第二章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

∴Δ＝(３２m)２－４×２５×(１６m２－１４４)＝９×４３(２５－m２)． 当Δ＞０,即－５＜m＜５时,直线和椭圆相交; 当Δ＝０,即m＝±５时,直线和椭圆相切; 当Δ＜０,即m＞５或 m＜－５时,直线和椭圆相离．综上所 述,当m∈(－∞,－５)∪(５,＋∞)时直线与椭圆相离; 当m＝±５时,直线与椭圆相切;当 m∈(－５,５)时,直线与 椭圆相交． [例２]　[解]　消去y,整理,得(１－k２)x２－２kx－２＝０． (１)当k＝１时,x＝－１． (２)当k＝－１时,x＝１． (３)当k≠±１时,Δ＝４k２＋８(１－k２)＝８－４k２． 若Δ＞０,则－ ２＜k＜ ２;若Δ＝０,则k＝± ２;若Δ＜０,则 k＜－ ２或k＞ ２． 综上,当k＜－ ２或k＞ ２时,直线l与双曲线C 没有公共 点;当k＝± ２时,直线l与双曲线C 相切于一点;当k＝±１ 时,直线l与双曲线C 相交于一点;当－ ２＜k＜－１或－１ ＜k＜１或１＜k＜ ２时,直线l与双曲线C 有两个公共点． [例３]　[解]　联立 y＝kx＋１ , y２＝４x,{ 消去y,得k ２x２＋(２k－４)x＋ １＝０．(∗) 当k＝０时,(∗)式只有一个解x＝１４ ,∴y＝１, ∴直线l与C 只有一个公共点 １４ ,１( ) ,此时直线l平行于 x轴． 当k≠０时,(∗)式是一个一元二次方程,Δ＝(２k－４)２－４k２ ＝１６(１－k)． ①当Δ＞０,即k＜１,且k≠０时, l与C 有两个公共点,此时直线l与C 相交; ②当Δ＝０,即k＝１时,l与C 有一个公共点,此时直线l与C 相切; ③当Δ＜０,即k＞１时,l与C 没有公共点,此时直线l与C 相离． 综上所述,当k＝１或０时,l与C 有一个公共点; 当k＜１,且k≠０时,l与C 有两个公共点; 当k＞１时,l与C 没有公共点． 变式训练 １．解:直线l的方程与椭圆C 的方程联立,得方程组 y＝２x＋m,① x２ ４＋ y２ ２＝１ ,②{ 将①代入②得９x２＋８mx＋２m２－４＝０,③ 判别式Δ＝(８m)２－４×９×(２m２－４)＝－８m２＋１４４． (１)当Δ＞０,即－３ ２＜m＜３ ２时,方程③有两个不同的实 数根,可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭 圆C 有两个不重合的公共点． (２)当Δ＝０,即m＝±３ ２时,方程③有两个相同的实数根,可知 原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互 相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (３)当Δ＜０,即 m＜－３ ２或 m＞３ ２时,方程③没有实数 根,可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C 没有公 共点． ２．解:联立方程组 y＝kx－１ , x２－y２＝１,{ 消去y 并整理得(１－k ２)x２＋ ２kx－２＝０． ∵直线与双曲线有两个不同的交点, 则 １－k ２≠０, Δ＝４k２＋８(１－k２)＞０,{ 解得－ ２＜k＜ ２,且k≠±１．∴若l与C 有两个不同交点, 实数k的取值范围为(－ ２,－１)∪(－１,１)∪(１,２)． ３．解:①若直线的斜率不存在,则过点P(０,１)的直线方程为x ＝０．显然与抛物线只有一个公共点,即直线x＝０与抛物线 只有一个公共点． ②若直线的斜率存在,设方程为y＝kx＋１, 由 y ２＝２x, y＝kx＋１,{ 消去y 得k ２x２＋２(k－１)x＋１＝０,当k＝０ 时,解得y＝１,即直线y＝１与抛物线只有一个公共点． 当k≠０时,由Δ＝４(k－１)２－４k２＝０,得k＝１２． 即直线y＝１２x＋１ 与抛物线只有一个公共点． 综上所述,所求直线方程为x＝０或y＝１或y＝１２x＋１． 当堂达标 １．A　[直线y＝kx－k＋１＝k(x－１)＋１过定点(１,１),且该点 在椭圆内部,因此必与椭圆相交．] ２．B　[因为双曲线方程为x２－y ２ ４＝１ ,所以P(１,０)是双曲线 的右顶点,所以过P(１,０)并且和x 轴垂直的直线是双曲线 的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是 过P(１,０)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的 共有３条．] ３．B　[∵函数y＝ax２＋１的图象与直线y＝x相切, ∴它们有且仅有一个交点．由 y＝ax ２＋１, y＝x,{ 得x＝ax ２＋１,即 ax２－x＋１＝０,∴Δ＝１－４a＝０,∴a＝１４． ] ４．解析:双曲线x ２ ９－ y２ １６＝１ 的右顶点A(３,０),右焦点F(５,０), 渐近线方程为y＝±４３x． 不妨设直线FB 的方程为y＝４３ (x－５),代入双曲线方程整 理,得x２－(x－５)２＝９, 解得x＝１７５ ,y＝－３２１５ ; 同理,若直线 FB 的方程为y＝－ ４３ (x－５),则x＝１７５ ,y ＝３２１５ ; 所以B １７５ ,±３２１５( )． 所以S△AFB＝ １ ２|AF|×|yB|＝ １ ２ (c－a)􀅰|yB|＝ １ ２× (５ －３)×３２１５＝ ３２ １５． 答案:１７ ５ ,±３２１５( ) 　 ３２ １５ ４．２　直线与圆锥曲线的综合问题 课前预习学案 知识梳理 [思考] 提示:“点差法”不能保证直线与圆锥曲线有两个交点,因此 必须把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立,看是否满足Δ ＞０． 预习自测 １．(１)√　(２)√　(３)×　(４)× ２．C　[抛物线x２＝４y的准线为y＝－１．因为P１(x１,y１),P２ (x２,y２)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点,所以 P１(x１,y１),P２(x２,y２)两点到准线的距离分别是y１＋１,y２ ＋１,所以|P１P２|的值为y１＋y２＋２＝８．] ３．C　[联立 y＝x＋１, x２ ４＋ y２ ２＝１ ,{ 消去y,得３x２＋４x－２＝０, 设直线与椭圆交于点A(x１,y１),B(x２,y２),则x１＋x２＝－ ４ ３ ,故AB 的中点横坐标x０＝ x１＋x２ ２ ＝－ ２ ３． 纵坐标y０＝ x０＋１＝－ ２ ３＋１＝ １ ３． ] ４．解析:双曲线的左焦点为(－２,０),设A(x１,y１),B(x２,y２), AB 方 程 为 y ＝ ３３ (x ＋２),即 x － ３y ＋２＝ ０, 由 x－ ３y＋２＝０, x２－y ２ ３＝１{ 得８y２－１２ ３y＋９＝０,则y１＋y２＝ ３ ３ ２ ,y１y２＝ ９ ８． ∴|AB|＝ １＋１k２( )[(y１＋y２) ２－４y１y２]＝ (１＋３) ３ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ －４×９８[ ] ＝３． 答案:３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３２􀅰 参考答案 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由 ４x ２＋y２＝１, y＝x＋m,{ 消去y,得５x ２＋２mx＋m２ －１＝０． ∵直线与椭圆有公共点,∴Δ＝４m２－２０(m２－１)≥０, 解得－ ５２≤m≤ ５ ２． 即实数m 的取值范围是 － ５２ ,５ ２[ ]． (２)设直线与椭圆交于点A(x１,y１),B(x２,y２)． 由(１)知,５x２＋２mx＋m２－１＝０． 由根与系数的关系,得x１＋x２＝－ ２m ５ ,x１x２＝ １ ５ (m２－１)． ∴d＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２＝ ２(x１－x２)２ ＝ ２[(x１＋x２)２－４x１x２] ＝ ２ ４m ２ ２５ － ４ ５ (m２－１)[ ] ＝２５ １０－８m ２, ∴当m＝０时,d最大,此时直线方程为y＝x． [例２]　[解]　(１)由焦点F(１,０),得p２＝１ ,解得p＝２． 所以抛物线的方程为y２＝４x,其准线方程为x＝－１． (２)设A(x１,y１),B(x２,y２)．直线l的方程为y＝ ４ ３ (x－１)． 与抛物线方程联立,得 y＝ ４ ３ (x－１), y２＝４x,{ 消去y,整理得４x ２－ １７x＋４＝０． 由抛物线的定义可知,|AB|＝x１＋x２＋p＝ １７ ４＋２＝ ２５ ４． 所以线段AB 的长为２５４． [例３]　[解]　方法一　如图,设所求 直线的方程为y－１＝k(x－２),代入 椭圆方程并整理,得(４k２＋１)x２－８ (２k２－k)x＋４(２k－１)２－１６＝０．(∗) 又设直线与椭圆的交点为A(x１,y１), B(x２,y２), 则x１,x２ 是(∗)方程的两个根,∴x１ ＋x２＝ ８(２k２－k) ４k２＋１ ． ∵P 为弦AB 的中点, ∴２＝ x１＋x２ ２ ＝ ４(２k２－k) ４k２＋１ ．解得k＝－ １２ ,符合(∗)方程中 Δ＞０, ∴所求直线的方程为x＋２y－４＝０． 方法二　设直线与椭圆的交点为A(x１,y１),B(x２,y２)． ∵P 为弦AB 的中点,∴x１＋x２＝４,y１＋y２＝２． 又A,B 在椭圆上,∴x２１＋４y２１＝１６,x２２＋４y２２＝１６． 两式相减,得(x２１－x２２)＋４(y２１－y２２)＝０, 即(x１＋x２)(x１－x２)＋４(y１＋y２)(y１－y２)＝０． ∴y１－y２x１－x２ ＝ －(x１＋x２) ４(y１＋y２) ＝－１２ ,即kAB＝－ １ ２． ∴所求直线方程为y－１＝－１２ (x－２),即x＋２y－４＝０． [例４]　[解]　(１)由条件可知,椭圆的焦点在x轴上,且a＝ ２,又e＝ca ＝ ２ ２ ,得c＝ ２． 由a２－b２＝c２ 得b２＝a２－c２＝２．∴所求椭圆的方程为x ２ ４＋ y２ ２＝１． (２)若存在点Q(m,０),使得∠PQM＋∠PQN＝１８０°, 则直线QM 和QN 的斜率存在,分别设为k１,k２．等价于k１ ＋k２＝０． 依题意,直线l的斜率存在,故设直线l的方程为y＝k(x－４)． 由 y＝k(x－４) x２ ４＋ y２ ２＝１{ ,得(２k ２＋１)x２－１６k２x＋３２k２－４＝０． 因为直线l与椭圆C 有两个交点,所以Δ＞０． 即(１６k２)２－４(２k２＋１)(３２k２－４)＞０,解得k２＜１６． 设 M (x１,y１),N(x２,y２),则 x１ ＋x２ ＝ １６k２ ２k２＋１ ,x１x２ ＝ ３２k２－４ ２k２＋１ ,y１＝k(x１－４),y２＝k(x２－４), 令k１＋k２＝ y１ x１－m ＋ y２x２－m ＝０,(x１－m)y２＋(x２－m)y１＝ ０,当k≠０时,２x１x２－(m＋４)(x１＋x２)＋８m＝０,化简得, ８m－１ ２k２＋１ ＝０,所以m＝１．当k＝０时,也成立． 所以存在点Q(１,０),使得∠PQM＋∠PQN＝１８０°． 变式训练 １．解:(１)因为双曲线的渐进线方程为y＝±２x,所以设所求双 曲线的方程为:x２－y ２ ４＝λ (λ≠０),把(－３,４ ２)代入方程, 整理得:９－３２４＝λ ,解得λ＝１, 所以双曲线的方程为x２－y ２ ４＝１ ; (２)由题意可知:设A(x１,y１),B(x１,y１), 则由 x ２－y ２ ４＝１ , ４x－y－６＝０,{ 整理得:３x ２－１２x＋１０＝０, 由韦达定理得:x１＋x２＝４,x１x２＝ １０ ３ , 由弦长公式可知: |AB|＝ (１＋k２)[(x１＋x２)２－４x１x２]＝ (１＋４２)× ４２－４×１０３( ) ＝ ２ １０２ ３ ． ∴|AB|的值为２ １０２３ ． ２．解:如图,依题意可设抛物线方程为y２＝ ２px(p＞０),则 直 线 方 程 为 y＝ －x＋ １ ２p． 设直 线 交 抛 物 线 于 A(x１,y１),B(x２, y２), 则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB| ＝|AC|＋|BD| ＝x１ ＋ p２ ＋x２ ＋ p ２ ,即 x１ ＋x２ ＋p＝ ８．① 又A(x１,y１),B(x２,y２)是抛物线和直线的交点, 由 y＝－x＋ １ ２p y２＝２px{ ,消去y,得x ２－３px＋p ２ ４＝０． ∵Δ＝９p２－４×p ２ ４＝８p ２＞０,∴x１＋x２＝３p,将其代入①得 p＝２, ∴所 求 抛 物 线 方 程 为 y２ ＝４x．当 抛 物 线 方 程 设 为 y２ ＝ －２px(p＞０)时, 同理可求得抛物线方程为y２＝－４x．∴抛物线方程为y２＝ ４x或y２＝－４x． ３．解:(１)因为点A(２,１)在双曲线内,所以过点A 不与渐近线 平行的直线一定与双曲线有两个交点．设以A(２,１)为中点 的弦的两端点为P１(x１,y１),P２(x２,y２), 则有x１＋x２＝４,y１＋y２＝２． 根据双曲线的对称性知x１≠x２．由点P１,P２ 在双曲线上,得 ２x２１－y２１＝２,２x２２－y２２＝２, 两式相减得２(x１＋x２)(x１－x２)－(y１＋y２)(y１－y２)＝０, 所以２×４(x１－x２)－２(y１－y２)＝０,所以 y１－y２ x１－x２ ＝４, 即以A(２,１)为中点的弦所在直线的斜率k＝４, 故所求中点弦所在直线的方程为y－１＝４(x－２),即４x－y －７＝０． (２)假定直线l存在,采用(１)的方法求出直线l的方程为y －１＝２(x－１), 即２x－y－１＝０．由 ２x ２－y２＝２ ２x－y－１＝０{ ,消去y 得２x ２－４x＋３ ＝０ Δ＝(－４)２－４×２×３＝－８＜０,无实根, 因此直线l与双曲线无交点,故满足条件的直线l不存在． ４．解:(１)由题意,椭圆C的标准方程为x ２ ４＋ y２ ２＝１． 所以a２＝４,b２＝２,从而c２＝a２－b２＝２．因此a＝２,c＝ ２． 故椭圆C的离心率e＝ca ＝ ２ ２． (２)设点A,B 的坐标分别为(t,２),(x０,y０),其中x０≠０． 因为OA⊥OB,所以OA → 􀅰OB → ＝０,即tx０＋２y０＝０, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６３２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 解得t＝－２y０x０ ．又x２０＋２y２０＝４,所以|AB|２＝(x０－t)２＋(y０ －２)２＝ x０＋ ２y０ x０( ) ２ ＋(y０－２)２ ＝x２０＋y２０＋ ４y２０ x２０ ＋４＝x２０＋ ４－x２０ ２ ＋ ２(４－x２０) x２０ ＋４＝ x２０ ２＋ ８ x２０ ＋ ４(０＜x２０≤４)． 因为 x２０ ２＋ ８ x２０ ≥４(０＜x２０≤４),当且仅当x２０＝４时等号成立, 所以|AB|２≥８． 故线段AB 长度的最小值为２ ２． 当堂达标 １．B　[设弦的端点为A(x１,y１),B(x２,y２),则x１＋x２＝８,y１ ＋y２＝４． 由 x２１ ３６＋ y２１ ９＝１ , x２２ ３６＋ y２２ ９＝１ , ì î í ïï ï 两 式 相 减,得 (x１＋x２)(x１－x２) ３６ ＋ (y１＋y２)(y１－y２) ９ ＝０ , ∴ ２(x１－x２) ９ ＝－ ４(y１－y２) ９ ,∴k＝y１－y２x１－x２ ＝－１２． ] ２．D　[设A(x１,y１),B(x２,y２),则AB 的中点 M x１＋x２２ ,y１＋y２ ２( ) , 可得kAB＝ y１－y２ x１－x２ ,k＝ y１＋y２ ２ x１＋x２ ２ ＝y１＋y２x１＋x２ , 因A,B 在双曲线上,则 x２１－ y２１ ９＝１ x２２－ y２２ ９＝１ ì î í ïï ï ,两式相减得(x２１－x２２) －y ２ １－y２２ ９ ＝０ , 所以kAB􀅰k＝ y２１－y２２ x２１－x２２ ＝９． 对于选项 A:可得k＝１,kAB＝９, 则AB:y＝９x－８, 联立方程 y＝９x－８ x２－y ２ ９＝１{ ,消去y得 ７２x２－２×７２x＋７３＝０, 此时Δ＝(－２×７２)２－４×７２×７３＝－２８８＜０, 所以直线AB 与双曲线没有交点,故 A错误; 对于选项B:可得k＝－２,kAB＝－ ９ ２ , 则AB:y＝－９２x－ ５ ２ , 联立方程 y＝－９２x－ ５ ２ x２－y ２ ９＝１ { ,消去y得４５x２＋ ２×４５x＋６１＝０, 此时Δ＝(２×４５)２－４×４５×６１＝ －４×４５×１６＜０, 所以直线AB 与双曲线没有交点,故B错误; 对于选项 C:可得k＝３,kAB＝３,则AB:y＝３x, 由双曲线方程可得a＝１,b＝３,则AB:y＝３x为双曲线的渐 近线, 所以直线AB 与双曲线没有交点,故 C错误; 对于选项 D:k＝４,kAB＝ ９ ４ ,则AB:y＝９４x－ ７ ４ , 联立方程 y＝９４x－ ７ ４ x２－y ２ ９＝１ { ,消去y得６３x２＋１２６x－１９３＝０, 此时Δ＝１２６２＋４×６３×１９３＞０,故直线 AB 与双曲线有交 两个交点,故 D正确．] ３．解析:双曲线的左焦点为F１(－２,０),将直线AB 方程y＝ ３ ３ (x＋２)代入双曲线方程,得８x２－４x－１３＝０,显然Δ＞０,设 A(x１,y１),B(x２,y２), 则x１＋x２＝ １ ２ ,x１x２＝－ １３ ８ , 所 以|AB|＝ １＋k２ (x１＋x２)２－４x１x２ ＝ １＋ １ ３ × １ ２( ) ２ －４× －１３８( ) ＝３．] ４．解:(１)由于抛物线的焦点为(１,０),∴p２＝１ ,即p＝２,∴所 求抛物线方程为y２＝４x． (２)方法一　设A(x１,y１),B(x２,y２),则y２１＝４x１,① y２２＝４x２,②且x１＋x２＝４,y１＋y２＝２, ②－①,得(y１＋y２)(y２－y１)＝４(x２－x１),∴ y２－y１ x２－x１ ＝２, ∴所求直线AB 的方程为y－１＝２(x－２),即２x－y－３＝０． 方法二　显然AB 不垂直于x 轴, 故可设弦AB 所在直线的方程为y－１＝k(x－２),k≠０． 设A(x１,y１),B(x２,y２)． 由 y－１＝k(x－２), y２＝４x,{ 消去x,得ky ２－４y－８k＋４＝０,∴y１＋y２＝ ４ k． 又 M 是AB 的中点,∴y１＋y２＝２,∴k＝２, 故直线AB 的方程为y－１＝２(x－２),即２x－y－３＝０． 章末归纳提升 题型梳理􀅰素养聚焦 [例 １]　 [解 析]　 (１)把 轨 迹 方 程 ５ x２＋y２ ＝|３x＋４y－１２|,写 成 x２＋y２＝|３x＋４y－１２|５ ． ∴动点 M 到原点的距离与它到直线 ３x＋４y－１２＝０的距离相等．∴点 M 的轨迹是以原点为焦点,直线３x＋４y －１２＝０为准线的抛物线． (２)抛物线y２＝８x的准线方程是x＝－２,那么点P 到焦点 F 的距离等于它到准线x＝－２的距离,过点P 作PD 垂直 于准线x＝－２,垂足为D, 那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|． 如图所示,根据平面几何知识,当 M,P,D 三 点共线时,|PM|＋|PF|的值最小,且最小值 为|MD|＝２－(－２)＝４,所以|PM|＋|PF| 的最小值是４． 此时点P 的纵坐标为３,所以其横坐标为９８ , 即点P 的坐标是 ９８ ,３( )． [答案]　(１)C　(２)４　 ９８ ,３( ) [例２]　[解]　由 y＝－１２x＋２ , x２ ４b２＋ y２ b２ ＝１ , ì î í ïï ï 消去y并整理得x２－４x＋８ －２b２＝０．由Δ＝１６－４(８－２b２)＞０,得b２＞２． 设A(x１,y１),B(x２,y２), 则由根与系数的关系得x１＋x２＝４,x１x２＝８－２b２． ∵|AB|＝２ ５,∴ １＋１４ 􀅰 (x１＋x２)２－４x１x２＝２ ５, 即 ５ ２ 􀅰 １６－４(８－２b２)＝２ ５,解得b２＝４,故a２＝４b２＝ １６．∴所求椭圆的方程为x ２ １６＋ y２ ４＝１． [例３]　[解析]　(１)设双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)与抛物 线y２＝２px(p＞０)的公共焦点为(c,０),则抛物线y２＝２px (p＞０)的准线为x＝－c, 令x＝－c,则c ２ a２ －y ２ b２ ＝１,解得y＝±b ２ a ,所以|AB|＝２b ２ a , 又因为双曲线的渐近线方程为y＝±bax ,所以|CD|＝２bca , 所以２bc a ＝ ２ ２b２ a ,即c＝ ２b,所以a２＝c２－b２＝１２c ２, 所以双曲线的离心率e＝ca ＝ ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７３２􀅰 参考答案 ４．２　直线与圆锥曲线的综合问题 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．能运用直线与圆锥曲线的位置关系解决相关的弦 长、中点弦问题 ２．能运用直线与圆锥曲线的位置关系解决相关的最 值、范围问题 通过直线与圆锥曲线的位置关系解决 相关的弦长、中点弦问题与最值、范围 问题,进一步培养直观想象、逻辑推 理、数学运算的核心素养． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识梳理] [知识点一]　解决圆锥曲线中点弦问题的两 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 种方法 􀪋􀪋􀪋􀪋 １．根与系数的关系法:联立直线方程和圆锥曲 线方程构成方程组,消去一个未知数,利用 一元二次方程根与系数的关系以及中点坐 标公式解决． ２．点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程, 将交点坐标分别代入圆锥曲线方程,然后作 差,构造出中点坐标和斜率的关系,以椭圆 为例如下:已知A(x１,y１),B(x２,y２)是椭圆 x２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)上的两个不同的点,M (x０,y０)是线段AB 的中点, 则 x２１ a２＋ y２１ b２＝１ ,　　　① x２２ a２＋ y２２ b２＝１ ,　　　② ì î í ï ïï ï ï 由①－②,得１ a２ (x２１－x２２)＋ １ b２ (y２１－y２２)＝０, 变形得y１－y２ x１－x２ ＝－b ２ a２ 􀅰x１＋x２ y１＋y２ ＝－b ２ a２ 􀅰x０ y０ , 即kAB＝－ b２x０ a２y０ ． [知识点二]　求弦长的两种方法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．求出直线与圆锥曲线的两交点坐标,用两点 间距离公式求弦长． ２．联立直线与圆锥曲线的方程,消元得到关于 一个未知数的一元二次方程, 利用弦长公式:|P１P２|＝ １＋k２􀅰 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　(x１＋x２２)－４x１x２ 或|P１P２|＝ １＋ １ k２ 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　(y１＋y２２)－４y１y２ æ è çç ö ø ÷÷, 其中x１,x２(y１,y２)是上述一元二次方程的 两根,由根与系数的关系求出两根之和与两 根之积后代入公式可求得弦长． 提醒:如果直线方程涉及斜率,要注意斜率 不存在的情况． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　利用“点差法”处理直线与圆锥曲线 问题时求得的直线方程一定与圆锥曲线有 两个交点吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)长轴是椭圆中最长的弦 ． (　　) (２)过抛物线y２＝２px(p＞０)时焦点且垂直于 对称轴的弦长是２p． (　　) (３)直线与双曲线相交一定有两个交点(　　) (４)过抛物线y２＝４x的焦点作一直线与抛物 线交于A,B 两点,且|AB|＝５,则这样的直 线有且只有一条 (　　) ２．过抛物线x２＝４y的焦点F 作直线交抛物线 于P１(x１,y１),P２(x２,y２)两点,若y１＋y２＝ ６,则|P１P２|的值为 (　　) A．５　　　　　　　B．６ C．８ D．１０ ３．直线y＝x＋１被椭圆x ２ ４＋ y２ ２＝１ 所截得的 弦的中点坐标是 (　　) A．２３ ,５ ３ æ è ç ö ø ÷ B．４３ ,７ ３ æ è ç ö ø ÷ C．－２３ ,１ ３ æ è ç ö ø ÷ D．－１３２ ,－１７２ æ è ç ö ø ÷ ４．过双曲线x２－y ２ ３＝１ 的左焦点F１,作倾斜角为 π ６ 的直线与双曲线交于A,B两点,则|AB|＝ 　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９６􀅰 第二章　圆锥曲线 　　　弦长问题 [例１]　已知椭圆４x２＋y２＝１及直线y＝x ＋m． (１)当直线和椭圆有公共点时,求实数m 的 取值范围; (２)求被椭圆截得的最 长 弦 所 在 的 直 线 方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)将直线方程与椭圆方程 联立,根据判别式Δ 的符号,建立关于 m 的不等式求解;(２)利用弦长公式建立关于 m 的函数关系式,通过函数的最值求得m 的值,从而得到直线方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求直线被圆锥曲线截得弦长的方法 方法一是距离公式法:当弦的两端点坐标 易求时,可直接求出交点坐标,再利用两点 间距离公式求弦长． 方法二是弦长公式法:当弦的两端点坐标 不易求时,可利用弦长公式求解,即若直线 与圆锥曲线交于 A(x１,y１),B(x２,y２)两 点,则|AB|＝ １＋k２|x１－x２|,或|AB|＝ １＋１k２ |y１－y２|,其中k为直线AB的斜率． 􀳀[变式训练] １．已知双曲线的渐进线方程为y＝±２x,且过 点(－３,４ ２) (１)求双曲线的方程; (２)若直线４x－y－６＝０与双曲线相交于 A、B 两点,求|AB|的值． 　　　抛物线中过焦点的弦长问题 [例２]　如图,斜率为４３ 的直 线l经过抛物线y２＝２px的 焦点F(１,０),且与抛物线相 交于A,B 两点． (１)求该抛物线的标准方程和准线方程; (２)求线段AB 的长． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)由抛物线的焦点坐标得 p值,求出抛物线方程及准线方程;(２)由 过焦点的直线方程与抛物线方程联立,利 用焦点弦长公式可解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０７􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 斜率为k的直线l经过抛物线y２＝２px(p ＞０)的焦点 F,与抛物线相交于 A(x１, y１),B(x２,y２)两点,求弦长|AB|的方法有 方法一:利用两点间的距离公式; 方法二:利用弦长公式|AB|＝ １＋k２|x１－x２|; 方法三:|AB|＝|AF|＋|BF|＝x１＋p２ ＋ x２＋p２ ＝x１＋x２＋p． 􀳀[变式训练] ２．抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经 过焦点且倾斜角为１３５°的直线被抛物线所 截得的弦长为８,试求抛物线的方程． 　　　中点弦问题 [例３]　过椭圆x ２ １６＋ y２ ４ ＝１ 内一点P(２,１)作 一条直线交椭圆于 A,B 两点,使线段 AB 被点P 平分,求此直线的方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　 由于弦所在直线过定点 P(２,１),所以可设出弦所在直线的方程 为y－１＝k(x－２),与椭圆方程联立,通 过中点为P,得出k的值,也可以通过设 而不求的思想求直线的斜率． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关于中点弦问题,一般采用两种方法解决 (１)联立方程组,消元,利用根与系数的关 系进行设而不求,从而简化运算． (２)利用“点差法”,即若椭圆方程为x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０),直线与椭圆交于点A(x１,y１), B(x２,y２),且弦 AB 的中点为 M (x,y), 则 x２１ a２＋ y２１ b２＝１ ,　① x２２ a２＋ y２２ b２＝１ ,　② ì î í ï ïï ï ï ①－②,得a２(y２１－y２２)＋b２(x２１－x２２)＝０, ∴y１ －y２ x１－x２ ＝－b ２ a２ 􀅰x１＋x２ y１＋y２ ＝－b ２ a２ 􀅰x y． 这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间 的关系,从而使问题得以解决． 􀳀[变式训练] ３．已知双曲线的方程为２x２－y２＝２． (１)求以A(２,１)为中点的双曲线的弦所在 直线的方程． (２)过点B(１,１)能否作直线l,使直线l与 所给双曲线交于Q１,Q２ 两点,且点B 是弦 Q１Q２ 的中点? 如果直线l存在,求出它的 方程;如果不存在,说明理由． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１７􀅰 第二章　圆锥曲线 　　　圆锥曲线的综合问题 [例４]　椭圆E:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)经过点 A(－２,０),且离心率为 ２２． (１)求椭圆E 的方程; (２)过点P(４,０)任作一条直线l与椭圆C 交于不同的两点M,N．在x轴上是否存在 点Q,使得∠PQM＋∠PQN＝１８０°? 若存 在,求出 点 Q 的 坐 标;若 不 存 在,请 说 明 理由． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 在圆锥曲线的综合题中,经常遇到求范围、 最值、定值、过定点和探索性问题．解决这 类问题的方法很多,如斜率法、方程法、函 数法、参数法等．解决这些问题的关键是代 换和转化． 􀳀[变式训练] ４．已知椭圆C:x２＋２y２＝４． (１)求椭圆C的离心率; (２)设O为原点,若点A 在直线y＝２上,点 B 在椭圆C 上,且OA⊥OB,求线段AB 长 度的最小值． [当堂达标] １．已知椭圆x ２ ３６ ＋ y２ ９ ＝１ 以及椭圆内一点 P(４,２),则以P 为中点的弦所在直线的斜 率为 (　　) A．１２ 　　　　　　　　　　B．－ １ ２ C．２ D．－２ ２．(２０２３􀅰全国乙卷(文))设A,B 为双曲线x２ －y ２ ９＝１ 上两点,下列四个点中,可为线段 AB 中点的是 (　　) A．(１,１) B．(－１,２) C．(１,３) D．(－１,－４) ３．过双曲线x２－y ２ ３ ＝１ 的左焦点F１ 作倾斜角 为π ６ 的直线AB,其中A,B分别为直线与双曲 线的交点,则|AB|的长为　　　　　． ４．已知A,B 为抛物线E 上不同的两点,若抛 物线E 的焦点为(１,０),线段AB 恰被点M (２,１)所平分． (１)求抛物线E 的方程; (２)求直线AB 的方程． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２７􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册