第一章 1.6 第1课时 两点间的距离公式-第3课时 两条平行直线间的距离公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　　　１．６　平面直角坐标系中的距离公式 　　　　　第１课时　两点间的距离公式 [基础达标练] １．点 M(１,２)关于y 轴的对称点N 到原 点的距离为 (　　) A．２ B．１ C．５ D．５ ２．等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(３, ３),若点A的坐标为(０,４),则点B的坐标可 能是 (　　) A．(２,０)或(４,６) B．(２,０)或(６,４) C．(４,６) D．(０,２) ３．光线从点A(－３,５)射到x 轴上,经x 轴反射后经过点B(２,１０),则光线从A 到B 的距离为 (　　) A．５ ２ B．２ ５ C．５ １０ D．１０ ５ ４．(多选)对于 x２＋２x＋５,下列说法正确 的是 (　　) A．可看作点(x,０)与点(１,２)的距离 B．可看作点(x,０)与点(－１,－２)的 距离 C．可看作点(x,０)与点(－１,２)的距离 D．可看作点(x,－１)与点(－１,１)的 距离 ５．以点A(－３,０),B(３,－２),C(－１,２)为 顶点的三角形是 (　　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 ６．已知点A(－３,４),B(２,３)在x轴上有 一点P,使|PA|＝|PB|,则P 点坐标 为　　　　． ７．已知点A(５,２a－１),B(a＋１,a－４),当 |AB|取 最 小 值 时,实 数 a 的 值 是 　　　　． ８．已 知 点 A(１,１),B(２,２),C(４,０), D １２５ ,１６ ５ æ è ç ö ø ÷,点P 在线段CD 垂直平分 线上,求: (１)线段CD 垂直平分线方程; (２)|PA|２＋|PB|２ 取得最小值时点P 的坐标． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０９２􀅰 选择性必修第一册 [能力提升练] ９．已知两定点A(－３,４),B(２,９),动点P 在直线y＝２x上,则|PA|＋|PB|的最 小值为 (　　) A．５ １０ B．８ C．９ D．３ １０ １０．已知△ABC 的三个顶点分别是A(１, ５),B(－２,４),C(－６,４),M 是边BC 上 的 一 点,且 △ABM 的 面 积 等 于 △ABC面积的１４ ,那么线段AM 的长 等于 (　　) A．５ B．５２ C．８５ D．８５２ １１．设m∈R,过定点A的动直线x＋my＝０ 和过定点B的动直线mx－y－m＋３＝０ 交于点P(x,y),则|PA|􀅰|PB|的最大 值是　　　　． １２．已知:四边形 ABCD 是等腰梯形,A (０,３),B(－１,０),C(３,０)且 AB∥ CD,求梯形各边所在直线的方程． [素养培优练] １３．费马点是指三角形内到三角形三个顶 点距离之和最小的点,当三角形三个 内角均小于１２０°时,费马点与三个顶 点连线正好三等分费马点所在的周 角,即该点所对三角形三边的张角相 等,均 为１２０°．根 据 以 上 性 质,已 知 A(－２,０),B(２,０),C(０,４),P 为 △ABC内一点,记f(P)＝|PA|＋ |PB|＋|PC|,则f(P)的最小值为 (　　) A．２ ３ B．４＋２ ３ C．４＋ ３ D．２＋ ３ １４．已知点A(－２,－２),B(－２,６),C(４, －２),点P(x,y)满足方程x２＋y２＝４, 求|PA|２＋|PB|２＋|PC|２的最值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１９２􀅰 第一章　直线与圆 　　　　　　　　第２课时　点到直线的距离公式 　　　　第３课时　两条平行直线间的距离公式 [基础达标练] １．点P(x,y)在直线x＋y－４＝０上,O 是 坐标原点,则|OP|的最小值是 (　　) A．７　　B．６　　C．２ ２　　D．５ ２．P、Q 分别为３x＋４y－１２＝０与６x＋８y ＋６＝０上任意一点,则|PQ|的最小 值为 (　　) A．９５ B． １８ ５ C．３ D．６ ３．若点A(a,１)到直线３x－４y＝１的距离 d为１,则a的值为 (　　 ) A．０ B．１０３ C．０或１０３ D．０ 或－１０３ ４．(多选)已知直线l过点P(３,４)且与点 A(－２,２),B(４,－２)等距离,则直线l的方 程可以是 (　　) A．２x＋３y－１８＝０B．２x－y－２＝０ C．３x－２y＋１８＝０ D．２x－y＋２＝０ ５．(多选)已知直线l１:２x＋y＋n＝０,l２: ４x＋my－４＝０互相平行,且l１,l２ 之间 的距离为３ ５５ ,则mn可能的值为 (　　) A．１ B．２ C．－５ D．－１０ ６．点P(a,０)到直线３x＋４y－６＝０的距离大 于３,则实数a的取值范围为　　　　． ７．直线l１,l２ 分别过点 M(１,４),N(－３, １),它们分别绕点 M 和N 旋转,但必须 保持平行,那么它们之间的距离d的最 大值是　　　 　． ８．已知△ABC 三个顶点坐标A(－１,３), B(－３,０),C(１,２),求 △ABC 的 面 积S． [能力提升练] ９．(多选)已知平面上一点 M(５,０),若直 线上存在点P 使|PM|＝４,则称该直线 为“切割型直线”,下列直线中是“切割 型直线”的是 (　　) A．y＝x＋１ B．y＝２ C．y＝４３x D．y＝２x＋１ １０．(多选)已知A(４,－３),B(２,－１)和直线 l:４x＋３y－２＝０,若在坐标平面内存在一 点P,使|PA|＝|PB|,且点P 到直线l 的距离为２,则点P的坐标为 (　　) A．(１,－４) B．(－１,４) C．－２７７ ,８ ７ æ è ç ö ø ÷ D．２７７ ,－８７ æ è ç ö ø ÷ １１．直线３x－４y－２７＝０上到点P(２,１) 距离最近的点的坐标是　　　　． １２．已知点P(a,b)在线段AB 上运动,其 中A(１,０),B(０,１)．试求(a＋２)２＋(b ＋２)２ 的取值范围． [素养培优练] １３．点P(２,３)到直线:ax＋(a－１)y＋３＝ ０的距离d最大时,d与a 的值依次为 (　　) A．３,－３ B．５,２ C．５,１ D．７,１ １４．直线l１ 过点A(０,１),l２ 过点B(５,０), 如果l１∥l２,且l１ 与l２ 的距离为５,求 l１,l２ 的方程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２９２􀅰 选择性必修第一册 世数学) 5.B [由 2红+3y8=0·得)：由题意得 1x-2y+3=0, ly=2. /a+2b-11=0. 得/a=3, 3 4 16=4. 6.解析：l:(m一1).x+(2m一1)y=m一5可化为m(.x+2y -1)-x-y+5=0, 由+1=0，得{=9 -x-y+5=0,9y=-4. 故定点坐标为(9，一4). 7.解析：由题意可设所求直线方程为3.x十2y+6+入(2x+ 5y-7)=0, 即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7a=0,令x=0, 7λ-6 7λ-6 得y=2十5：令y=0,得1=3十2 ,所求直线方程在两坐标轴上的截距相等， 小员最即=日我=号 ∴.所求直线方程为x十y十1=0或3.x十4y=0. 答案：x十y十1=0或3x十4y=0 品锅：由意克了释：。解释子中直我 y=4, 41,2的交点坐标为(2,4).则直线1的方程为3.x-2y十2 =0. 9.A[易知集合M中的元素表示的是过点(2,3)且斜率 为3的直线上除，点(2,3)外的所有点，要使M∩N=⑦， 则V中的元素表示的是斜率为3且不过，点(2,3)的直 线，或过点(2,3)且斜率不为3的直线-号=3或2如 +6+4=0,.a=-6或a=-2.] 10.BC[因为两条直线2x+3y-m=0和x-my十12=0 的交点在y轴上，所以设交点为(0，b),所以 (36-m=0 -mb+12=0,消去6，可得m=士6.] 11.解析：如图，设入射光线与（交于 点Q,反射光线与x轴交于点P', 由入射光线倾斜角为120°可得入 0 射光线所在直线的斜率为一3， 又入射光线过点P(0,1十√3)， 0四 入射光线所在的直线方程为y -(1+3)=-5x,即3x十y-(1+√3)=0. 解方程组3x十y二1十3)-0.得{：所以成Q 1x+y-2=0 的坐标为(1,1). 过点Q作垂直于【的直线【，显然I的方程为y=x 由反射原理知，点P(0,1+√)关于的对称点P'(W3十 1,0)必在反射光线所在的直线上. 所以反射光线所在直线P严Q的方程为二日= x=3+卫，即x+5y-(1+)=0. 1-(3+1) 答案：x+5y-(1十3)=0 12.解：解法一：设A(yo),由中点公式，有B(一x, 2-),A在l,上，B在1：上， 0一2w6异 -2x+2-y。-8=0,{=2, 、1 4 故所求直线1的方程为y=一x十1，即x十创 -4=0. 解法二：设所求直线1方程为y=kx十1， 由方程如10=02>A( ·3 选择性必修第一册 由方程组y=kx十1， 2+,80○（中2+号） 78k+2 1/7 女A,B的中点为P(01)心z(3白+十2)-0： =- 故所求直线1的方程为x十4y一4=0. 解法三：设A(1y)、B(y).P(0,1)为MN的中 点，则有2十0一二。，代入4的方程， 1为+y=2,1y=2-y· 得2（一x1)+2-y1一8=0，即2.x1+y+6=0.由方程 组x-3y+10=0, 12x1+y+6=0, 解得。4·由两点式可得所求直线1的方程为工十 （y=2, 4y-4=0. 解法四：同解法一，设A(x), x)-3y,十10=0·两式相减得x,十4一4=0： (2.x十y十6=0， (1)考察直线x十4y一4=0，一方面由(1)知A(xw%) 在该直线上：另一方面P(0,1)也在该直线上，从而直线 x十4y-4=0过点P,A.根据两，点决定一条直线知，所 求直线1的方程为x十4y-4=0. 13.B[把A(2,1)坐标代入两条直线a,x十by十1=0和 a2x+by+1=0,得 2a1十6+1=0,2a:十4十1=0，.2(a1-a)=6-b, 过点P(a6).P(ae,)的直线的方程是：)b =41 a:-a .y-b1=一2(x-a1),则2x十y-(2a1十b1)=0, 2a1+b+1=0,.2a1+b1=-1,∴.所求直线方程 为：2x十y+1=0. 14.C[曲线y=x由两条射线构成，它们分别是射线y 一kT,x≤0及射线y=kx,x>0. /y=一kx 因为方程小二工十k的解1=一中，故射线y=一以 ≤0与直线y=x+k有一个交点： 若曲线y=kx及y=x十k(k>O)能国成三角形，则方 y=kz 程y二x十k必有一个解，故x=>0.因此>1， x>0 选C.] 1.6平面直角坐标系中的距离公式 第1课时两点间的距离公式 1.C[根据对称性知道点N(一1,2)，由两点间距离公式 得到1ON|=W√(-1)+2=5.] 2A[设B（,由题意得号×号=-1 √(0-3)+(4-3)=√(x-3)+(y-3),化简得3x -y-6=0,(x-3)°+(y-3)2=10, 联立解得{仁6我B20)或4.6.门 y=6, 3.C[点A(-3,5)关于x轴的对称点为A‘(一3，-5)，则 光线从A到B的路程即A'B的长，AB1= √/（一5一10）”+（一3一2）=5√10，光线从A到B的 路程为5√10.] 4.BCD[√x+2x+5=√/(x+1)+4 /(x+1)2十(0士2)2=/(x十1)+（一1一1），可看作 点(x,0)与点（一1，一2）的距离，可看作点(x,0)与点 (一1,2)的距离，可看作点(x,一1)与点（一1,1）的距离， 故选项A不正确，故答案为：BCD.」 参考答案 5.C[:|AB=√(-3-3)+22=√/36+4=√0= 2√10,1BC|=√/(-1-3)+(-2-2)F=√16+16 √32=42，AC1=√(-1+3)+2=8=22， ∴1AC'+IBC12=|AB|,.△ABC为直角三角形.] 6.解析：设点P(x,0),则有|PA= √(.x+3)+(0-4)=√x+6.x+25.PB引= √(.x-2)+(0-5)=√-4x+7. 由PA|=PB|,得x2+6+25=x2-4.x+7, 解得=-号即所案点P为（号0） 答案（号o 7.解析：点A(5,2a一1)，B(a+1.a一4).由两点间距离公 式得到lAB|=√(4-a)+(a+3)-√/2a-2a+25, 极据二次函数的性质得到最小值在对称轴处取得，对称 1 轴为a=2 答案：司 &解：1南C4,0,D(号，）得线段CD的中点 16一0 5 =一2，.线段CD的垂直平分 5 1 8 线的斜率为2一线段CD垂直平分线方程为y一 2(-9)即一2y-0 (2)设P(2t,t), 则|PA|+PB=(1-21)°+(1-t)2+(2-21)2+ (2-t)2=1012-181+10. 当1=品时，PA:+PB:取得最小值，即 P(号) 9.D[由题意知，两定点A(-3,4),B(2,9)在直线y=2x 同侧，动点P在直线y=2x上， 设点A关于直线y=2x的对称点为C(a,b), 2 则4 1 解得a=5,b=0,∴.C(5,0), (a+3-2· ∴.PA|+|PB引的最小值为BC= √(2-5)+(9-0)=3√/10.] 10.A[由于△ABM的面积 等于△ABC西积的子， 故BM=十BC,如国：0名6经8,46 设My.由-C 2 -4 得，(x十2，y-4)= -6 (-4,-8)=(-1,-2),解得x=-3y=2,即 M(-3,2).所以|AM=√4+3=5.] 11.解析：易知A(0,0),B(1,3)且两直线互相垂直，即 △APB为直角三角形， 六PA·PB1<PA+PB-AB=9=5 2 当且仅当|PA=|PB时等号成立. 答案：5 ·38 课时作亚乡 12.解：l过点A且一个方向向量是BA=(1,3),则1： 工一0=二3，即AB边所在直线方程为3江一y十8=0： 1 3 x过点B且一个方向向量是B配=(1,0)，则BC边 所在直线方程为y=0: 过点C且一个方向向量是1,3)，则m:气3 写，即CD边所在直线方程为3x一y一9=0： 设点D的坐标为(a,b,由于点D在直线l上，且AD= 16 BC|·则 13a-b-9=0. la=5 → 1√/(a-0)+(6-3)7=4 3 支8 声侣时，回边形ABCD是平行四边彩，合去，所以点 D的坐标是（侣，号） 如过点A且一个方向向量是平Ai=(4.-3.则1加： 行9-写，即AD边所在直线方程为3江十一12 4 =0. 13.B「设O(0,0)为坐标原点，由A(一2,0)， B(2.0),C(0,4), 知|AC=BC=2V5,且△ABC为锐角三角形， 因此，度马点M在线段OC上，设M(0,h),如图， y 0 则△MAB为顶角是120°的等腰三角形， 故h=0Btan30°-23 31 所以f(P)≥f(MD=MAI+IMB+MC|=4h+4- h=4十23， 则f(P)的最小值为4+25.] 14.解：设P(x,y),则x2+y=4. PA2+PB12+|PCI=(x+2)+(y十2)2+(x+ 2)+(y-6)2+(x-4)+(y+2) =3(x2+y)-4y+68=80-4y. -2≤y≤2..72≤|PA12+1PB12+|PC2≤88. 即|PA2+|PB+|PC2的最大值为88，最小值 为72. 第2课时点到直线的距离公式 第3课时两条平行直线间的距离公式 L.C[IOP最小即OP⊥，∴1OPm=0+0-4l 2√2.] 2.C[PQ的最小值是这两条平行线间的距离.在直线 3.x十4y一12=0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离 公式得PQ的最小值为3.门 3.c[由d=l3a-4-1=13a-1=1,得a=0或a w3+4 5 5 世数学 4.AB[设所求直线的方程为y一4=k(x一3)，即kx一y 一3k+4=0,由已知及点到直线的距离公式可得 1一2k-2+4-3k1=14+2+4-31,解得k=2或k 1+k √1+ 名，即所求直线方程为2x+3y-18=0或2x一y =0.] 5.BD[由1∥12可得2×m=1×4,解得m=2,则直线l 的方程为2x十y-2=0,由”十2-35，即m十21=3. 5 解得n=1或n=一5，故mn=2或mn=一10.J 6.解析：根据题意，得3a一6L>3.解得a>7或a<-3. √3+ 答案：a>7或a<-3 7.解析：根据题意画出图 象，如图所示： 根据图象可得：当1∥12， 且L⊥MN,l2⊥MN时， 1与L之间的距离 为MNi: 当L,∥L,,但是L与MN -3-2101234宝 不垂直，l,与MN不垂直 时，过M点向1，引垂线， 2 垂足为P,则l1与L。之间的距离为MP:因为MN> MP,所以. dm.=|MN|=√1-(-3)]+(4-1)产=5. 答案：5 8.解：由直线方程的两点式得直线BC的方程为 六。-即-2+8-0 由两点间距离公式得 1BC1=√(-3-1)+(0-2)7=2W5, 点A到BC的距离为d,即为BC边上的高， 4==1-2×3+3-45 √1+(-2) 5 所以S=BC·d=×2v5x45=4 5 即△ABC的面积为4， 9,BC[A.点M5,0)到直线y=x+1的距离为：d=6 2 32>4,故错误： B.点M(5,0)到直线y=2的距离为：d=3<4,故正确： C点M5,0)到直线y-专x的距高为：d- +() =4,故正确： D.点M(5,0)到直线y=2x+1的距离为：d= 2×5+1=115>4,故错误.] W√1+(2)F5 10.AD[设点P的坐标为(a,b).A(4,-3),B(2,-1), .线段AB的中点M的坐标为(3，一2)， -3+1=-1, AB所在直线的斜率k仙=42 ∴，线段AB的垂直平分线方程为y十2=x一3，即x一y -5=0. :点P(a,b)在直线x-y-5=0上，∴a-b-5=0.① 又点P(a,b)到直线l:4x十3y-2=0的距离为2， :4如+3h-2=2.即4u+3h-2=±10.② 4+3 ·38 选择性必修第一册 27 由①②联立解得a=1, a= 7 所求，点P的 1b=-4, 8 6= 11.解析：由题意知过点P作直线3x一4y一27=0的垂线， 设垂足为M,则MP为最小， 直线MP的方程为y-1=-3(x一2)， 3.x-4y-27=0, 解方程组 1-2.5 (y=-3. .所求点的坐标为(5，一3) 答案：(5，-3) 12.解：由(a+2)2+(b十2)2联想 两，点间距离公式，设Q(一2， B0,1) -2),又P(a,b),则|PQ1= √(a+2)+(b+2),于是问 题转化为PQ的最大、最小 10 4(1,0) 值.如图所示： 当P与A或B重合时，PQ 取得最大值： Q(-2.-2) √(-2-1)2+(-2-0)P=√13. 当PQ⊥AB时，PQ取得最小值，此时IPQ为Q点到 直线AB的距离，由A,B两点坐标可得直线AB的方 程为x+y-1=0. 则Q点到直线AB的距离 4=-2+(-2)-1L=5_52 +17 22 2≤a+2+6+2)≤18. 13.C[直线a.x十(a-1)y十3=0，即a(x+y)十(3-y) =0, ∴.直线ax十(a-1)y十3=0是过直线x十y=0和3-y =0交点的直线系方程， 3y=0得3 由x+y=0 y=3 ,可得直线ax+(a-1)y十3= 0经过定点Q(-3,3), .当直线ax十(a-1)y十3=0与PQ垂直时， 点P(2,3)到直线ax十(a-1)y十3=0的距离最大， ∴d的最大值为|PQ=√(2+3)+(3-3)=5， 此时PQ∥x轴，可得直线a.x+(a一1)y+3=0斜率不 存在，即a=1.门 14.解：若112的斜率存在，1∥1，.设两直线的钟率 为k.由斜载式得(，的方程y=kx十1，即k.x一y十1= 0.由，点斜式得l2的方程y=k(x-5),即kx-y-5k =0. 由两平行线间的距离公式得一-山=5，解得 +(-1)产 12 5 .l的方程为12x-5y+5=0,l2的方程为12x一5y 60=0. 若(1山4的斜奉不存在，则4的方程为x=0,l2的方程 为x=5,它们之间的距离为5，同样满足条件，则满足 条件的直线方程有以下两组： 41.12x-5y+5=0,l4,12x-5y-60=0:或l4:x=0. L2:x=5. 6