精品解析：湖北省随州市广水市第一高级中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试卷

2024-2025学年湖北省随州市广水第一高级中学高三（下）开学数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得或，求出的值，再检验是否符合集合元素的互异性，即可得解. 【详解】解：因为， 所以或， 由，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性，故舍去， 所以. 故选：B 2. 已知复数满足：，（其中为虚数单位，为实数且），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法化简得到复数，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】由已知可得，则， ，则，，所以，的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 3. 已知样本数据为，，，，平均数为，则数据，，，，与原数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】A 【解析】 【分析】利用平均数的计算方法判断A，举反例排除BCD，从而得解. 【详解】对于A，原数据的平均数为，新数据为， 所以新数据的总和为：， 则新数据的平均数为：，即平均数没有变化，故A正确； 对于B，不妨设原数据为，则，方差为， 则新数据为，平均数为，方差为， 此时方差发生了变化，故B错误； 对于C，不妨设原数据为，则，众数为， 则新数据为，众数为，此时众数发生了变化，故C错误； 对于D，不妨设原数据为，则，中位数为， 则新数据为，中位数为，此时中位数发生了变化，故D错误. 故选：A. 4. 要得到函数的图象，只需把函数的图象 A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数的解析式为，利用三角函数图象的平移规律可得出结论. 【详解】， 只需把的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，要注意将两个函数化为同名函数，考查计算能力，属于基础题. 5. 已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增，满足，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性以及单调性解对数不等式计算可得结果. 【详解】函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增， 所以在上是增函数，又， 即，所以， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：D 6. 已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，由椭圆的定义可得，利用两点间的距离公式可求得，可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意，设，，， 则，， ， 则，则， 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 7. 若，，，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将变形为，构造函数，利用导数研究其单调性，再结合作差法比较即可. 【详解】因为， 令，定义域为，则， 当时，，当 时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以， 又，所以， 所以，即. 故选：D. 8. 在平面坐标系中，一个质点从原点出发，每次移动一个单位长度，且上下左右四个方向移动的概率相等，若该质点移动6次后所在坐标为，则该质点移动的方法总数为（ ） A. 120 B. 135 C. 210 D. 225 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可分为质点往右移动4次，往左移动2次；质点往右移动3次，往左移动1次，往上移动一次，往下移动一次；质点往右移动2次，往上移动2次，往下移动2次，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，可分为三种情况： ①质点往右移动4次，往左移动2次，， ②质点往右移动3次，往左移动1次，往上移动一次，往下移动一次，， ③质点往右移动2次，往上移动2次，往下移动2次，， 所以质点移动的方法总数为225. 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，直三棱柱中，，，，为线段上的动点，则（ ） A. 当为线段的中点时，三棱锥的体积是 B. 当为线段的中点时，三棱锥的体积是 C. 当在线段上移动时，的最小值 D. 当在线段上移动时，的最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，B；由余弦定理求出，即可求出的面积，再由等体积法求解即可；选项C：当时，取得最小值；选项D：根据平面展开图可确定的最小值即长，由三角形余弦定理求解即可． 【详解】对于选项A，B：由已知可得， 由余弦定理有，得到， 在中，有， 因为平面， 所以， 又因为为线段的中点， 所以，故A正确，B错误； 对于C：因为，，， 所以，即， 又因为，是平面内两条相交直线， 所以平面，且四边形为正方形， 当为线段的中点时，， 由三垂线定理可知， 此时， 所以的最小值为，故正确； 对于D：将绕旋转到与同一平面（如图所示）， 连接交于点此时取得最小值，最小值即长， 在中，，，， 故， 故，即， 又易知，故， 由余弦定理得， 所以， 故的最小值为，故正确． 故选：ACD． 10. 已知双曲线，直线与C交于A，B两点，点P是C上异于A，B的一点，则（ ） A. C的焦点到其渐近线的距离为 B. 