第六章 5 正态分布-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

３．设袋中有８０个红球,２０个白球,若从袋中 任取１０个球,则其中恰有６ 个红球的概 率为 (　　) A． C４８０C６１０ C１０１００ B． C６８０C４１０ C１０１００ C． C４８０C６２０ C１０１００ D． C６８０C４２０ C１０１００ ４．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民 中抽取２０人参加宣传活动,这２０人中年 龄低于３０岁的有５人．现从这２０人中随 机选取２人各赠送一部手机,记 X 为选 取的年龄低于３０岁的人数,则P(X＝１) ＝　　　　． ５．在一次英语口语考试中,有备选的１０道试 题,已知某考生能答对其中的８道试题,规 定每次考试都从备选题中任选３道试题进 行测试,至少答对２道试题才算及格,求该 考生答对试题数 X 的分布列,并求该考生 及格的概率． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §５　正态分布 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲 线所表示的意义 ２．了解变量落在区间 (μ－σ,μ＋σ),(μ－２σ,μ＋２σ), (μ－３σ,μ＋３σ)的概率大小 ３．会用正态分布去解决实际问题 １．通过学习正态分布和标准正态 分布,体会数学抽象与直观想 象的素养 ２．借助正态分布中的“３σ原则”解 题及标准正态分布提升数学运 算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　某钢铁加工厂生产内径为２５．４０mm 的 钢管,为了检验产品的质量,从一批产品中任 取１００件检测,测得它们的实际尺寸如下: ２５．３９２５．３６２５．３４２５．４２２５．４５２５．３８２５．３９ ２５．４２２５．４７２５．３５２５．４１２５．４３２５．４４２５．４８ ２５．４５２５．４３２５．４６２５．４０２５．５１２５．４５２５．４０ ２５．３９２５．４１２５．３６２５．３８２５．３１２５．５６２５．４３ ２５．４０２５．３８２５．３７２５．４４２５．３３２５．４６２５．４０ ２５．４９２５．３４２５．４２２５．５０２５．３７２５．３５２５．３２ ２５．４５２５．４０２５．２７２５．４３２５．５４２５．３９２５．４５ ２５．４３２５．４０２５．４３２５．４４２５．４１２５．５３２５．３７ ２５．３８２５．２４２５．４４２５．４０２５．３６２５．４２２５．３９ ２５．４６２５．３８２５．３５２５．３１２５．３４２５．４０２５．３６ ２５．４１２５．３２２５．３８２５．４２２５．４０２５．３３２５．３７ ２５．４１２５．４９２５．３５２５．４７２５．３４２５．３０２５．３９ ２５．３５２５．４６２５．２９２５．４０２５．３７２５．３３２５．４０ ２５．３５２５．４１２５．３７２５．４７２５．３９２５．４２２５．４７ 　２５．３８２５．３９ 把这批产品的内径尺寸看作一个总体,那么这 １００件产品的实际尺寸就是一个容量为１００ 的样本;可得到这组样本数据的频率分布直 方图 当样本容量n越来越大时,分组越来越细,那 么,频率直方图将如何变化? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７８１􀅰 第六章　概　率 [知识梳理] [知识点一]　正态分布 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．由误差引起的　　　　型随机变量其分布 密度函数图象如图,对应的分布密度函数解 析式为φμ,σ(x)＝ １ ２πσ e －(x－μ) ２ ２σ２ (－∞＜x＜＋∞), 其中实数μ,σ(σ＞０)为参数,这一类随机变量 X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函 数),简称正态分布,对应的图象为正态分布密 度曲线,简称为　　　　　　． ２．正态分布是最常见、最重要的连续型随机变 量的分布,是刻画误差分布的重要模型,因 此也称为　　　　　　． [知识点二]　正态曲线的特点 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 如果一个随机变量 X 服从正态分布,那么 对于任何实数a,b(a＜b),随机变量X 在区 间(a,b]的概率可以用　　　　　　来表 示．它的几何意义就是随机变量 X 的分布 密度曲线在区间(a,b]对应的　　　　　　 　　的值(如图所示)． 如果随机变量 X 服从正态分布,那么这个 正态分布完全由参数μ,σ(σ＞０)确定,记为 X~N(μ,σ ２),其中EX＝μ,DX＝σ ２． [知识点三]正态曲线的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 (１)曲线在x轴的　　方,与x轴　　　　． (２)曲线是　　　　的,关于直线　　　　 对称． (３)曲线的最高点位于x＝　　处． (４)当x＜μ时,曲线　　　　;当x＞μ时,曲 线　　　　;并且当曲线向左、右两边无限 延伸时,以x轴为　　　　(如图所示)． 因为正态分布完全由μ和σ 确定,所以正 态曲线还具有下列特点: ①当σ一定时,曲线的　　　　由μ确定, 曲线随着μ的变化而沿x 轴　　　　． ②当μ一定时,曲线的　　　　由σ确定, σ越大,曲线越“　　　　”,表示总体的分 布越　　　　;σ越小,曲线越“高瘦”,表 示总体的分布越　　　　． [知识点四]　“３σ”原则 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 如图,正态分布随机变量X 在区间(μ－σ,μ＋ σ](σ＞０)上取值的概率为阴影部分的面积． 特别地,P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈０．６８２６, 　P(μ－２σ＜X≤μ＋２σ)≈０．９５４４, 　P(μ－３σ＜X≤μ＋３σ)≈０．９９７４． 因此,随机变量 X 在区间(μ－σ,μ＋σ],(μ －２σ,μ＋２σ],(μ－３σ,μ＋３σ]上取值的概率 分别约为６８．３％,９５．４％,９９．７％．而随机变量 X在区间(μ－３σ,μ＋３σ]外取值的概率只有 ０．３％,通常认为这种情况在一次试验中几 乎是　　　　　　　　,认为是小概率事 件．因此,在实际应用中,通常认为服从正态 分布N(μ,σ ２)的随机变量X 只取区间(μ－ ３σ,μ＋３σ]之间的值,并称之为　　　　 原则． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 如果X~N(μ,σ ２),那么P(x≤μ)与 P(x≥μ)之间存在怎样的数量关系? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８８１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)正态曲线是一条钟形曲线． (　　) (２)正态曲线在x轴的上方,并且关于直线 x＝σ对称． (　　) (３)正态变量函数表述式中参数μ,σ的意义 分别是样本的均值与方差． (　　) (４)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面 积是随参数μ,σ的变化而变化的． (　　) ２．设X~N(１０,０．６４),则DX 等于 (　　) A．０．８　　B．０．６４　　C．０．６４２　　D．６．４ ３．若f(x)＝ １ ２π e－ (x－１)２ ２ ,x∈R,则f(x)(　　) A．有最大值,也有最小值 B．有最大值,但无最小值 C．无最大值,也无最小值 D．有最小值,但无最大值 ４．已知随机变量X 服从正态分布N(２,σ２),则 P(X＜２)＝　　　　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　正态曲线及其应用 [例１]　(１)设两个正态 分布N(μ１,σ ２ １)(σ１＞０) 和N(μ２,σ ２ ２)(σ２＞０)的 密度函数图象如图所 示,则有 (　　) A．μ１＜μ２,σ１＜σ２ B．μ１＜μ２,σ１＞σ２ C．μ１＞μ２,σ１＜σ２ D．μ１＞μ２,σ１＞σ２ (２)一个正态曲线如图所示,试根据该图象 写出其正态分布的概率密度函数的解析式, 求出总体随机变量的均值和方差． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 正态曲线具有两大明显特征:(１)对称轴方 程为x＝μ;(２)最值为 １ σ ２π ．这两点把握 好了,参数μ,σ便确定了,代入即可求出相 应的解析式． 􀳀[变式训练] １．甲、乙两类水果的质量 (单位:kg)分别服从正 态分 布 N(μ１,σ ２ １),N (μ２,σ ２ ２),正态曲线如图 所示,则下列说法错误的是 (　　) A．甲类水果的平均质量为０．４kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集 中于平均质量 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均 质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 σ２＝１．９９ 　　　服从正态分布的概率问题 [例２]设X~N(１,４),试求: (１)P(－１≤X≤３); (２)P(－１≤X≤１); (３)P(３≤X≤５); (４)P(X＞５)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　利用正态曲线关于x ＝μ对 称及面积为１的性质求解 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９８１􀅰 第六章　概　率 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求解正态分布的概率问题的思路 利用正态曲线的对称性求概率是正态分布 的基本题型,解题的关键是利用对称轴x ＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间 与已知概率对应的随机变量的区间的关 系,必要时,可借助图形判断．常用结论 如下． １．对于正态分布N(μ,σ ２),由直线x＝μ是 正态曲线的对称轴知: ①对任意的实数a,P(X＜μ－a)＝ P(X＞μ＋a); ②P(X＜x０)＝１－P(X≥x０); ③P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．特 别地,当μ＝０时,我们有P(X＜－x０)＝ １－P(X≤x０)． ２．当条件中无已知概率时,则要将区间转 化为三个特殊区间,利用三个特殊区间 的概 率 求 解,P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ ０．６８２６,P(μ－２σ≤X≤μ＋２σ)≈０．９５４４, P(μ－３σ≤X≤μ＋３σ)≈０．９９７４． 􀳀[变式训练] ２．(１)已知随机变量ξ服从正态分布 N (０, σ２),若P(ξ＞２)＝０．０２３,则P(－２＜ξ＜２) ＝ (　　) A．０．４７７　　　　　B．０．６２５ C．０．９５４ D．０．９７７(２)设随机变 量ξ服从正态分布N(２,σ ２),若P(ξ＞c)＝a, 则P(ξ＞４－c)等于 (　　) A．a B．１－a C．２a D．１－２a 　　　正态分布的实际应用 [例３]　在某次数学考试中,考生的成绩X 服 从一个正态分布,即X~N(９０,１００)． (１)试求考试成绩 X 位于区间[７０,１１０]内 的概率; (２)若这次考试共有２０００名考生,试估计 考试成绩在[８０,１００]之间的考生大约有多 少人． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 [思路点拨]　 正态 分布 → 确定μ,σ 的值 → 正态分布在三个特 殊区间上的概率 → 求解 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假设检验是就正态总体而言的,进行假设 检验可归结为如下三步: １．提出统计假设,统计假设里的变量服从 正态分布N(μ,σ ２)． ２．确定 一 次 试 验 中 的 取 值a 是 否 落 入 区间 [μ－３σ,μ＋３σ]内． ３．作出判断:如果a∈[μ－３σ,μ＋３σ],则接 受统计假设．如果a∉[μ－３σ,μ＋３σ],则 拒绝统计假设． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０９１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 􀳀[变式训练] ３．某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火 车站有两条路线可走,第一条路线穿过市 区,路线较短,但交通拥挤,所需时间 X(单 位:min)服从正态分布 N(５０,１０２);第二条 路线沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞 少,所需时间Y(单位:min)服从正态分布 N(６０,４２)． (１)若只有７０min可用,问应走哪条路线? (２)若只有６５min可用,又应走哪条路线? 注:若X~N(μ,σ ２),则P(μ－２σ≤X≤μ＋２σ) ＝０．９５４５ 　　　正态分布的综合应用 [例４]　搪瓷是涂烧在金属底坯表面上的无 机玻璃瓷釉．搪瓷制品曾经是人们不可或缺 的生活必备品,如厨房用具中锅碗瓢盆、喝 茶用到的杯子、洗脸用到的脸盆、婚嫁礼品 等,可以说搪瓷制品浓缩了上世纪一个时代 的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型 复古搪瓷水杯,并交给生产水平不同的 A 和B 两个厂生产．已知A 厂生产的该种搪 瓷水杯的等级系数X 服从正态分布N(μ, ０．２５),且P(X＜６)＝１２ ,在电商平台上A 厂 生产的搪瓷水杯的零售价为３６元/件,B 厂 生产的搪瓷水杯的零售价为３０元/件． (１)①求A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平 均值; ②若A 厂生产了１００００件这种搪瓷水杯, 记ξ表示这１００００件搪瓷水杯等级系数X 位于区间[５．５,６．５]的产品件数,求Eξ． (２)从B 厂生产的搪瓷水杯中随机抽取３０ 件,相应的等级系数组成一个样本,数据如 图所示． 设L＝ 产品等级系数的平均值 产品零售价 ,若以“L 的 值越大,产品越具可购买性”为判断标准,根 据以上数据,哪个工厂生产的搪瓷水杯更具 可购买性? 说明理由． 注:若X~N(μ,σ ２),则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ ０．６８２６,P(μ－２σ≤X≤μ＋２σ)≈０．９５４４, P(μ－３σ≤X≤μ＋３σ)≈０．９９７４． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　把实际问题中的数据抽象出 来转化为数学问题求解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１９１􀅰 第六章　概　率 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 正态分布的应用,实质上是将实际问题抽 象概括成正态分布模型,利用正态分布模 型,通过对数据的理解和处理,获得和解释 结论,培养了抽象概括能力和数据处理能 力,提升了数学抽象和数据分析的数学核 心素养． 􀳀[变式训练] ４．某市举办数学知识竞赛活动,共５０００名学 生参加,竞赛分为初试和复试,复试环节共 ３道题,其中２道单选题,１道简答题,得分 规则如下:参赛学生每答对一道单选题得２ 分,答错得０分,答对简答题得３分,答错得 ０分,答完３道题后的得分之和为参赛学生 的复试成绩． (１)通过分析可以认为学生初试成绩X(单 位:分)服从正态分布 N(μ,σ ２),其中μ＝ ６６,σ２＝１４４,试估计初试成绩高于９０分的 人数; (２)已知小强已通过初试,他在复试中回答 单选题的正确率为２ ３ ,回答简答题的正确率 为１ ２ ,且每道题回答正确与否互不影响．记 小强复试成绩为Y(单位:分),求Y 的分布 列及数学期望． 附:若X~N(μ,σ ２),P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈０． ６８２６,P(μ－２σ≤X≤μ＋２σ)≈０．９５４４,P(μ －３σ≤X≤μ＋３σ)≈０．９９７４, [当堂达标] １．(多选)把一条正态曲线a沿着横轴方向向 右移动２个单位,得到一条新的曲线b,下列 说法中正确的是 (　　) A．曲线b仍然是正态曲线 B．曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等 C．以曲线b为正态分布的总体的方差比以 曲线a 为正态分布的总体的方差大２ D．以曲线b为正态分布的总体的均值比以 曲线a 为正态分布的总体的均值大２ ２．已知三条正态曲线φi(x)＝ １ ２πσi e－ (x－μi )２ ２σ２i (x∈R,i＝１,２,３)如图所示,则下列判断正 确的是 (　　) A．μ１＜μ２＝μ３,σ１＝σ２＞σ３ B．μ１＞μ２＝μ３,σ１＝σ２＜σ３ C．μ１＝μ２＜μ３,σ１＜σ２＝σ３ D．μ１＜μ２＝μ３,σ１＝σ２＜σ３ ３．设随机变量X~N(１,２２),则D １２X æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．４ B．２ C．１２ D．１ ４．在正态分布 N ０,４９ æ è ç ö ø ÷中,数据落在(－２,２) 内的概率为　　　　． ５．已知随机变量x~N(２,σ２),如图所示,若 P(x＜a)＝０．３２,求P(a≤x＜４－a)的值． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２９１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 数学(BS)·选择性必修第一册 §5正态分布 课前预习学案 知识梳理 知识点一1.连续正态曲线2.误差模型 知识点二P(a<X≤b)曲边梯形面积 知识点三(1)上不相交(2)单峰x=(3):(4)上升 下降渐近线位置平移形状矮胖分散集中 知识点四不可能发生的3G [思考] [提示]P≤W=P≥)=是 预习自测 1.(1)/(2)×(3)×(4)× 2.BL图为X~N(10,0.64),所以DX=0.64.] 3.B[当x=1时，f(x)有最大值f1)=1 22mf)无】 最小值.门] 4.解析：由题意知X的均值为2，因此P(X<2)= 答案：司 课堂互动学案 [例1][解析](1)A[根据正态曲线的特征，对称抽方程 x=,0表示正态曲线的形状.由题图可得出<h0,<a2] (2)从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大 值为1，所以=20， 1 ，所以=√2 2√π √2πa2wπ 于是fr)=1exe(-oe,+∞). 2π 总体随机变量的均值是牡=20，方差是。=(2)=2 [例2][解]易知X~N(1,2),4=1a=2. (1)P(-1≤X3)=P(1-2≤X≤1+2)=P(-a≤X≤H 十a)≈0.6827. (2),该正态曲线关于直线x=1对称，站合图象可知P(一1 <X1)=P(-1cX≤3)≈专×0.6827=0.34135. (3)P(3≤X5)=P(-3≤X≤-1)， ∴P3≤X≤6)=2[P(-3≤X≤5)-P(-1<X≤3]= 2[P1-4≤X≤1+0-P1-2≤X≤1+2]-2[Pg 2≤X≤+2a)-P(-≤X≤+o]≈号×(0.9545 0.6827)=0.1359. (4),P(X>5)=P(X<-3). ∴P(X>5)=2[1-P(-3<X<6]=21-P1-4≤x ≤1+4J=[1-Pg-2a≤X<+2]≈之×1- 0.9545)=0.02275. [例3][解]：X~N(90,100),.2=90.a=√/100=10. (1)P(70≤X≤110)=P(90-2×10X≤90+2×10) 0.9544,即成绩X位于区间[70,110]内的概率为0.9544. (2)P(80X100)=P(90-10X90+10)=0.6826, ,.2000×0.6826≈1365（人）. 即考试成绩在[80,100们之间的考生大约有1365人， [例[解](1)四根据题意，P(X<6)=之，得以=6，即A 厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为6. ②a=0.25, .g=0.5,则十a=6.5,-g=5.5, 易知一件塘瓷水杯等级系数X位于区间[5.5,6.5]的概率约 为0.6826，依题意知服从参数为10000,0.6826的二项分 布，.E=10000×0.6826=6826. (2)A厂生产的糖瓷水杯更具可购买性，理由如下： 用样本估计总体，可得B厂生产的糖壳水杯的等级系数X。 的年均值为08.5X10十4.5×8+5.5X6+6.5×5+7.5 ×1)=4.8. ·2 ,A厂生产糖瓷水杯的等级系数的平均值为6，价格为36 6=1≈0.17 元/件L4=36=6 ,B厂生产的塘瓷水杯的等级系数的平均值为4.8，价格为 30元/件1m=48=0.16. 30 又0.17>0.16，故A厂生产的塘瓷水杯更具可胸买性， 变式训练 1.D[由图象可知甲曲线关于直线x=0,4对称，乙曲线关于直 线x=0.8对称4=0.44=0.8，故A.C正确：甲曲线 比乙曲线更“高瘦”， 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故 B正确： :乙曲线的峰值为1.99，即1 =1.99,a≠1.99，故 /2π D错误，] 2.(1)C[P(-2<<2)=1-2P(>2)=1-2×0.023= 0.954. (2)B[对称轴x=2,.P(>4一c)= 1-P(>c)=1-a.] 3.解：由已知XN(50,10),YN(60.4). 由正态分布的2a区间性质P(:一2aX十2a) =0.9545. 对X:u=50,a=10,2a间为(30,70)，则P(4-2a≤X≤μ +2a)=0.9545 对Y:=60,o=4,2g区间为(52,68). 要尽量保证用时在X∈(30,70)，Y∈(52,68)才能保证有 95%以上的概率准时到达. (1)若只有70min可用，应孩走第二条路线. (2)若只有65min可用，两种方案都不能保证有95%以上的 概率准时到达，但是走第一条路线平均用时比走第二条路线 少了10min,应孩走第一条路线. 4.解：，学生初试成绩X服从正态分布N(,a),其中：=66， g=144,.十2a=66+2×12=90. P(X≥90)=P(X≥4+2o)≈号×(1-0.9544) =0.02280, .估计不低于90分的人数为0.02280×5000≈114 (2)Y的所有可能取值为0,2,3,4,5,7， 1 P=2=x号×gx-号 11 .2 PY=5)=Gx号××- 9 PY=)=号×号×-号 ,Y的分布列为 Y 0 2 3 4 5 7 18 18 9 9 EY=0X+2×号 +3×18 +4名+5× 0 +7×号 2 当堂达标 1.ABD[正态曲线向右平移2个单位，G不发生变化，故C错 误，其他正确。门 2.D[由正态曲线关于直线x一以对称，知以≤=，G的大 小决定曲线的形状，越大，随机变量的分布越分散，曲线越 “矮胖”：。越小，随机变量的分布越集中，曲线越“瘦高”，测 a=<,实际上，由4)=4)>g(4,).得1 2不0 一，即01=0：<0·」 V2πG2VW2x0 0 3D[因为X~N1,2).所以DX=4,所以D号X)=号 DX=1.] 2 4解析：由题可得以=0，a=子，P(-2<X<2)= P(u-3o<X<4十3o)=0.9974. 答案：0.9974 5.解析：由正态分布图象的对称性可得，P(u≤x<4一a)=1一 2P(x<a)=0.36. 答案：0.36 章末归纳提升 题型梳理·素养聚焦 [例1](1)[解析]设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件 A,“第二次闭合后出现红灯”为事件B,则由题意可得P(A) =合，PAB)=言，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第 二次闭合出现红灯的概率是P(B1A)=PAB)=豆 P(A)1 5 2 [答案]C (2)[解]①设D为“这个人患流感”，A1,A2,A分别表示 这个人选自A,B、C地区， 由已知得P(A1)=0.25,P(4.)=0.35 P(A3)=0.4,P(DA)=0.06,P(D|A)=0.05.P(DA) =0.04. 由全概率公式，得P(D)=P(A)·P(D|A十P(A)P(D A)+P(A)·P(DA) =0.06×0.25+0.05×0.35+0.04×0.4=0.0485 ②由贝叶斯公式得P(A,|D)= P(A,)P(DIA P(D) 0.25×0.0630 0.048597 例2][解] 1)由题意X~B(3,号) 则Px=o=C()广（得）=： 27 px=n=c()()-酷· 54 X-2=C()()）- 125· P(x=3)= ()()= 8 X的分布列为 0 1 2 3 27 54 36 8 125 125 125 125 (2)由题意知，“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯 都没有遇到” 因此有P(X≥1)=1-P(X=0)=1一125· 2798 [例3][解](1)方法一：设“甲投一次球命中”为事件A, “乙投一次球命中”为事件B, 由题意得：1-P(B了-（1-p)-解得p-号或p 至（会）乙授球的今中率为是： 方法二：设“甲授一次球命中”为事件A,“乙授一次球命中” 为事件B, 由题高得：PB)·P(B)=。P(B)=子或P(B)=一 (舍)， 故p=1-PB)=子乙授球的命中率为子： (2)方法一：由题设知，P(A=,P(A)=名 故甲投球2次，至少命中1次的规率为1一P(A)·P(A) ·2 参考答案 方法二：由题设知，PA)=,PA= 故甲投球2次，至少命中1次的概率为：C·P(A)·P(A) +PA·PA-子 （8)由题设可知，PA)=,PA)=名P(B)=是，P(B) 甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况： 甲、乙两人各中一次，甲中2次、乙2次均不中，甲2次均不 中、乙中2次， 概奉分别为C·PA)·P不C·P(B)·P(B)=是 P·PA·PB)·P(B)=高，PA·P不)·P(B· P(B)=64 9 。甲，乙两人各投球2次，共命中2次的概单为品十高+是 32 [例4们[解](1)由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题 的概奉P-芒×Cx号×（传）+芒xG×(号)× C )广 (2)设学生甲答对的题数为X,则X的可能取值为1,2,3， 、p(X=1)==5·PX=2)=C=3 C 5 P(X=3)-CC=1, Cw5 则EX=1x+2×号+3×号=2， Dx=1-2×号+2-2×号+3-2y×号=号 设学生乙答对题数为Y,则Y的可能取值为0,1,2,3， 由题意知Y~B3,号)小则EY=3×号=2，Dy=3×号× .EX=EY.DX<DY. ,甲被录取的可能性更大」 [例5][解析]依题意，得P(70≤≤110)=0.6，P(>110) =号[1-P70<110)]=02.于是此次数学考诚成续高 于110分的学生约有1000×0.2=200人. 「答案]200 [例6]解：(1)由频单分布直方图可知，该校高三年级男生的 平均身高约为162×0.05+166×0.07十170×0.08十174× 0.02+178×0.02+182×0.01=168.72(cm). (2)由顿率分布直方图知，后3组的频率为(0.02十0.02+0. 01)×4=0.2,人数为0.2×50=10，即这50名男生身高在 172cm以上（含172cm)的人数为10. (3)全市100000名男生的身高X服从正态分布N(168, 16),则P(168-3×4≤X≤168+3×4)=P(156≤X≤180) ≈0.9973. 由正态曲线的对称性可知，P(X≥180)=1一0.9973 2 0.00135,且0.00135×100000=135， 故全市约前135名男生的身高在180cm及以上. 这50人中身高在180cm及以上的人数为50×0.01×4=2. 随机变量的可能取值为0,1,2，则 P(=0)= C。 C。45 C 1 P(=2)= 故E=0x+1×8+2×=号