精品解析：江苏省 常州市2024-2025学年八年级下学期数学期末试卷

常州市2024-2025学年第二学期八年级期末质量调研 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为90分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应的位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填涂好答题卡上的考生信息． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分) 1. 若式子有意义，则的取值范围是（　　　） A. B. C. D. 2. 下列调查中，适合采用普查的是（ ） A. 了解长江中现有鱼的种类 B. 了解夏季冷饮市场上冰淇淋质量 C. 了解一批灯泡使用寿命 D. 了解全班每位同学所穿鞋子的尺码 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面朝上 B. 购买一张福利彩票，中奖 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 5. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、的坐标分别为，顶点在反比例函数的图像上，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 实验室一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 8. 小亮结合一次函数、反比例函数的学习经验，尝试探究函数的图像与性质，得到的结论中正确的是（ ） A. 它的自变量取值范围是全体实数 B. 它的图像在第一、三象限 C. 在自变量的取值范围内，随的增大而减小 D. 它的图像是轴对称图形，对称轴是轴 二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分) 9. 若分式的值为零，则______． 10. 若某城市人口万人，绿地面积1000万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为__________． 11. 计算，则中的数是______． 12. 在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共计个，每个球除颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率在附近摆动，则可估计这个袋中黑球的个数约为______． 13. 如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，化简的结果是____． 14. 已知y是x的反比例函数，x与y的部分对应值如下表所示．若，则c____________d(填“” “”或“” )． x 1 2 y a b c d 15. 如图，在菱形中，、分别是边、上的动点（点、均不与点重合），连接分别是的中点，连接．若，则的最小值是_____ 16. 将和按图1方式摆放，点与点重合，点与点重合，其中，，．现固定，将沿射线方向平移，连接，如图2．在平移过程中，当四边形是轴对称图形时，的长是__________． 三、解答题(本大题共9小题， 共68分． 第17，18，20，22，24题每题8分， 第19，21，23题每题6分， 第25题10分) 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 解方程：． 下面是小丽同学解这个方程的部分过程： 解： 第一步 …… （1）小丽第二步在方程的两边同乘，这样做的依据是__________（填序号）； ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③因式分解． （2）请将解方程的过程补充完整． 20. 我市今年“全民阅读日”的主题是“爱读书，读好书，善读书”．为了解学生每天的23．读书情况，某数学兴趣小组随机抽取了部分学生展开调查，了解他们每天读书时长情况，并按时长（单位：分钟）分为4个等级：；；；，将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有__________人，扇形统计图中的值是__________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）如果该校有1500名学生，请你估计该校每天读书时长不少于15分钟的学生大约有多少人？ 21. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为多少天? 22. 已知：如图，在四边形中，，是对角线的中点，过点的直线分别交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若__________，求证：_____．现有以下三个信息：①；②；③．从中选取两个信息，分别填入横线（填序号），并写出证明过程． 23. 如图，每个小方格都是正方形，线段、、、的端点都是格点（每个小方格的顶点叫作格点）． （1）在图1中，以为一边，画一个面积为12的四边形，使其为中心对称图形； （2）在图2中，以为一边，画一个面积为10四边形，使其为轴对称图形； （3）在图3中，线段绕点旋转得到线段，画出旋转中心． 24. 如图，是反比例函数图像上的两个动点，分别过点作轴、轴的垂线，垂足分别为，连接．设点的横坐标分别为，其中，． （1）若． ①__________； ②连接，求的面积（用含的代数式表示）； （2）点、到直线的距离相等吗？请说明理由． 25. 综合与实践 【问题情境】 类比三角形中位线的概念，连接四边形对边中点的线段叫作四边形的中位线．如图1，在四边形中，E、F分别是边的中点，连接，则是四边形的中位线．现探究中位线与边之间的数量关系． 【特例研究】 在四边形中，， E、F分别是边的中点． （1）如图2，若，则中位线与边有怎样的数量关系？请说明理由： （2）如图3，若与不平行，则中位线与边有怎样的数量关系？小明与小丽的思路如下： 小明思路 小丽的思路 如图4，将四边形绕点 F 旋转，得到四边形，则点E、F、Q共线，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴点B、C、P共线． ∵， ∴． ∵E是边的中点，， ∴． ∴四边形是平行四边形 (依据∶ )． ∴． ∴ (用等式表示与边之间的数量关系)． 如图5，连接并延长，交的延长线于点 P． ①在横线上填写相应的内容，完成小明的证明过程； ②接着小丽的思路，请将她的证明过程补充完整． 【迁移提升】 （3）在四边形中， E、F分别是边的中点． 若， 则中位线的最大值是 (用含m、n的代数式表示)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市2024-2025学年第二学期八年级期末质量调研 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为90分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应的位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填涂好答题卡上的考生信息． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分) 1. 若式子有意义，则的取值范围是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数得出，然后解不等式即可． 【详解】解：式子有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 2. 下列调查中，适合采用普查的是（ ） A. 了解长江中现有鱼的种类 B. 了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 C. 了解一批灯泡的使用寿命 D. 了解全班每位同学所穿鞋子的尺码 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抽样调查和全面调查，理解抽样调查和全面调查的意义是正确判断的前提．根据抽样调查和全面调查的意义，结合具体的问题情境进行判断即可． 【详解】解：A．了解长江中现有鱼的种类，适合使用抽样调查，故选项A不符合题意； B．了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量，适合抽样调查，故选项B不符合题意； C．了解一批灯泡使用寿命，由于实验具有破坏性，不适合采用普查，应采取抽查，故选项C不符合题意； D．了解全班每位同学所穿鞋子的尺码，由于全班每位同学的学生人数较少，适合使用普查，故选项D符合题意； 故选：D． 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可. 【详解】A. =3，故不是最简二次根式； B. =，故不是最简二次根式； C. ，是最简二次根式； D. =，故不是最简二次根式； 故选C. 【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，象这样的二次根式叫做最简二次根式. 4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面朝上 B. 购买一张福利彩票，中奖 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查必然事件、不可能事件，随机事件，理解必然事件、不可能事件，随机事件的意义是正确判断的前提． 根据必然事件、不可能事件，随机事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可． 【详解】解：A．抛掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能背面朝上，它是随机事件，因此选项A不符合题意； B．购买一张福利彩票会中奖是随机事件，因此选项B不符合题意； C．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，所以选项C符合题意； D．随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是奇数，有可能是偶数，因此是随机事件，因此选项D不符合题意； 故选：C． 5. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握运算法则．根据二次根式的运算法则逐一计算即可判断． 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、 与 不是同类二次根式，无法直接相加，，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、的坐标分别为，顶点在反比例函数的图像上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，过点作轴于点G，证明，推出，进而得到，得到，代入反比例函数的解析式式，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点G， ∵点、的坐标分别为， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴． 故选：B． 7. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准方程中等量关系是解题关键， 根据容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克及食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．可求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为克，故可得出减少了水分，即可得出答案． 【详解】根据分式方程可知： 食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分， x表示的意义是蒸发掉的水量． 故选：B． 8. 小亮结合一次函数、反比例函数的学习经验，尝试探究函数的图像与性质，得到的结论中正确的是（ ） A. 它的自变量取值范围是全体实数 B. 它的图像在第一、三象限 C. 在自变量的取值范围内，随的增大而减小 D. 它的图像是轴对称图形，对称轴是轴 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数，函数解析式，分析函数自变量取值范围、图像位置、增减性及对称性，逐一验证即可． 【详解】解：A：函数中，分母在时为0，无意义，故自变量取值范围是，而非全体实数，故不符合题意； B：当时，，位于第一象限； 当时，，图像位于第二象限， 因此图像在第一、二象限，而非第一、三象限，故不符合题意； C：分情况讨论： 当时，，增大则减小， 当时，，增大（趋近于0）时，减小，增大，故不符合题意； D：将替换为，得，函数值不变，故图像关于轴对称； 故选：D． 二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分) 9. 若分式的值为零，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，解方程和不等式等知识点，利用分式值为零的条件得到且，然后解方程和不等式即可，熟练掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解决此题的关键． 【详解】根据题意得且， 解得， 故答案为：． 10. 若某城市人口万人，绿地面积1000万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，直接用绿地面积乘以人数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 11. 计算，则中的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘法运算解答即可求解，掌握二次根式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴中的数是， 故答案：． 12. 在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共计个，每个球除颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率在附近摆动，则可估计这个袋中黑球的个数约为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，用乘以摸到黑球的频率即可求解，掌握试验次数很大时，事件出现的频率接近于事件发生的概率是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴估计这个袋中黑球的个数约为个， 故答案为：个． 13. 如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，化简的结果是____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，数轴．由数轴得到，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴ ， 故答案为：． 14. 已知y是x的反比例函数，x与y的部分对应值如下表所示．若，则c____________d(填“” “”或“” )． x 1 2 y a b c d 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据已知条件，判断出反比例函数在每一个象限内的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴在每一个象限内，随着的增大而减小， ∵， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，、分别是边、上的动点（点、均不与点重合），连接分别是的中点，连接．若，则的最小值是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，连接，由菱形的性质可得，由三角形中位线定理可得，当时，最小，也最小，则，再求出 ，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当时，最小，也最小，则， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 16. 将和按图1方式摆放，点与点重合，点与点重合，其中，，．现固定，将沿射线方向平移，连接，如图2．在平移过程中，当四边形是轴对称图形时，的长是__________． 【答案】6或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的性质，平移的性质，矩形的性质，勾股定理，正确判断出当四边形是轴对称图形时，四边形是菱形或矩形是解题的关键． 根据题意判断出当四边形是轴对称图形时，四边形是菱形或矩形，再分类求解，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由平移的性质得，点A，F，C，D共线， ∴， ∴四边形始终是平行四边形， ∴当四边形是轴对称图形时，四边形是菱形或矩形． ①当四边形是菱形时，此时点重合，如图 ∴． ②当四边形是矩形时，如图 ∴， 设， ∵，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． ∴ 故答案为：6或． 三、解答题(本大题共9小题， 共68分． 第17，18，20，22，24题每题8分， 第19，21，23题每题6分， 第25题10分) 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6 （2）0 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据二次根式乘除法则运算． 【小问1详解】 解∶ ； 【小问2详解】 解∶ ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，分式的混合计算，熟知分式的相关计算法则是解题的关键． （1）先把原式变形为，再根据同分母分式减法计算法则求解即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可． 【小问1详解】 解∶ 原式 ． 【小问2详解】 解∶ 原式 19. 解方程：． 下面是小丽同学解这个方程的部分过程： 解： 第一步 …… （1）小丽第二步在方程的两边同乘，这样做的依据是__________（填序号）； ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③因式分解． （2）请将解方程的过程补充完整． 【答案】（1）① （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程； （1）由等式的基本性质即可求解； （2）方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解． 【小问1详解】 解：该同学解法中第二步的依据是：等式的基本性质； 故答案为：①； 【小问2详解】 解：方程两边同乘以得 ， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解． 20. 我市今年“全民阅读日”的主题是“爱读书，读好书，善读书”．为了解学生每天的23．读书情况，某数学兴趣小组随机抽取了部分学生展开调查，了解他们每天读书时长情况，并按时长（单位：分钟）分为4个等级：；；；，将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有__________人，扇形统计图中的值是__________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）如果该校有1500名学生，请你估计该校每天读书时长不少于15分钟的学生大约有多少人？ 【答案】（1），20． （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用B等级的人数除以其人数占比即可得到这次被调查的学生人数；用D人数除以这次被调查的学生人数，得到D等级的人数占比，即可得到答案； （2）先求出C等级的人数，然后补全统计图即可； （3）用乘以样本中C等级和D等级的人数占比之和即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴这次被调查的学生共有人， ， ∴． 故答案为：，20． 【小问2详解】 由（1）得C等级的人数为人， 补全统计图如下所示： 【小问3详解】 人， ∴该校每天读书时长超过15分钟的学生大约有人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． 21. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为多少天? 【答案】天 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设规定时间为天， 由题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：规定时间是天． 22. 已知：如图，在四边形中，，是对角线的中点，过点的直线分别交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若__________，求证：_____．现有以下三个信息：①；②；③．从中选取两个信息，分别填入横线（填序号），并写出证明过程． 【答案】（1）证明见解析 （2）①，③或③，①，证明见解析 【解析】 【分析】（）证明，得到，进而即可求证； （）根据矩形的判定和性质求证即可； 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 证明： ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：若①，求证：③． 证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形 ， ∴， 故答案为：①，③； 若③，求证：①． 证明：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形 ， ∴， ∴， 故答案为：③，①． 23. 如图，每个小方格都是正方形，线段、、、的端点都是格点（每个小方格的顶点叫作格点）． （1）在图1中，以为一边，画一个面积为12的四边形，使其为中心对称图形； （2）在图2中，以为一边，画一个面积为10的四边形，使其为轴对称图形； （3）在图3中，线段绕点旋转得到线段，画出旋转中心． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查格点作平行四边形，正方形，画出旋转中心，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据题意，作出面积为12的平行四边形，即可； （2）画出边长为的正方形，即可解答； （3）根据旋转中心是两组对应点的连线的垂直平分线的交点，再分类讨论，即可解答． 【小问1详解】 解：作图如图 该平行四边形为中心对称图形，面积为． 【小问2详解】 作图如图，有 ， ， ∴四边形是菱形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 【小问3详解】 如图3，可得为一组对应点的垂直平分线，平分，， ∴是的垂直平分线， ∴点旋转中心． 如图，可得是的垂直平分线，，， ∴是的垂直平分线， ∴的交点，即为． 24. 如图，是反比例函数图像上两个动点，分别过点作轴、轴的垂线，垂足分别为，连接．设点的横坐标分别为，其中，． （1）若． ①__________； ②连接，求的面积（用含的代数式表示）； （2）点、到直线的距离相等吗？请说明理由． 【答案】（1）①2；② （2）相等，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，三角形面积计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形面积公式． （1）①根据，反比例函数的解析式为求出点N的纵坐标，即可求出的值； ②根据三角形面积公式进行求解即可； （2）连接、．求出，，说明，根据、有公共底边，说明点 P、Q到直线的距离相等． 【小问1详解】 解：①∵， ∴点N的横坐标为， 把代入得：， ∴点N的坐标为， ∴； 故答案为：2 ② ． 【小问2详解】 解：相等，理由如下： 连接、． ， ， ， ， 又∵、有公共底边， ∴点 P、Q到直线的距离相等． 25. 综合与实践 【问题情境】 类比三角形中位线的概念，连接四边形对边中点的线段叫作四边形的中位线．如图1，在四边形中，E、F分别是边的中点，连接，则是四边形的中位线．现探究中位线与边之间的数量关系． 【特例研究】 在四边形中，， E、F分别是边的中点． （1）如图2，若，则中位线与边有怎样的数量关系？请说明理由： （2）如图3，若与不平行，则中位线与边有怎样的数量关系？小明与小丽的思路如下： 小明的思路 小丽的思路 如图4，将四边形绕点 F 旋转，得到四边形，则点E、F、Q共线，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴点B、C、P共线． ∵， ∴． ∵E是边的中点，， ∴． ∴四边形是平行四边形 (依据∶ )． ∴． ∴ (用等式表示与边之间的数量关系)． 如图5，连接并延长，交的延长线于点 P． ①在横线上填写相应的内容，完成小明的证明过程； ②接着小丽的思路，请将她的证明过程补充完整． 【迁移提升】 （3）在四边形中， E、F分别是边的中点． 若， 则中位线的最大值是 (用含m、n的代数式表示)． 【答案】（1）， 理由见解析；（2）①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，；②见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键： （1）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）①根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形和线段的和差关系，进行作答即可； ②证明，得到，根据三角形的中位线定理，即可得出结论； （3）由（1）（2）可知，当时，；当与不平行时，作，交的延长线与点，连接，根据三角形的中位线定理和三角形的三边关系推出，即可得出结果． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵E、F分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）①如图4，将四边形绕点 F 旋转，得到四边形，则点E、F、Q共线，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴点B、C、P共线． ∵， ∴． ∵E是边的中点，， ∴． ∴四边形是平行四边形 (依据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)． ∴． ∴， ∴ (用等式表示与边之间的数量关系)． ②如图5，连接并延长，交的延长线于点 P． ∵E、F分别是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴； （3）由（1）（2）可知：当时，； 当与不平行时，如图： 作，交的延长线与点，连接， 同（2）法可得：， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； 故中位线的最大值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $