第一章 1.6 第1课时 两点间的距离公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

２．(多选)当０＜k＜１２ 时,直线l１:kx－y－k＋ １＝０与直线l２:ky－x－２k＝０的交点可 能是 (　　) A．(２,３) B．(１,２) C．－１２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ D．－１３ ,２ ３ æ è ç ö ø ÷ ３．经过直线l１:x－３y＋４＝０和l２:２x＋y＋５ ＝０的交点,且经过原点的直线方程为 (　　) A．１９x－９y＝０ B．９x＋１９y＝０ C．１９x－３y＝０ D．３x＋１９y＝０ ４．直线l１:x＋by＝１与直线l２:x－y＝a的交点 坐标为(０,２),则a＝　　　　,b＝　　　　． ５．已知入射光线经过点 M(－３,４),被直线l: x－y＋３＝０反射,反射光线经过点 N(２, ６),求反射光线所在直线的方程． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．６　平面直角坐标系中的距离公式 第１课时　两点间的距离公式 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．探索并理解平面上两点间的距离公式 ２．能够灵活应用平面上两点间的距离公式 通过两点间的距离公式的应用,增强数学抽象、 逻辑推理、数学运算的核心素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　在 一 条 笔 直 的 公 路 同 侧 有 两 个 大 型 小 区, 现在计 划 在 公 路 上 某 处 建 一 个 公 交 站 点 C,以 方便居 住 在 两 个 小 区 住 户的出行．如何选址能使站点到两个小区的 距离之和最小? [知识梳理] [知识点一]　两点间的距离公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一般地,若两点A,B 的坐标分别为A(x１, y１),B(x２,y２),则有两点A,B 间的距离公 式,|AB|＝　　　　　　． [知识点二]　两点间距离的特殊情况 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 (１)原点 O(０,０)与任一点 P(x,y)的距离 |OP|＝ x２＋y２． (２)当P１P２∥x轴(y１＝y２)时,|P１P２|＝|x２－x１|． (３)当P１P２∥y轴(x１＝x２)时,|P１P２|＝|y２－y１|． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　两点P１(x１,y１),P２(x２,y２)间的距 离公式是否可以写成|P１P２|＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２的形式? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)平面内两点间的距离公式不适用于坐标轴 上的点． (　　) (２)当AB∥y轴(x１＝x２)时,|AB|＝|y２－y１|． (　　) (３)点P１(０,a),点P２(b,０)之间的距离为a－b． (　　) (４)原点O(０,０)与任一点A(x,y)的距离|OA|＝ x２＋y２ ． (　　) ２．已知A(３,７),B(２,５),则A,B两点间的距离为 (　　) A．５　　　B．５　　　C．３　　　D．２９ ３．已知过点 M(－２,a),N(a,４)的直线的斜率 为－１２ ,则|MN|等于　　　 　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２􀅰 第一章　直线与圆 　　　两点间的距离公式 [例１]　(１)若x轴的正半轴上的点M 到原点 的距离与点(５,－３)到原点的距离相等,则 点 M 的坐标为 (　　) A．(－２,０)　　　　　　B．(１,０) C．３２ ,０ æ è ç ö ø ÷ D．(３４,０) (２)直线２x＋my＋２＝０(m≠０)与两坐标轴 的交点之间的距离为　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)设出 M 点坐标(x,０),根 据两点间距离公式建立x的方程,解方程 得 M 点坐标;(２)求直线２x＋my＋２＝０ (m≠０)与x 轴、y 轴的交点坐标,利用两 点间距离公式求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 使用两点间距离公式要注意结构特点,公式 与两点的先后顺序无关适用于任意两点P１ (x１,y１),P２(x２,y２),但对于特殊情况结合图 形求解会更便捷． 􀳀[变式训练] １．已知点A(－１,２),B(２,７),在x轴上求一 点P,使|PA|＝|PB|,并求|PA|的值． 　　　两点间距离公式在平面几何中的应用 [例２]　已知△ABC三顶点坐标A(－３,１),B(３, －３),C(１,７),试判断△ABC的形状． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)判断三角形的形状,要采用数形结合的 方法,大致明确三角形的形状,以确定 证明的方向． (２)在分析三角形的形状时,要从两方面考 虑:一是要考虑角的特征,主要考察是 否为直角或等角;二是要考虑三角形的 长度特征,主要考察边是否相等或是否 满足勾股定理． 􀳀[变式训练] ２．若等腰三角形 ABC 的顶点A(３,０),底边 BC的长为４,BC边的中点为D(５,４),求等 腰△ABC的腰长． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 　　　应用两点间距离公式求最值 [例３]　已知直线l:x－２y＋８＝０和两点A (２,０),B(－２,－４)． (１)在直线l上求一点P,使|PA|＋|PB|最 小,并求出这个最小值; (２)在直线l上求一点P,使||PB|－|PA|| 最大,并求出这个最大值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)利用对称性求点A(２,０) 关于直线l的对称点A′,则|A′B|即为所 求最小值． (２)利用||PB|－|PA||≤|AB|知,当且 仅当A,B,P 三点共线时,||PB|－|PA|| 取得最大值,为|AB|． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用坐标平面内两点间的距离公式可以求 平面上两个式子的和或差的最小值或最大 值．先利用式子的几何意义和对称思想,转 化为两点之间的距离,再利用两点间的距 离公式求值． 􀳀[变式训练] ３．著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般 好,割裂分家万事休．”事实上,有很多代数 问题可以转化为几何问题加以解决,如: (x－a)２＋(y－b)２ 可以转化为平面上点 M(x,y)与点 N(a,b)的距离．结合上述观 点,可得f(x)＝ x２＋４x＋２０＋ x２＋２x＋１０的最小值为　　　　． [当堂达标] １．在直角坐标系中,已知点A(１,－２),B(－２,２), 则A,B 两点间的距离为 (　　) A．１４　　　　　　B．５ C．３１ D．２５ ２．在 △ABC 中,已知点 A(４,１),B(７,５), C(－４,７),则BC边的中线AD的长是 (　　) A．２ ５ B．３ ５ C．５ ５２ D． ７ ５ ２ ３．已知点A(－２,－１),B(a,３),且|AB|＝５, 则a的值为 (　　) A．１ B．－５ C．１或－５ D．－１或５ ４．已知A(－１,０),B(５,６),C(３,４),则|AC||CB| ＝　　　　． ５．已知点A(－１,２),B(２,５),求AB 的垂直平 分线方程． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２􀅰 第一章　直线与圆 ３．D　[联立直线l１,l２ 的方程 x－３y＋４＝０, ２x＋y＋５＝０,{ 解 得 x＝－１９７ , y＝３７ ,{ 即 直 线l１ 与l２ 的 交 点 为 －１９７ ,３ ７( ) ,故所求的直线方程为y＝－ ３ １９x ,即３x＋１９y＝０．] ４．解析:将点(０,２)代入直线x＋by＝１,解得b＝ １２ ,在将点 (０．２)代入直线x－y＝a,解得a＝－２, 答案:－２;１２ ５．解:设点 M(－３,４)关 于 直 线l:x－y＋３＝０的 对 称 点 为 M′(a,b),则反射光线所在直线过点 M′, 所以 b－４ a－(－３)＝－１ , －３＋a ２ － b＋４ ２ ＋３＝０ ,{ 解得a＝１,b＝０．又反射光线经 过点 N(２,６), 所以所求直线的方程为y－０ ６－０＝ x－１ ２－１ ,即６x－y－６＝０． １．６　平面直角坐标系中的距离公式 第１课时　两点间的距离公式 课前预习学案 知识梳理 知识点一　 (x２－x１)２＋(y２－y１)２ [思考] [提 示 ]　 可 以,原 因 是 (x２－x１)２＋(y２－y１)２ ＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２,也就是说公式中P１,P２ 两点的位 置没有先后之分． 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)×　(４)√ ２．B　 [由 平 面 内 两 点 间 的 距 离 公 式 可 知 |AB|＝ (３－２)２＋(７－５)２＝ ５．] ３．解析:∵过点 M(－２,a),N(a,４)的直线斜率为k＝４－aa＋２＝ －１２ ,解得a＝１０, ∴|MN|＝ (a＋２)２＋(４－a)２＝ (１０＋２)２＋(４－１０)２＝６ ５． 答案:６ ５ 课堂互动学案 [例１]　[解析]　(１)设点 M(x,０)(x＞０),由题意可知, x２＋０２＝ ５２＋(－３)２,解得x＝ ３４．∴点 M 的坐标为 ( ３４,０)． (２)直线２x＋my＋２＝０与x轴的交点为(－１,０),与y轴的 交 点 为 ０,－２m( ) ,所 以 两 交 点 之 间 的 距 离 为 (－１－０)２＋ ０＋２m( ) ２ ＝ １＋ ４m２ (m≠０)． [答案]　(１)D　(２)１＋ ４m２ (m≠０) [例２]　[解]　法一:∵|AB|＝ (３＋３)２＋(－３－１)２＝２ １３, |AC|＝ (１＋３)２＋(７－１)２＝２ １３, 又|BC|＝ (１－３)２＋(７＋３)２＝２ ２６, ∴|AB|２＋|AC|２＝|BC|２, 且|AB|＝|AC|, ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二:∵kAC＝ ７－１ １－(－３)＝ ３ ２ , kAB＝ －３－１ ３－(－３)＝－ ２ ３ , 则kAC􀅰kAB＝－１,∴AC⊥AB． 又|AC|＝ (１＋３)２＋(７－１)２＝２ １３, |AB|＝ (３＋３)２＋(－３－１)２＝２ １３, ∴|AC|＝|AB|．∴△ABC是等腰直角三角形． [例３]　 [解]　 (１)设 A(２,０)关 于 直 线l 的 对 称 点 为 A′(m,n),则 n－０ m－２＝－２ , m＋２ ２ －２× n＋０ ２ ＋８＝０ ,{ 解得 m＝－２,n＝８,{ 故A′(－２,８)． P 为直线l上的一点,则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥ |A′B|,当且仅当B,P,A′三点共线时,|PA|＋|PB|取得最 小值,为|A′B|,点 P 即 是 直 线A′B 与 直 线l 的 交 点, 由 x＝－２,x－２y＋８＝０,{ 得 x＝－２, y＝３,{ 故所求的点P 的坐标为(－２,３),最小值为|A′ B|＝|８－(－４)|＝１２． (２)A,B 两点在直线l的同侧,P是直线l上的一点,则||PB| －|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,||PB|－|PA|| 取得最大值,为|AB|,点P 即是直线AB 与直线l的交点,又 直 线 AB 的 方 程 为 y ＝x －２,解 y＝x－２ , x－２y＋８＝０,{ 得 x＝１２, y＝１０,{ 故所求的点P 的坐标为(１２,１０),最大值为|AB|＝ (－２－２)２＋(－４－０)２＝４ ２． 变式训练 １．解:设所求点P(x,０),于是由|PA|＝|PB|得 (x＋１)２＋(０－２)２＝ (x－２)２＋(０－ ７)２, 即x２＋２x＋５＝x２－４x＋１１,解得x＝１． 所以,所求P 点坐标为(１,０), |PA|＝ (１＋１)２＋(０－２)２＝２ ２． ２．解:因为|AD|＝ (５－３)２＋(４－０)２＝２ ５． 在 Rt△ABD 中,由勾股定理得|AB|＝ |AD|２＋|BD|２＝ ２０＋４＝２ ６． 所以等腰△ABC的腰长为２ ６． ３．解 析:∵ f (x)＝ x２＋４x＋２０ ＋ x２＋２x＋１０ ＝ (x＋２)２＋(０－４)２＋ (x＋１)２＋(０－３)２, ∴f(x)的几何意义为点 M(x,０)到两定点A(－２,４)与B (－１,３)的距离之和．设点A(－２,４)关于x 轴的对称点为 A′,则A′为(－２,－４)． 要求f(x)的最小值,可转化为|MA|＋|MB|的最小值,利 用对 称 思 想 可 知 |MA| ＋ |MB| ≥ |A′B | ＝ (－１＋２)２＋(３＋４)２＝５ ２,即f(x)＝ x２＋４x＋２０＋ x２＋２x＋１０的最小值为５ ２． 答案:５ ２ 当堂达标 １．B　[|AB|＝ (－２－１)２＋(２＋２)２＝ ２５＝５．] ２．C　[BC边的中点D ３２ ,６( ) ,由两点之间的距离公式可得 |AD|＝ ３２－４( ) ２ ＋(６－１)２＝５ ５２ ． ] ３．C　[由|AB|＝ (a＋２)２＋(３＋１)２＝５,可知(a＋２)２＝９． ∴a＝１或－５．] ４．解析:由两点间的距离公式,得|AC|＝ [３－(－１)]２＋(４－０)２＝４ ２, |CB|＝ (３－５)２＋(４－６)２＝２ ２,故|AC||CB|＝ ４ ２ ２ ２ ＝２． 答案:２ ５．解:直 线 AB 的 斜 率k＝ ２－５－１－２＝１ ,AB 中 点 坐 标 为 １ ２ ,７ ２( ) ,点斜式得所求直线方程为y－ ７ ２ ＝x－ １ ２ ,即x －y＋３＝０． 第２课时　点到直线的距离公式 第３课时　两条平行直线间的距离公式 课前预习学案 情境引入 提示:铺设一条从饭馆到公路的垂直道路,道路的长度最短． 知识梳理 知识点一１．垂足　２． |Ax０＋By０＋C| A２＋B２ [思考] １．[提示]　要求直线的方程应化为一般式． 知识点二１．公垂线段　２．点到直线　３． |C２－C１| A２＋B２ 　 [思考] ２．[提示]　两条平行直线的方程都是一般式,且x,y对应的 系数应分别相等． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２２􀅰 参考答案