第六章 概率 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

３．D　[因为 X~N(１,２２),所以 DX＝４,所以 D(１２ X )＝ １４ DX＝１．] ４．解 析:由 题 可 得 μ＝０,σ＝ ２ ３ ,P (－２＜ X ＜２)＝ P(μ－３σ＜X＜μ＋３σ)＝０．９９７４． 答案:０．９９７４ ５．解析:由正态分布图象的对称性可得,P(a≤x＜４－a)＝１－ ２P(x＜a)＝０．３６． 答案:０．３６ 章末归纳提升 题型梳理􀅰素养聚焦 [例１]　(１)[解析]　设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件 A,“第二次闭合后出现红灯”为事件B,则由题意可得P(A) ＝１２ ,P(AB)＝１５ ,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第 二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)＝P (AB) P(A)＝ １ ５ １ ２ ＝２５． [答案]　C (２)[解]　①设 D 为“这个人患流感”,A１,A２,A３ 分别表示 这个人选自A、B、C地区． 由已知得P(A１)＝０．２５,P(A２)＝０．３５, P(A３)＝０．４,P(D|A１)＝０．０６,P(D|A２)＝０．０５,P(D|A３) ＝０．０４． 由全概率公式,得P(D)＝P(A１)􀅰P(D|A１)＋P(A２)P(D| A２)＋P(A３)􀅰P(D|A３) ＝０．０６×０．２５＋０．０５×０．３５＋０．０４×０．４＝０．０４８５ ② 由 贝 叶 斯 公 式 得 P (A１|D)＝ P(A１)P(D|A１) P(D) ＝ ０．２５×０．０６ ０．０４８５ ＝ ３０ ９７． [例２]　[解]　(１)由题意X~B ３,２５( ) , 则P(X＝０)＝C０３ ２ ５( ) ０ ３ ５( ) ３ ＝２７１２５ , P(X＝１)＝C１３ ２ ５( ) １ ３ ５( ) ２ ＝５４１２５ , P(X＝２)＝C２３ ２ ５( ) ２ ３ ５( ) １ ＝３６１２５ , P(x＝３)＝C３３ ２ ５( ) ３ ３ ５( ) ０ ＝ ８１２５． ∴X 的分布列为 X ０ １ ２ ３ P ２７１２５ ５４ １２５ ３６ １２５ ８ １２５ (２)由题意知,“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯 都没有遇到”． 因此有P(X≥１)＝１－P(X＝０)＝１－２７１２５＝ ９８ １２５． [例３]　[解]　(１)方法一:设“甲投一次球命中”为事件 A, “乙投一次球命中”为事件B, 由题意得:[１－P(B)]２＝(１－p)２＝１１６ ,解得p＝３４ 或p＝ ５ ４ (舍),∴乙投球的命中率为３４ ; 方法二:设“甲投一次球命中”为事件A,“乙投一次球命中” 为事件B, 由题意得:P(􀭺B)􀅰P(􀭺B)＝１１６ ,∴P(􀭺B)＝１４ 或P(􀭺B)＝－１４ (舍), 故p＝１－P(􀭺B)＝３４ ,∴乙投球的命中率为３４ ; (２)方法一:由题设知,P(A)＝１２ ,P(􀭿A)＝１２ , 故甲投球２次,至少命中１次的概率为１－P(􀭿A)􀅰P(􀭿A) ＝３４ ; 方法二:由题设知,P(A)＝１２ ,P(􀭿A)＝１２ ,, 故甲投球２次,至少命中１次的概率为:C１２􀅰P(A)􀅰P(􀭿A) ＋P(A)􀅰P(A)＝３４ ; (３)由题设可知,P(A)＝ １２ ,P(􀭿A)＝ １２ ,P(B)＝ ３４ ,P(􀭺B) ＝１４ 甲、乙两人各投球２次,共命中２次有三种情况: 甲、乙两人各中一次,甲中２次、乙２次均不中,甲２次均不 中、乙中２次, 概率分别为 C１２􀅰P(A)􀅰P(􀭿A)􀅰C１２􀅰P(B)􀅰P(􀭺B)＝ ３ １６ , P(A)􀅰P(A)􀅰P(􀭺B)􀅰P(􀭺B)＝１６４ ,P(􀭿A)􀅰P(􀭿A)􀅰P(B)􀅰 P(B)＝９６４ , ∴甲、乙两人各投球２次,共命中２次的概率为３１６＋ １ ６４＋ ９ ６４ ＝１１３２． [例４]　[解]　(１)由题意得甲、乙两名学生共答对２个问题 的概率P＝C １ ４C２２ C３６ ×C１３× ２ ３× １ ３( ) ２ ＋ C２４C１２ C３６ ×C０３× ２ ３( ) ０ × １ ３( ) ３ ＝１１５． (２)设学生甲答对的题数为X,则X 的可能取值为１,２,３, P(X＝１)＝C １ ４C２２ C３６ ＝１５ ,P(X＝２)＝C ２ ４C１２ C３６ ＝３５ , P(X＝３)＝C ３ ４C０２ C３６ ＝１５ , 则EX＝１×１５＋２× ３ ５＋３× １ ５＝２ , DX＝(１－２)２×１５＋ (２－２)２×３５＋ (３－２)２×１５＝ ２ ５． 设学生乙答对题数为Y,则Y 的可能取值为０,１,２,３, 由题意知Y~B ３,２３( ) ,则EY＝３× ２ ３＝２ ,DY＝３× ２３× １ ３＝ ２ ３ , ∴EX＝EY,DX＜DY, ∴甲被录取的可能性更大． [例５]　[解析]　依题意,得P(７０≤ξ≤１１０)＝０．６,P(ξ＞１１０) ＝１２ [１－P(７０≤ξ≤１１０)]＝０．２．于是此次数学考试成绩高 于１１０分的学生约有１０００×０．２＝２００人． [答案]　２００ [例６]　解:(１)由频率分布直方图可知,该校高三年级男生的 平均身高约为１６２×０．０５＋１６６×０．０７＋１７０×０．０８＋１７４× ０．０２＋１７８×０．０２＋１８２×０．０１＝１６８．７２(cm)． (２)由频率分布直方图知,后３组的频率为(０．０２＋０．０２＋０． ０１)×４＝０．２,人数为０．２×５０＝１０,即这５０名男生身高在 １７２cm 以上(含１７２cm)的人数为１０． (３)全市１０００００ 名男生的身高 X 服 从 正 态 分 布 N(１６８, １６),则P(１６８－３×４≤X≤１６８＋３×４)＝P(１５６≤X≤１８０) ≈０．９９７３． 由正态 曲 线 的 对 称 性 可 知,P(X≥１８０)＝１－０．９９７３２ ＝ ０．００１３５,且０．００１３５×１０００００＝１３５, 故全市约前１３５名男生的身高在１８０cm 及以上． 这５０人中身高在１８０cm 及以上的人数为５０×０．０１×４＝２． 随机变量ξ的可能取值为０,１,２,则 P(ξ＝０)＝ C２８ C２１０ ＝２８４５ ,P(ξ＝１)＝ C１８C１２ C２１０ ＝１６４５ , P(ξ＝２)＝ C２２ C２１０ ＝１４５． 故Eξ＝０× ２８ ４５＋１× １６ ４５＋２× １ ４５＝ ２ ５． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１７２􀅰 参考答案 变式训练 １．D　[设第一次摸到的是红球(第二次无限制)为事件A,则P (A)＝６×９１０×９＝ ３ ５ ,第一次摸到红球,第二次也摸到红球为事 件B,则P(B)＝６×５１０×９＝ １ ３ ,故在第一次摸到红球的条件下 第二次也摸到红球的概率为P＝P (B) P(A)＝ ５ ９ ,选 D．] ２．解:(１)由题意,知高一、高二、高三年级的人数之比为４∶３ ∶３,由于采用分层随机抽样的方法从中选取１０名学生,因 此,高一年级应选取４名学生,高二年级应选取３名学生,高 三年级应选取３名学生． (２)由(１)知,被选取的１０名学生中,高一、高二、高三年级分 别有４名、３名、３名学生,所以从这１０名学生中任选３名, 这３名学生分别来自三个年级的概率为 C１４C１３C１３ C３１０ ＝３１０． (３)由题意知,随机变量 X 的可能取值为１,２,３,４,且 X 服 从超几何分布, P(X＝k)＝C k ７C４－k３ C４１０ (k＝１,２,３,４)． 所以随机变量X 的分布列为 X １ ２ ３ ４ P １３０ ３ １０ １ ２ １ ６ 所以EX＝１×１３０＋２× ３ １０＋３× １ ２＋４× １ ６＝ １４ ５． ３．解:(１)设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件A,则选 中２道“生态环保题”, 则P(A)＝C ２ ４􀅰C１２ C３６ ＝３５ ; (２)由题意可知X＝０,１,２; 则P(X＝０)＝C ３ ４ C３６ ＝１５ , P(X＝１)＝C ２ ４􀅰C１２ C３６ ＝３５ , P(X＝２)＝C １ ４􀅰C２２ C３６ ＝１５ , 所以X 的分布列为: X ０ １ ２ P １５ ３ ５ １ ５ X 的期望EX＝０×１５＋１× ３ ５＋２× １ ５＝１ , DX＝(０－１)２×１５＋ (１－１)２×３５＋ (２－１)２×１５＝ ２ ５． ４．(１)D　[由题意,可知μ＝６０．５,σ＝２,故P(５８．５＜x≤６２．５) ＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈６８．３％,从而属于正常情况的人数 是１０００×６８．３％＝６８３．] (２)解:∵考生成绩X~N(５００,５０２),∴μ＝５００,σ＝５０, ∴P(５５０＜X≤６００)＝１２ [P(５００－２×５０＜X≤５００＋２×５０) －P(５００－５０＜X≤５００＋５０)]＝１２ (０．９５４４－０．６８２６)＝ ０．１３５９,∴估计考生成绩在５５０~６００分的人数为２５００× ０．１３５９≈３４０． 第七章　统计案例 §１　一元线性回归 １．１　直线拟合 １．２　一元线性回归方程 课前预习学案 知识梳理 知识点一２．一条光滑的曲线　３．一条直线附近 知识点二１．小　最小　最小 [思考] [提示]　̂b表示X 每增加１个单位时,Y 的变化量,即 X 每 增加１个单位时,Y 相应地平均增加̂b个单位． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)√　(４)√ ２．C　[线性回归方程必过样本点的中心(􀭺x,􀭵y),即(２．５,４)．] ３．D　[最小二乘法是通过最小化误差的平方和寻找数据的最 佳函数匹配,利用最小二乘法使得这组数据与实际数据之间 误差的平方和为最小,即使得􀰑 n i＝１ [yi－(̂a＋̂bxi)]２ 最小．] ４．解析:把X＝８０代入经验回归方程可得其预测值Y＝５×８０ ＋２５０＝６５０(kg)． 答案:６５０ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)数据对应的散点图如图所示． (２)通过以上数据对应的散点图可以判断,所有点看上去都 在一条直线附近波动,所以房屋的销售价格和房屋面积之 间的关系,可以用直线拟合． [例２]　解:(１)由题意得􀭺x＝３＋４＋５＋６＋７＋８＋９７ ＝６ , 􀭵y＝６６＋６９＋７３＋８１＋８９＋９０＋９１７ ＝ ５５９ ７ (２)画出散点图如图,由图知Y 与X 有线性相关关系． (３)设回归直线方程:Y＝̂bX＋̂a 由b＝ ∑ n i＝１ (xi－􀭺x)(yi－􀭵y) ∑ n i＝１ (xi－􀭺x)２ ＝ ∑ n i＝１ xiyi－n􀭺x􀭵y ∑ n i＝１ x２i－n􀭺x２ 得b̂＝ ３４８７－７×６×５５９７ ２８０－７×３６ ＝ １３３ ２８＝４．７５ , 由题意知(􀭺x,􀭵y)在回归线上, 所以:̂a＝５５９７ －６×４．７５≈５１．３６ , 所以线性回归方程为Y＝４．７５X＋５１．３６． [例３]　[解]　(１)Y＝̂dlnX＋̂c更适合刻画X,Y 之间的关 系．理由:由题表中的数据可知,X 的值每增加１,函数值Y 的增加量分别为７,４,３,２,增加得越来越缓慢,符合对数函 数模型的增长规律,与一元线性回归模型的均匀增长存在 较大差异,故Y＝̂dlnX＋̂c更适合刻画X,Y 之间的关系． (２)令Z＝lnX,由 题 意 得􀭵y＝５＋１２＋１６＋１９＋２１５ ＝ ７３ ５ ＝ １４．６,所以d̂＝ 􀰑 ５ i＝１ ziyi－５􀭵z􀭵y 􀰑 ５ i＝１ z２i－５􀭵z２ ≈８６－５×０．９６×１４．６ ６．２－５×０．９６２ ＝１０,̂c＝ 􀭵y－̂d􀅰􀭵z≈１４．６－１０×０􀆰９６＝５,所以Y 关于X 的回归方程 为Y＝１０lnX＋５． 当X＝６时,日销售额为１０ln６＋５≈２３(万元)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２７２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 [知识整合􀅰思维导图] 概 率 条件概率 条件概率公式 事件的独立性 全概率公式 离散型随机变量 分布列 均值 方 　 差 概率分布模型 二项分布 超几何分布 正态分布 [题型梳理􀅰素养聚焦] [考点一]　数学运算、数学抽象———条件概 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 率、乘法公式及全概率公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[例１]　(１)某个电路开关闭合后会出现红灯 或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红 灯的概率为１ ２ ,两次闭合后都出现红灯的概 率为１ ５ ,则在第一次闭合后出现红灯的条件 下第二次闭合后出现红灯的概率为 (　　) A．１１０　　　B． １ ５　　　C． ２ ５　　　D． １ ２ (２)在A,B,C三个地区爆发了流感,这三个 地区分别有６％,５％,４％的人患了流感,假 设这三个地区的人口数的比为５∶７∶８,现 从这三个地区中任意选取一个人． ①求这个人患流感的概率; ②如果此人患流感,求此人选自 A 地区的 概率． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 条件概率的两个求解策略 １．定义法:计算 P(A),P(B),P(AB), 利用 P(A|B)＝P (AB) P(B) 或P(B|A)＝P (AB) P(A) æ è ç ö ø ÷求解 ２．缩小样本空间法:利用P(B|A)＝n (AB) n(A) 求解． 其中(２)常用于古典概型的概率计算问题． 􀳀[变式训练] １．在１０个形状大小均相同的球中有６个红球 和４个白球,不放回地依次摸出２个球,在 第１次摸出红球的条件下,第２次也摸到红 球的概率为 (　　) A．３５ B． ２ ５ C．１１０ D． ５ ９ [考点二]　数学逻辑、数学抽象———事件的独 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 立性、二项分布和超几何分布 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[例２]　从学校乘车到火车站的途中有三个 交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件 是相互独立的,并且概率都是２ ５ ,设X 为途 中遇到红灯的次数． (１)求随机变量X 的分布列; (２)求在途中至少遇到一次红灯的概率． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３９１􀅰 第六章　概　率 [例３]　甲、乙两个篮球运动员互不影响地在 同一位置投球,命中率分别为１ ２ 与p,且乙 投球２次均未命中的概率为１１６． (１)求乙投球的命中率P; (２)求甲投球２次,至少命中１次的概率; (３)若甲、乙两人各投球２次,求共命中２次 的概率. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．二项分布的应用 (１)二项分布的简单应用是求n重伯努 利试验中事件A 恰好发生k 次的概率． 解题的一般思路是:根据题意设出随机 变量→分析出随机变量服从二项分布→ 确定参数n,p→写出二项分布的分布 列→将k值代入求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (２)二项分布的有关问题中,求解随机变 量涉及“至少”“至多”问题的取值概率, 实质是求在某一取值范围内的概率,一 般转化为几个互斥事件发生的概率和或 者利用对立事件求概率． (３)若随机变量不服从二项分布,看能否 找出与之相关联的,并且服从二项分布 的另一个随机变量,进而求解． ２．超几何分布的特征 满足超几何分布模型的事件的总体都是 由较明显的两部分组成,如男生、女生; 正品、次品;优、劣等．判断一个随机变量 是否服从超几何分布,关键是看随机变 量是否满足超几何分布的特征:①不放 回抽样;②一个总体(共有 N 个)内含有 两种不同的事物A(有M 个),B(有N－ M 个),任取n个,其中恰有 X 个A．符 合以上特征即可断定随机变量服从超几 何分布． 􀳀[变式训练] ２．每年的１２月４日为我国的“法制宣传日”． 天津市某高中团委在２０２１年１２月４日开 展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活 动．已知该学校高一、高二、高三的学生人数 分别是４８０、３６０、３６０．为检查该学校组织学 生学习的效果．现采用分层随机抽样的方法 从该校全体学生中选取１０名学生进行问卷 测试．具体要求:每名被选中的学生要从１０ 个有关法律、法规的问题中随机抽出４个问 题进行回答,所抽取的４个问题全部答对的 学生将给予表彰． (１)求各个年级应选取的学生人数; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４９１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 (２)若从被选取的１０名学生中任选３名学 生,求 这 ３ 名 学 生 分 别 来 自 三 个 年 级 的 概率; (３)若被选取的１０人中的某学生能答对１０ 道题中的７道题,记 X 表示该名学生答对 问题的道数．求随机变量 X 的分布列及数 学期望． [考点三]　逻辑推理、数学运算———离散型随 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 机变量的均值与方差． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[例４]　某高校通过自主招生方式在A 市招 收一名优秀的高三毕业生,经过层层筛选, 甲、乙两名学生进入最后测试,该校设计了 一个测试方案:甲、乙两名学生各自从６个 问题中随机抽３个问题回答．已知这６个问 题中,学生甲能正确回答其中的４个问题, 而学生乙能正确回答每个问题的概率为２ ３ , 甲、乙两名学生对每个问题的回答都是互不 影响的． (１)求甲、乙两名学生共答对２个问题的 概率; (２)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两名 学生哪位被录取的可能性更大． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求离散型随机变量X 的均值与方差的步骤 １ 理解X 的意义,写出X 的所有可能取值 ２ 求X 取每个值时的概率 ３ 写出X 的分布列 ４ 由均值的定义求EX ５ 由方差的定义求DX 􀳀[变式训练] ３．每年９月第三个公休日是全国科普日．某校 为迎接２０２４年全国科普日,组织了科普知 识竞答活动,要求每位参赛选手从４道“生 态环保题”和２道“智慧生活题”中任选３道 作答(每道题被选中的概率相等),设随机变 量X 表示某选手所选道３题中“智慧生活 题”的个数． (１)求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的 概率; (２)求随机变量X 的分布列及方差DX． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５９１􀅰 第六章　概　率 考点四　数学运算———正态分布及其应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[例５]　某校在２０２１年的“某市重点中学数 学挑战赛”中有１０００人参加考试,数学考 试的成绩ξ~N(９０,σ ２)(σ＞０,试卷满分１５０ 分),统计结果显示数学考试成绩在７０分到 １１０分之间的人数约为总人数的３５ ,则此次 数学 考 试 成 绩 高 于 １１０ 分 的 学 生 约 有 　　　　人． [例６]　某市高中男生身高统计调查数据显 示:全市１０００００名男生的身高服从正态分 布N(１６８,１６)．现从某学校高三年级男生中 随机抽取５０名测量身高,测量发现被测学 生身高全部介于１６０cm和１８４cm之间,将 测量结 果 按 如 下 方 式 分 布 ６ 组:第 １ 组 [１６０,１６４),第２组[１６４,１６８),􀆺,第６组 [１８０,１８４],如图７．５－１０是按上述分组方 法得到的频率分布直方图． (１)试估计该校高三年级男生的平均身高; (２)求这５０名男生身高在１７２cm 以上(含 １７２cm)的人数; (３)在这５０名身高在１７２cm 以上(含１７２ cm)的男生中任意抽取２人,将该２人身高 纳入全市排名(从高到低),能进入全市前 １３５名的人数记为ξ,求ξ的均值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 正态分布的概率求法 １．注意“３σ原则”的适用．记住正态总体在 三个区间内取值的概率． ２．注意数形结合．由于正态分布密度曲线 具有完美的对称性,体现了数形结合的 重要思想,因此运用对称性结合图象解 决某 一 区 间 内 的 概 率 问 题 成 为 热 点 问题． 􀳀[变式训练] ４．(１)为了了解某地区高三男生的身体发育状 况,抽查了该地区１０００名年龄在１７．５岁 至１９岁的高三男生的体重情况,抽查结果 表明 他 们 的 体 重 X(kg)服 从 正 态 分 布 N(μ,２ ２),且正态分布密度曲线如图所示． 若体重大于５８．５kg小于等于６２．５kg属于 正常情况,则这１０００名男生中属于正常情 况的人数是 (　　) A．９９７　　B．９５４　　C．８１９　　D．６８３ (２)某学校高三２５００名学生第二次模拟考 试总成绩服从正态分布 N(５００,５０２),请你 估计考生成绩X 在５５０~６００分的人数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６９１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册