第一章 1.6 第2课时 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

第2课时　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离公式 [学习目标]　1.探索并掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用．　2.会求两条平行直线间的距离． 知识点一　点到直线的距离公式 在平面直角坐标系中，有一点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)，如何求出点P到直线l的距离d? 提示：　设M(x1，y1)是直线l上任意一点，n＝(A，B)是直线l的一个法向量，按照向量数量积的几何意义可知，P(x0，y0)到直线l的距离d满足d＝. 所以d＝ ＝， 又Ax1＋By1＋C＝0，所以d＝(其中A，B不全为0)． 1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离． 2．公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝(其中A，B不全为0)． [微提醒]　(1)点到直线的距离公式的特点：①分母是直线方程的一般式中x，y的系数平方和的算术平方根；②分子是直线方程的一般式中等号左边代入点的坐标后的绝对值|Ax0＋By0＋C|. (2)在应用点到直线的距离公式时，若给出的直线方程不是一般式，应先把方程化为一般式． [记结论]　点到几种特殊直线的距离：(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；(3)点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；(4)点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|. (链接教材P23例23)求点P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝x＋； 解析：　(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝. (2)y＝6； (2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8. (3)x＝4. (3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1. 　　方法技巧 点到直线的距离的求解方法 1．求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． 2．直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 3.若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． [注意]　点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．　　 即时练1.(2023·浙江温州新力量联盟期中)点P(3，2)到直线x－y－3＝0的距离为(　　) A．1 B． C．2 D． B　点P到直线的距离d＝＝.故选B．] 即时练2.(2022·黑龙江大庆高二期末)已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　) A． B．2－ C．－1 D．＋1 C　由点到直线的距离公式得＝1，解得a＝－1或a＝－－1.又a＞0，所以a＝－1.故选C．] 学生用书第22页 知识点二　两条平行直线间的距离公式 请回答以下问题： 1．已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 提示：　根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离． 2．怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？ 提示：　在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x1，y1)，点P(x1，y1)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离就是这两条平行直线间的距离即d＝， 因为点P(x1，y1)在直线Ax＋By＋C1＝0上， 所以Ax1＋By1＋C1＝0，即Ax1＋By1＝－C1， 因此d＝＝ ＝. 1．概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝(其中A，B不全为0，且C1≠C2)． [微提醒]　使用两条平行直线间的距离公式的前提：(1)把直线方程化为直线的一般式方程；(2)两条直线方程中x，y的系数必须分别相等． (1)(链接教材P24例24)两条平行线4x＋3y＋3＝0与8x＋6y－9＝0的距离为(　　) A． B． C． D． 解析：　(1)将直线8x＋6y－9＝0化为4x＋3y－＝0，所以两条平行直线间的距离为＝.故选D． (2)已知直线l1：x＋2y＋a＝0，l2：2x＋4y＋1＝0相互平行，且l1，l2间的距离为，则a的值为(　　) A． B．6 C．或－ D．6或－4 (2) l2：2x＋4y＋1＝0，即x＋2y＋＝0，所以l1，l2间的距离为＝，解得a＝或a＝－.故选C． 答案：　(1)D　(2)C 　　方法技巧 两条平行直线间的距