第一章 直线与圆 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

[知识整合􀅰思维导图] 直 线 与 圆 直 线 几何要素 倾斜角 斜率 点 方程 点斜式 y－y０ ＝k(x－x０) 斜截式 y＝kx＋b 两点式 y－y１ y２－y１ － x－x１ x２－x１ (其中x１ ≠x２,y１ ≠y２) 截距式 x a ＋ y b ＝１ (其中a≠０,b≠０) 一般式 (Ax＋By＋C＝０(其中A,B 不全为０) 点法式 A(x－x０)＋B(y＋y０)＝０,其中法向量n＝ (A,B) 位置关系 平行 垂直 距离 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 圆 方程 标准方程 (x－a)２＋(y－b)２ ＝r２ 一般方程 x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝０(其中D２＋E２－４F＞０) 位置关系 点与圆 直线与圆 圆与圆 [题型梳理􀅰素养聚焦] [考点一]　数学运算、直观想象———直线的倾 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 斜角与斜率 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[例１]　(１)直线xsinα＋y＋２＝０的倾斜角 的范围是 (　　 ) A．[０,π)　　　　　　B．０,π４ é ë êê ù û úú∪ ３π ４ ,πé ë êê ö ø ÷ C．０,π４ é ë êê ù û úú D．０, π ４ é ë êê ù û úú∪ π ２ ,πé ë êê ö ø ÷ (２)已知直线l过点P(１,０),且与以A(２,１),B (０,３)为端点的线段有公共点,则直线l的斜 率的取值范围是　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 斜率取值范围的２种求法 数形结 合法 作出直线在平面直角坐标系中 可能的位置,借助图形,结合正 切函数的单调性确定 函数图 象法 根据正切函数图象,由倾斜角 范围求斜率范围,反之亦可 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９３􀅰 第一章　直线与圆 [考点二]　数学运算、直观想象———直线的 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 方程 􀪋􀪋 [例２]　(１)求过点A(１,３),斜率是直线y＝ －４x的斜率的１３ 的直线方程． (２)求经过点A(－５,２),且在x轴上的截距 等于在y 轴上截距的２倍的直线方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求直线方程的方法 (１)直接法:根据已知条件,选择恰当形式 的直线方程,求出方程中的系数,写出 直线方程; (２)待定系数法:先根据已知条件恰当设出 直线的方程,再根据已知条件构造关于 待定系数的方程(组)解得系数,最后代 入设出的直线方程． [考点三]　逻辑推理、直观想象———直线方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 的综合问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３]　(１)(２０２３􀅰天津卷)双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝ １(a＞０,b＞０)的左、右焦点分别为F１、F２． 过F２ 作其中一条渐近线的垂线,垂足为P． 已知|PF２|＝２,直线PF１ 的斜率为 ２ ４ ,则 双曲线的方程为 (　　) A．x ２ ８－ y２ ４＝１ B． x２ ４－ y２ ８＝１ C．x ２ ４－ y２ ２＝１ D． x２ ２－ y２ ４＝１ (２)求与直线y＝４３x＋ ５ ３ 垂直,并且与两坐 标轴围成的三角形的面积为２４的直线l的 方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (１)求解与直线方程有关的最值问题．先设 出直线方程,建立目标函数,再利用基 本不等式求解最值． (２)求直线方程．弄清确定直线的两个条 件,由直线方程的几种特殊形式直接写 出方程． (３)求参数值或范围．注意点在直线上,则 点的坐标适合直线的方程,再结合函数 的单调性或基本不等式求解． [考点四]　数学运算、直观想象———两条直线 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 的位置关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[例４]　已知直线l１:x＋my＋６＝０,l２:(m－ ２)x＋３y＋２m＝０,分别求m 的值,使得: (１)l１ 与l２ 相交;(２)l１⊥l２;(３)l１∥l２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０４􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用直线的方程判定两条直线的平行与垂 直关系是这部分内容常涉及的题型．求解 时,可以利用斜率之间的关系判定．若方程 都是一般式,知道平行或垂直关系,求参数 的值时也可以用如下方法: 直线l１:A１x＋B１y＋C１＝０;l２:A２x＋B２y ＋C２＝０． (１)当l１∥l２ 时,可令A１B２－A２B１＝０,解 得参数的值后,再代入方程验证,排除重合 的情况; (２)当l１⊥l２ 时,可利用 A１A２＋B１B２＝０ 直接求参数的值． [考点五]　数学运算、直观想象———距离公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 的应用 􀪋􀪋􀪋􀪋[例５]　已知直线l经过直线２x＋y－５＝０与 x－２y＝０的交点． (１)点A(５,０)到l的距离为３,求l的方程; (２)求点A(５,０)到l的距离的最大值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 距离公式的运用 (１)距离问题包含两点间的距离,点到直线 的距离,两平行直线间的距离． (２)牢记各类距离的公式并能直接应用,解 决距离问题时,往往将代数运算与几何 图形的直观分析相结合． (３)这类问题是高考考查的热点,在高考中 常以选择题、填空题出现,主要考查距 离公式以及思维能力． [考点六]　数学运算、直观想象———对称问题 [例６]　已知直线l:２x－３y＋１＝０,点A(－１,－ ２)．求: (１)点A 关于直线l的对称点A′的坐标; (２)直线m:３x－２y－６＝０关于直线l的对 称直线m′的方程; (３)直线l关于点A(－１,－２)对称的直线l′ 的方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)点关于直线对称的点的求法 点N(x０,y０)关于直线l:Ax＋By＋C ＝０的对称点 M(x,y)可由方程组 y－y０ x－x０ 􀅰 －AB æ è ç ö ø ÷＝－１(AB≠０) A􀅰 x＋x０ ２ ＋B 􀅰y＋y０ ２ ＋C＝０ ì î í ï ïï ï ï 求得． (２)直线关于直线的对称的求法 求直线l１:A１x＋B１y＋C１＝０关于直线 l:Ax＋By＋C＝０对称的直线l２ 的方 程的方法是转化为点关于直线l对称, 在l１ 上任取两点P１ 和P２,求出P１,P２ 关于直线l的对称点,再用两点式求出 l２ 的方程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１４􀅰 第一章　直线与圆 [考点七]　数学运算、直观想象———求圆的 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 方程 􀪋􀪋 [例７]　已知圆的半径为 １０,圆心在直线y＝ ２x上,圆被直线x－y＝０截得的弦长为４ ２,求圆的方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一 般方程,利用待定系数法求解,采用待定系 数法求圆的方程的一般步骤为: 第一步:选择圆的方程的某一形式; 第二步:由题意得a,b,r(或D,E,F)的方 程(组); 第三步:解出a,b,r(或D,E,F); 第四步:代入圆的方程． 注:解题时充分利用圆的几何性质可获得 解题途径,减少运算量,例如:圆的切线垂 直于经过切点的半径;圆心与弦的中点连 线垂直于弦;两圆相交时,连心线垂直平分两 圆的公共弦;两圆相切时,连心线过切点等． [考点八]　逻辑推理、直观想象———直线与圆 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 的位置关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[例８]　已知点 M(３,１),直线ax－y＋４＝０ 及圆(x－１)２＋(y－２)２＝４． (１)求过点 M 的圆的切线方程; (２)若直线ax－y＋４＝０与圆相交于A,B 两点,且弦AB 的长为２ ３,求a的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)直线与圆相切时,圆心到直线的距离等 于半 径,圆 心 和 切 点 的 连 线 垂 直 于 切线． (２)直线与圆相交时,常涉及到弦长问题, 弦长的计算有以下两种思路: ①代数方法:将直线和圆的方程联立得方程 组,消元后得到一个一元二次方程,在判别 式Δ＞０的前提下,可利用根与系数的关 系求弦长． ②几何方法:若弦心距为d,圆半径为r,则 弦长l＝２ r２－d２． 解决直线与圆相交问题时,常利用几何 方法,即构造直角三角形,利用勾股定 理． [考点九]　逻辑推理、直观想象———圆与圆的 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 位置关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[例９]　已知两圆x２＋y２－２x－６y－１＝０,x２ ＋y２－１０x－１２y＋m＝０． (１)m 取何值时两圆外切? (２)m 取何值时两圆内切? (３)当m＝４５时,求两圆的公共弦所在直线 的方程和公共弦的长． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 圆与圆位置关系问题的解题策略 (１)判断两圆的位置关系时常用几何法,即 利用两圆圆心之间的距离与两圆半径 之间的关系,一般不采用代数法． (２)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的 方程可由两圆的方程作差消去x２,y２ 项得到． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２４􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 [考点十]　逻辑推理、直观想象———直线与圆 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 的综合问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[例１０]　已知过原点的动直线l与圆C１:x２ ＋y２－６x＋５＝０相交于不同的两点A,B． (１)求圆C１ 的圆心坐标; (２)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程; (３)是否存在实数k,使得直线L:y＝k(x－ ４)与曲线C只有一个交点? 若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 直线与圆的综合问题的求解策略 (１)利用解析几何的基本思想方法(即几何 问题代数化),把它转化为代数问题,通 过代数的计算,使问题得到解决． (２)直线与圆和平面几何联系十分紧密,可 充分考虑平面几何知识的运用,如在直 线与圆相交的有关线段长度计算中,要 把圆的半径、圆心到直线的距离、直线 被圆截得的线段长度放到一起综合 考虑． [考点十一]　直观想象、数学运算———数形结 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 合思想 􀪋􀪋􀪋􀪋 [例１１]　已知点P(x,y)在圆x２＋(y－１)２＝１上 运动． (１)求y－１x－２ 的最大值与最小值． (２)求x２＋y２ 的最大值与最小值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 “数形结合”是把代数中的“数”与几何上的 “形”结合起来认识问题、理解问题并解决 问题的思维方法,是人们一种普遍思维习 惯在数学上的具体表现．数形结合一般包 括两个方面,即以“形”助“数”,以“数”解 “形”．形如u＝y－bx－a 的最值问题,可借助 图形分析转化为直线斜率的最值问题;形 如t＝ax＋by的最值问题,可借助图形分 析转化为动直线截距的最值问题;形如z ＝(x－a)２＋(y－b)２ 的最值问题,可借助 图形分析转化为动点到定点距离平方的最 值问题． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３４􀅰 第一章　直线与圆 ２．解:已知圆的方程可化为(x－１)２＋y２＝１, 则圆心为C(１,０),半径为１． 设所求圆的方程为(x－a)２＋(y－b)２＝r２(r＞０)． 由题意,可得 (a－１)２＋b２＝r＋１, b＋ ３ a－３× － ３ ３ æ è ç ö ø ÷＝－１, |a＋ ３b| ２ ＝r , ì î í ï ï ï ï 解得 a＝４, b＝０, r＝２,{ 或 a＝０, b＝－４ ３, r＝６．{ 即所 求 圆 的 方 程 为 (x－４)２ ＋y２ ＝４ 或 x２ ＋(y＋４ ３)２ ＝３６． ３．解析:由题意将两圆的方程相减,可得圆C１ 和圆C２ 公共弦 所在的直线l的方程为x＋y－１＝０．又圆C３ 的圆心坐标为 (１,１),其到直线l的距离为d＝|１＋１－１| １２＋１２ ＝ ２２ ,设圆C３ 的 半径为r,由条件知,r２－d２＝２５４－ １ ２＝ ２３ ４ , 所以弦长为２× ２３２ ＝ ２３． 答案: ２３ 当堂达标 １．C　[AB 的垂直平分线过两圆的圆心,把圆心(２,－３)代入, 即可排除 A,B,D．] ２．解析:C１(１,２),r１＝２;C２(－２,－２),r２＝３,|C１C２|＝５,r１＋ r２＝５,因此两圆外切．所以公切线有３条． 答案:３ ３．解析:将两圆的方程相减,得相交弦所在的直线方程为y＝ １ a ,圆心(０,０)到直线的距离为d＝１a ＝ ２ ２－(３)２＝１,所 以a＝１． 答案:１ ４．解:设圆C的半径为r,圆心距为d＝ ４－０２＋－３－０２＝５, 当圆C与圆O 外切时,r＋１＝５,r＝４, 当圆C与圆O 内切时,r－１＝５,r＝６, ∴圆的方程为(x－４)２＋(y＋３)２＝１６或(x－４)２＋(y＋３)２ ＝３６． 章末归纳提升 题型梳理􀅰素养聚焦 [例１]　 [解析]　 (１)设 直 线 的 倾 斜 角 为θ,则 有 tanθ ＝－sinα, 又－sinα∈[－１,１],θ∈[０,π), 所以０≤θ≤π４ 或３π ４≤θ＜π． (２)如图,因为kAP＝ １－０ ２－１＝１ , kBP＝ ３－０ ０－１＝－ ３ ,所以直线l的斜率k∈ (－∞,－ ３]∪[１,＋∞)． [答案]　(１)B　(２)(－∞,－３]∪[１,＋∞) [例２]　[解]　(１)设所求直线的斜率为k,依题意k＝－４× １ ３＝－ ４ ３． 又直线经过点A(１,３),因此所求直线方程为y－ ３＝－ ４３ (x－１),即４x＋３y－１３＝０． (２)当直线不过原点时,设所求直线方程为x２a＋ y a ＝１ ,将 (－５,２)代入所设方程,解得a＝－１２ ,所以直线方程为x＋ ２y＋１＝０;当直线过原点时,设直线方程为y＝kx,则－５k＝ ２,解得k＝－ ２５ ,所 以 直 线 方 程 为y＝－ ２５x ,即 ２x＋５y ＝０． 故所求直线方程为２x＋５y＝０或x＋２y＋１＝０． [例３]　[解析]　(１)D　[如 图,因 为 F２ (c,０),不妨设渐近线方程为y＝bax ,即 bx－ay＝０,所以|PF２|＝ |bc| a２＋b２ ＝bcc ＝ b,所以b＝２． 设∠POF２＝θ,则tanθ＝ |PF２| |OP|＝ b |OP|＝ b a , 所以|OP|＝a,所以|OF２|＝c． 因为１ ２ab＝ １ ２c 􀅰yP,所以yP＝ ab c , 所以tanθ＝yPxP ＝ ab c xP ＝ba ,所以xP＝ a２ c , 所以P a ２ c ,ab c( ) ,因为F１(－c,０), 所以kPF１＝ ab c a２ c＋c ＝ ab a２＋c２ ＝ ２a a２＋a２＋４ ＝ a a２＋２ ＝ ２４ ,所以 ２(a２＋２)＝４a,解得a＝ ２, 所以双曲线的方程为x ２ ２－ y２ ４＝１． ] (２)方法１:由直线l与直线y＝ ４３x＋ ５ ３ 垂直,可设直线方 程l为y＝－３４x＋b ,则直线l在x 轴,y轴上的截距分别为 x０＝ ４ ３b ,y０＝b．又因为直线l与两坐标轴围成的三角形的 面积为２４,所以S＝１２|x０||y０|＝２４ ,即 １ ２ ４ ３b |b|＝２４ , b２＝３６,解得b＝６或b＝－６．故所求直线方程为y＝－３４x ＋６或y＝－ ３４x－６ ,即３x＋４y－２４＝０或３x＋４y＋２４ ＝０． 方法２:设直线l的方程为xa ＋ y b ＝１ ,则直线的斜率k＝ －ba ． 因为l与直线y＝４３x＋ ５ ３ 垂直,所以k＝－ba ＝－ ３ ４ , 即b a ＝ ３ ４． 又因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积 为２４,所以１２|ab|＝２４ ,即|ab|＝４８． 所以a＝８,b＝６或a＝－８,b＝－６,所以直线l的方程为x８ ＋y６＝１ 或 x －８＋ y －６＝１ ,即３x＋４y－２４＝０或３x＋４y＋２４ ＝０． [例４]　[解]　(１)当m＝０时,l１ 与l２ 相交． 