直线与的斜率之积为2 C. 过C的一个焦点作弦长为4的直线只有1条 D. 点P到两条渐近线的距离之积为 【答案】AD 【解析】 【分析】求出双曲线渐近线方程为，焦点为，设，由点到直线距离公式可判断A、D；由双曲线和直线的对称性可设，，由两点的斜率公式可计算，B错误；联立方程组，由弦长公式判断C. 【详解】对A，由已知得渐近线方程为，焦点为， 则焦点到渐近线距离，A正确； 对B，由双曲线和直线的对称性可设，，， 则， 所以，故B错误； 对C，过C的一个焦点的直线，当其斜率不存在时，所以此时弦长为2； 当斜率存在时，分别与双曲线上下支各有一个交点时，结合图形可知弦长可以无穷大； 综上，过C的一个焦点的直线与双曲长相交时得到的弦长范围为， 又由双曲线的对称性可知，过C的一个焦点作弦长为4的直线至少有两条，故C错误； 对D，点到两条渐近线的距离之积： ，D正确. 故选：AD. 11. 已知正三棱锥外接球的表面积为，则下列结论正确的是（ ） A. 正三棱锥外接球的体积为 B. 当时，点到底面的距离为2 C. 若满足条件的正三棱锥存在两个，则 D. 正三棱锥体积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由表面积求得半径即可求解；对于B，设，点到底面的距离为，求得外接圆的半径为，由求解即可；对于C，由B中，方程有两根即可求解；对于D，由体积公式得到，通过求导求最值即可. 【详解】设正三棱锥外接球的球心为，半径为．由，得，所以正三棱锥外接球的体积为，A正确． 设，点到底面的距离为，则外接圆的半径为， 点到球心的距离为，由，得， 当时，，得，B错误． 若满足条件的正三棱锥存在两个，则方程有两个正解， 则解得，C正确． 由，得，则正三棱锥的体积为． 设函数，则，得在上单调递增，在上单调递减， 所以，D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角为第二象限角，，角为第四象限角，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合角、所在象限与同角三角函数基本关系可得，，再利用两角和的正切公式计算即可得. 【详解】由角为第二象限角，则， 由角为第四象限角，则， 故，， 则. 故答案为：. 13. 在直三棱柱中，，E，F分别为的中点，则直线与平面所成角的大小为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】将转化到，作出线面角，计算即可 【详解】 连接,则,即求直线与平面所成角的大小. 取的中点,因为,所以,即 平面 所以即为直线与平面所成角 ,所以 ,所以 所以,所以 所以直线EF与平面所成角的大小为 故答案为： 14. 研究发现利用函数的单调性，可以比与的大小，请作出你的结论：________．（用<，=，>填空） 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的单调性，然后令函数分别等于与，求出此时的值，然后比较即可. 【详解】已知，得， 显然当时，，此时单调递增， 令，解得或 故只需要比较与的大小即可； 构造函数 得 显然当，恒成立，故函数单调递减， 所以，即 故， 显然， 又因为函数在时单调递增， 即. 故填： 【点睛】此题需要利用，去对应自变量值，然后比较两个值的自变量，比较自变量时，可以构造函数，也可数性结合，利用三角函数线求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立． （1）求顾客中奖的概率； （2）若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为1 【解析】 【分析】（1）分别求出顾客取出的2个小球的字样组成“吉祥”、“安康”和“和顺”的概率即可求解； （2）设小明全家中奖的次数为，根据服从二项分布即可求解. 【小问1详解】 顾客取出的2个小球的字样组成“吉祥”的概率为， 顾客取出的2个小球的字样组成“安康”的概率为， 顾客取出的2个小球的字样组成“和顺”的概率为， 综上，顾客中奖的概率为； 【小问2详解】 设小明全家中奖的次数为， 则，， ， ， ，则的分布列为 0 1 2 3 所以． 16. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是梯形，． （1）证明：平面平面． （2）若，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，结合已知可得，求得，，利用勾股定理的逆定理可得，进而可证得平面，可证结论. （2）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面夹角的余弦值，进而可求正弦值. 【小问1详解】 取中点，连接， 因为是等边三角形，又，所以，， 又，所以，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 【小问2详解】 若，由（1）可得，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角为， ， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若导函数有最小值，且是增函数，求的取值范围． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，最后根据切线与横轴、纵轴的交点坐标进行求解即可； （2）设，分类讨论函数的单调性，从而求其最值，从而得解. 【小问1详解】 由题意得， 则， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，得；令，得． 故所求三角形的面积为． 【小问2详解】 由（1）得， 设，则， 当时，单调递增，没有最小值． 当时，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 则． 因为是增函数，所以，即． 又，所以，得，即的取值范围为． 18. 