第二章 圆锥曲线 B卷·素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂单元双测卷（北师大版2019）

　　　　　第二章　圆锥曲线 　　　　　B卷﹒素养提升卷 一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共 ４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的． １．与椭圆９x２＋４y２＝３６有相同焦点,且短 轴长为２的椭圆的标准方程为 (　　 ) A．x ２ ４＋ y２ ３＝１　　　　B． y２ ６＋x ２＝１ C．x ２ ６＋y ２＝１ D．x ２ ８＋ y２ ５＝１ ２．直线y＝x绕原点逆时针方向旋转π１２ 后 与双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的一 条渐近线重合,则双曲线C的离心率为 (　　) A．２ ３３ B． ４ ３ C．２ D．４ ３．设椭圆的两个焦点分别为F１、F２,过F２ 作椭 圆 长 轴 的 垂 线 交 椭 圆 于 点 P,若 △F１PF２ 为等腰直角三角形,则椭圆的 离心率是 (　　 ) A．２－１ B．２２ C．２－ ２ D．２－１２ ４．在平面内,A,B 是两个定点,C 是动点, 若AC →􀅰BC → ＝１,则点C的轨迹为 (　　) A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 ５．在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中,若 方 程 x２ １０－m＋ y２ ６－m ＝１ 表 示 椭 圆 E,方 程 x２ ５－n＋ y２ ９－n＝１ 表示双曲线C,则对于任 意满足条件的实数m,n,椭圆E 与双曲 线C 的 (　　) A．焦距相同 B．离心率相等 C．准线相同 D．焦点相同 ６．双曲线x ２ ２－ y２ ７＝１ 的右焦点到直线ax＋ y－a－１＝０的距离的最大值为 (　　) A．３ B．２ C．５ D．３ ７．黄金分割起源于公元前６世纪古希腊的 毕达哥拉斯学派,公元前４世纪,古希腊 数学家欧多克索斯第一个系统研究了这 一问题,公元前３００年前后欧几里得撰 写«几何原本»时吸收了欧多克索斯的研 究成果,进一步系统论述了黄金分割,成 为最早的有关黄金分割的论著．黄金分 割是指将整体一分为二,较大部分与整 体部分的比值等于较小部分与较大部分 的比值,其比值为 ５－１ ２ ,把 ５－１ ２ 称为黄 金分割数．已知双曲线 x ２ (５－１)２ －y ２ m＝１ 的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割 数,则m 的值为 (　　 ) A．２ ５－２ B．５＋１ C．２ D．２ ５ ８．已知双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１１(a＞０,b＞０)的 左、右焦点分别为F１、F２,点P 为双曲线 右支上一点,满足(OP → ＋OF２ →)􀅰PF２ → ＝０ (O 为坐标原点),∠PF１F２＝ π ６ ,则该双 曲线的离心率为 (　　 ) A．３＋１ B．２ C．３ D．３－１ 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共 １８分．在每小题给出的四个选项中,有多项 符合题目要求．全部选对的得６分,部分选 对的得部分分,有选错的得０分． ９．已知抛物线E:x２＝４y的焦点为F,圆C: x２＋(y－１)２＝１６与抛物线E 交于A,B 两点,点P 为劣弧AB 上不同于A,B 的 一个动点,过点P 作平行于y 轴的直线l 交抛物线E 于点N,则 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页１第　卷 　章二第　题试学数 A．点P 的纵坐标的取值范围是(２ ３,５) B．PN＋NF 等于点P 到抛物线E 的准 线的距离 C．圆C的圆心到抛物线E 的准线的距离 为２ D．△PFN 周长的取值范围是(８,１０) １０．若双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的 实轴长为６,焦距为１０,右焦点为F, 则下列结论正确的是 (　　 ) A．C的渐近线上的点到F 距离的最小 值为４ B．C的离心率为５４ C．C上的点到F 距离的最小值为２ D．过F的最短的弦长为３２３ １１．泰戈尔说过一句话:世界上最远的距 离,不是树枝无法相依,而是相互了望 的星星,却没有交会的轨迹;世界上最 远的距离,不是星星之间的轨迹,而是 纵然轨迹交会,却在转瞬间无处寻觅． 已知点 M(１,０),直线l:x＝－２,若某直 线上存在点P,使得点P 到点M 的距离 比到直线l的距离小１,则称该直线为 “最远距离直线”,则下列结论正确的是 (　　 ) A．点P 的轨迹曲线是一条线段 B．点P的轨迹与直线l′:x＝－１是没有交 会的轨迹(即两个轨迹没有交点) C．y＝２x＋６不是“最远距离直线” D．y＝１２x＋１ 是“最远距离直线” 三、填空题:本大题共３小题,每小题５分, 共１５分． １２．数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观, 形少数时难入微”．事实上,很多代数问 题可以转化为几何问题加以解决．例 如:与 (x－a)２＋(y－b)２相关的代数问 题,可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之 间距离的几何问题．结合上述观点．可 得方程|x２＋６x＋１３－ x２－６x＋１３| ＝４的解为　　　　　． １３．如图,已知椭圆C１ 和双曲线C２ 交于 P１、P２、P３、P４ 四个点,F１ 和F２ 分别是 C１ 的左右焦点,也是C２ 的左右焦点,并 且六边形P１P２F１P３P４F２ 是正六边形． 若椭圆C１ 的方程为 x２ ４＋２ ３ ＋ y ２ ２ ３ ＝１, 则双曲线C２ 的方程为 　． １４．如图,已知抛物线 的方程为x２＝２py (p＞０),过点A(０, －１)作直线l与抛 物线相交于 P,Q 两点,点B的坐标为(０,１),连接BP,BQ, 设QB,BP与x轴分别相交于M,N 两点． 如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为－ ３,则∠MBN 的大小等于　　　　． 四、本大题共５小题,共７７分,解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． １５．(本小题满分１３分)设O 为坐标原点, 动点 M 在椭圆C:x ２ ２＋y ２＝１上,过 M 作x 轴的垂线,垂足为N,点P 满足NP → ＝ ２NM → ． (１)求点P 的轨迹方程; (２)设点Q 在直线x＝－３上,且OP →􀅰 PQ → ＝１． 证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l过 C 的左焦点F． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页２第　卷 　章二第　题试学数 １６．(本小题满分１５分)双曲线C的中心在 原点,右焦点为F ２ ３ ３ ,０ æ è ç ö ø ÷,渐近线方程为 y＝±３x． (１)求双曲线C的方程; (２)设直线l:y＝kx＋１与双曲线C 交 于A,B 两点,问:当k为何值时,以AB 为直径的圆过原点． １７．(本小题满分１５分)如图,在平面直角 坐标系xOy中,A,B 是椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１ (a＞b＞０)的左、右顶点,短轴长为２ ３, 离心率e＝１２．F 是右焦点,过F 点任作 直线l交椭圆于M,N 两点． (１)求椭圆的方程; (２)试探究直线AM 与直线BN 的交点 P 是否落在某条定直线上? 若是,请求 出该 定 直 线 的 方 程;若 不 是,请 说 明 理由． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页３第　卷 　章二第　题试学数 １８．(本小题满分１７分)在平面直角坐标系 xOy中,抛物线E:y２＝２px(p＞０)上一 点S(４,y０)(y０＞０)到焦点 F 的距离 |SF|＝５．不经过点S 的直线l与E 交 于A,B． (１)求抛物线E 的标准方程; (２)若直线AS,BS的斜率之和为２, 证明:直线l过定点． １９．(本小题满分１７分)给定椭圆C:y ２ a２ ＋x ２ b２ ＝１(a＞b＞０),称圆心在原点O,半径为 a２＋b２的圆是椭圆C的“卫星圆”．若椭 圆C的离心率 ２２ ,点(２,２)在C上． (１)求 椭 圆 C 的 方 程 和 其 “卫 星 圆” 方程; (２)点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个 动点,过点P 作直线l１,l２ 使得l１⊥l２, 与椭圆C 都只有一个交点,且l１,l２ 分 别交其“卫星圆”于点 M,N,证明:弦长 |MN|为定值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页４第　卷 　章二第　题试学数 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 第二章　圆锥曲线􀅰B卷 数学答题卡 选择题(１－８小题,每小题５分,９－１１小题,每小题６分,共５８分) １ A B C D ４ A B C D ７ A B C D １０ A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１ A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３ A B C D ６ A B C D ９ A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 非选择题　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(每小题５分,共１５分) １２．　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　 解答题(共７７分) １５．(１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 卷 􀅰章二第　)页４共(　页１第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(１５分) １７．(１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 卷 􀅰章二第　)页４共(　页２第　卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 卷 􀅰章二第　)页４共(　页３第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 卷 􀅰章二第　)页４共(　页４第　卡题答学数 参考答案 17.解：(1)因为椭圆C1的右焦，点坐标为：F(,0),所以 抛物线C2的方程为y2=4cx,其中c=√a2-b.不妨 ③：满国方程号+号-1A0.2. 设P(x,y),则|PA|2=x2十(y-2)2=a2 设A,C点第一象限，周为糕国G的方程为导+活 (-)+-2=(2)F-4+4+, ,所以当=c时有怎十长=1Py=士用此 a>2,y∈[-2,2]， A,B的纵坐标分别为，-2 -<0,函数开口向下， aa 日三次预系数 由题意得，当且仅当y=一2时函数值达到最大， 又因为抛物线C2的方程为y2=4cx,所以当x=G fa>2, 时，有y2=4c·c→y=士2c, ≤-2解得：2<a≤22， 所以C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故AB1=2 2-a2 a 4 ICD=c由CD=号1AB得4c=验， 综上，a的范固为(2,2√2， 第二章圆锥曲线(B卷) =2-2(6)2,解得6=-2（合去）.5= a 'u 2 选择题答案速查 所以G的离心率为号 题号 345678 9 10 11 .2 答案 B CAA A C AA BCD AC BCD (2)由D知a=2c,b=3c,故C后+岩=1，所以 1.B[圆9r2+4y=36可化为标准方程号+苦-1 C1的四个顶点坐标分别为(2,0)（一2,0），(0,5c), (0,一3c),C2的准线为x=-c. 可知描国后+号=1的焦点在y轴上，焦点坐标为 由已知得3c+c+c十c=12,即c=2. 所以G的标准方程为后+益-1，G,的标准方程为 0,士，做可说所桌销调方程为号+后 =1(a>b>0). 则c=5.又2b=2,即b=1,所以a2=b2+c2=6,故所 y2=8.x. 2 18.解：(1)由 +1解得 a2=5 求描国的标准方程为苦十2=1.] 5即椭圆的方程 2a=25, 3 2.C[直线y=x绕原点递时针方向旋转器后得直线的 -=1 领斜角为登十晋=吾，则旋转后的直线方程为y= [y=k(x+1) x,所以总=，双曲线C的高心率e1+(白)】 =2.] (2)设A(x1y1),B(x2y2),联立 3.A[△F1PF2为等腰直角三角形，2c= b2-a2-c2 3 得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5-0. 即2ac=a2-c2得e2+2e-1=0,解得e=2-1. 6k2 3k2+7x1x2 3k2-5 4.A[设AB=2a(a>0),以AB中 x1+x2= 3k2+1 点为坐标原点建立如图所示的平 面直角坐标系，则：A(一a,0),B(a 0),设C(.,y),可得：AC=(x十ay), (西+3)+)+的 BC=(r-a:y). -1+)+(+2）+)+2+9 从而：AC·BC=(x十a)(x-a)十y2,结合题意可得： (x十a)(.x-a)+y2=1,整理可得：x2+y2=a2+1.即 二-5+9+= 点C的轨迹是以AB中，点为圆心，√2+1为半径 3k2+1 的国.] PA·PB为定值 +2 1.解：1D由题高：亏+号-1，剥A0.2. 5.A[由0-m6-m x2 =1表示椭圆， 10-m>0 设P(x,y),则1PA|2=x2+(y-2)2=5× 则6-m>0 →m<6,且焦距为 (10-m≠6-m （1-)+(g-22=-y2-4+9ve[-2.2. 2V(10-m)-(6-m)=4. 二次函数开口向下，对称轴y=一8，在y∈[一2,2] 由二n十。=1表示双南线：则5-09-)0户 上单调递减，y=一2时函数值最大，此时P为椭 5<n<9,即为焦点在y轴上的双曲线，故其焦距为 圆的短轴的另一个端点，∴.椭圆是“圆椭国”； 2√9-n-5十n=4,故BCD错误，] 135 数学(BS)·选择性必修第一册 6C[由题套，双南我号-号-1的a心2=2.公=1c2 y2=4.x,故A错误；点P的轨迹方程是抛物线y2= 4x,它与直线没交点， a2+b2=9,故右焦点为F(3,0),直线a.x十y-a-1= 即两者是没有交会的轨迹，故B正确：要满足“最远 a(x-1)+（y-1)=0经过定点A(1,1), 距离直线”则必须满足与上述抛物线y2=4x有交 ∴.|AF1=√(3-1)2+(0-1)严=5，故F到直线a.x+ 点，把y=2x十6代入抛物线y2=4x,消去y并整理 得x2+5.x+9=0 y-a-1=0的距离的最大值为AF|=5.] 因为△=52-4×1×9=一11<0，无解，所以y=2.x 7.A[由题意得，在双曲线中a2-(5-1)2, 十6不是“最远距离直线”，故C正确： b=m.∴.c2=a2+62=(5-1)2+m. 起y=之x十1代入抛物线)2=4红，消去y并整理得 ,双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数 x2-12x+4=0,因为△=(-12)2-4×1×4=128>0， 号要--学-= 2 2 有解，所以y=x十1是“最远距离直线”，故D 小。学每样a-25-门 正确.] 12.解析：将Wx2+6.x+13-√x2-6.x+131=4化简可 8.A[设双曲线的半焦距为C,取线段PF2的中点M, 得：W(x十3)2+4一√(x-3)+4=4,可得点(x,0)到 则(OP+OF2)·PF2=2OM·PF2=0, ,点（一3，一2），(3，一2)的距离之差的绝对值为4，故 .OMLPF2.又OM为△PF1F2的中位线，PF1⊥ 可得点(x,2)到点（一3,0），（一3,0）的距离之差的绝 对值为4，故可得该曲线为双曲线，且2u=4,a=2,( PF,△PF,F为直角三角形，又∠PF,F=否， 3,可得5所以该双曲线的标准方程为：子 ÷lPF-2ccos吾=ic,PF2=2 Besin=c y2 6 行=1，由点《2)在曲线上·可得号一号1，可得。 又PF11-lPF2l=2a.∴3c-c=2a,e=￡= 2 a=8-1 =±66 5 =3+1.] 9.BCD[,圆C:x2+(y-1)2=16的圆心为C(0,1), 答案：土6⑤ 5 半径r=4,.与y轴正半轴的交点为(05)， 13.解析：已 +2 =1.∴.c2=4+25-25= 抛物线E:x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为 4+2w3"23 y=-1,由x2=4y =1,(a>0,b>0) {x2+(y-1)2=16得x。,故点P c-2设G导 2a=|P2F2|-|P2F1|=23-2,∴a=3-1, 的纵坐标yp∈(3,5)，故A错误： ∴.b2=c2-a2=4-(3-1)2=23, 由抛物线的定义可得PN十NF等于点P到抛物线E 的准线的距离，故B正确： 因此C2: y2 =1,即3 y2 (W3-1)223 =1. 4-2525 易知圆C的圆心到抛物线E的准线的距离为2，故C 答案 正确：△PFN的周长为PF+PN+NF=r+yP+1= 4-2325 yn十5∈(8,10)，故D正确.] 14.解析：设直线PQ的方程为：y=k.x一1， 10.AC[由题意可得2a=6,2c=10.所以a=3c=5, P(x1y1),Q(x2y2) b=√e2-a2=4,右焦点F(5,0),渐近线的方程为4z 由红-得x2-2pkx+2p=0. {.x2=2py 一3y=0,所以C的渐近线上的点到F距离的最小值 △=4p2k2-8p>0. 为F到渐近线的距离d=c=b=4, 又西十2=2的1·1=2p,因为km=1 所以A正确，高心争一日-号所以B不正确： ko=地1 T2 双曲线上的点为顶点到焦点的距离最小，5一3=2， 所以C正确： 故k即十kQ= 2kx1x2-2(t1+x2） T1T2 过焦，点且垂直于x轴的直线被双曲线所藏的弦长为 =2k·2pD-2·2b=0,又km·k0=-3, 治-号而率为0时，孩长为实长2a=6<号 2p 故解得k即=√5，k阳=一5或即=一√3，kQ=√3， 所以最短的弦长为6，故D不正确.] 1L.BCD[由题意可得，点P到点M的距离比到直线l 所以∠BNM=号∠BMN=子，故∠MBN=x 的距离小1，即等价于“点P到点M的距离等于到直 ∠BNM-∠BMN= 线'：x=一1的距离”，故P点轨迹是以M(,0)为 焦点，直线：x=一1为准线的抛物线，其方程是 答案：膏 136 参考答案 15.解：(1)设P(xy),M(x0yo),则N(xa,0). Np=(x-xoy),NM=(0,%),由NP=2NM得 18.解：1D抛物线Ey2=2pr(p>0)的焦点F(侵0） 号周为Mo)在C上，所以号+ 准线方程为x= 2 兰L周先点P的载连有十y-2 因为批物线上一点S(4,y0)(y>0)到焦点F的距离 SF=5. (2)由题意知F(一1,0)，设Q(-3,t),P(m,n),则 OQ=(-3,1),PF=(-1-m,-),OQ·PF=3+ 由抛物线的定义得4计号=5，所以p=2. 3m一m. 所以抛物线E的标准方程是y3=4x: OP=(m.n).PQ=(-3-m.t-). (2)将x=4代入y2=4x可得y0=4或y%=一4 由0P.PQ=1得-3m-m2+tm-n2=1,又由(1)知 (舍)，所以，点S坐标为(4,4)， m2+n2=2,故3+3m-tn=0. 因为直线1的斜率不等于0，设直线1的方程是x= 所以OQ·PF=0,即OQ⊥PF.又过点P存在唯一直 my+,A(x1y1),B(22), 线垂直于OQ, 所以过点P且垂直于OQ的直线！过C的左焦点F 联立y2=4红 x=my+n得y2-4my-4n=0 16.解：(1)设双曲线的方程为巴-兰=1m>0), 因为直线1与E有两个交点，所以△=16m2-16m> m 3m 0,即m2-n>0. 则4m - 由韦达定理得少十业=4m 因为直线AS,BS的斜 行，故双询线的方程是3x2-y2-1. y1y2=-4n 故m= 率之和为2， (2)由y=x+1 {3x2-y2-1得(3-2)x2-2kx-2=0. 所以一4 1-4 =为1+4 +二4 由△>0，且3-k2≠0得一√6<k<6,且k≠士5， 设A(x1y1)、B(x2·y2),因为以AB为直径的圆过 原点，所以OA⊥OB, 所以x1x2十y1y2=0,又x1+x2= 2k 3-k21x2 4(y1+y2+8) 12+4y+2)+16=2,所以212+4(y1+ 2 3-k2 32)=0, 所以y1y2=(k1十1)(k.x2十1)=k2x1x2十k(x1十 将1十为三m代入上式可得：一8m十16m=0, x2)+1=1, (y1y2=-4n 所以2。十1=0，解得=主. 即n=2m, 所以直线1的方程是x=my十n=m(y十2)，它过定 c 1 点(0，-2) 2 17.解：(1)由题可得： 6=3 ,解得：a=2,b= a2=62+c2 19.解：(1)由条件可得： a 2’ 解得a=2√2，b=2, 4 5,c=1, 所以箱圆方程为：苦+号-1 所以机周的方程为苦+号-1，卫里国的方程为严 (2)设直线为l:x=ky+1,设M(x1y1),V(x2y2), x=ky+1 +y2=12, 由 (2)①当l1,l2中有一条无斜率时，不妨设1无斜率， +y=1·化简得(3k2+4)y2十6ky一9=0 3 因为1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=2或 6k -9 y1+y2= x=-2, 3k+41归=362+4 当方程为x=2时，此时与“卫星圆”交于点 MNI=4F2NI,MF2=3F2NI, (2,2√2)和(2，-2√2)， .MF2=3F2N, MF2=(1-x1,-y1),F2V=(x2-1,y2), 此时经过点(2,2√2)和(2，一2√②)，且与椭圆只有一 6k 个公共点的直线是y=士2√2， .-y1=3y2,…y1十y2= 3k2+41 ,h1⊥l2∴.线段MN应为“卫星圆"的直径， 3k 一9k 六%32+32+4 ∴.|MN|=43. 3k -9k -9 ②当，l2都有斜率时，设点P(xo%),其中x号十y好 六y次-3k2+4‘3次+4362+4 =12, 化简得32=32十4，此方程无解，所以不存在满足 设经过点P(x0·%)与椭圆只有一个公共点的直线 题意的直线L. 为x=t(y-yo)十x0: 137 数学(BS)·选择性必修第一册 x=1(y-%)十x0, 对于D项，设平面ABC的法向量是n=(x,y,z),因 则 +8=1, n·AB=0 为AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),所以 消去y得到(1+212)y2+41(.xo-1y)y+2(x0 n·AC=0 ty%)2-8=0, 则(2x+y=0 令x=1,则平面ABC的一个法 ∴.△=(64-8v)2+16x0y01+32-8.x号=0. 1-x+2y+x=0 32-8x32-8(12-62=-1. 向量为n=(1,一2,5)，所以D项正确.] ∴12=64-88 64-8y 6.D[直三棱柱ABCA'B'C 所以t1·t2=一1，满足条件的两直线，l2垂直. 中，AC=BC=AA',∠ACB ∴.线段MN应为“卫星圆”的直径，∴.|MN|=4√3， =90°，E为BB的中点. 综合①②知：因为1，lg经过点P(x0y%),又分别交 以C为原点，CA为x轴， 其卫星圈于点M、N,且1l2垂直， CB为y轴，CC为x轴，建 所以线段MN为卫星圆x后十好=12的直径， 立空间直角坐标系， 所以弦长MN|为定值43. 设AC=BC=AA'=2,则C(0,0,0),E(0,2,1),C(0, 第三章空间向量与立体几何(A卷) 0,2).A(2,0,0),CE=(0,2,1).CA=(2,0,-2) 选择题答素速查 设异面直线CE与C'A所成角为0，则cos0 题号 1 2 34567 10 ICE.CA 210 1CE·C'A5·810 答案AD BCD D DA AC ACDABD 1.A[由题图AB-CB-DC+DA=AB+BC+CD+ 并面直线CE与CA所或角的余孩值为沿.] DA=0.] 7.D[E(1,0,0),B1(2,0,2),C(2,2,0),F(0yx) 2.D 所以B1E-(-1,0,-2),CF-(-2,y-2,x), 3.B[两平行平面a,3分别经过坐标原点O和点A(2, 因为CF⊥B1E,所以B1E·CF=0,即(-1)X(-2) 1.1),OA=(2,1,1),且两平面的一个法向量n= 十0×(y-2)-2x=0,所以之-1=0.] （-1.0,1),·两平面间的距离d=m0A 8.A[由题图象可知，AP,=AB+BP n 81-号别 则AB·AP,-AB(AB+BP)=AB+AB·BP:, 2 因为棱长为1，AB⊥BP, 4.C[连接DN,如图所示， D 所以AB.BP=0,AB·AP,=AB+AB.BP,=1十 四面体ABCD中，DA=a,DB= 0=1. b,DC=c,点M在棱DA上，且 故集合yy=AB.AP,i=1,2、3、…,8)中的元素个 Di=3MiDi=Di,又N 数为1.] 为BC中点， 9.AC[因为AP.AB=0,故A正确：BP=(3,-3,-3) :D=号(Di+DC): AP.BP=3十6-3=6≠0，故B不正确：BC=(6,1, ∴=Mi+D示=-是Di+(D成+DC) -4),BC1=√62+12+(-4)严=√53，故C正确：AP =(1,-2,1),BC=(6,1,一4)，各个对应分量的比例 、 -jatto+ge.] 不同，故D不正确.] 5.D[对于A项，AB=(21,0),AC-(-1,2,1D,所以 10.ACD[由题意可得A(3,0,0),B(3,2,0),C(0,2,0), AB≠AAC,则AB与AC不是共线向量，所以A项 D(0.0,1),A'(3,0,1),C(0,2.1),B(3,2,1) 错误： 选项A:所以BD=(-3,-2,1),则A正确. 对于B项，因为AB-(2,1,0),所以AB的单位向量为 选项B:,DA=(3,0,1),BD=(-3,-2,1)所以 〔停o小所以B项错 Cos(DA'.BD')=_ DA'.BD -8 DA·BD10·14 对于C项，向量AB=(2,1,0),BC=(-3.1,1),所以 -4w35 35 ,所以异面直线A'D与BD'所成角的余弦值 |AB1·IBC 错误： 为别B不正确。 138