （1）若，则的长为 ； （2）连接，在（1）的条件下，则四边形的面积是 ． 【答案】 30 【分析】本题考查平移的性质，梯形的面积． （1）由点的坐标和平移的性质先求出 ，再求即可； （2）由平移可知四边形是梯形，再根据坐标求出上底，下底和高即可． 【详解】解：（1）的坐标分别为，，沿轴向右平移得到 故答案为：； （2）如图，连接， 的坐标分别为，，沿轴向右平移得到 四边形是梯形 由（1）知， 梯形面积是． 故答案为：30． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积 （用含有k的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了坐标与图形，延长交轴于点E，过点C作轴于点F，延长交于点H，过点C作于点G，根据，，，，得出，，，，利用割补法求出四边形的面积即可． 【详解】解：延长交轴于点E，过点C作轴于点F，延长交于点H，过点C作于点G， ∵，，，， ∴轴，轴， ∴，， ∴，， ， ， ∴四边形的面积为： ． 故答案为：． 类型四、各边都不在坐标轴上的图形面积 1．如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质．过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴， ∵点，点，点， ∴， ∴三角形的面积是：． 故选：B 2．如图在平而直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坐标系，利用梯形的面积减去多余三角形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴，过点分别作垂直于，垂足为点， ∵，，， ∴，，则 ∴三角形的面积是 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 3．在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 【答案】31 【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，然后用大长方形的面积减去四周四个直角三角形的面积，得出答案即可． 【详解】解：过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，如图所示： ∵四边形各个顶点的坐标分别是，，，， ∴，，，， ∴，，， ，，，，，， ∴ ． 故答案为：31． 4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A(﹣1，1)，B(3，5)，C(4，1)，D(2，﹣1)，老师要求大家求出四边形ABCD的面积，其中结果正确的是（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】C 【分析】连接AC，如图，则AC∥x轴，根据三角形面积公式，利用S四边形ABCD＝S△ABC+S△DAC进行计算． 【详解】解：连接AC，如图， S四边形ABCD＝S△ABC+S△DAC ＝ ＝10+5 ＝15． 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质、将不规则四边形面积转化为三角形面积，掌握三角形的面积算法是解题的关键． 5．如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，且，，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质可证，根据直角三角形两锐角互余可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等可知，根据点的坐标可得，，利用勾股定理可以求出，根据正方形的面积公式求出正方形的面积即可． 【详解】解：如下图所示，过点作轴于点， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ， ， ， ， 正方形的面积是． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，解决本题的关键是添加辅助线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等求出边的长度． 类型五、由面积之间的关系求坐标 1．已知点A(4，0)、B(0，5)，点C在x轴上，且△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，那么点C的坐标为 ． 【答案】(3，0）或（6，0） 【分析】设点C的坐标为（m，0），根据三角形的面积公式结合△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，即可得出关于m含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出m值，将其代入点C坐标即可得出结论． 【详解】设点C的坐标为(m,0)， ∵A(4,0),B(0,5)， ∴AC=|4−m|，OC=|m|， ∵△BOC的面积是△ABC的面积的3倍， ∴OC=3AC，即|m|=3×|4−m|， 解得：m1=6,m2=3， ∴点C的坐标为(3,0)或(6,0). 【点睛】本题考查的知识点是坐标与图形的性质，解题的关键是熟练掌握坐标与图形的性质. 2．在平面直角坐标系中，已知点、，为等腰三角形，且其面积等于面积的一半，则符合条件的点P共有（    ） A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，坐标与图形，先求解，可得，可得在直线与上，再进一步解答即可． 【详解】解：∵点、， ∴， ∴， ∴在直线与上， 如图，作的垂直平分线，与直线与的交点符合条件； 分别以为圆心，为半径画弧，与直线与的交点符合条件； ∴符合条件的一共有个； 故选：C 3．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，先根据点A，B，C的坐标求出和的面积，再结合四边形的面积是的面积的得出的面积，据此求出a的值即可． 【详解】解：由题知， ∵的顶点坐标分别为，，， ∴，． 又∵四边形的面积是的面积的， ∴四边形的面积为， ∴， 则， 解得， 所以点P的坐标为． 故答案为：． 4．在平面直角坐标系中，已知点，，，． （1）四边形的面积为 ； （2）若轴上存在点，使的面积恰为四边形的面积的，则点坐标为 ． 【答案】 80 或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中四边形面积的计算，以及利用三角形面积公式求解特定点的坐标． （1）过作轴于点，过作轴于点，则，，，，，，，再根据求解即可； （2）设点坐标为，由题意得，即可得，解方程即可． 【详解】解：（1）过作轴于点，过作轴于点， 则，，，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：80； （2）设点坐标为， ∵的面积恰为四边形的面积的， ∴， ∴，即， 解得， ∴点坐标为或， 故答案为：或． 5．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，若点是轴上一动点，且与面积相等，则点坐标是 ． 【答案】或 【分析】过点B作，过点A作于点G，过点C作于点E，交于点F，分割法求得，设点，根据题意，得，解答即可． 【详解】解：过点B作，过点A作于点G，过点C作于点E，交于点F， 则四边形是矩形， ∵，，， ∴， 设点， 根据题意，得， ∵与面积相等， ∴． 解得或， 故或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，分割法求面积，绝对值的应用，分类思想求面积，熟练掌握坐标与线段的转化方式是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点在第四象限，线段轴，且．在第二象限有点． （1）点C的坐标为 ； （2）当四边形的面积与三角形的面积相等时，m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形、解一元一次方程． （1）直接根据点C的位置写坐标； （2）根据题中等量关系解关于m的方程即可解答． 【详解】解：（1）由图可知，点C的坐标为， 故答案为：； （2）由图可知，，， 四边形的面积为； ∵四边形的面积与三角形的面积相等， ∴， 解得：． 故答案为：． 7．在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别是，，且满足，过点C作轴于点B． (1)________，________； (2)如图1，过点B作，交y轴于点D，，分别平分，，若，，求的度数； (3)如图2，在y轴上是否存在一点P使得的面积等于的面积，如果存在请求出点P的坐标，如不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据平方的性质及算术平方根的性质列得，即可求出答案； （2）过E作，证得，，再根据角平分线的定义求出 ， ，由此求出答案； （3）分两种情况作图：①当P在y轴正半轴上时，②当P在y轴负半轴上时，设点，分别过点P，A，B作轴，轴，轴，交于点M，N，然后利用割补法结合图形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）解：如图，过E作． ∵，，，， ∴，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（1）得， ∴， ∴； ①当P在y轴正半轴上时，如图所示． 设点，分别过点P，A，B作轴，轴，轴，交于点M，N，则，，，． ∵， ∴， ∴， ∴，即点P的坐标为． ②当P在y轴负半轴上时，如图所示， 同理可得，即点P的坐标为． 综上所述，P点的坐标为或． 【点睛】此题考查平方的性质及算术平方根的性质，角平分线的定义，坐标与图形，平行线的性质，利用面积公式求图形的面积，三角形的面积计算公式，直角梯形的面积计算公式，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 类型六、直线分面积求值 1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点的坐标为，的坐标为，分别是边，边上的点，且线段将平行四边形分割成面积相等的两部分．若点的坐标是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质．连接和，交于点G．利用中点坐标公式求出G的坐标，根据平行四边形的性质结合题意得到线段必过G点，代入G点坐标运算求解即可．理解该直线必过点G是解题的关键． 【详解】解：如图，连接和，交于点G． ∵四边形是平行四边形， ∴G为中点， ∵点的坐标为，的坐标为， ∴，即． ∵线段平分平行四边形的面积， ∴必过G点， ∵点的坐标是， ∴点的坐标为即， 故答案为：． 2．如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是，，，，和．若直线l：将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分、则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系内根据点的坐标求面积，一次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是面积公式．设直线l：将多边形的边交于点两点，根据一次函数关系式求出点的坐标，得，求出，根据直线l：将多边形分割成面积相等的两部分，得关于a的方程，即可求解． 【详解】解：设直线l：将多边形的边交于点两点， 当时，， ∴ 当时， ∴， ∴， ∵直线l：将多边形分割成面积相等的两部分， ∴ ∴， 解得． 故答案为： 3．如图，平面直角坐标系中，已知直线，的边在轴正半轴上，点的坐标是，正以每秒个单位长度的速度沿着轴向左平移，经过 秒，直线将分成面积相等的两部分． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，一次函数，平面直角坐标系，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； 连接、，求出移动之后点的坐标，计算距离，进而求解； 【详解】解：连接、，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分； 四边形是平行四边形， ， ， ， 把代入， 可得：， 解得：， 由移动到位置时，该直线可将的面积平分； 移动距离为：； 正以每秒个单位长度的速度沿着轴向左平移， 时间为秒； 故答案为： 4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，已知经过点的直线（）分别与线段，相交，并将矩形分成面积比为的两部分，则k的值为 ．    【答案】 【分析】根据题意得到直线解析式为。设直线与相交于点F，与相交于点E，则点，，结合直线将矩形分成面积比为的两部分，分两种情况①当时，②当时，分析讨论建立等式求解（注意直线要与线段相交），即可解题． 【详解】解：将点代入直线，得， ， 直线， 如答图，设直线与相交于点F，与相交于点E，    则点，， ， ， 直线将矩形分成面积比为的两部分，分两种情况讨论： ①当时，， 即， 解得， 令，解得； ②当时，， 即， 解得。 令，解得， 直线与边无交点，舍去． 综上所述，k的值为. 【点睛】本题考查一次函数综合应用，矩形的性质、待定系数法、坐标与图形、一次函数与坐标轴交点情况，梯形面积等知识，解题的关键是分类讨论． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C．已知直线． (1)点C的坐标为___________； (2)通过计算说明一次函数的图象一定过点P； (3)直线、直线、直线不能组成三角形时，求k的值； (4)当直线与边有交点，且将四边形分成的两部分面积比为时，直接写出k的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)k的值为0，或 (4)或 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，坐标与图形，熟练掌握一次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意并结合图形即可得出答案； （2）求出当时，，即可得解； （3）分情况结合一次函数的性质求解即可； （4）分两种情况：当直线过点C时；当直线与边，交于M，N时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，过点A作轴于点C． ∴点C的坐标为； （2）解：当时，， ∴一次函数的图象一定过点P； （3）解：当时，直线，符合题意； 当直线过点C时，，解得，符合题意； 设直线的函数解析式为． 将，代入解析式，得， 解得， 当直线与直线平行时，，符合题意． 综上，k的值为0，或； （4）解：四边形的面积为，； 如图1，当直线过点C时，，当时，， ∴， ， ∴符合题意； 如图2，当直线与边，交于M，N时， 令，得， ∴． 令，得， ∴． 或， 解得，或（舍）， 综上所述，k的值为或． 6．已知线段两端点坐标，，将向下平移5个单位得线段，其中点的对应点为点． (1)点的坐标为______，线段平移到线段扫过的面积为______． (2)若点是轴正半轴上的动点，连接． ①如图，线段与线段相交于点，三角形的面积为，三角形的面积为，试说明与，之间的数量关系； ②当将四边形的面积分成两部分时，求点的坐标． 【答案】(1)，20 (2)①（或）；②点坐标为或 【分析】本题主要考查了平移的坐标变换，长方形的性质，坐标与图形，三角形的面积公式，清晰的分类讨论的思想是解本题的关键． （1）先根据线段向下平移5个单位可得B的纵坐标减去5，横坐标不变，可得D的坐标，再求解的长度，乘以平移距离即可得到平移后线段扫过的面积； （2）①用三角形的面积公式得出，，即可得出结论； ②分交线段和交两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，将向下平移5个单位得线段，其中点的对应点为点． ∴，，， ∴线段平移到线段扫过的面积为， 故答案为：，20； （2）解：①根据题意，得，， ∴； ②交线段于E时， ∵将四边形的面积分成两部分， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴； 交线段于F时， ∵将四边形的面积分成两部分， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴； 综上，点坐标为或． 类型七、新定义问题中的面积计算问题 1．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．例如：三点的坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20． （1）若点A（﹣1，4），B（3，1），C（﹣3，﹣3），则A，B，C三点的“矩面积”S为 ； （2）若点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，﹣t），则A，B，P三点的“矩面积”S的最小值为 ． 【答案】 42 4 【分析】（1）根据“矩面积”的定义及点的坐标，分别求出a与h，即可求解结果； （2）首先由点的坐标求出“水平底”a，再根据题意得：h的最小值为：1，继而求得A，B，P三点的“矩面积”的最小值． 【详解】解：（1）∵点A（﹣1，4），B（3，1），C（﹣3，﹣3）， ∴a＝3﹣（﹣3）＝6，h＝4﹣（﹣3）＝7， ∴S＝ah＝6×7＝42， 故答案为：42； （2）∵点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，﹣t）， ∴a＝1﹣（﹣3）＝4， 根据题意得：h的最小值为：1， ∴A，B，P三点的“矩面积”S的最小值为4； 故答案为：4． 【点睛】本题属于新定义问题，考查了坐标与图形的性质及学生的理解分析能力的培养，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题． 2．在平面直角坐标系中，对于任意三点、 、的“半矩面积”给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“半矩面积”．例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“半矩面积”．已知两点，，若点是轴上任意一点，则、、三点的“半矩面积”的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标与图形，读懂题意是解题的关键．由题意得，，可知的最小值为，继而即可求解． 【详解】解：由题意得，， 可知的最小值为， ∴、、三点的“半矩面积”的最小值为：， 故答案为：2． 3．【问题情境】： 我们知道：在平面直角坐标系中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|． 【拓展】 现在，若规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1）、N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.例如：图中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5， 【应用】 解决下列问题： （1）已知点E（3，2），点F（1，﹣2），求d（E，F）的值． （2）已知点E（3，1），H（﹣1，n），若d（E，H）＝6，直接写出n的值； （3）已知点P（3，4），点Q在y轴上，O为坐标系原点，且△OPQ的面积是4.5，求d（P，Q）的值． 【答案】（1）d（E，F）＝6；（2）n＝-1 或3；（3）d（P，Q）＝4或10 【分析】（1）根据折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|定义计算即可． （2）根据折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|定义，构建方程求解即可． （3）如图，设Q（0，m）．利用三角形的面积公式求出m的值即可解决问题． 【详解】解：（1）∵点E（3，2），点F（1，﹣2）， ∴d（E，F）＝|3﹣1|+|2-（-2）|＝6． （2）∵E（3，1），H（﹣1，n），d（E，H）＝6 ∴d（E，H）=|3﹣（﹣1）|+|1-n|＝6 解得n＝-1 或3． （3）如图，设Q（0，m）． 由题意， 解得 ， ∴Q（0，3）或（0，﹣3）， 当Q（0，3）时，d（P，Q）＝|3﹣0|+|4﹣3|＝4， 当Q（0，﹣3）时，d（P，Q）＝|3﹣0|+|4﹣（﹣3）|＝10， ∴d（P，Q）＝4或10． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了两点间距离，两点之间的折线距离等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 类型八、与面积计算有关的规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为．若点按下列规律跳动：第次由点向左上方跳动至点，第次由点向右跳动至点，第次由点向左上方跳动至点，第次由点向右跳动至点，． 根据上述规律，解答下列问题 (1)写出点的坐标：__________； (2)第次跳动后，点的坐标为__________； (3)求三角形的面积． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（）由已知点坐标可得点的坐标为，据此即可求解； （）由已知点坐标可得点，据此即可求解； （）根据由（）、（）所得规律可得，，，即得，再根据三角形面积公式计算即可求解； 本题考查了点的坐标规律变化问题，坐标与图形，由已知点的坐标找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴第次向右跳动至点，点的坐标为， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴点， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）解：由（）、（）可得，，，， ∴， ∵点到线段的距离为， ∴三角形的面积． 2．如图，直线对应的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，，…，，构成形如“7”的图形，阴影部分的面积分别为，，，…． 根据以上规律，解决下列问题： (1)______，______（用含的式子表示）． (2)计算：． 【答案】(1)（或12）；（或） (2) 【分析】本题主要考查平面直角坐标中点的规律，整数的运算，有理数的混合运算 （1）根据点与阴影部分面积的计算可得（或），由此即可求解； （2）把面积的值代入，运用有理数的混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，，阴影部分的面积分别为，，， ∴（或）， ∴（或12） 故答案为：；． （2）解： ． 3．如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将1变换成，第三次将变换成. (1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将变换成，则的坐标是　 　，的坐标是　 　． (2)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是　 　，的坐标是　 　． (3)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，则的面积S为　 　． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据点的变化，可找出点的坐标；同理可得出点的坐标； （2）结合（1）中点的坐标的变化，可找出点的坐标； （3）由点的坐标可得出的长度，再根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）∵， ∴； ∵， ∴． 故答案为：；． （2）解：由（1）可知的横坐标每次扩大2倍,纵坐标为3，的横坐标每次扩大2倍，纵坐标不变， ∴，， 故答案为：，； （3）∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，三角形面积，正确找到点的坐标变化规律是解题的关键． 4．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接，． （1）如图1，求点，的坐标及四边形的面积；             图1 （2）如图1，在轴上是否存在点，连接，，使？若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，试说明理由； （3）如图2，在直线上是否存在点，连接，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由．             图2 （4）在坐标平面内是否存在点，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标的规律；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）存在，或；（3）存在，或；（4）存在，的纵坐标总是4或．或者：点在平行于轴且与轴的距离等于4的两条直线上；或者：点在直线或直线上 【分析】（1）根据点的平移规律，即可得到对应点坐标； （2）由，可以得到，即可得到P点坐标； （3）由，可以得到，结合点C坐标，就可以求得点Q坐标； （4）由，可以AB边上的高的长度，从而得到点的坐标规律． 【详解】（1）∵点，点 ∴向上平移3个单位，再向右平移1个单位之后对应点坐标为，点 ∴ ∴ （2）存在，理由如下： ∵ 即：=12 ∴ ∴或 （3）存在，理由如下： ∵ 即： ∵ ∴ ∵ ∴或 （4）存在：理由如下： ∵ ∴ 设中，AB边上的高为h 则： ∴ ∴点在直线或直线上 【点睛】本题考查直角坐标系中点的坐标平移规律，由点到坐标轴的距离确定点坐标等知识点，根据相关内容解题是关键． 1．已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，图形结合是解题的关键． 根据点坐标，可知点到轴的距离，根据的面积等于2，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点坐标为， ∴点到轴的距离是2， ∵在轴上有一个点，满足的面积等于2， ∴， ∴， ∴点的坐标为或， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动，其行走路线如图所示，第次移动到，第次移动到第次移动到，则三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系内的规律问题，掌握坐标变化的特点是解题的关键．由行走路线可知移动四次为一组，求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，，， ∴． ∵即点与点在同一水平直线上，且线段 故选 B． 3．在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为8的点称为“吉祥点”，现有以下结论：①第一象限内有无数个“吉祥点”；②第三象限内不存在“吉祥点”：③已知点，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为；④已知点，若点是第一象限内的“吉祥点”，三角形的面积记为，则．其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形， 点到直线的距离等知识．熟练掌握坐标与图形， 点到直线的距离是解题的关键． 根据第一、三象限点坐标的特征，可判断①②的正误；由点是“吉样点”且在坐标轴上，可得或，由点，可知直线轴，则点到直线的距离为或2，可判断③的正误；由题意知，是第一象限中直线图象上的一点，则到直线的距离，，，可判断④的正误． 【详解】解：由题意知 ，第一象限内有无数个“吉祥点”， ①正确，故符合要求； ∵第三象限的点，横、纵坐标均为负，和为负， ∴第三象限内不存在“吉祥点”，②正确，故符合要求； ∵点是“吉祥点”且在坐标轴上， ∴或， ∵点， ∴直线轴， ∴点到直线的距离为或2，③错误，故不符合要求； 如图，由题意知，是第一象限中直线图象上的一点， ∴到直线的距离，， ∴， ∴，④错误，故不符合要求； 故选：A． 4．如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（    ）    A．逐渐增大 B．逐渐减少 C．先减少后增大 D．不变 【答案】D 【分析】根据点、的坐标求出所在直线解析式，进而得出两直线平行，即可得出是定值，是定值，到直线的距离是定值，进而得出答案． 【详解】解：连接，     点、的坐标分别为、， 设所在直线解析式为：， ， 解得：， 所在直线解析式为：， 将直线：向上平移1个单位即可得直线， 两直线平行， 点是第一象限内直线上的一个动点， 到直线的距离是定值， 是定值，是定值，到直线的距离是定值， ∴是定值， ∴是定值， 当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积不变． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行的关系以及三角形面积求法等知识，根据一次函数的平移得出已知两直线平行是解题关键． 5．对于给定的两点，若存在点，使得三角形的面积等于1，则称点为线段的“单位面积点”，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点．点，，．若将线段沿轴正方向平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，则的值可以是（    ） A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 【答案】A 【分析】设线段上存在线段的“单位面积点”是，分两种情况进行讨论：线段在线段的下方；线段在线段的上方，分别求解即可． 【详解】解：设线段上存在线段的“单位面积点”是， 如图，   ， 当线段在线段的下方时，此时， 点，，， ，，， ， 点到的距离为， 可将线段沿轴正方向平移个单位长度， 沿轴正方向平移， ， ， 当线段在线段的上方时，此时， 同理可得：点到的距离为， 可将线段沿轴正方向平移，即， 综上所述，的取值范围为：或， 的值可以是0.5， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，三角形的面积，采用分类讨论与数形结合的思想解题是解此题的关键． 6．如图，正方形的边长为，点和点在轴正半轴上，点、在第一象限，一次函数的图象交、分别于、．若与的面积比为，则的值为（　　）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点的坐标，结合正方形的性质，可得出点的坐标，进而可得出的长，由与的面积比为，可得出，结合点的坐标，可得出点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出的值． 【详解】解：当时，， 点的坐标为． 正方形的边长为，点和点在轴正半轴上， 点的坐标为，点的坐标为． 点的坐标为， ， 与的面积比为，， ， 点为线段的中点， 点的坐标为． 又点在一次函数的图象上， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、三角形的面积以及正方形的性质，根据两三角形面积间的关系，求出点的坐标是解题的关键． 7．已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，连接．当的面积等于4时，直线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形面积、求函数解析式等知识点，确定点的坐标是解题的关键．先求得，，设点的坐标为，则，再根据的面积等于4求得，即；然后运用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， 当，则，当，则， ∴，， 设点的坐标为，则， 的面积等于4， ， 解得：或（不合题意，舍弃）， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的表达式为． 故答案为：． 8．如图，点，，，连接，，．若点D在y轴上，三角形与三角形的面积相等，则点D的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，中点坐标公式的应用，先求解的中点，设，求解，结合三角形与三角形的面积相等，再建立方程求解即可； 【详解】解：如图，点，， ∴的中点， ∴； 设，而三角形与三角形的面积相等， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； 故答案为：或 9．如图，在平面直角坐标系中，点， ，直线与y轴相交于C点，与线段交于P点， （1）求的面积是 ； （2）若点A和点B在直线的两侧，求k的取值范围： ． 【答案】 6 【分析】此题考查了一次函数的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，正确理解一次函数的性质是解题的关键． （1）延长线段交y轴于点D，则轴，求出，利用三角形的面积公式求解即可； （2）先求出直线的解析式，即可求出的取值范围； 【详解】解：（1）， ∴轴，延长线段交y轴于点D，轴， ∵，， ∴； （2）设直线的解析式为， ，解得，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点和点在直线的两侧， ∴ 故答案为：6；． 10．如图，已知：在平面直角坐标系中点，，． (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的一半时，求点P的坐标． 【答案】(1)10 (2)或 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，三角形的面积． （1）先求出，再根据点C的坐标知点C到的距离为4，即可求的面积； （2）设点P坐标为，根据三角形面积公式得，，再根据面积为面积的一半得，解方程，进而可得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 点C到的距离为4， ∴； （2）解：设点P坐标为， ，， ∵面积为面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴点P坐标为或． 11．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为． 【实践操作】 （1）若点，则轴，的长度为______；若点，且轴，且，则点N的坐标为_________ 【拓展应用】-3 （2）如图，在平面直角坐标系中，． ①如图1，的面积为_________； ②如图2，点在线段上，将点沿轴正方向向右平移个单位长度至点，若的面积等于，求点坐标． 【答案】（1）3；或；（2）①10，② 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，平移的性质 （1）根据材料给的与坐标轴平行直线上两点的距离公式求解即可； （2）①先计算，再利用面积公式计算即可； ②设，由等积法，得到，再结合图形，利用得到点的坐标 【详解】解：（1），， ，， ， 或， 或； 故答案为：3；或 （2）①，，， , ②连接， 设， ， ， ， ∵点D向右平移3个单位长度得到E点， ， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$