专题03 圆锥曲线中常考二级结论应用（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

专题03 圆锥曲线中常考二级结论应用 （题型突破·举一反三） 题型01 焦点三角形面积公式的应用 题型02 圆锥曲线的通径的问题 题型03 中点弦公式(点差法) 题型04 圆锥曲线的第三定义 题型05 焦比公式 题型06 焦半径公式 题型07 圆锥曲线中内切圆的问题 题型08 抛物线焦点弦的性质 ▌题型01 焦点三角形面积公式的应用 一、椭圆焦点三角形面积公式结论 设椭圆标准方程为（），其中： 两个焦点为、（焦距，且满足）； 椭圆上任意一点为，则称为焦点三角形，记. 焦点三角形面积有两个核心公式： 1.角度式：； 2.坐标式：. 二、双曲线焦点三角形面积公式结论 双曲线（），焦点、（），，则： 【典例1】（2026·浙江·二模）已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，利用的面积，结合椭圆方程求得点，再由角平分线定理求得点。即可求得的角平分线所在的直线方程. 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则，    于是的面积为，取，代入，可得， 则直线轴，且， 设的角平分线交轴于点，则， 又，则得，故， 则直线的斜率为，其方程为，即. 【变式1-1】（25-26高二上·江苏淮安·期末）已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 【答案】 【分析】先利用已知条件和椭圆定义求出，与，然后利用余弦定理求出，再求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】椭圆的方程为，. ，，. 又，得. 在中，由余弦定理得：，. . 故答案为： 【变式1-2】（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 【变式1-3】（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【答案】48 【分析】根据所给条件结合双曲线的定义求出.方法一：过点作的垂线交于，求出的高，即可求出三角形的面积；方法二：在中运用余弦定理求得，求得，进而求出三角形的面积；方法三：根据海伦公式求三角形的面积. 【详解】由可得，，， ， ， 方法一：过点作的垂线交于，则， ， 所以的面积为. 方法二：在中，. 因为，所以， 所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . ▌题型02 圆锥曲线的通径的问题 椭圆、双曲线通径公式结论 抛物线通径公式结论（通径长，抛物线的最短焦点弦） 【典例2】（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）通常把过椭圆的焦点且与过焦点的长轴垂直的弦称为椭圆的通径.已知椭圆的通径长为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得出椭圆的焦点在轴上，根据椭圆通径的长为以及椭圆离心率的公式即可求解. 【详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上， 所以，，， 因为椭圆的通径长为6，所以，即，解得， 故椭圆的离心率. 故选：C 【变式2-1】（2026·天津北辰·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点.若是虚轴长的倍，则该双曲线的一条渐近线为___________；若，分别交轴于，两点，且的周长为8，则的最大值为___________. 【答案】 （或） 【分析】由题意可知：.若是虚轴长的倍，列式整理可得，即可得渐近线方程；若的周长为8，分析可知，结合定义整理可得，代入结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知：，且该双曲线的焦点在x轴上， 若是虚轴长的倍，则，即， 所以该双曲线的一条渐近线为（或）； 由题意可知：∥，且为线段的中点，可知分别为，的中点， 则， 可得，结合对称性可知， 又因为点A在双曲线上，则，即， 可得，整理可得，解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：（或）；. 【变式2-2】（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）（多选）已知抛物线第一象限上的点，过点的直线与抛物线交于两点，则下面说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，直线与抛物线的另一个交点为，则 C．若，则 D． 【答案】AB 【分析】根据焦半径公式计算得出判断A，联立方程组再结合韦达定理得出焦点弦计算判断B，应用焦半径性质计算判断C，应用焦点弦计算判断D. 【详解】根据题意，因为，所以，解得，故选项A正确； 当时，，，点的坐标为，所以直线的方程为， 联立整理得，所以，， 所以点的坐标为，所以两点间距离公式得，故选项B正确； 设，所以，解得， 所以，故选项C错误； 对于抛物线，所以，又，所以， 当为通径时取等号，故选项D错误， 故选：AB. 【变式2-3】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质，利用已知面积关系推出，从而得出即为通径，结合已知条件求出的关系，进而利用求出的关系，从而求解离心率． 【详解】 椭圆的左、右焦点分别为， ， ， ，， ， ，故轴，是椭圆的通径，即， ， ，故， ，解得，即， ． ▌题型03 中点弦公式(点差法) 椭圆中点弦斜率： 结论类型 焦点在x轴椭圆 焦点在y轴椭圆 原始定义（长轴端点） 过原点弦 中点弦（中点） 双曲线中点弦斜率：弦中点，则 抛物线点差法结论：设抛物线的弦的中点为（），则直线的斜率 【典例3】（2026·山东聊城·模拟预测）已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线的斜率存在，且与交于，两点.若，则的斜率的取值范围是__________. 【答案】 【分析】首先根据向量关系得到两点的坐标和，利用点差法求直线的斜率表达式，然后利用中点在椭圆内推导参数关系，进而得到斜率的取值范围. 【详解】 设点，， 点，， ，， ， 的中点为， ，相减得， ， 的中点在椭圆内，所以， 化简得，则，令， 因为，函数单调递增， 所以，. 【变式3-1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知椭圆：，斜率为2的直线与椭圆相交于，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出，的坐标，利用点差法及直线斜率、中点，得到与的关系，结合得到与的关系，代入离心率公式求解即可. 【详解】设，，则，，. 因为点，在椭圆上，所以，. 所以， 所以，即. 又，所以. 又椭圆的离心率，所以. 【变式3-2】（25-26高三上·福建·开学考试）（多选） “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 【答案】ACD 【分析】A由黄金分割比定义可判断选项正误；B由点差法可判断选项正误；C判断是否等于可判断选项正误；D由，计算，，可判断选项正误. 【详解】对于 A，由题得离心率，故A正确； 对于B，设，，则点， 则，，两式作差得， 则，故B不正确； 对于C，易知，，则，双曲线的一条渐近线的斜率， 所以， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故C正确； 对于D，，， 由C选项可知有，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【变式3-3】（2026·新疆·一模）在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 【答案】 【分析】先根据方程求出焦点坐标，利用点差法及的斜率可求斜率，点斜式可求方程. 【详解】由双曲线的方程可知,设， 则，两式相减可得，即， 所以， 因为直线的斜率为，所以,所以， 直线的方程为，即，经检验符合题意. 故答案为： ▌题型04 圆锥曲线的第三定义 一、椭圆第三定义及结论 平面内，若动点与椭圆上原点对称端点、连线的斜率乘积为定值，则动点的轨迹为椭圆（除去、）。 椭圆类型 长轴端点坐标 斜率乘积定值 焦点在x轴 、 焦点在y轴 、 二、双曲线第三定义及结论 第三定义：A、B关于原点对称，在双曲线上（异于A、B），则 【典例4】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设是椭圆上异于A，B的点，，，把代入椭圆方程， 得，， 又，，又，，， ， 故B选项正确. 【变式4-1】（2026·宁夏·二模）在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)直线与轴交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）设出点的坐标，利用对称性写出的坐标，再根据斜率公式表示出与，将已知斜率之积代入并化简，即可得到轨迹的方程. （2）设，依次写出、的坐标，设，由得出正切关系式，结合椭圆方程消去，解出，从而判断存在点. 【详解】（1）设()，则. 直线的斜率，直线的斜率. 由，得，即. 整理得，即，故(，即). 所以的方程为(). （2）设()在上，则. 点与关于轴对称，故. 直线的方程为，令，得，所以. 直线的方程为，令，得，所以. 设，如图所示：，. 由，得，即. 由，得. 代入得，即. 因为，所以，即. 故存在点，坐标为或. 【变式4-2】（25-26高二上·贵州安顺·期末）已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由： 假设存在符合题设的直线，设， 则，两式相减整理得． 又因为为线段的中点，所以，， 所以直线的斜率． 由点斜式方程可知，直线的方程为，即． 由消去，整理得，（*） 判别式， 所以方程（*）无解，故直线与轨迹无交点，因此假设不成立， 故过点不能作直线，使得与交于，两点，且是线段的中点． 【分析】（1）设点，由两直线斜率之积化简求解方程； （2）假设存在符合题设的直线，由点差法求出直线斜率，验证可知直线不存在. 【详解】（1）设点， 则直线的斜率，直线的斜率， 由题意知，即，化简整理得， 所以点的轨迹的方程为． （2）略 【变式4-3】（25-26高二上·安徽·期中）设两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线，的斜率之积是2. (1)求动点的轨迹方程； (2)直线与曲线交于两点，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，将用坐标表示，化简可得点的轨迹方程； （2）联立直线与曲线，通过韦达定理以及弦长公式即可求解的值. 【详解】（1）设动点的坐标为，已知. 直线的斜率， 直线的斜率， 由题意，，即， 化简可得，；    （2）设， 联立得， 由韦达定理得， 根据弦长公式 , ∴综上所述，弦的长为 ▌题型05 焦比公式 一、椭圆焦比公式 焦比定义：（） 离心率表达式： 二、双曲线焦比公式 设双曲线（）的焦点为、，双曲线上一点满足焦比（，），，则离心率 【典例5】（25-26高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左焦点为，直线与交于，两点，若，则的离心率是__________. 【答案】 【分析】依题意，设，因为，则有，直线方程与椭圆方程联立，借助韦达定理得到，从而得到离心率. 【详解】 设，因为，所以，所以. 联立整理得， 则，， 从而，整理得， 故， 故答案为：. 【变式5-1】（25-26高二下·上海·期中）已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________． 【答案】/ 【分析】利用双曲线的对称性和题设条件，推出正三角形，求得点的坐标，代入双曲线方程，化成关于的齐次方程，解方程即得. 【详解】    如图，因直线与双曲线的图象均关于原点对称，故， 且直线的斜率为，故倾斜角为，即，则是正三角形， 则可得点的坐标为，代入，整理得： ， 因，代入整理得：， 即，解得，因，故. 故答案为：. 【变式5-2】（25-26高三下·贵州黔东南·阶段检测）双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，点关于原点的对称点为，，且，则双曲线的离心率为___________. 【答案】 【分析】设双曲线的左焦点为，连接，分析出四边形为矩形，设，利用勾股定理可得出，然后在中利用勾股定理可求得双曲线的离心率的值. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接， 因为、的中点都为，且，故四边形为矩形， 设，则，，， 由勾股定理可得，即，解得， 所以，，，由勾股定理可得， 所以，，即，因此，双曲线的离心率为. 故答案为：. 【变式5-3】（25-26高二上·湖南郴州·期末）已知过抛物线的焦点F，斜率为的直线交抛物线于两点，且，则__________；若直线与抛物线C相交于两点，满足，则__________. 【答案】 2 【解析】（1）联立方程后，采用焦点弦长公式写出弦长，得到关于的等式 （2）同样联立方程，用焦半径公式表示等式，建立等式计算即可 【详解】（1）设 联立方程可得 则 得 （2）联立可得 设 ， 由得即 则 ， 故答案为：（1）   （2） 【点睛】焦半径公式如下： 抛物线的焦点为F，为抛物线上的一点，则. ▌题型06 焦半径公式 一、椭圆有关的焦半径公式 焦半径定义：椭圆上任意一点到其中一个焦点的距离称为焦半径。以下分两种椭圆标准形式给出公式，其中，，离心率（）. （一）焦点在x轴上的椭圆（标准方程：） 左焦点对应的焦半径：； 右焦点对应的焦半径：. （二）焦点在y轴上的椭圆（标准方程：） 上焦点对应的焦半径：； 下焦点对应的焦半径：. 设椭圆标准方程为（），焦点为、，，离心率.过右焦点的直线倾斜角为（），与椭圆交于（近焦点侧）、（远焦点侧）两点，则： 1.焦半径公式： 近焦点侧：； 远焦点侧：； 2.焦点弦长公式： 二、双曲线有关的焦半径公式 1.焦半径（区分支）： 右支（）：， 左支（）：， 过右焦点的直线倾斜角为，交双曲线于A、B 1.与两支相交（）： 2.与右支相交（）： 过右焦点的直线交右支于A、B，则 【典例6】（2027高二·全国·专题练习）过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（   ） A． B． C． D．与弦的斜率有关 【答案】B 【分析】法一：当直线的斜率不存在时，可得，即可得；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立曲线方程，可得与交点横坐标有关的韦达定理，再表示出、后，结合所得韦达定理计算即可得.法二：利用焦长公式计算即可得. 【详解】法一：令，设，， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 由，解得，则，所以； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，整理得：， 方程的判别式， 所以，， 设椭圆的离心率为， 则 ， 同理，所以 ， 综上，； 法二：由椭圆对称性，不妨设焦点为左焦点，设， 则，； 故． 【变式6-1】（2026·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的右焦点和右顶点分别为，，点在上．若直线与的斜率之积为，且，则的离心率等于________． 【答案】或 【分析】设右焦点为，且，再设点在椭圆上，求得，根据直线和的斜率之积为，化简得到，再由，以及椭圆的焦半径公式，化简得到，求得或，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则右顶点， 设右焦点为，则，离心率为， 设点在椭圆上，可得，则， 又由直线和的斜率分别为， 因为直线和的斜率之积为，可得， 将代入上式，可得， 整理得，即， 即，所以， 因为，由椭圆的焦半径公式，可得， 又因为，可得，即，解得或， 所以椭圆的离心率为或. 【变式6-2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，则满足（其中为坐标原点）的点的个数为______． 【答案】4 【分析】设点，由焦半径公式表示出、，即可得到，再由得到方程，解得即可判断. 【详解】设点，则．由焦半径公式得， 故． ∵，∴，即． 又∵，解得，∴满足条件的点有4个． 故答案为： 【变式6-3】（2026·江苏·模拟预测）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与该双曲线交于两点，且点在第三象限，轴于点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为4 C． D．若，则内切圆的周长为 【答案】BCD 【分析】联立方程判断选项A的合理性；结合双曲线定义与几何不等式分析选项B；利用三角函数与渐近线性质推导选项C； 用三角形面积与内切圆公式计算选项D. 【详解】由题意可知，，则，所以，即，两点关于原点对称，且点在第三象限，设，则. 选项A，因为两点关于原点对称，所以原点是的中点，若，则，所以， 且，所以，得，，不可能，所以无法取到，所以A错误； 选项B，由双曲线的定义可知， ，所以， 因为轴于点，则，且，当且仅当时取等， 所以，所以B正确； 选项C，因为，又渐近线的斜率为， 所以，所以，所以C正确； 选项D，已知，设内切圆的半径为，则三角形面积， 又，，则， 而，则， 所以内切圆的周长为，所以D正确. 故选：BCD. ▌题型07 圆锥曲线中内切圆的问题 圆锥曲线中内切圆结论 1.内心定义：的内心是三条内角平分线的交点，也是内切圆圆心，满足： 到三边距离相等（即内切圆半径）； 坐标公式：任意三角形内心坐标为，其中为三角形三边长度（对应顶点对边），为顶点坐标. 【典例7】（2026·河北沧州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，的内切圆分别与，相切于点，，若，，则的离心率为__________. 【答案】 【分析】利用椭圆定义并结合题意求各边长，再根据余弦定理求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，设内切圆与相切于点， 由椭圆定义可知，， 又，，，，， 得，，， 所以，，，， 由余弦定理得， 即，化简得. 【变式7-1】（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知点是双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（   ） A．点的横坐标为 B．的周长为 C．小于 D．的内切圆半径为 【答案】ABCD 【分析】A.设出的坐标，通过的面积求出的纵坐标，再代入双曲线方程求出的横坐标； B.由两点距离公式求解距离，再得出的周长；C.由余弦定理求出的范围，作出判断；D.由面积，求出内切圆的半径. 【详解】由双曲线得，，，焦点 ，，焦距 . A.设 ，由面积公式： , 即，得 ，将 代入双曲线方程： ，得， 因 在右支，，故 ，所以A正确； B. 由，. 所以的周长是 ，所以B正确； C. 由余弦定理：, 因余弦函数在 单调递减，故 ，所以C正确； D. 设的内切圆半径为，则， 所以，所以D正确. 【变式7-2】（2026·广东佛山·二模）已知，分别为双曲线的左、右焦点，A，B两点均在双曲线H上，且满足（），，则的内切圆半径为______. 【答案】 【分析】首先根据向量的线性关系判断出的位置，设，根据双曲线的定义得到，在中，由余弦定理得到的一个关系式，根据的面积相等得到一个关于内切圆半径的方程，进而求解. 【详解】因为（），所以三点共线，且位于之间， 所以均在双曲线的右支上，如图： 所以, 设，则， 在中，由余弦定理得， 即， 展开并化简得. 因为，所以， 所以 . 设的内切圆半径为r，则 ， 由等面积法可得，解得. 【变式7-3】（25-26高二上·云南昆明·期末）（多选）已知椭圆的左右焦点分别为，是上一点（为坐标原点），则以下说法正确的是（   ） A．的周长为 B．存在点使得 C．若是直线被所截得线段的中点，则直线的方程为 D．若，则的内切圆半径为 【答案】AC 【分析】由椭圆方程可求得，进而可求的周长判断A；求得的最小值可判断B；利用点差法求得直线的方程判断C；利用面积法求得内切圆的半径判断D. 【详解】对于A，由椭圆，可得，所以， 所以的周长为，故A正确； 对于B， ， 当且仅当时取等号， 又，所以的最大值为， 故不存在点使得 对于C，显然直线的斜率存在，设， 则，所以，所以， 所以，所以， 所以直线的方程为，即，故C正确； 对于D，因为，由B选项得， 所以，解得， 所以， 设的内切圆半径为，所以， 所以，解得，故D错误. 故选：AC. ▌题型08 抛物线焦点弦的性质 结论1：抛物线的焦半径和焦点弦长与坐标有关的公式 焦半径公式 设抛物线上任意一点，则点到焦点的距离（焦半径）为 结论2：抛物线的焦半径和焦点弦长与倾斜角有关的公式 焦半径公式 焦点弦长公式 结论3：与焦半径有关的定值的公式 核心结论：过焦点的焦点弦，则为定值. 核心结论：过焦点的焦点弦，则为定值. 结论4：与倾斜角有关的面积定值公式 设过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则的面积 推论：当时，取得最小值. 结论5：过焦点直线中四个相切圆 设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，为原点，为在准线上的投影，则以下四个圆两两相切： 1.以为圆心，为半径的圆； 2.以为圆心，为半径的圆； 3.以为圆心，为半径的圆； 4.以为圆心，为半径的圆. 结论6：抛物线中的中点弦问题 点差法核心结论：设抛物线的弦的中点为（），则直线的斜率 【典例8】（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线l：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式可得，进而求出O到直线l的距离，进而求解即可. 【详解】由题意，设直线l：， 联立，得， 设，，则，， 故，则， 所以直线l：，即， 则O到直线l的距离为， 所以的面积为. 【变式8-1】（2026·辽宁盘锦·二模）已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，由，分别向准线引垂线，，垂足分别为，.设，，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用抛物线的定义求证，再在直角梯形中计算即可. 【详解】连接，因为，所以， 由抛物线的定义可知，，所以，则， 同理可得，，故， 由，可得，， 故在直角梯形中，， 因为为线段的中点，所以. 【变式8-2】（25-26高二上·湖南永州·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于、两点，下列说法正确的有（   ） A．抛物线准线方程为 B．若，则线段中点到轴距离为 C．的最小值为 D．以线段为直径的圆与准线相切 【答案】BD 【分析】根据抛物线的定义以及焦半径公式一一求解. 【详解】如图， 对于A：抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误； 对于B： 设，，由抛物线定义可得，， ，解得，中点纵坐标为，所以中点到轴距离为，故B正确； 对于C：，因为，所以，所以不存在最小值，故C错误； 对于D：设中点为，则，圆的半径为， 中点到准线的距离为，恰好等于半径，故D正确. 故选：BD. 【变式8-3】（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）（多选）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，是上的两点，且，则（    ） A．，使得 B．，使得 C． D． 【答案】ACD 【分析】由题可知，三点共线，根据可判断A，设直线的方程为，点，根据向量的符号，判断B；表示出即可判断其与的关系，从而判断C；利用抛物线的焦半径公式判断D. 【详解】由，知三点共线，且. 因为为抛物线的焦点，所以. 设直线的方程为，. 由，得. 所以. 所以. 对于A，由图可知，所以.因为，所以A正确； 对于B，因为，所以， 所以恒成立.即不存在，使得，所以B错误； 对于C，， 因为，，所以C正确； 对于D，，所以D正确. 故选：ACD.    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线中常考二级结论应用 （题型突破·举一反三） 题型01 焦点三角形面积公式的应用 题型02 圆锥曲线的通径的问题 题型03 中点弦公式(点差法) 题型04 圆锥曲线的第三定义 题型05 焦比公式 题型06 焦半径公式 题型07 圆锥曲线中内切圆的问题 题型08 抛物线焦点弦的性质 ▌题型01 焦点三角形面积公式的应用 一、椭圆焦点三角形面积公式结论 设椭圆标准方程为（），其中： 两个焦点为、（焦距，且满足）； 椭圆上任意一点为，则称为焦点三角形，记. 焦点三角形面积有两个核心公式： 1.角度式：； 2.坐标式：. 二、双曲线焦点三角形面积公式结论 双曲线（），焦点、（），，则： 【典例1】（2026·浙江·二模）已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·江苏淮安·期末）已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 【变式1-2】（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. ▌题型02 圆锥曲线的通径的问题 椭圆、双曲线通径公式结论 抛物线通径公式结论（通径长，抛物线的最短焦点弦） 【典例2】（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）通常把过椭圆的焦点且与过焦点的长轴垂直的弦称为椭圆的通径.已知椭圆的通径长为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·天津北辰·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点.若是虚轴长的倍，则该双曲线的一条渐近线为___________；若，分别交轴于，两点，且的周长为8，则的最大值为___________. 【变式2-2】（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）（多选）已知抛物线第一象限上的点，过点的直线与抛物线交于两点，则下面说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，直线与抛物线的另一个交点为，则 C．若，则 D． 【变式2-3】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． ▌题型03 中点弦公式(点差法) 椭圆中点弦斜率： 结论类型 焦点在x轴椭圆 焦点在y轴椭圆 原始定义（长轴端点） 过原点弦 中点弦（中点） 双曲线中点弦斜率：弦中点，则 抛物线点差法结论：设抛物线的弦的中点为（），则直线的斜率 【典例3】（2026·山东聊城·模拟预测）已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线的斜率存在，且与交于，两点.若，则的斜率的取值范围是__________. 【变式3-1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知椭圆：，斜率为2的直线与椭圆相交于，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高三上·福建·开学考试）（多选） “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 【变式3-3】（2026·新疆·一模）在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． ▌题型04 圆锥曲线的第三定义 一、椭圆第三定义及结论 平面内，若动点与椭圆上原点对称端点、连线的斜率乘积为定值，则动点的轨迹为椭圆（除去、）。 椭圆类型 长轴端点坐标 斜率乘积定值 焦点在x轴 、 焦点在y轴 、 二、双曲线第三定义及结论 第三定义：A、B关于原点对称，在双曲线上（异于A、B），则 【典例4】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·宁夏·二模）在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)直线与轴交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式4-2】（25-26高二上·贵州安顺·期末）已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 【变式4-3】（25-26高二上·安徽·期中）设两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线，的斜率之积是2. (1)求动点的轨迹方程； (2)直线与曲线交于两点，求的值. ▌题型05 焦比公式 一、椭圆焦比公式 焦比定义：（） 离心率表达式： 二、双曲线焦比公式 设双曲线（）的焦点为、，双曲线上一点满足焦比（，），，则离心率 【典例5】（25-26高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左焦点为，直线与交于，两点，若，则的离心率是__________. 【变式5-1】（25-26高二下·上海·期中）已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________． 【变式5-2】（25-26高三下·贵州黔东南·阶段检测）双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，点关于原点的对称点为，，且，则双曲线的离心率为___________. 【变式5-3】（25-26高二上·湖南郴州·期末）已知过抛物线的焦点F，斜率为的直线交抛物线于两点，且，则__________；若直线与抛物线C相交于两点，满足，则__________. ▌题型06 焦半径公式 一、椭圆有关的焦半径公式 焦半径定义：椭圆上任意一点到其中一个焦点的距离称为焦半径。以下分两种椭圆标准形式给出公式，其中，，离心率（）. （一）焦点在x轴上的椭圆（标准方程：） 左焦点对应的焦半径：； 右焦点对应的焦半径：. （二）焦点在y轴上的椭圆（标准方程：） 上焦点对应的焦半径：； 下焦点对应的焦半径：. 设椭圆标准方程为（），焦点为、，，离心率.过右焦点的直线倾斜角为（），与椭圆交于（近焦点侧）、（远焦点侧）两点，则： 1.焦半径公式： 近焦点侧：； 远焦点侧：； 2.焦点弦长公式： 二、双曲线有关的焦半径公式 1.焦半径（区分支）： 右支（）：， 左支（）：， 过右焦点的直线倾斜角为，交双曲线于A、B 1.与两支相交（）： 2.与右支相交（）： 过右焦点的直线交右支于A、B，则 【典例6】（2027高二·全国·专题练习）过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（   ） A． B． C． D．与弦的斜率有关 【变式6-1】（2026·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的右焦点和右顶点分别为，，点在上．若直线与的斜率之积为，且，则的离心率等于________． 【变式6-2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，则满足（其中为坐标原点）的点的个数为______． 【变式6-3】（2026·江苏·模拟预测）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与该双曲线交于两点，且点在第三象限，轴于点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为4 C． D．若，则内切圆的周长为 ▌题型07 圆锥曲线中内切圆的问题 圆锥曲线中内切圆结论 1.内心定义：的内心是三条内角平分线的交点，也是内切圆圆心，满足： 到三边距离相等（即内切圆半径）； 坐标公式：任意三角形内心坐标为，其中为三角形三边长度（对应顶点对边），为顶点坐标. 【典例7】（2026·河北沧州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，的内切圆分别与，相切于点，，若，，则的离心率为__________. 【变式7-1】（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知点是双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（   ） A．点的横坐标为 B．的周长为 C．小于 D．的内切圆半径为 【变式7-2】（2026·广东佛山·二模）已知，分别为双曲线的左、右焦点，A，B两点均在双曲线H上，且满足（），，则的内切圆半径为______. 【变式7-3】（25-26高二上·云南昆明·期末）（多选）已知椭圆的左右焦点分别为，是上一点（为坐标原点），则以下说法正确的是（   ） A．的周长为 B．存在点使得 C．若是直线被所截得线段的中点，则直线的方程为 D．若，则的内切圆半径为 ▌题型08 抛物线焦点弦的性质 结论1：抛物线的焦半径和焦点弦长与坐标有关的公式 焦半径公式 设抛物线上任意一点，则点到焦点的距离（焦半径）为 结论2：抛物线的焦半径和焦点弦长与倾斜角有关的公式 焦半径公式 焦点弦长公式 结论3：与焦半径有关的定值的公式 核心结论：过焦点的焦点弦，则为定值. 核心结论：过焦点的焦点弦，则为定值. 结论4：与倾斜角有关的面积定值公式 设过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则的面积 推论：当时，取得最小值. 结论5：过焦点直线中四个相切圆 设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，为原点，为在准线上的投影，则以下四个圆两两相切： 1.以为圆心，为半径的圆； 2.以为圆心，为半径的圆； 3.以为圆心，为半径的圆； 4.以为圆心，为半径的圆. 结论6：抛物线中的中点弦问题 点差法核心结论：设抛物线的弦的中点为（），则直线的斜率 【典例8】（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·辽宁盘锦·二模）已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，由，分别向准线引垂线，，垂足分别为，.设，，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·湖南永州·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于、两点，下列说法正确的有（   ） A．抛物线准线方程为 B．若，则线段中点到轴距离为 C．的最小值为 D．以线段为直径的圆与准线相切 【变式8-3】（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）（多选）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，是上的两点，且，则（    ） A．，使得 B．，使得 C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $