第二章 4.1 直线与圆锥曲线的交点-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　　§４　直线与圆锥曲线的位置关系 　　　４．１　直线与圆锥曲线的交点 [基础达标练] １．若直线y＝kx＋２与椭圆x ２ ３ ＋ y２ ２ ＝１ 相切,则斜率k的值是 (　　) A．６３ B．－ ６ ３ C．± ６３ D．± ３ ３ ２．无论k为何值,直线y＝kx＋２和曲线 x２ ９＋ y２ ４＝１ 交点情况满足 (　　) A．没有公共点 B．一个公共点 C．两个公共点 D．有公共点 ３．已知直线y＝kx－k及抛物线y２＝２px (p＞０),则 (　　) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 ４．已知双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)与 直线y＝２x有交点,则双曲线的离心率 的取值范围是 (　　) A．(１,５) B．(１,５)∪(５,＋∞) C．(５,＋∞) D．[５,＋∞) ５．(多选)过点(－２,１)作直线l,与抛物线 y２＝４x只有一个公共点,则下列直线l 的方程满足条件的是 (　　) A．y＝１ B．x＋２y＝０ C．x＋y＋１＝０ D．x－２y＋４＝０ ６．已知直线l:y＝kx＋t与圆:x２＋(y＋ １)２＝１相切,且与抛物线C:x２＝４y交 于不同的两点M,N,则实数t的取值范 围是　　　　　　． ７．斜率存在的直线l过点(０,－１)并与双 曲线C:y ２ ４－x ２＝１有且只有一个公共 点,则直线l斜率为　　　　　 　． ８．若直线y＝kx＋１(k∈R)与椭圆x ２ ５＋ y２ m ＝１ 恒 有 公 共 点,求 实 数 m 的 取 值 范围． [能力提升练] ９．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)已知椭圆C:x ２ ３＋ y２＝１的左、右焦点分别为F１,F２,直线 y＝x＋m 与 C 交 于 A,B 两 点,若 △F１AB 面积是△F２AB 面积的２倍, 则m＝ (　　) A．２３ B． ２ ３ C．－ ２３ D．－ ２ ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１３􀅰 第二章　圆锥曲线 １０．若直线l:y＝kx＋２与双曲线C:x２－ y２＝４的左、右两支各有一个交点,则 实数k的取值范围是 (　　) A．(－ ２,－１) B．(１,２) C．(－ ２,２) D．(－１,１) １１．椭圆x ２ １６＋ y２ １２＝１ 上的点到直线x－２y －１２＝０的距离的最大值为　　　　, 取得 最 大 值 时 对 应 的 点 的 坐 标 为 　　　　． １２．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点 为(２,０),右顶点为(３,０)． (１)求双曲线C的方程; (２)若直线l:y＝kx＋ ２与双曲线C恒 有两个不同的交点 A 和B,且OA → 􀅰 OB → ＞２,其中 O 为原点,求k 的取值 范围． [素养培优练] １３．阿基米德(公元前２８７年—公元前２１２ 年)是古希腊伟大的物理学家、数学 家、天文学家,不仅在物理学方面贡献 巨大,还享有“数学之神”的称号．抛物 线上任意两点 A,B 处的切线交于点 P,称△PAB 为“阿基米德三角形”,当 线段 AB 经 过 抛 物 线 焦 点 F 时, △PAB 具有以下特征:(１)P 点必在 抛物线的准线上;(２)△PAB 为直角 三角形,且PA⊥PB;(３)PF⊥AB．