当m≠０时,若l１ 与l２ 相交,则－ １ m≠－ m－２ ３ , 解得m≠－１且m≠３．所以当 m≠－１且 m≠３时,l１ 与l２ 相交． (２)若l１⊥l２,则１×(m－２)＋３m＝０,解得m＝ １ ２． 所以当m＝１２ 时,l１⊥l２． (３)由－１m＝－ m－２ ３ ,得m＝－１或m＝３． 当m＝－１时,l１∥l２;当m＝３时,l１ 与l２ 重合．所以当m＝ －１时,l１∥l２． [例５]　[解]　(１)经过两已知直线交点的直线系方程为２x＋ y－５＋λ(x－２y)＝０,即(２＋λ)x＋(１－２λ)y－５＝０, 所以 |１０＋５λ－５| (２＋λ)２＋(１－２λ)２ ＝３,即２λ２－５λ＋２＝０,所以λ＝ １ ２ 或λ＝２．所以l的方程为x＝２或４x－３y－５＝０． (２)由 ２x＋y－５＝０,x－２y＝０,{ 解得交点P(２,１),过P 作任一直线l (图略),设d为点A 到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA 时 等号成立)．所以dmax＝|PA|＝ １０． [例６]　[解]　(１)设A′(x,y),由已知条件得 y＋２ x＋１× ２ ３＝－１ , ２×x－１２ －３× y－２ ２ ＋１＝０ ,{ 解得 x＝－３３１３ , y＝４１３． { ∴A′ －３３１３ ,４ １３( )． (２)在直线m 上取一点,如 M(２,０),则 M(２,０)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 设对称点 M′(a,b),则 ２×a＋２２ －３× b＋０ ２ ＋１＝０ , b－０ a－２× ２ ３＝－１ ,{ ,得 M′ ６１３,３０１３( )． 设直线m 与直线l的交点为N,则 由 ２x－３y＋１＝０,３x－２y－６＝０,{ 得N(４,３)．又m′经过点N(４,３), ∴由两点式得直线m′的方程为９x－４６y＋１０２＝０． (３)方法一　在l:２x－３y＋１＝０上任取两点, 如 M(１,１),N(４,３),则 M,N 关于点A(－１,－２)的对称点 M′,N′均在直线l′上, 易得 M′(－３,－５),N′(－６,－７), 再由两点式可得l′的方程为２x－３y－９＝０． 方法二:∵l∥l′, ∴设l′的方程为２x－３y＋C＝０(C≠１)． ∵点A(－１,－２)到两直线l,l′的距离相等, ∴由点到直线的距离公式,得 |－２＋６＋C| ２２＋(－３)２ ＝|－２＋６＋１| ２２＋(－３)２ ,解得C＝－９, ∴l′的方程为２x－３y－９＝０． 方法三:设P(x,y)为l′上任意一点, 则P(x,y)关于点A(－１,－２)的对称点为P′(－２－x,－４ －y)．∵点 P′在 直 线l 上,∴２(－２－x)－３(－４－y)＋ １＝０,即２x－３y－９＝０． [例７]　[解]　法一　设圆的方程是(x－a)２＋(y－b)２＝１０． 因为圆心在直线y＝２x上,所以b＝２a．① 由方程组 x－y＝０,(x－a)２＋(y－b)２＝１０,{ 得２x ２－２(a＋b)x＋a２ ＋b２－１０＝０,所以x１＋x２＝a＋b,x１􀅰x２＝ a２＋b２－１０ ２ ． 由弦长公式得 ２􀅰 (a＋b)２－２(a２＋b２－１０)＝４ ２,化 简 得 (a－b)２＝４．② 解①②组成的方程组,得a＝２,b＝４或a＝－２,b＝－４．故所 求圆的方程是(x－２)２＋(y－４)２＝１０或(x＋２)２＋(y＋４)２ ＝１０． 法二　设圆的方程为(x－a)２＋(y－b)２＝１０,则圆心为(a, b),半径r＝ １０, 圆心(a,b)到直线x－y＝０的距离d＝|a－b| ２ ． 由半弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得d２＋ ４ ２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝r２,即 (a－b)２ ２ ＋８＝１０ ,所以(a－b)２＝４． 又因为b＝２a,所以a＝２,b＝４或a＝－２,b＝－４． 故所求圆的方程是(x－２)２＋(y－４)２＝１０或(x＋２)２＋(y ＋４)２＝１０． [例８]　[解]　(１)圆心C(１,２),半径r＝２,当直线的斜率不 存在时,方程为x＝３．由圆心C(１,２)到直线x＝３的距离d ＝３－１＝２＝r知,此时,直线与圆相切．当直线的斜率存在 时,设方程为y－１＝k(x－３),即kx－y＋１－３k＝０． 由题意知|k－２＋１－３k| k２＋１ ＝２,解得k＝３４． ∴圆的切线方程为y－１＝３４ (x－３),即３x－４y－５＝０． 故过点 M 的圆的切线方程为x＝３或３x－４y－５＝０． (２)∵圆心到直线ax－y＋４＝０的距离为|a＋２| a２＋１ , ∴ |a＋２| a２＋１ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ２ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝４,解得a＝－３４． [例９]　[解]　因为两圆的标准方程分别为(x－１)２＋(y－ ３)２＝１１,(x－５)２＋(y－６)２＝６１－m, 所以 两 圆 的 圆 心 分 别 为 (１,３),(５,６),半 径 分 别 为 １１, ６１－m, (１)当 两 圆 外 切 时,由 (５－１)２＋(６－３)２ ＝ １１＋ ６１－m,得m＝２５＋１０ １１． (２)当两圆内切时,因为定圆半径 １１小于两圆圆心之间的 距离５,所以 ６１－m－ １１＝５,解得m＝２５－１０ １１． (３)由(x２＋y２－２x－６y－１)－(x２＋y２－１０x－１２y＋４５)＝ ０,得两圆的公共弦所在直线的方程为４x＋３y－２３＝０． 故两圆的公共弦的长为２ １１－ |４＋３×３－２３| ４２＋３２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝２ ７． [例１０]　[解]　(１)因为圆C１ 的方程x２＋y２－６x＋５＝０可 化为(x－３)２＋y２＝４,所以圆心坐标为(３,０)． (２)设A(x１,y１),B(x２,y２)(x１≠x２),M(x０,y０), 则x０＝ x１＋x２ ２ ,y０＝ y１＋y２ ２ ． 由题意可知直线l的斜率必存在, 设直线l的方程为y＝tx． 将上述方程代入圆C１ 的方程, 化简得(１＋t２)x２－６x＋５＝０． 由题意,可得x１＋x２＝ ６ １＋t２ ,Δ＝３６－２０(１＋t２)＞０,(∗) 所以x０＝ ３ １＋t２ ,代入直线l的方程,得y０＝ ３t １＋t２ ． 因为 x２０ ＋y２０ ＝ ９ (１＋t２)２ ＋ ９t ２ (１＋t２)２ ＝９ (１＋t２) (１＋t２)２ ＝ ９ １＋t２ ＝ ３x０．所以 x０－ ３ ２( ) ２ ＋y２０＝ ９ ４． 由(∗)解得t２＜４５． 又t２≥０,所以５３＜x０≤３． 所以线段AB 的中点 M 的轨迹C 的方程为 x－３２( ) ２ ＋y２ ＝９４ ５ ３＜x≤３( )． (３)存 在 实 数 k 满 足 条 件．由 (２)知,曲 线 C 是 在 区 间 ５ ３ ,３( ] 上的一段圆弧． 如图,D ５ ３ ,２ ５ ３ æ è ç ö ø ÷, E ５ ３ ,－２ ５３ æ è ç ö ø ÷,F(３,０), 直线L过定点G(４,０)． 联立直 线 L 的 方 程 与 曲 线C 的 方 程,消去y整理得(１＋k２)x２－(３＋ ８k２)x＋１６k２＝０．由Δ＝０,解得k＝ ±３４ ,由求根公式解得交点的横坐标为x＝１２５∈ ５ ３ ,３( ] , 由图可知要使直线L与曲线C 只有一个交点, 则k∈ －２ ５７ ,２ ５ ７[ ] ∪ － ３ ４ ,３ ４{ }． 故所求k的取值范围为 －２ ５７ ,２ ５ ７[ ] ∪ － ３ ４ ,３ ４{ }． [例１１]　[解]　(１)根据题意画出图形, 当P 与 C(或 D)重 合 时,直 线 BC (BD)与圆A 相切, 设直线BC解析式为y－１＝k(x－２), 即kx－y－２k＋１＝０, ∴圆心(０,１)到直线BC的距离d＝r,即 |－２k| k２＋１ ＝１,解得:k＝± ３３ , ∴－ ３３≤k≤ ３ ３ ,即－ ３３≤ y－１ x－２≤ ３ ３ , ∴y－１x－２ 的最大值与最小值分别为－ ３３ ,３ ３． (２)x２＋y２ 表示圆上的点到原点的距离的平方,先求出圆心 (０,１)到原点(０,０)的距离为１,则x２＋y２ 的最大值为(１＋ １)２＝４,最小值为０． 第二章　圆锥曲线 §１　椭　圆 １．１　椭圆及其标准方程 课前预习学案 知识梳理 知识点一　距离之和等于常数　定点　距离　|MF１|＋|MF２|＝２a [思考] [提示]　(１)点的轨迹是线段F１F２． (２)当距离之和小于|F１F２|时,动点的轨迹不存在． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)√　(４)× ２．C　[∵椭圆的方程x ２ １６＋ y２ ２５＝１ ,∴椭圆的焦点在y轴上,a２ ＝２５且b２＝１６,可得a＝５且b＝４．∵点P 到椭圆的两个焦 点的距离之和为２a＝１０,∴根据椭圆的定义可得点P 到另 一个焦点的距离为１０－３＝７．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２２􀅰 参考答案