第1章 图形的相似（单元测试·基础卷）数学青岛版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第1章 图形的相似·基础通关（参考答案） 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D B D B C B C D B 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10. 2 11. 2 12. 不能 13. 6 14. 15. 或 三、作图题：（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．（4分） 【解析】解：如图所示：点即为所求． 四、解答题：（本大题共9个小题，共71分.） 17．（6分） 【解析】（1）解：不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似．(3分） （2）∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即．（6分） 18．（6分） 【解析】（1）解：如图，延长到使，则点为的对应点，同样方法作出的对应点、，依次连接，即为所求作； （3分） （2）解：由图可得：．（6分） 19．（6分） 【解析】证明：，， ． 即．（2分） ， ．（3分） ．（4分） ， ．（6分） 20．（6分） 【解析】解：添加条件，（1分） 理由如下： ∵， ∴，即，（5分） 又∵， ∴．（6分） 21．（8分） 【解析】解：由题意知，，，， ∵，均与垂直， ∴， ∴，（2分） 又∵， ∴， ∴，     ∴，（4分） ∵， ∴， ∴， ∴，（6分） 又∵， ∴， ∴小孔到的距离为．（8分） 22．（8分） 【解析】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴，（2分） ∵， ∴，    （3分） ∴，       ∴；（4分） （2）解：∵，， ∴， ∴，         （6分） 由（1）知：， ∴，   ∵， ∴．（8分） 23．（9分） 【解析】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错；（5分） （2）证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴．（9分） 24．（10分） 【解析】（1）解：， 证明：如图所示， ∵， ∴，（2分） ∵， ∴， ∴，（3分） ∴， 即．（4分） （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴．（6分） ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，（8分） ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点E是线段的黄金分割点．（10分） 25．（12分） 【解析】（1）解：∵的两条直角边，，， ∴， ∵点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒， ∴， ， ∴，， 故答案为：，（2分） （2）解：当，即时，， ， ， ； 当，即时，， ， ， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似；（6分） （3）解： 如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ， ∴ ∠CDE=900 ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第1章 图形的相似·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 1、 选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A．B．C．D． 2．已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（   ） A． B． C． D． 3．小文和妹妹为家人制作亲子恤，主要的图案是在一个矩形基础上设计的，每件恤上的矩形都是相似的，妹妹恤上矩形的面积为，妈妈恤上矩形的长是妹妹恤上矩形长的倍，则妈妈恤上矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．在中，，，平分，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 7．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼睛与地面的距离为1.6米，则旗杆的高度为（    ） A．9.2米 B．9.4米 C．9.6米 D．9.8米 8．如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 9．如图，线段，连接交于点，若，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．若，则的值为 ． 11．如图，若，，，，则长为 ． 12．如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 13．如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    15．在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 3、 作图题：（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．如图，在中，利用尺规作图在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 4、 解答题：（本大题共9个小题，共71分.） 17．（本题6分）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 18．（本题6分）如图，在网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 19．（本题6分）如图，在中，，，是内一点，且．求证：． 20．（本题6分）如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    21．（本题8分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．物体的高为，实像的高为，物体与实像的距离为，点，，在一条直线上，，，均与垂直，求小孔到的距离． 22．（本题8分）如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 23．（本题9分）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 24．（本题10分）已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 25．（本题12分）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第1章 图形的相似·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 1、 选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A．B．C．D． 2．已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（   ） A． B． C． D． 3．小文和妹妹为家人制作亲子恤，主要的图案是在一个矩形基础上设计的，每件恤上的矩形都是相似的，妹妹恤上矩形的面积为，妈妈恤上矩形的长是妹妹恤上矩形长的倍，则妈妈恤上矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．在中，，，平分，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 7．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼睛与地面的距离为1.6米，则旗杆的高度为（    ） A．9.2米 B．9.4米 C．9.6米 D．9.8米 8．如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 9．如图，线段，连接交于点，若，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．若，则的值为 ． 11．如图，若，，，，则长为 ． 12．如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 13．如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    15．在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 3、 作图题：（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．如图，在中，利用尺规作图在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 4、 解答题：（本大题共9个小题，共71分.） 17．（本题6分）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 18．（本题6分）如图，在网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 19．（本题6分）如图，在中，，，是内一点，且．求证：． 20．（本题6分）如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    21．（本题8分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．物体的高为，实像的高为，物体与实像的距离为，点，，在一条直线上，，，均与垂直，求小孔到的距离． 22．（本题8分）如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 23．（本题9分）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 24．（本题10分）已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 25．（本题12分）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第1章 图形的相似·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断A不符合题意； 根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，可判断B不符合题意； 根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，可判断C不符合题意； 由对应成比例的边所夹的角不相等，可知阴影三角形与原三角形不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、且，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，阴影三角形已知两边所夹的角是，原三角形已知两边所夹的角是 ， ，故两三角形不相似，故本选项符合题意； 故答案为D． 2．已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键． 根据成比例线段的定义，若是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】解：∵是成比例线段， ∴，即， ∵，，， ∴，故选项B正确； 故选：B． 3．小文和妹妹为家人制作亲子恤，主要的图案是在一个矩形基础上设计的，每件恤上的矩形都是相似的，妹妹恤上矩形的面积为，妈妈恤上矩形的长是妹妹恤上矩形长的倍，则妈妈恤上矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键； 根据题意可知多边形的相似比为，则面积比为，据此解题即可． 【详解】解：由已知，每件恤上的矩形都是相似的，妈妈恤上矩形的长是妹妹恤上矩形长的2倍， ∴妈妈恤上矩形与妹妹恤上矩形的相似比为， ∴妈妈恤上矩形与妹妹恤上矩形的面积比为， ∵妹妹恤上矩形的面积为， ∴妈妈恤上矩形的面积为， 故选：D 4．在中，，，平分，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理推出、、是钝角三角形，而是锐角三角形，因此和不相似，由平行线的性质推出和的两角对应相等，因此和相似． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故A不符合题意； ∵平分 ∴， 又∵， ∴，故B符合题意； ∵平分， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故C不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∴和不相似， 故D不符合题意． 故选：B． 5．如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键． 分别利用相似三角形的各种判定方法判断即可求解． 【详解】解：A、当且，故，此选项正确，但不符合题意； B、当且，故，此选项正确，但不符合题意； C、当时，无法得到，此选项错误，但符合题意； D、当，即，且，故，此选项正确，但不符合题意． 故选：C． 6．如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【答案】B 【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项． 【详解】解：设每个正方格边长为1， 则， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 7．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼睛与地面的距离为1.6米，则旗杆的高度为（    ） A．9.2米 B．9.4米 C．9.6米 D．9.8米 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．由题意得，，利用题意得，则可判断，然后利用相似比计算出的长． 【详解】解：如图， 依题意，， 由题意得 ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 即旗杆的高度为． 故选C． 8．如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似中心的确定，连接对应点，对应点连线的交点即为位似中心，作图可得答案． 【详解】解：如图所示，位似中心是点． 故选：D． 9．如图，线段，连接交于点，若，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据，得到，根据相似三角形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，； 故只有选项B错误； 故选B． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，根据，设，则，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， 故答案为： 11．如图，若，，，，则长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴， 解得． 故答案为：2． 12．如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据条件无法判断，据此即可得到结论． 【详解】解：∵，不能判断， ∴不能得到， 故答案为：不能． 13．如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似图形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵与是位似图形，相似比为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：6． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 15．在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 三、作图题：（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．如图，在中，利用尺规作图在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，相似三角形的判定， 以点A为圆心以为半径画弧，同样以点B为圆心，以为半径画弧，再以点E为圆心以为半径画弧，交前弧于点H，作交于点D，则点D即为所求作的点.由，可得. 【详解】解：如图所示：点即为所求． 四、解答题：（本大题共9个小题，共71分.） 17．（本题6分）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 【答案】(1)不相似；证明过程见详解 (2) 【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）解：不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2）∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式． 18．（本题6分）如图，在网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键． （1）延长到使，则点为的对应点，同样方法作出的对应点、，依次连接，从而得到； （2）利用（1）所画图形可得到的各顶点坐标． 【详解】（1）解：如图，延长到使，则点为的对应点，同样方法作出的对应点、，依次连接，即为所求作； （2）解：由图可得：． 19．（本题6分）如图，在中，，，是内一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质的知识点，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质等知识点．结合题意，可得，从而可得出，又，得出，即可证明． 【详解】证明：，， ． 即． ， ． ． ， ． 20．（本题6分）如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    【答案】（答案不唯一），理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，两组角对应相等的两三角形相似，两组边对应相等，且它们的夹角也相等的两三角形相似，据此添加条件并证明即可. 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵， ∴． 21．（本题8分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．物体的高为，实像的高为，物体与实像的距离为，点，，在一条直线上，，，均与垂直，求小孔到的距离． 【答案】小孔到的距离为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明得到，则，再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意知，，，， ∵，均与垂直， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，     ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴小孔到的距离为． 22．（本题8分）如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识． （1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，     ∴，       ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，          由（1）知：， ∴，   ∵， ∴． 23．（本题9分）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)小星和小红对，小亮错 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； （2）证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 24．（本题10分）已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据，得出，根据，得出，即可证明． （2）根据，得出．证出．根据为等边三角形，得出，结合，得出，证出为等边三角形，即可得，结合和，得出，即可证明点E是线段的黄金分割点． 【详解】（1）解：， 证明：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点E是线段的黄金分割点． 25．（本题12分）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． （1）设运动的时间为t秒，根据题意可得出、含t的代数式； （2）分类：当，即时，；当，即时，，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出的值； （3）先计算出，若，则易证得，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出． 【详解】（1）解：∵的两条直角边，，， ∴， ∵点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒， ∴， ， ∴，， 故答案为：， （2）解：当，即时，， ， ， ； 当，即时，， ， ， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； （3）解： 如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ， ∴ ∠CDE=900 ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$