第一章 2.1 圆的标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

§２　圆与圆的方程 ２．１　圆的标准方程 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．会用定义推导圆的标准方程;掌握圆的标准 方程的特点 ２．会根据已知条件求圆的标准方程 ３．能准确判断点与圆的位置关系 通过对圆的标准方程的学习,提升直观想象、 逻辑推理、数学运算的数学素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] «古朗月行» 唐　李白 小时不识月,呼作白玉盘. 又疑瑶台镜,飞在青云端. 　　月亮,是中国人心目中 的宇宙精灵,古代人们在生 活中崇拜、敬畏月亮,在文学 作品中也大量描写、如果把 天空看作一个平面,月亮当 做一个圆,建立一个平面直 角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示? [知识梳理] [知识点一]　圆的定义与标准方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．圆的定义:圆是平面内到定点的距离　　　 　　　的所有点的集合(或轨迹),定点是 　　　　,　　　　是半径． ２．圆的标准方程: 圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程 为　　　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　当a＝b＝０时,圆的标准方程是 什么? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　点与圆的位置关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 圆C:(x－a)２＋(y－b)２＝r２(r＞０),其圆心为 C(a,b),半径为r,点P(x０,y０),设d＝|PC|． 位置 关系 几何法 图示 代数法 点在 圆外 d　　r (x０－a)２＋(y０ －b)２ 　　r２ 点在 圆上 d　　r (x０－a)２＋ (y０ －b)２ 　　r２ 点在 圆内 d　　r (x０－a)２＋ (y０ －b)２ 　　r２ [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)方程(x－a)２＋(y－b)２＝m２ 表示圆． (　　) (２)确定一个圆的几何要素是圆心和半径． (　　) (３)圆(x＋１)２＋(y＋２)２＝４的圆心坐标是 (１,２),半径是４． (　　) (４)(０,０)在圆(x－１)２＋(y－２)２＝１上． (　　) ２．以原点为圆心,２为半径的圆的标准方程是 (　　) A．x２＋y２＝２　　　　　　B．x２＋y２＝４ C．(x－２)２＋(y－２)２＝８ D．x２＋y２＝ ２ ３．点P(－２,－２)和圆x２＋y２＝４的位置关系是 (　　) A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都不对 ４．过点A(１,－１),B(－１,１),且圆心在直线x ＋y－２＝０上的圆的方程是　　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２􀅰 第一章　直线与圆 　　　求圆的标准方程 [例１]　求满足下列条件的圆的标准方程: (１)圆心为(３,４)且经过坐标原点; (２)经过A(３,１),B(－１,３)且圆心在直线 ３x－y－２＝０上． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)利用两点间距离公式求 出半径r,再求出圆的标椎方程． (２)法一:利用待定系数法,设出圆的方程, 根据条件建立关于参数方程组求解;法二: 利用圆心在直线上,设出圆心坐标,根据条 件建立方程组求圆心坐标和半径,从而求 圆的方程;法三:借助圆的几何性质,确定 圆心坐标和半径,从而求方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 确定圆的方程的方法 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C (a,b)及半径r,其求解的方法:一待定系 数法,如法一,建立关于a,b,r的方程组, 进而求得圆的方程;二借助圆的几何性质 直接求得圆心坐标和半径,如法二、法三． 一般地,在解决有关圆的问题时,有时利用 圆的几何性质作转化较为简捷． 􀳀[变式训练] １．求下列圆的标准方程: (１)圆心是(４,０),且过点(２,２); (２)圆心在y轴上,半径为５,且过点(３,－４); (３)过点P(２,－１)和直线x－y＝１相切,并 且圆心在直线y＝－２x上． 　　　点与圆的位置关系 [例２]　(１)点P(m２,５)与圆x２＋y２＝２４的 位置关系是 (　　) A．点P 在圆内　　　　　B．点P 在圆外 C．点P 在圆上 D．不确定 (２)已知点 M(５ a＋１,a)在圆(x－１)２＋ y２ ＝２６ 的 内 部,则 a 的 取 值 范 围 是 　　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)首先根据圆的方程确定 圆心和半径,然后利用P 到圆心的距离和 圆的半径大小关系确定点与圆的位置关 系;(２)首先确定圆心和半径,利用圆心到 点 M 的距离小于半径列出不等式求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 点与圆的位置关系及其应用 点与圆的位置关系有三种:点在圆内、点在 圆上、点在圆外．判断点与圆的位置关系有 两种方法:一是用圆心到该点的距离与半 径比较,二是代入圆的标准方程,判断与r２ 的大小关系．通过点与圆的位置关系建立 方程或不等式可求参数值或参数的取值 范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 􀳀[变式训练] ２．已知点A(１,０),B(１,２)与圆O:x２＋y２＝４,则 (　　) A．点A 与点B 都在圆O 外 B．点A 在圆O 外,点B 在圆O 内 C．点A 在圆O 内,点B 在圆O 外 D．点A 与点B 都在圆O 内 　　　与圆有关的最值问题 [例３]　(１)若P(x,y)为圆C:(x＋１)２＋y２＝ １ ４ 上任意一点,请求出P(x,y)到原点的距 离的最大值和最小值． (２)已知x和y 满足(x＋１)２＋y２＝１４ ,求x２ ＋y２ 的最值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)求圆外一点到圆的最大距离和最小距 离,可采用几何法,先求出该点到圆心 的距离,再加上或减去圆的半径,即可 得距离的最大值和最小值． (２)形如(x－a)２＋(y－b)２ 形式的最值问 题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b) 的距离的平方的最值问题． 􀳀[变式训练] ３．(１)若P(x,y)是圆C:(x－３)２＋y２＝４上任 意一点,请求出P(x,y)到直线x－y＋１＝０ 的距离的最大值和最小值． (２)已知 x,y 满足x２ ＋(y＋４)２ ＝４,求 (x＋１)２＋(y＋１)２的最大值与最小值． [当堂达标] １．以两点A(－３,－１)和B(５,５)为直径端点 的圆的方程是 (　　) A．(x＋１)２＋(y＋２)２＝１００ B．(x－１)２＋(y－２)２＝１００ C．(x＋１)２＋(y＋２)２＝２５ D．(x－１)２＋(y－２)２＝２５ ２．(多选)点(１,１)在圆(x－a)２＋(y＋a)２＝４ 的内部,则a的取值不可能是 (　　) A．－２　　　B．－１２　　　C． １ ２　　　D．２ ３．圆心为(１,１)且过原点的圆的方程是　　　 　　　　　　　　　　　　． ４．已知两点P(－５,６)和Q(５,－４),求以P,Q 为直 径 端 点 的 圆 的 标 准 方 程,并 判 断 点 A(２,２),B(１,８),C(６,５)是在圆上,在圆内, 还是在圆外． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２􀅰 第一章　直线与圆 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)√ ２．D　[利用点到直线的距离公式可得:原点到直线x＋２y－５ ＝０的距离d＝|０＋０－５| １２＋２２ ＝ ５．] ３．C　[d＝|－７－ (－１２)| ３２＋４２ ＝１．] ４．解析:d＝|－１－a| １２＋１２ ＝|a＋１| ２ ＝ ２,∴|a＋１|＝２,∴a＝－３ 或a＝１． 答案:－３或１ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)把方程y＝３４x＋ １ ４ 写成３x－４y＋１＝０, 由点到直线的距离公式得d＝ |３×３－４×(－２)＋１| ３２＋(－４)２ ＝１８５． (２)法一:把方程y＝６写成０􀅰x＋y－６＝０,由点到直线的 距离公式得d＝|０×３＋ (－２)－６| ０２＋１２ ＝８． 法二:因为直线y＝６平行于x轴,所以d＝|６－(－２)|＝８． (３)因为直线x＝４平行于y轴,所以d＝|４－３|＝１． [例２]　[解]　由直线l１,l２ 的方程知l１∥l２．又由题意知,直 线l与l１,l２ 均平行(否则d１＝０或d２＝０,不符合题意)． 设直线l:３x－２y＋m＝０(m≠－１且m≠－１３),由两平行线间的 距离公式,得d１＝ |m＋１| １３ ,d２＝ |m＋１３| １３ ,又d１∶d２＝２∶１,所 以|m＋１|＝２|m＋１３|, 解得m＝－２５或m＝－９． 故所求直线l的方程为３x－２y－２５＝０或３x－２y－９＝０． [例３]　[解]　方法一　∵点 M 在直线x＋y－３＝０上, ∴设点 M 的坐标为(t,３－t),则点 M 到l１,l２ 的距离相等, 即|t－(３－t)＋１| ２ ＝|t－ (３－t)－１| ２ ,解得t＝３２ , ∴M ３２ ,３ ２( )．又l过 点 A(２,４),由 两 点 式 得 y－３２ ４－３２ ＝ x－３２ ２－３２ ,即５x－y－６＝０,故直线l的方程为５x－y－６＝０． 方法二　设与l１,l２ 平行且距离相等的直线l３:x－y＋C＝ ０,由两平行直线间的距离公式得|C－１| ２ ＝|C＋１| ２ ,解得C ＝０,即l３:x－y＝０． 由题意得中点 M 在l３ 上,点 M 在x＋y－３＝０上． 解方程 组 x－y＝０,x＋y－３＝０,{ 得 x＝３２ , y＝３２． { ∴M ３２,３２( )．又l过 点A(２,４),故由两点式得直线l的方程为５x－y－６＝０． 变式训练 １．解:设与直线x＋３y－５＝０垂直的直线的方程为３x－y＋m ＝０,则由点到直线的距离公式知: d＝|３× (－１)－０＋m| ３２＋(－１)２ ＝|m－３| １０ ＝３ １０５ ． 所以|m－３|＝６,即m－３＝±６．得m＝９或m＝－３, 故所求直线l的方程为３x－y＋９＝０或３x－y－３＝０． ２．解:∵与l平行的直线方程为５x－１２y＋b＝０, 根据两平行直线间的距离公式得 |b－６| ５２＋(－１２)２ ＝３,解得b ＝４５或b＝－３３． 所以所求直线 方 程 为:５x－１２y＋４５＝０,或 ５x－１２y－３３ ＝０． ３．解:设过点(３,５)的直线方程为y－５＝k(x－３)或x＝３．对 于y－５＝k(x－３), 原点(０,０)到它的距离d＝|３k－５| k２＋１ ,化简整理得(９－d２)k２ －３０k＋２５－d２＝０． 当９－d２≠０时,因k∈R,∴Δ＝(－３０)２－４(９－d２)(２５－ d２)≥０．解得０≤d≤ ３４(且d≠３)． 对于x＝３,原点到它的距离d＝３． 因此,过点(３,５)的所有直线与原点的距离d∈[０, ３４]． 故dmax＝ ３４,当d＝ ３４时, |３k－５| k２＋１ ＝ ３４,解得k＝－３５． 故 所求直线方程为:y－５＝－３５ (x－３),即３x＋５y－３４＝０． 当堂达标 １．A　[直线x＋２＝０,即x＝－２为平行于y 轴的直线,所以 点(５,－３)到x＝－２的距离d＝|５－(－２)|＝７．] ２．CD　[因为所求与直线２x＋y＋１＝０的距离为 ５５ ,所以可 得所求直线与已知直线平行, 设所求直线方程为２x＋y＋c＝０(c≠１),∴d＝ |c－１| ２２＋１２ ＝ ５ ５ ,解得c＝０或c＝２, 故所求直线方程为２x＋y＝０或２x＋y＋２＝０．] ３．解析:∵两点A(－３,－２),B(－１,４)到直线l:x＋ay＋１＝０ 的距离相等,∴|－３－２a＋１| a２＋１ ＝|－１＋４a＋１| a２＋１ ,化为|２a＋２|＝ |４a|．∴２a＋２＝±４a,解得a＝１或－１３． 答案:１或－１３ ４．解:当直线l的斜率不存在时,直线的方程为x＝－２,符合 原点到直线l的距离等于２． 当直线l的斜率存在时,设所求直线l的方程为y－３＝k(x ＋２), 即kx－y＋２k＋３＝０,由d＝|０－０＋２k＋３| １＋k２ ＝２, 得k＝－５１２ ,即直线l的方程为５x＋１２y－２６＝０． 综上可 知,所 求 直 线l的 方 程 为x＝－２或 ５x＋１２y－２６ ＝０． §２　圆与圆的方程 ２．１　圆的标准方程 课前预习学案 知识梳理 知识点一１．等于定长　圆心　定长　２．(x－a)２＋(y－b)２＝r２ [思考] [提示]　当a＝b＝０时,方程为x２＋y２＝r２,表示以原点O 为圆心、半径为r的圆． 知识点二　＞　＞　＝　＝　＜　＜ 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)×　(４)× ２．B　[以原点为圆心,２为 半 径 的 圆,其 标 准 方 程 为x２＋y２ ＝４．] ３．B　[将点P 的坐标代入圆的方程,有(－２)２＋(－２)２＝８＞ ４,故点P 在圆外．] ４．解析:线段AB 的中垂线方程为y＝x,则圆心坐标(x,y)应 满 足 y＝x,x＋y－２＝０,{ ∴ x ＝ y ＝ １, 半 径 r ＝ (１－１)２＋(－１－１)２＝２, ∴所求圆的方程为(x－１)２＋(y－１)２＝４． 答案:(x－１)２＋(y－１)２＝４ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)∵圆心(３,４),设半径为r,又圆过坐标原 点,∴r＝ (３－０)２＋(４－０)２＝５,∴圆的标准方程为(x－ ３)２＋(y－４)２＝２５． (２)方法一　设所求圆的标准方程为(x－a)２＋(y－b)２＝ r２,依题意得 (３－a)２＋(１－b)２＝r２, (－１－a)２＋(３－b)２＝r２, ３a－b－２＝０,{ 即 a２＋b２－６a－２b＝r２－１０, a２＋b２＋２a－６b＝r２－１０, ３a－b－２＝０,{ 解得 a＝２, b＝４, r＝ １０．{ ∴所求圆的标准方程是(x－２)２＋(y－４)２＝１０． 方法二　直线AB 的斜率k＝ ３－１－１－３＝－ １ ２ , 可知AB 垂直平分线m 的斜率为２． AB中点的横坐标和纵坐标分别为x＝３－１２ ＝１ ,y＝１＋３２ ＝２． 因此m 的方程为y－２＝２(x－１),即２x－y＝０． 又圆心在直线３x－y－２＝０上,所以圆心为这两条直线的 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 交点,联立方程组 ２x－y＝０,３x－y－２＝０,{ 得 x＝２, y＝４．{ 设圆心为C,所 以圆心坐标为C(２,４)．又半径r＝|CA|＝ １０,则所求圆的 方程是(x－２)２＋(y－４)２＝１０． 方法三　设圆心为C,∵圆心在直线３x－y－２＝０上,故可 设圆心C的坐标为(a,３a－２)． 又|CA|＝|CB|, 故 (a－３)２＋(３a－２－１)２ ＝ (a＋１)２＋(３a－２－３)２, 解得a＝２,∴圆心为(２,４),半径r＝|CA|＝ １０． 故所求圆的方程为(x－２)２＋(y－４)２＝１０． [例２]　[解析]　(１)因为(m２)２＋５２＝m４＋２５＞２４,所以点P 在圆外． (２)由题意知 a≥０ , (５ a＋１－１)２＋(a)２＜２６,{ 解得０≤a＜１． [答案]　(１)B　(２)[０,１) [例３]　[解]　(１)原点到圆心C(－１,０)的距离d＝１,圆的半 径为１ ２ ,故圆上的点到坐标原点的最大距离为１＋１２＝ ３ ２ , 最小距离为１－１２＝ １ ２． (２)由题意知x２＋y２ 表示圆上的点到坐标原点距离的平方, 显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时, 其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(０,０)到圆心C (－１,０)的距离d＝１,故圆上的点到坐标原点的最大距离为 １＋１２＝ ３ ２ ,最小距离为１－１２＝ １ ２． 因此x２＋y２ 的最大值 和最小值分别为９ ４ 和１ ４． 变式训练 １．解:(１)r２＝(２－４)２＋(２－０)２＝８,∴圆的标准方程为(x－ ４)２＋y２＝８． (２)设圆心为C(０,b),则(３－０)２＋(－４－b)２＝５２, ∴b＝０或b＝－８,∴圆心为(０,０)或(０,－８),又r＝５, ∴圆的标准方程为x２＋y２＝２５或x２＋(y＋８)２＝２５． (３)∵圆心在y＝－２x上,设圆心为(a,－２a), 设圆心到直线x－y－１＝０的距离为r． ∴r＝|a＋２a－１| ２ ,　① 又圆过点P(２,－１),∴r２＝(２－a)２＋(－１＋２a)２,② 由①②得 a＝１ , r＝ ２{ ,或 a＝９, r＝１３ ２,{ ∴圆的标准方程为(x－１) ２ ＋(y＋２)２＝２或(x－９)２＋(y＋１８)２＝３３８． ２．C　[∵１２＋０２＜４,１２＋２２＞４,∴点A 在圆O 内,点B 在圆 O 外．] ３．解:(１)P(x,y)是圆C 上的任意一 点,而圆C 的半径为２,圆心C(３, ０),圆心C到直线x－y＋１＝０的 距离d＝ |３－０＋１| １２＋(－１)２ ＝２ ２,所以 点P到直线x－y＋１＝０的距离的 最大值为２ ２＋２,最小值为２ ２ －２． (２)因为点P(x,y)是圆x２＋(y＋４)２＝ ４上的任意一点,圆心C(０,－４),半 径r＝２, 因此 (x＋１)２＋(y＋１)２ 表 示 点 A (－１,－１)与该圆上点的距离． 因为|AC|２ ＝(－１)２ ＋(－１＋４)２ ＞４, 所以点 A(－１,－１)在 圆 外．如 图 所示． 而|AC|＝ (０＋１)２＋(－４＋１)２＝ １０,所以 (x＋１)２＋(y＋１)２的最大值为|AC|＋r＝ １０ ＋２, 最小值为|AC|－r＝ １０－２． 当堂达标 １．D　[∵AB 为直径,∴AB 的中点(１,２)为圆心,１２|AB|＝ １ ２ (５＋３)２＋(５＋１)２＝５为半径,∴该圆的标准方程为(x －１)２＋(y－２)２＝２５．] ２．AD　[因为(１－a)２＋(１＋a)２＜４,所 以２a２＋２＜４,所 以 a２＜１,所以－１＜a＜１．] ３．解析:因 为 圆 心 为 (１,１)且 过 原 点,所 以 该 圆 的 半 径r＝ １２＋１２＝ ２,则该圆的方程为(x－１)２＋(y－１)２＝２． 答案:(x－１)２＋(y－１)２＝２ ４．解:由已知条件及圆的性质可知,圆心 M 在直径PQ 的中点 处,∴圆心 M 的坐标为(０,１), 半径r＝１２|QP|＝ １ ２× (－５－５)２＋(６＋４)２＝５ ２． ∴圆的标准方程为x２＋(y－１)２＝５０． ∵|MA|＝ (２－０)２＋(２－１)２＝ ５＜r,∴点A 在圆内． ∵|MB|＝ (１－０)２＋(８－１)２＝ ５０＝r,∴点B 在圆上． ∵|MC|＝ (６－０)２＋(５－１)２＝ ５２＞r,∴点C在圆外． ２．２　圆的一般方程 课前预习学案 知识梳理 [思考] １．[提示]　不是,只有当D２＋E２－４F＞０时才表示圆． ２．[提示]　A＝B≠０,C＝０且D２＋E２－４AF＞０． 预习自测 １．(１)√　(２)×　(３)√　(４)√ ２．D　[－D２＝２ ,－E２＝－３ ,∴圆心坐标是(２,－３)．] ３．B　[由题意得(－４)２＋２２－４×５k＞０,即k＜１．] ４．解析:因(x＋１)２＋(y－２)２＝５－m,∴r＝ ５－m＝３２ ,∴m ＝１１４． 答案:１１ ４ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(方法１)由方程x２＋y２－４mx＋２my＋２０m－２０ ＝０ 可知D＝－４m,E＝２m,F＝２０m－２０,∴D２＋E２ －４F＝ １６m２＋４m２－８０m＋８０＝２０(m－２)２． 因此,当m＝２时,它表示一个点; 当m≠２时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(２m,－m),半 径为r＝１２ D ２＋E２－４F＝ ５|m－２|． (方法２)原方程可化为(x－２m)２＋(y＋m)２＝５(m－２)２, 因此,当 m＝２ 时,它 表 示 一 个 点;当 m≠２ 时,原 方 程 表 示圆, 此时,圆的圆心为(２m,－m),半径为r＝ ５|m－２|． [例２]　[解]　法一:设△ABC 的外接圆方程为x２＋y２＋Dx ＋Ey＋F＝０(D２＋E２－４F＞０), ∵A,B,C在圆上, ∴ １＋１６＋D＋４E＋F＝０, ４＋９－２D＋３E＋F＝０, １６＋２５＋４D－５E＋F＝０,{ ∴ D＝－２, E＝２, F＝－２３,{ ∴△ABC的外接圆方程为x２＋y２－２x＋２y－２３＝０,即(x－ １)２＋(y＋１)２＝２５．∴圆 心 坐 标 为(１,－１),外 接 圆 半 径 为５． 法二:∵kAB ＝ ４－３ １＋２＝ １ ３ ,kAC ＝ ４＋５ １－４＝－３ ,∴kAB 􀅰kAC ＝ －１,∴AB⊥AC．∴△ABC是以角A 为直角的直角三角形, ∴圆心是线段BC的中点,坐标为(１,－１),r＝１２|BC|＝５． ∴外接圆方程为(x－１)２＋(y＋１)２＝２５． [例３]　[解]　(１)方法一:设顶点C(x,y),因为AC⊥BC,且 A,B,C三点不共线,所以x≠３且x≠－１． 又kAC＝ yx＋１ ,kBC＝ yx－３ ,且kAC􀅰kBC＝－１, 所以 y x＋１ 􀅰 y x－３＝－１ ,化简得x２＋y２－２x－３＝０． 因此,直角顶点C的轨迹方程为(x－１)２＋y２＝４(x≠３且x ≠－１)． 方法二:同方法一得x≠３且x≠－１． 由勾股定理得|AC|２＋|BC|２＝|AB|２, 即(x＋１)２＋y２＋(x－３)２＋y２＝１６,化简得x２＋y２－２x－３＝０． 因此,直角顶点C的轨迹方程为x２＋y２－２x－３＝０(x≠３ 且x≠－１)． 方法三:设 AB 的中点为D,由中点坐标公式得D(１,０),由 直角三角形的性质知,|CD|＝１２|AB|＝２ ,由圆的定义知, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２２􀅰 参考答案