平面内，动点与定点的距离与到定直线：的距离之比为常数. （1）求动点的轨迹方程； （2）过点作不垂直于轴的直线，与动点的轨迹交于两点，点在直线上，记直线的斜率分别为，证明：成等差数列. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，设动点，结合题意列出等式并化简即可求出轨迹方程； （2）借助等差数列定义，可将证明等差数列问题转化为证明，讨论直线斜率是否存在两种情况，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立曲线得到方程组，设而不求，利用韦达定理即可证明. 【小问1详解】 设动点，由题意可得， 化简整理得：， 所以动点的轨迹方程为； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，的坐标分别为，则， 即，所以成等差数列； 当直线斜率存在时，设直线：，， 联立直线和椭圆方程，化简得， 则， ， ， 即，所以成等差数列； 综上，成等差数列. . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 若数列满足，则称数列具有性质． （1）若数列具有性质，且，求的值； （2）若，求证：数列具有性质； （3）设各项都为正数的数列的前项和为，且，数列具有性质，其中，若，求正整数的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）9 【解析】 【分析】（1）由 ，且数列具有性质，进而得出的值； （2）证明为常数，即可得出结论； （3）求出数列的通项公式，可得出，再求出数列的通项公式，利用，求正整数的取值范围即可得解. 【小问1详解】 由得， 根据题意，数列具有性质， 由，所以，故. 【小问2详解】 ，故 (常数) 故数列具有性质. 【小问3详解】 因为， 所以当时，， 两式相减得，， 即， 由数列各项都为正数，可得， 即， 又，解得， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以， 得， 因为数列具有性质，所以成等比数列， 故， 于是，即，其中 ，即， ，由知 ， ①若偶数，则，即； ②若为奇数，则，即； 综上①②可得，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第三问中，需要由的关系求通项公式，还需要会对形式的数列构造等比数列求通项公式，对能力要求比较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖北省随州市广水第一高级中学高三（下）开学数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 1或 2. 已知复数满足：，（其中为虚数单位，为实数且），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知样本数据为，，，，平均数为，则数据，，，，与原数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 4. 要得到函数的图象，只需把函数的图象 A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增，满足，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面坐标系中，一个质点从原点出发，每次移动一个单位长度，且上下左右四个方向移动的概率相等，若该质点移动6次后所在坐标为，则该质点移动的方法总数为（ ） A. 120 B. 135 C. 210 D. 225 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，直三棱柱中，，，，为线段上的动点，则（ ） A. 当为线段中点时，三棱锥的体积是 B. 当为线段的中点时，三棱锥的体积是 C. 当在线段上移动时，的最小值 D. 当在线段上移动时，的最小值 10. 已知双曲线，直线与C交于A，B两点，点P是C上异于A，B的一点，则（ ） A. C的焦点到其渐近线的距离为 B. 直线与斜率之积为2 C. 过C的一个焦点作弦长为4的直线只有1条 D. 点P到两条渐近线的距离之积为 11. 已知正三棱锥外接球的表面积为，则下列结论正确的是（ ） A. 正三棱锥外接球的体积为 B. 当时，点到底面的距离为2 C. 若满足条件的正三棱锥存在两个，则 D. 正三棱锥体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角为第二象限角，，角为第四象限角，，则的值为______． 13. 在直三棱柱中，，E，F分别为的中点，则直线与平面所成角的大小为___________． 14. 研究发现利用函数的单调性，可以比与的大小，请作出你的结论：________．（用<，=，>填空） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立． （1）求顾客中奖的概率； （2）若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望． 16. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是梯形，． （1）证明：平面平面． （2）若，求平面与平面夹角的正弦值． 17 已知函数． （1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若的导函数有最小值，且是增函数，求的取值范围． 18. 平面内，动点与定点的距离与到定直线：的距离之比为常数. （1）求动点的轨迹方程； （2）过点作不垂直于轴直线，与动点的轨迹交于两点，点在直线上，记直线的斜率分别为，证明：成等差数列. 19. 若数列满足，则称数列具有性质． （1）若数列具有性质，且，求的值； （2）若，求证：数列具有性质； （3）设各项都为正数的数列的前项和为，且，数列具有性质，其中，若，求正整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $