精品解析：天津市和平区2024-2025学年高二下学期期末数学试卷

和平区2024~2025学年度第二学期高二年级数学学科期末质量调查试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟.祝各位考生考试顺利! 第I卷（选择题共27分） 注意事项： 1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上无效. 3.本卷共9小题，每小题3分，共27分. 一､单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，则 5. 某单位对员工是否愿意被外派与年龄的关系进行了一次谓查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，得到“是否愿意被外派与年龄有关”这个结论犯错误的概率大于0.001，而不大于0.01，则的值可能为（ ） 附表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A. 3.206 B. 6.561 C. 7.879 D. 11.028 6. 有七名志愿者参加社区服务，共服务星期一､星期二两天，这两天每天从中任选两人参加服务，则两天服务中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ） A. 100 B. 120 C. 200 D. 210 7. 已知函数的零点分别是，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（ ） A B. C. D. 9. 已知函数若关于的方程有且仅有四个相异实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共73分） 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共73分. 二､填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分） 10. 在的展开式中，的系数为__________.（请用数字作答） 11. 若关于某人工智能设备的使用年限和所支出的维修费用（万元）统计数据如下： 使用年限 2 3 4 5 6 维修费用 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若有数据知对呈线性相关关系.其线性回归方程为，请估计使用10年时的维修费用是__________万元. 12. 若函数，过点，则的最小值为__________. 13 设函数，则__________. 14. 已知甲盒产品中有4个正品和2个次品，乙盒产品中有3个正品和2个次品，若从甲盒中任取2个产品，则这2个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率__________.若先从甲盒中任取2个产品，放入乙盒，再从乙盒任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为__________. 15. 已知，若，使得成立，则实数的取值范围为__________. 三､解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值. 17. 现从7名男生和3名女生中随机选出4名同学参加一项体育竞技测试. （1）求选出的4名同学中至少有1名女生的概率； （2）设表示选出的4名同学中男生的人数，求的分布列及期望. 18. 已知，且. （1）求的值： （2）若函数在上最大值为4，求函数在上的最小值. 19. 设函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）判断函数的单调性，并利用定义加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 20. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设， 是的两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 和平区2024~2025学年度第二学期高二年级数学学科期末质量调查试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟.祝各位考生考试顺利! 第I卷（选择题共27分） 注意事项： 1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上无效. 3.本卷共9小题，每小题3分，共27分. 一､单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】因为集合， 所以. 故选：D. 2. 下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 定义域关于原点对称，因为，即函数为奇函数，排除CD选项， 当时，，则，此时，排除B选项. 故选：A. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，得到解集，根据充分条件、必要条件定义得到结论. 【详解】因等价于或， 显然根据“或”推不出“”； 而由可以推出， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布的性质求解判断AB；利用正态分布的性质求解判断CD. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于 D，由，得，D正确. 故选：C 5. 某单位对员工是否愿意被外派与年龄的关系进行了一次谓查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，得到“是否愿意被外派与年龄有关”这个结论犯错误的概率大于0.001，而不大于0.01，则的值可能为（ ） 附表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A. 3.206 B. 6.561 C. 7.879 D. 11.028 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，结合小概率表，可判断的值应位于与之间，得到答案. 【详解】由题意得的值应位于与之间，故C正确，ABD错误. 故选：C 6. 有七名志愿者参加社区服务，共服务星期一､星期二两天，这两天每天从中任选两人参加服务，则两天服务中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ） A. 100 B. 120 C. 200 D. 210 【答案】D 【解析】 【分析】分两步完成，第一步确定哪一个人连续参加两天服务，第二步则确定另外安排的一人，即可求解. 【详解】先从7人中任选1人参加两天的服务，再从余下的6人中选2人参加两天的服务（每人各1天）， 所以两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为. 故选：D. 7. 已知函数的零点分别是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得，分别计算，由零点存在性定理得的范围，从而比较的大小关系. 【详解】令得，因为，所以即； ，因为，所以，所以， 又在R上单调递减，由零点存在性定理得； ，因为，所以，所以， 又函数在上单调递减，由零点存在性定理得， 所以， 故选：A. 8. 已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题可得在上恒成立，再根据分离参数法并构造函数求出最值即可． 【详解】依题可知在上恒成立， 当时，在上恒成立，不合要求，舍去； 故，则，设， 可得，即在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：B 9. 已知函数若关于的方程有且仅有四个相异实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，进而根据对称性，将问题转化为时，有且仅有不同两个实数根，结合导数求解函数的单调性，进而根据相切即可结合函数图像求解. 【详解】由可得， 因此 当时，由得，即， 当时，由得，即， 所以关于的方程有且仅有四个相异实根，根据对称性可知当时，有且仅有不同两个实数根， 即当时，有且仅有不同两个实数根， 记，则， 当，故在单调递减，在单调递增，且当 作出的大致图像： 结合直线恒过定点， 当直线与相切时，设切点为，则此时切线方程为；，即， 因此， 记函数，则，当，故在单调递增，在单调递减， 故，因此满足的唯一且， 此时切线的斜率，此时切线与有唯一的交点， 结合函数图像可知：当且时，此时与有两个不同的交点， 故选：C 第II卷（非选择题共73分） 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共73分. 二､填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分） 10. 在的展开式中，的系数为__________.（请用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令可得，故展开式中的系数为. 故答案为：. 11. 若关于某人工智能设备的使用年限和所支出的维修费用（万元）统计数据如下： 使用年限 2 3 4 5 6 维修费用 2.2 38 5.5 6.5 7.0 若有数据知对呈线性相关关系.其线性回归方程为，请估计使用10年时的维修费用是__________万元. 【答案】11 【解析】 【分析】根据均值点在回归方程上，可得，得到回归方程，即可求解. 【详解】由题知， ，即回归方程为， 所以估计使用10年时的维修费用是11万元. 故答案为：11. 12. 若函数，过点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将点代入函数，得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为函数，过点，得， 则， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为：. 13. 设函数，则__________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据分段函数先求，结合对数恒等式再求即可求解. 【详解】由题意有：， 因为， 所以， 所以， 故答案为：7. 14. 已知甲盒产品中有4个正品和2个次品，乙盒产品中有3个正品和2个次品，若从甲盒中任取2个产品，则这2个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率__________.若先从甲盒中任取2个产品，放入乙盒，再从乙盒任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由条件概率公式得到第一个空；由超几何分布，分别计算出从甲中取出的是两个正品、一个正品一个次品、两个次品的概率，再由全概率公式得到第二个空的答案. 【详解】设事件为“从甲中取出的件产品中有一个为正品”，事件为“从甲中取出的个产品中有一个为次品”， 则，，所以； 设事件为“从乙中取出这个产品是正品”，事件为“从甲中取出两个正品”， 事件为“从甲中取出一个正品、一个次品”，事件为“从甲中取出两个次品”， 则， ， 由全概率公式得. 故答案为：；. 15. 已知，若，使得成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对勾函数以及指数函数的单调性，可求得函数所在区间上的值域，由题意可得值域之间的包含关系，建立不等式组，可得答案. 【详解】由函数在上单调递减，则函数在上单调递减，即， 由函数在上单调递增，则函数在上单调递增，即， 由题意可得，则，解得. 故答案为：. 三､解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数单调区间和极值. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，再求，利用点斜式即可求切线方程； （2）利用导数研究单调性，进而得函数的极值. 【小问1详解】 由题意有，所以， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 令有或，由有，即，由有，即或， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以函数在处取得极小值，在处取得极大值. 17. 现从7名男生和3名女生中随机选出4名同学参加一项体育竞技测试. （1）求选出的4名同学中至少有1名女生的概率； （2）设表示选出的4名同学中男生的人数，求的分布列及期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式结合对立事件概率公式求解； （2）应用超几何分布写出概率及分布列，再应用公式求解数学期望. 【小问1详解】 由题意可知，选出的4名同学全是男生的概率为， 所以选出的4名同学中至少有1名女生的概率为； 【小问2详解】 根据题意，的可能取值为，则 ， . 所以的分布列为： 1 2 3 4 . 18. 已知，且. （1）求的值： （2）若函数在上的最大值为4，求函数在上的最小值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的导数值建立方程求出. （2）由（1）求出在上的最大值并求得，进而求出函数在上的最小值. 【小问1详解】 函数，求导得，由， 得，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 因此在上的最大值为，即，则，， 函数上单调递增，在上单调递减，， 所以函数在上的最小值为1. 19. 设函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）判断函数的单调性，并利用定义加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用对数函数的性质建立不等式求出定义域，再结合奇函数的定义证明即可. （2）利用定义法证明函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论即可. （3）利用奇函数的性质得到，结合的单调性和对数函数的性质将目标式合理转化，再求解参数范围即可. 【小问1详解】 由，解得，故函数的定义域为，关于原点对称， 而， 则是定义域为的奇函数. 【小问2详解】 函数在上为增函数.证明如下： 对于，且设， 可得， 由，可得，所以， 由，可得， 即，则， 得到， 即，故在上为增函数. 【小问3详解】 因为是定义域为的奇函数，所以， 则不等式化为， 因为在上为增函数， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 20. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设， 是的两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，分和，结合的符号，即可求得函数的单调区间； （2）①由，求得，令，求得，求得函数的单调性，根据，得到，再由，令，求得，得到函数的单调性，得到，进而求得的取值范围； ②由①得，根据方程存在两个不相等的实数根为，设，令，求得，得到，得到在上单调递增，进而得到在上单调递减，得到，得出在上递减，得到，再令，求得，令，得到，求得在上单调递增，进而得到在上递增，求得，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 若，则，函数在上单调递增； 若，令，可得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 解：①由，可得， 令，可得，函数存在两个零点， 令，可得；令，可得， 所以在上单调递减；在上单调递增， 所以，解得， 由，令，可得， 令，得；令，得， 所以在上单调递减；在上单调递增， 所以，则， 由，当时，函数存在两个零点， 所以的取值范围为． ②证明：由①可得， 方程存在两个不相等的实数根为，由①不妨设， 令， 可得，由，当且仅当时取等号，则， 所以函数在上单调递增， 由，当时，可得， 由，且函数在上单调递减， 可得，即； 由当时，，则函数在上单调递减， 由，则，所以， 要证，只需证， 由，令， 可得，令，则， 所以函数在上单调递增， 当时，，即， 所以函数在上单调递增，当时，， 所以不等式在上恒成立，可得． 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $