第二章 4.1 直线与圆锥曲线的交点-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

§４　直线与圆锥曲线的位置关系 ４．１　直线与圆锥曲线的交点 　 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．会判断直线与圆锥曲线的位置关系 ２．能运用直线与圆锥曲线的位置关系求参数的取值 (范围) 通过直线与圆锥曲线的位置关系的运 用,发展直观想象、逻辑推理、数学运算 的核心素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识梳理] [知识点一]　曲线的交点 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 设曲线C１:f(x,y)＝０,C２:g(x,y)＝０,求 曲 线 C１ 与 C２ 的 交 点,即 求 方 程 组 f(x,y)＝０ g(x,y)＝０{ 的实数解． [知识点二]　直线与圆锥曲线的位置关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 直线与圆锥曲线的位置关系可以通过讨论 直线方程与曲线方程组成的方程组的实数 解的个数来确定,通常消去方程组中变量y (或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方 程,考虑该一元二次方程的判别式Δ,则有: ①Δ＞０⇔直线与圆锥曲线相交于两点; ②Δ＝０⇔直线与圆锥曲线相切于一点; ③Δ＜０⇔直线与圆锥曲线无交点． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 直线与双曲线、直线与抛物线只有一 个公共点,直线与双曲线、直线与抛物线一 定相切吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭 圆相切． (　　) (２)过点A(０,１)的直线一定与椭圆x２＋y ２ ２＝１ 相交． (　　) (３)直线和双曲线只有一个公共点,那么直线 和双曲线一定相切． (　　) (４)过点(０,２)和双曲线x ２ １６－ y２ ９＝１ 只有一个 公共点的直线有４条． (　　) (５)直线y＝x与抛物线y２＝x的交点是(０,０)与 (１,１)． (　　) ２．直线y＝x＋１与椭圆x２＋y ２ ２ ＝１ 的位置关系是 (　　) A．相离　　　　　　B．相切 C．相交 D．无法确定 ３．过点P(０,１)与抛物线y２＝x有且只有一个 交点的直线有 (　　) A．４条 B．３条 C．２条 D．１条 ４．已知直线y＝kx＋２与双曲线x２－y２＝６的 右支相交于不同两点,则k的取值范围是 　　　　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 　　　直线与椭圆的位置关系 [例１]　已知直线y＝x＋m 与椭圆x ２ １６ ＋ y２ ９ ＝１,当直线和椭圆相离、相切、相交时,分别 求m 的取值范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　　将直线方程与椭圆方程联 立,消去y(或x)得到关于x(或y)的一元 二次方程,记该方程的判别式为Δ．那么: 若Δ＞０,则直线与椭圆相交;若Δ＝０,则 直线与椭圆相切;若Δ＜０,则直线与椭圆 相离． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 代数法判断直线与椭圆位置关系的四个 步骤 第一步:确定直线与椭圆的方程; 第二步:联立直线方程与椭圆方程; 第三步:消元得出关于x(或y)的一元二次 方程; 第四步:当Δ＞０时,直线与椭圆相交;当Δ＝ ０时,直线与椭圆相切;当Δ＜０时,直线与椭 圆相离． 􀳀[变式训练] １．已知直线l:y＝２x＋m,椭圆C:x ２ ４＋ y２ ２＝１． 试问当m 取何值时, (１)有两个不重合的公共点; (２)有且只有一个公共点; (３)没有公共点． 　　　直线与双曲线位置关系的判定 [例２]　讨论直线l:y＝kx＋１与双曲线C:x２ －y２＝１的公共点的个数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 由直线与双曲线交点的个数确定参数的取 值(范围)时,可将直线方程与双曲线方程 联立,转化为含有参数的一元二次方程,通 过判别式Δ 建立关于参数的不等式或方 程,解不等式或方程即可,值得注意的是对 二次项系数是否为零进行讨论． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６􀅰 第二章　圆锥曲线 􀳀[变式训练] ２．已知双曲线C:x２－y２＝１及直线l:y＝kx－１． 若直线l与双曲线C 有两个不同的交点,求 实数k的取值范围． 　　　直线与抛物线位置关系的判定 [例３]　已知直线l:y＝kx＋１,抛物线C:y２ ＝４x,当k为何值时,l与C:只有一个公共 点;有两个公共点;没有公共点． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 直线与抛物线交点问题的解题思路 (１)判断直线与抛物线的交点个数时,一般 是将直线与抛物线的方程联立消元,转 化为形如一元二次方程的形式,注意讨 论二次项系数是否为０．若该方程为一 元二次方程,则利用判别式判断方程解 的个数． (２)直线与抛物线有一个公共点时有两种 情形:①直线与抛物线的对称轴重合或 平行;②直线与抛物线相切． 􀳀[变式训练] ３．求过点P(０,１)且与抛物线y２＝２x只有一 个公共点的直线方程． [当堂达标] １．直线y＝kx－k＋１与椭圆x ２ ９ ＋ y２ ４ ＝１ 的位 置关系是 (　　) A．相交　　　　　B．相切 C．相离 D．不确定 ２．已知双曲线方程为x２－y ２ ４＝１ ,过P(１,０)的 直线l与双曲线只有一个公共点,则共有l (　　) A．４条 B．３条 C．２条 D．１条 ３．函数y＝ax２＋１的图象与直线y＝x相切, 则a＝ (　　) A．１８ B． １ ４ C．１２ D．１ ４．双曲线x ２ ９－ y２ １６＝１ 的右顶点为A,右焦点为 F,过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线 与双曲线交于点B,则B点坐标为　　　　, △AFB 的面积为　　　　． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８６􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 预习自测 １．(１)×　(２)√　 (３)√　(４)× ２．D　[顶点在原点,对称轴为y轴的抛物线方程有两个:x２＝ －２py,x２＝２py(p＞０)．由顶点到准线的距离为４知p＝８, 故所求抛物线方程为x２＝１６y,x２＝－１６y．] ３．D　[∵抛物线的焦点到顶点的距离为３, ∴p２＝３ ,即p＝６．又抛物线上的点到准线的距离的最小值 为p ２ , ∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[３,＋∞)．] ４．解析:由抛物线的几何性质,从焦点发出的光线经抛物线反 射后与x轴平行及直线y＝－２平行于x轴知A(２,０)为焦 点,故准线方程为x＝－２． 答案:x＝－２ 课堂互动学案 [例１]　[解析]　(１)根据抛物线和圆的对称性知,其交点纵 坐标为± ３,交 点 横 坐 标 为 ±１,则 抛 物 线 过 点 (１,３)或 (－１,３),设抛物线方程为 y２＝２px或y２＝－２px(p＞０), 则２p＝３,从而抛物线方程为y２＝３x或y２＝－３x． [答案]　y２＝３x或y２＝－３x (２)[解]　由已知得ca ＝２ ,所以a ２＋b２ a２ ＝４,解得ba ＝ ３ , 即渐近线方程为y＝± ３x．而抛物线准线方程为x＝－p２ , 于是A －p２ ,－ ３p２ æ è ç ö ø ÷,B －p２ ,３p ２ æ è ç ö ø ÷, 从而△AOB 的面积为１２ 􀅰 ３p􀅰p２＝ ３ ,可得p＝２．因为抛 物线开口向右,所以其标准方程为y２＝４x． [例２]　[解]　抛物线的焦点为F p２ ,０( )． ∵抛物线关于x轴对称,|OA|＝|OB|,∴△ABO 为等腰三 角形, 且A,B 两点关于x 轴对称． 设A(x０,y０),则B(x０,－y０)．∵△ABO 的垂心恰为抛物线 的焦点,∴BF⊥OA． 则kBF􀅰kOA＝－１,即 －y０－０ x０－p２ 􀅰y０ x０ ＝－１． 又y２０＝２px０,∴x０＝ ５ ２p．∴ 直线AB 的方程为x＝５p２． [例３]　[解]　如图,建立坐标系,设拱桥 抛物线方程为x２＝－２py(p＞０),由题 意,将B(４,－５)代入方程得p＝ ８５ ,∴ 抛物线方程为x２＝－１６５y． ∵ 当 船 的 两 侧 和 拱 桥 接 触 时 船 不 能 通航． 设此时船面宽为AA′,则A(２,yA),由２２＝－ １６ ５yA ,得yA＝ －５４． 又知船露出水面上部分为 ３ ４ 米,设水面与抛物线拱顶相距 为h,则h＝|yA|＋ ３ ４＝２ (米),即水面上涨到距抛物线拱顶 ２米时,小船不能通航． 变式训练 １．C　[设抛物线方程为y２＝ax(a≠０)．又A ± ３２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ (取点 A在x轴上方),则有１４＝± ３ ２a ,解得a＝± ３６ ,所以抛物线 方程为y２＝± ３６x． ] ２．解析:由题意可知点A,B 一定关于x 轴对称,且AF,BF 与 x 轴 夹 角 均 为 ３０°．由 于 y２ ＝４x 的 焦 点 为 (１,０),由 y＝ ３３ (x－１), y２＝４x, { 化简得y２－４ ３y－４＝０,解得y１＝２ ３＋ ４,y２＝２ ３－４,所以△AFB 的边长为８＋４ ３或８－４ ３． 答案:８＋４ ３或８－４ ３ ３．解:以拱顶O 为原点,拱高OD 所在直 线为 y 轴,建 立 直 角 坐 标 系,如 图 所示． 设抛物线方程为x２＝－２py(p＞０)． ∵AB 是OD 的４倍,∴点B 的坐标为 a ２ ,－a４( )．由 点 B 在 抛 物 线 上,得 a ２( ) ２ ＝－２p􀅰 －a４( ) , ∴p＝a２．∴ 抛物线方程为x２＝－ay． 设点E(０􀆰８,y０)为抛物线上一点,代入方程x２＝－ay,得０􀆰８２＝ －ay０,∴y０＝－ ０．６４ a ,∴点E 到拱底AB 的距离h＝a４－|y０| ＝a４－ ０．６４ a ,令h＞３,则a４－ ０．６４ a ＞３ ,解得a＞６＋２ ２４１５ 或a ＜６－２ ２４１５ (舍去)．∴a的最小整数值为１３． 当堂达标 １．B　[由y＝ax２,变形得x２＝１ay＝２× １ ２ay ,∴p＝ １２a ． 又 抛物线的准线方程是y＝１,∴－１４a＝１ ,解得a＝－１４． ] ２．A　[线段AB 所在的直线方程为x＝１,抛物线的焦点坐标 为 １ ２ ,０( ) ,则焦点到直线AB 的距离为１－１２＝ １ ２． ] ３．解析:设正三角形边长为x．由题意,得３６ ３＝１２x ２sin６０°, ∴x＝１２． 当a＞０时,将(６ ３,６)代入y２＝ax,得a＝２ ３; 当a＜０时,将(－６ ３,６)代入y２＝ax,得a＝－２ ３．故a＝ ±２ ３． 答案:±２ ３ ４．解:椭圆的方程可化为x ２ ４＋ y２ ９＝１ ,其短轴在x轴上, ∴抛物线的对称轴为x 轴,∴设抛物线的方程为y２＝２px 或y２＝－２px(p＞０)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为３,即p２＝３ ,∴p＝６． ∴抛物线的标准方程为y２＝１２x或y２＝－１２x,相应的准线 方程为x＝－３或x＝３． §４　直线与圆锥曲线的位置关系 ４．１　直线与圆锥曲线的交点 课前预习学案 知识梳理 [思考] 提示:直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种 情况:一是相切;二是直线与双曲线渐近线平行、直线与抛物 线的对称轴平行． 预习自测 １．(１)√　(２)√　(３)×　(４)√　(５)√ ２．C　[由 y＝x＋１, x２＋y ２ ２＝１ ,{ 消去y,得３x２＋２x－１＝０,Δ＝２２＋１２ ＝１６＞０,∴直线与椭圆相交．] ３．B　[当直线垂直于x轴时,满足条件的直线有１条; 当直线不垂直于x轴时,满足条件的直线有２条．] ４．解析:由 y＝kx＋２ , x２－y２＝６{ 得(１－k ２)x２－４kx－１０＝０①, 直线y＝kx＋２与双曲线x２－y２＝６的右支相交于不同两 点,即 方 程 ① 有 两 个 不 同 的 正 实 数 解,所 以 Δ＝１６k２＋４０(１－k２)＞０, ４k １－k２＞０ , － １０ １－k２＞０ , ì î í ï ï ï ï 解得－ １５３ ＜k＜－１． 答案: － １５３ ,－１ æ è ç ö ø ÷ 课堂互动学案 [例１]　 [解]　 由 y＝x＋m, x２ １６＋ y２ ９＝１ ,{ 消 去 y,得 ２５x２ ＋３２mx＋ １６m２－１４４＝０, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 ∴Δ＝(３２m)２－４×２５×(１６m２－１４４)＝９×４３(２５－m２)． 当Δ＞０,即－５＜m＜５时,直线和椭圆相交; 当Δ＝０,即m＝±５时,直线和椭圆相切; 当Δ＜０,即m＞５或 m＜－５时,直线和椭圆相离．综上所 述,当m∈(－∞,－５)∪(５,＋∞)时直线与椭圆相离; 当m＝±５时,直线与椭圆相切;当 m∈(－５,５)时,直线与 椭圆相交． [例２]　[解]　消去y,整理,得(１－k２)x２－２kx－２＝０． (１)当k＝１时,x＝－１． (２)当k＝－１时,x＝１． (３)当k≠±１时,Δ＝４k２＋８(１－k２)＝８－４k２． 若Δ＞０,则－ ２＜k＜ ２;若Δ＝０,则k＝± ２;若Δ＜０,则 k＜－ ２或k＞ ２． 综上,当k＜－ ２或k＞ ２时,直线l与双曲线C 没有公共 点;当k＝± ２时,直线l与双曲线C 相切于一点;当k＝±１ 时,直线l与双曲线C 相交于一点;当－ ２＜k＜－１或－１ ＜k＜１或１＜k＜ ２时,直线l与双曲线C 有两个公共点． [例３]　[解]　联立 y＝kx＋１ , y２＝４x,{ 消去y,得k ２x２＋(２k－４)x＋ １＝０．(∗) 当k＝０时,(∗)式只有一个解x＝１４ ,∴y＝１, ∴直线l与C 只有一个公共点 １４ ,１( ) ,此时直线l平行于 x轴． 当k≠０时,(∗)式是一个一元二次方程,Δ＝(２k－４)２－４k２ ＝１６(１－k)． ①当Δ＞０,即k＜１,且k≠０时, l与C 有两个公共点,此时直线l与C 相交; ②当Δ＝０,即k＝１时,l与C 有一个公共点,此时直线l与C 相切; ③当Δ＜０,即k＞１时,l与C 没有公共点,此时直线l与C 相离． 综上所述,当k＝１或０时,l与C 有一个公共点; 当k＜１,且k≠０时,l与C 有两个公共点; 当k＞１时,l与C 没有公共点． 变式训练 １．解:直线l的方程与椭圆C 的方程联立,得方程组 y＝２x＋m,① x２ ４＋ y２ ２＝１ ,②{ 将①代入②得９x２＋８mx＋２m２－４＝０,③ 判别式Δ＝(８m)２－４×９×(２m２－４)＝－８m２＋１４４． (１)当Δ＞０,即－３ ２＜m＜３ ２时,方程③有两个不同的实 数根,可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭 圆C 有两个不重合的公共点． (２)当Δ＝０,即m＝±３ ２时,方程③有两个相同的实数根,可知 原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互 相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (３)当Δ＜０,即 m＜－３ ２或 m＞３ ２时,方程③没有实数 根,可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C 没有公 共点． ２．解:联立方程组 y＝kx－１ , x２－y２＝１,{ 消去y 并整理得(１－k ２)x２＋ ２kx－２＝０． ∵直线与双曲线有两个不同的交点, 则 １－k ２≠０, Δ＝４k２＋８(１－k２)＞０,{ 解得－ ２＜k＜ ２,且k≠±１．∴若l与C 有两个不同交点, 实数k的取值范围为(－ ２,－１)∪(－１,１)∪(１,２)． ３．解:①若直线的斜率不存在,则过点P(０,１)的直线方程为x ＝０．显然与抛物线只有一个公共点,即直线x＝０与抛物线 只有一个公共点． ②若直线的斜率存在,设方程为y＝kx＋１, 由 y ２＝２x, y＝kx＋１,{ 消去y 得k ２x２＋２(k－１)x＋１＝０,当k＝０ 时,解得y＝１,即直线y＝１与抛物线只有一个公共点． 当k≠０时,由Δ＝４(k－１)２－４k２＝０,得k＝１２． 即直线y＝１２x＋１ 与抛物线只有一个公共点． 综上所述,所求直线方程为x＝０或y＝１或y＝１２x＋１． 当堂达标 １．A　[直线y＝kx－k＋１＝k(x－１)＋１过定点(１,１),且该点 在椭圆内部,因此必与椭圆相交．] ２．B　[因为双曲线方程为x２－y ２ ４＝１ ,所以P(１,０)是双曲线 的右顶点,所以过P(１,０)并且和x 轴垂直的直线是双曲线 的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是 过P(１,０)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的 共有３条．] ３．B　[∵函数y＝ax２＋１的图象与直线y＝x相切, ∴它们有且仅有一个交点．由 y＝ax ２＋１, y＝x,{ 得x＝ax ２＋１,即 ax２－x＋１＝０,∴Δ＝１－４a＝０,∴a＝１４． ] ４．解析:双曲线x ２ ９－ y２ １６＝１ 的右顶点A(３,０),右焦点F(５,０), 渐近线方程为y＝±４３x． 不妨设直线FB 的方程为y＝４３ (x－５),代入双曲线方程整 理,得x２－(x－５)２＝９, 解得x＝１７５ ,y＝－３２１５ ; 同理,若直线 FB 的方程为y＝－ ４３ (x－５),则x＝１７５ ,y ＝３２１５ ; 所以B １７５ ,±３２１５( )． 所以S△AFB＝ １ ２|AF|×|yB|＝ １ ２ (c－a)􀅰|yB|＝ １ ２× (５ －３)×３２１５＝ ３２ １５． 答案:１７ ５ ,±３２１５( ) 　 ３２ １５ ４．２　直线与圆锥曲线的综合问题 课前预习学案 知识梳理 [思考] 提示:“点差法”不能保证直线与圆锥曲线有两个交点,因此 必须把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立,看是否满足Δ ＞０． 预习自测 １．(１)√　(２)√　(３)×　(４)× ２．C　[抛物线x２＝４y的准线为y＝－１．因为P１(x１,y１),P２ (x２,y２)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点,所以 P１(x１,y１),P２(x２,y２)两点到准线的距离分别是y１＋１,y２ ＋１,所以|P１P２|的值为y１＋y２＋２＝８．] ３．C　[联立 y＝x＋１, x２ ４＋ y２ ２＝１ ,{ 消去y,得３x２＋４x－２＝０, 设直线与椭圆交于点A(x１,y１),B(x２,y２),则x１＋x２＝－ ４ ３ ,故AB 的中点横坐标x０＝ x１＋x２ ２ ＝－ ２ ３． 纵坐标y０＝ x０＋１＝－ ２ ３＋１＝ １ ３． ] ４．解析:双曲线的左焦点为(－２,０),设A(x１,y１),B(x２,y２), AB 方 程 为 y ＝ ３３ (x ＋２),即 x － ３y ＋２＝ ０, 由 x－ ３y＋２＝０, x２－y ２ ３＝１{ 得８y２－１２ ３y＋９＝０,则y１＋y２＝ ３ ３ ２ ,y１y２＝ ９ ８． ∴|AB|＝ １＋１k２( )[(y１＋y２) ２－４y１y２]＝ (１＋３) ３ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ －４×９８[ ] ＝３． 答案:３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３２􀅰 参考答案