已 知过抛物线x２＝１６y焦点的直线l与 抛物线交于A,B 两点,过点A,B 处的 切线交于点P,若点P 的横坐标为２, 则直线AB 的方程为 (　　) A．x＋２y－８＝０ B．x－２y＋８＝０ C．x－４y＋１６＝０ D．x＋４y－１６＝０ １４．在平面直角坐标系xOy中,点 M 到点 F(１,０)的距离比它到y 轴的距离多 １．记点 M 的轨迹为C． (１)求轨迹C的方程; (２)设斜率为k的直线l过定点P(－２, １)．求直线l与轨迹C 恰好有一个公 共点、两个公共点、三个公共点时k的 相应取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１３􀅰 选择性必修第一册 ７．解析:设抛物线的方程为y２＝２px(p＞０),则 f＝p２． 设A(x０,y０),因为θ＝ ２π ３ ,所以|AF|＝x０＋p２＝ ２ p２－x０( ) ,所以x０＝ p ６ , 所以y０＝ ３ ３p ,所以d＝２y０＝ ２ ３ ３ p ,故其焦径比f d ＝ p ２ ２ ３ ３ p ＝ ３４． 答案:３ ４ ８．解:设所求抛物线的标准方程为x２＝２py(p＞０), A(x０,y０),由题知 M ０,－p２( )． ∵|AF|＝３,∴y０＋p２＝３．∵|AM|＝ １７ , ∴x２０＋ y０＋p２( ) ２ ＝１７, ∴x２０＝８,代入方程x２０＝２py０,得８＝２p ３－p２( ) ,解得p ＝２或p＝４．∴所求抛物线的标准方程为x２＝４y或x２ ＝８y． ９．A　[由题意,设P 在抛物线准线的投影为P′,抛物线的 焦点为F,则F(１２ ,０),根据抛物线的定义可知点P 到 该抛物线的准线的距离为|PP′|＝|PF|,则点 P 到点 (０,２)的距 离 与 点 P 到 该 抛 物 线 准 线 的 距 离 之 和d＝ |PF|＋|PA|≥|AF|＝ (１２ )２＋２２＝ １７２ ． ] １０．B　[若 使 吸 收 太 阳 光 的 效 果最好,容器灶圈应在抛物 面对 应 轴 截 面 的 抛 物 线 的 焦点 处,如 图,画 出 抛 物 面 的轴 截 面,并 建 立 坐 标 系, 设抛物线方程x２＝２py(p＞ ０),将集光板端点A(１,０．２５)代入抛物线方程可得２p ＝４,所以抛物线方程x２＝４y,故焦点坐标是F(０,１)． 所以容器灶圈应距离集光板顶点１m．] １１．D　[据题意知,△FPM 为等边三角形,|PF|＝|PM| ＝|FM|,∴PM⊥抛物线的准线．设 P m ２ ４ ,m( ) ,则 M (－１,m),等边三角形边长为１＋m ２ ４． 又由F(１,０),|PM| ＝|FM|,得１＋m ２ ４ ＝ (１＋１)２＋m２,得 m２＝１２,∴等 边三角形的边长为４,其面积为４ ３．] １２．解析:由已知及抛物线的定义得点A 到准线的距离为 ４,因此有３＋p２＝４ ,解得p＝２,故抛物线方程为y２＝ ４x,从而A(３,２ ３)．当△PAF 的周长最小即|PA|＋ |PF|的 值 最 小,设 F 关 于 准 线 的 对 称 点 为 F１,则 F１(－３,０),连接AF１,则AF１ 与准线的交点即为使得 |PA|＋ |PF| 的 值 最 小 的 点 P,此 时 可 求 得 P －１,２ ３３ æ è ç ö ø ÷．又因为kAF ＝ ２ ３－０ ３－１ ＝ ３ ,所以直线AF 的方程为y－０＝ ３(x－１),即 ３x－y－ ３＝０,故点P到直 线AF的距离d＝ － ３－２ ３３ － ３ (３)２＋１ ＝４ ３３ ． 答案:４ ３ ３ １３．D　[因为抛物线C:y２＝８x 的焦点F(２,０),准线方程 为x＝－２,点 M 在C 上, 所以 M 到准线x＝－２的距离为|MF|, 又 M 到直线x＝－３的距离为５, 所以|MF|＋１＝５,故|MF|＝４．] １４．解析:设桥拱所在抛物线方程x２＝－２py(p＞０),由题 图可知,曲线经过(２０,－５), 代入方程２０２＝－２p×(－５),解得:p＝４０,所以桥拱所 在抛物线方程x２＝－８０y; 四个溢流孔轮廓线相同,所以从右往左看,设第一个抛 物线C１:(x－１４)２＝－２p′y(p′＞０), 由题 图 抛 物 线 C１ 经 过 点 (２０,－５),则 (２０－１４)２ ＝ －２p′×(－５),解得p′＝１８５ , 所以C１:(x－１４)２＝－ ３６ ５y , 点A 即桥拱所在抛物线x２＝－８０y与C１:(x－１４)２＝ －３６５y 的交点坐标, 设A(x,y),７＜x＜１４,由 x２＝－８０y, (x－１４)２＝－３６５y , ７＜x＜１４, { 解得:x＝１４０１３ ,所以点A 的横坐标为１４０１３． 答案:(x－１４)２＝－３６５y　 １４０ １３ §４　直线与圆锥曲线的位置关系 ４．１　直线与圆锥曲线的交点 １．C　[由 y＝kx＋２, x２ ３＋ y２ ２＝１ ,{ 消去y,得(３k２＋２)x２＋１２kx＋６ ＝０, 由题意知Δ＝１４４k２－２４(３k２＋２)＝０,解得k＝± ６３． ] ２．D　[因为y＝kx＋２过定点(０,２),且椭圆x ２ ９＋ y２ ４＝１ 的 上顶点也为(０,２),所以当直线的斜率为０时,此时直线 与椭圆相切,仅有一个公共点,当直线的斜率不为零时, 此时直线与椭圆有两个交点,所以无法确定直线与椭圆 的公共点是一个还是两个．] ３．C　[∵直线y＝kx－k＝k(x－１),∴直线过点(１,０),又 点(１,０)在抛物线y２＝２px的内部, ∴当k＝０时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠０时, 直线与抛物线有两个公共点．] ４．C　[双曲线的一、三象限渐近线的斜率k＝ba , 要使双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１和直线y＝２x有交点,只要满足 b a ＞２ 即可,∴ c ２－a２ a ＞２ ,∴ e２－１＞２,∴e＞ ５．] ５．ACD　[由题意知直线l的斜率存在,设其方程为y－１ ＝k(x＋２), 由方程组 y－１＝k(x＋２), y２＝４x,{ (∗)可得ky ２－４y＋４(２k＋ １)＝０．① 当k＝０时,由方程①得y＝１,把y＝１代入y２＝４x,得x ＝１４ ,这时,直线l与抛物线只有一个公共点 １４ ,１( ) , 此时直线l的方程为y＝１． 当k≠０时,方程①的判别式为Δ＝－１６(２k２＋k－１)． 当Δ＝０时,即２k２＋k－１＝０,解得k＝－１或k＝１２ ,方 程①只有一个解,从而方程组(∗)只有一个解,这时直 线l与抛物线只有一个公共点． 此时直线l的方程为y－１＝－１(x＋２)或y－１＝１２ (x＋２), 即x＋y＋１＝０或x－２y＋４＝０．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８９３􀅰 选择性必修第一册 ６．解析:由 题 意 知 k≠０．因 为 直 线l 与 圆 相 切,所 以 |t＋１| １＋k２ ＝１,即k２＝t２＋２t．由k２＞０,得t＞０或t＜－２． 再把直线l的方程代入抛物线方程并整理,得x２－４kx －４t＝０,于是由Δ＝１６k２＋１６t＝１６(t２＋２t)＋１６t＞０,得 t＞０或t＜－３．综上,实数t的取值范围是(－∞,－３)∪ (０,＋∞)． 答案:(－∞,－３)∪(０,＋∞) ７．解析:由题意,设直线l的方程为y＝kx－１,代入双曲线 方程化简可得(k２－４)x２－２kx－３＝０, 当k２＝４即k＝±２时,(k２－４)x２－２kx－３＝０只有一 解,满足直线l与双曲线有且只有一个公共点;当k≠± ２时,令Δ＝４k２＋１２(k２－４)＝０,解得k＝± ３,此时方 程有两个相等实数根,满足直线l与双曲线有且只有一 个公共点;所以k＝±２或k＝± ３． 答案:± ３或± ２ ８．解:因为y＝kx＋１(k∈R)恒过点(０,１),则点(０,１)在椭 圆x ２ ５＋ y２ m＝１ 内或椭圆上时,直线与椭圆恒有公共点, 所以１ ２ m≤１ ,即m≥１． 当m＝５时,x ２ ５＋ y２ m ＝１ 不是椭圆,它是以原点为圆心, 半径为 ５的圆．因此,m 的取值范围为[１,５)∪(５,＋∞)． ９．C　[将直线y＝x＋m 与椭圆联立 y＝x＋m x２ ３＋y ２＝１{ ,消去y 可得４x２＋６mx＋３m２－３＝０,则Δ＝３６m２－４×４(３m２－ ３)＞０,解得－２＜m＜２, 由题意可知S△F１AB ＝２S△F２AB ,设椭圆 x２ ３＋y ２＝１的左、 右焦点分别为 F１,F２,到直线y＝x＋m 的距离分别为 d１、d２,所以有 １ ２ 􀅰|AB|􀅰d１＝２× １ ２ 􀅰|AB|􀅰d２,即 d１＝２d２,将d１＝ |－ ２＋m| ２ ,d２＝ |２＋m| ２ 代入上式,解 得m＝－ ２３ 或－３ ２(舍去)．] １０．D　[当直线l:y＝kx＋２与双曲线C:x２－y２＝４的渐 近线y＝±x平行时,k＝±１, 此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点,如图 所示: 因为直线l:y＝kx＋２与双曲线C:x２－y２＝４的左、右 两支各有一个交点, 所以k的取值范围为(－１,１)．] １１．解析:易知直线x－２y－１２＝０与椭圆x ２ １６＋ y２ １２＝１ 相 离．设与椭圆相切的直线l平行于直线x－２y－１２＝０, 则直线l的方程为y＝１２x＋t． 由方程组 y＝１２x＋t , x２ １６＋ y２ １２＝１ , ì î í ïï ï 消去y,得x２＋tx＋t２－１２＝０, 由Δ＝０,得t＝４或t＝－４, 当t＝４时,直线l与直线x－２y－１２＝０的距离最大, 此时l的方程为y＝１２x＋４ ,即x－２y＋８＝０,此时直线 l与直线x－２y－１２＝０的距离d＝４ ５．所以距离的最大 值为４ ５． 当t＝４时,由方程组得到的一元二次方程为x２＋４x＋ ４＝０,得x＝－２,即直线l与椭圆x ２ １６＋ y２ １２＝１ 相切,得 到的切点坐标为(－２,３)． 答案:４ ５　(－２,３) １２．解:(１)设双曲线C的方程为x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０),由已 知得a＝ ３,c＝２．又因为a２＋b２＝c２,所以b２＝１,故双曲 线C的方程为x ２ ３－y ２＝１． (２)将y＝kx＋ ２代入x ２ ３－y ２＝１中,得(１－３k２)x２－ ６ ２kx－９＝０, 由直线l与双曲线交于不同的两点得: １－３k２≠０, Δ＝(－６ ２k)２＋３６(１－３k２)＞０,{ 即k２≠１３ 且k２＜１．① 设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA＋xB＝ ６ ２k １－３k２ , xAxB＝ －９ １－３k２ , 由OA → 􀅰OB → ＞２得xAxB＋yAyB＞２, 而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋ ２)(kxB＋ ２)＝(k２＋ １)xAxB＋ ２k(xA＋xB)＋２ ＝(k２＋１)􀅰 －９ １－３k２ ＋ ２k 􀅰６ ２k １－３k２ ＋２＝３k ２＋７ ３k２－１ , 于是３k ２＋７ ３k２－１ ＞２,解此不等式得 １３＜k ２＜３．②　由①②得 １ ３＜k ２＜１． 故k的取值范围是 －１,－ ３３ æ è ç ö ø ÷∪ ３ ３ ,１ æ è ç ö ø ÷． １３．C　[抛物线x２＝１６y的焦点F 的坐标为(０,４),准线方 程为y＝－４, 由题意知,△PAB 为“阿基米德三角形”,可得 P 点必 在抛物线的准线上, 所以点P(２,－４),直线PF 的斜率为４－ (－４) ０－２ ＝－４ , 又因为PF⊥AB,所以直线AB 的斜率为１４ , 所以 直 线 AB 的 方 程 为y＝ １４x＋４ ,即 x－４y＋１６ ＝０．] １４．解:(１)设点 M(x,y),依题意得|MF|＝|x|＋１, 即 (x－１)２＋y２＝|x|＋１,化简整理得y２＝２(|x|＋x)． 故点 M 的轨迹C 的方程为y２＝ ４x ,x≥０ ０,x＜０．{ (２)在点M 的轨迹C中,记C１:y２＝４x,C２:y＝０(x＜０)． 依题意,可设直线l的方程为y－１＝k(x＋２)． 由方程组 y－１＝k(x＋２), y２＝４x,{ 可得ky ２－４y＋４(２k＋１)＝０．① (ⅰ)当k＝０时,此时y＝１．把y＝１代入轨迹C 的方 程,得x＝１４． 故此时 直 线l∶y＝１ 与 轨 迹 C 恰 好 有 一 个 公 共 点 １ ４ ,１( )． (ⅱ)当k≠０时,方程①的判别式为Δ＝－１６(２k２＋k－１)． ② 设直线l与x 轴的交点为(x０,０),则 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９９３􀅰 参考答案 由y－１＝k(x＋２),令y＝０,得x０＝－ ２k＋１ k ． ③ (a)若 Δ＜０ , x０＜０,{ 由②③解得k＜－１,或k＞ １ ２． 即当k∈(－∞,－１)∪ １２ ,＋∞( ) 时,直线l与C１ 没 有公共点,与C２ 有一个公共点,故此时直线l与轨迹C 恰好有一个公共点． (b)若 Δ＝０ , x０＜０,{ 或 Δ＞０, x０≥０,{ 由②③解得k∈ －１,１２{ },或－ １ ２≤k＜０． 即当k∈ －１,１２{ } 时,直线l与C１ 只有一个公共点, 与C２ 有一个公共点． 当k∈ －１２ ,０[ ) 时,直线l与C１ 有两个公共点,与C２ 没有公共点． 故当k∈ －１２ ,０[ ) ∪ －１,１２{ }时,直线l与轨迹C 恰 好有两个公共点． (c)若 Δ＞０ , x０＜０,{ 由 ②③ 解 得 －１＜k＜ － １ ２ ,或 ０＜k ＜１２． 即当k∈ －１,－１２( ) ∪ ０, １ ２( ) 时,直线l与C１ 有两 个公共点,与C２ 有一个公共点, 故此时直线l与轨迹C 恰好有三个公共点． 综合(ⅰ)(ⅱ)可知,当k∈(－∞,－１)∪ １２ ,＋∞( ) ∪ {０}时,直线l与轨迹C 恰好有一个公共点; 当k∈ －１２ ,０[ ) ∪ －１,１２{ }时,直线l与轨迹C 恰好 有两个公共点; 当k∈ －１,－１２( ) ∪ ０, １ ２( ) 时,直线l与轨迹C 恰好 有三个公共点． ４．２　直线与圆锥曲线的综合问题 １．B　[由抛物线y２＝８x的焦点为(２,０),得直线的方程为 y＝x－２． 代入y２＝８x,得(x－２)２＝８x,即x２－１２x＋４＝０．∴x１ ＋x２＝１２,弦长l＝x１＋x２＋p＝１２＋４＝１６．] ２．A　[∵ １ ２ c－１＝１ ,∴c＝３２ ,令A(x１,y１),B(x２,y２),则 x２ a２ ＋y ２ b２ ＝１, ∴ (x１＋x２)􀅰(x１－x２) a２ ＋ (y１＋y２)􀅰(y１－y２) b２ ＝０,２ a２ ＋－１ b２ ＝０,∴a２＝ ９２ ,b２＝ ９４．∴ 椭圆方程为２x ２ ９ ＋ ４y２ ９ ＝１．] ３．C　[设椭圆与直线相交于A(x１,y１),B(x２,y２)两点． 由 x ２＋４y２＝４, y＝x＋t,{ 消去y,得５x ２＋８tx＋４(t２－１)＝０． 则有x１＋x２＝－ ８ ５t ,x１x２＝ ４(t２－１) ５ ． ∴|AB|＝ １＋k２|x１－x２| ＝ ２􀅰 －８５t( ) ２ －４×４ (t２－１) ５ ＝ ４ ２ ５ ５－t ２, 当t＝０时,|AB|max＝ ４ １０ ５ ． ] ４．A　[由 y＝１－x , mx２＋ny２＝１,{ 消去y,得(m＋n)x ２－２nx＋n－ １＝０． 设 M(x１,y１),N(x２,y２),MN 的中点P(x０,y０),则x０＝ x１＋x２ ２ ＝ n m＋n , y０＝１－x０＝１－ n m＋n＝ m m＋n．∴kOP＝ y０ x０ ＝mn ＝ ２ ２． ] ５．ABC　[如图所示:作 AC 垂直 准线于C,AM⊥x 轴于 M,BE 垂直准线于E． 直线的斜率为 ３,故tan∠AFM ＝ ３,∠AFM＝ π３ ,|AF|＝４, 故|MF|＝２, |AM|＝２ ３． A p２＋２ ,２ ３( ) ,代 入 抛 物 线 得到p＝２;|NF|＝|FM|＝２, 故 △AMF≌ △DNF,故 F 为 AD 中点;∠BDE＝π６ , 故|DB|＝２|BE|＝２|BF|;|BD|＝２|BF|,|BD|＋|BF|＝ |DF|＝|AF|＝４,故|BF|＝４３． ] ６．解析:椭圆关于原点和坐标轴对称,从而与直线y＝３x＋ ２关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的弦长也为 ８,直线y＝３x＋２关于原点对称的直线为y＝３x－２,关 于x轴对称的直线为y＝－３x－２,关于y轴对称的直线 为y＝－３x＋２,故应填①③④． 答案:①③④ ７．解析:由x－my＋１＝０恒过定点(－１,０), 又C(１,０),S△ABC＝ １ ２×２×|yB|＝ ８ ５ , 所以|yB|＝ ８ ５ ,代入圆的方程得xB＝ １１ ５ 或xB＝－ １ ５ ,所以B １１５ ,８ ５( ) 或B １１ ５ ,－８５( ) 或 B －１５ ,８ ５( ) 或 B － １ ５ ,－８５( ) 代 入 直 线 方 程 解 得 m＝±２或m＝±１２． (任写一个即可) 答案:±２或±１２ (任写一个即可) ８．解:(１)由已知得b＝１,ca ＝ ３ ２ ,解得a＝２,c＝ ３,所以椭 圆方程为x ２ ４＋y ２＝１．椭圆的右焦点为(３,０), 此时直线l的方程为y＝－ ３３x＋１ ,代入椭圆方程化简 得７x２－８ ３x＝０, 解得x１＝０,x２＝ ８ ３ ７ ,代入直线l的方程得y１＝１, y２＝－ １ ７ , 所 以 点 D 的 坐 标 为 ８ ３ ７ ,－１７ æ è ç ö ø ÷．故 |CD| ＝ ８ ３ ７ －０ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ －１７－１( ) ２ ＝１６７． (２)证明:当直线l与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l的方程为y＝kx＋１ k≠０且k≠１２( ) ,代入椭 圆方程化简得(４k２＋１)x２＋８kx＝０, 解得x１＝０,x２＝ －８k ４k２＋１ ,代入直线l的方程得y１＝１,y２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰００４􀅰 选择性必修第一册