专题02 集合之间的关系重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

专题02 集合之间的关系重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 判断集合的子集（真子集）的个数 题型二 求集合的子集（真子集） 题型三 判断两个集合的包含关系 题型四 根据集合的包含关系求参数 题型五 判断两个集合是否相等 题型六 根据两个集合相等求参数 题型七 空集的概念以及判断 题型八 空集的性质及应用 题型九 根据集合相等关系进行计算 题型十 子集的概念 知识点01：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点03：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点04：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点05：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【经典例题一 判断集合的子集（真子集）的个数】 【例1】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，若非空集合A同时满足：①；②，（其中表示A中元素的个数，表示集合A中最小的元素）称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 1．（22-23高一上·江苏徐州·期中）若集合的所有子集个数是，则的取值是（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知整数集合，集合A满足条件：①；②若，则．则所有这样的集合A的个数为 ． 3．（22-23高一上·四川凉山·期末）已知集合，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由. 【经典例题二 求集合的子集（真子集）】 【例2】（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（    ） A．7 B．15 C．31 D．63 1．（22-23高一·全国·课后作业）满足条件∅⫋ M⫋{a，b，c}的集合M共有（　　） A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（2024·上海嘉定·二模）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 3．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【经典例题三 判断两个集合的包含关系】 【例3】（22-23高三上·上海宝山·开学考试）若、，点集，，，则（    ） A． B． C． D．以上皆错 1．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，，则、之间的关系为 ． 3．（2023高一·全国·专题练习）指出下列各组中两个集合的包含关系： （1），是8的约数； （2），； （3）是平行四边形，是菱形，是四边形，是正方形. 【经典例题四 根据集合的包含关系求参数】 【例4】（24-25高一上·上海·单元测试）若集合，，则能使成立的所有a的集合是（    ）． A． B． C． D． 1．（2023·陕西西安·模拟预测）已知集合或，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（22-23高一上·上海杨浦·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合为 ; 3．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【经典例题五 判断两个集合是否相等】 【例5】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·上海奉贤·阶段练习）设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③ 2．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 3．（24-25高一上·全国·课堂例题） ，集合A 与 B有什么关系? 【经典例题六 根据两个集合相等求参数】 【例6】（22-23高一·全国·课后作业）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 1．（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（22-23高一下·湖南岳阳·阶段练习）若集合，实数的值为 3．（22-23高一·全国·课后作业）已知集合，集合. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）是否存在实数，使. 【经典例题七 空集的概念以及判断】 【例7】（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 3．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 【经典例题八 空集的性质及应用】 【例8】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 1．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 2．（23-24高一上·上海虹口·期中）在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为 （填写所有正确的序号）． 3．（22-23高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知集合，或 . (1)若为非空集合，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【经典例题九 根据集合相等关系进行计算】 【例9】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 1．（23-24高一上·河南驻马店·期中）已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 2．（2023高一上·全国·专题练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 3．（23-24高一·全国·课后作业）一个含有三个元素的集合可以表示为，也可以表示为，求的值． 【经典例题十 子集的概念】 【例10】（2024·全国·模拟预测）已知，则（     ） A．0 B．2 C． D．0或2 1．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 2．（23-24高一上·江西·期中）已知满足：①（，2，3，4）；②，均有；若，其中，，，，且集合有7个真子集，则满足条件的A的个数为 . 3．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）（1）已知集合，求实数的值； （2）已知集合，若集合有四个子集，求实数的取值范围. 1．（22-23高一上·天津蓟州·阶段练习）已知集合，，且，则实数的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 3．（22-23高一上·北京·开学考试）已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．8 C．7 D．16 4．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 5．（22-23高一上·北京海淀·期中）若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若，且A为互斥集，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·北京海淀·阶段练习）已知集合，则 . 7．（2023高三·江苏·专题练习）已知集合，若，则的取值范围为 ． 8．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 . 9．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若规定的子集为E的第个子集，其中，则E的第211个子集为 ． 10．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）已知，则下列结论中正确的序号是 ． ；；若，则； ④若且，则；⑤若，则. 11．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若，求的值. 12．（22-23高一·全国·课堂例题）集合，，试证明． 13．（22-23高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合 （1）用列举法表示集合； （2）写出集合的所有真子集. 14．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合P为的自邻集．记为集合的所有自邻集中最大元素k的集合的个数． (1)直接判断集合和是否为的自邻集； (2)比较和的大小，并说明理由． 15．（22-23高一下·北京密云·期末）已知集合（且），，且．若对任意，当时，存在，使得，则称是的元完美子集． (1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由； ①；     ②． (2)若是的3元完美子集，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 集合之间的关系重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 判断集合的子集（真子集）的个数 题型二 求集合的子集（真子集） 题型三 判断两个集合的包含关系 题型四 根据集合的包含关系求参数 题型五 判断两个集合是否相等 题型六 根据两个集合相等求参数 题型七 空集的概念以及判断 题型八 空集的性质及应用 题型九 根据集合相等关系进行计算 题型十 子集的概念 知识点01：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点03：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点04：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点05：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【经典例题一 判断集合的子集（真子集）的个数】 【例1】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，若非空集合A同时满足：①；②，（其中表示A中元素的个数，表示集合A中最小的元素）称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据好子集的定义，分类讨论即可求出． 【详解】当时，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为； 当时，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为； 当时，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为， 综上所述：I的所有好子集的个数为8， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键理解题中定义，运用分类讨论思想进行求解. 1．（22-23高一上·江苏徐州·期中）若集合的所有子集个数是，则的取值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分析可知，集合有且只有一个元素，分、两种情况讨论，在第一种情况下直接验证即可，在第二种情况下，由求出的值，综合即可得解. 【详解】因为集合的所有子集个数是，则集合有且只有一个元素， ①当时，即当时，则，合乎题意； ②当时，即当时，则关于的方程只有一个实数解， 则，解得. 综上所述，或. 故选：D. 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知整数集合，集合A满足条件：①；②若，则．则所有这样的集合A的个数为 ． 【答案】31 【分析】根据集合，利用韦达定理，可求出集合M，进而根据已知中集合A满足的两个条件，可得互为相反数的两个元素同属于A，或同不属于A，进而得到满足条件的集合A的个数． 【详解】由， 知的整数解，只能是36的约数， 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 故集合 由集合A满足条件：①；②若，则， 即集合中互为相反数的两个元素同属于集合A或同不属于集合A，共有5对相反数， 得这样的非空集合共有个. 故答案为：31 3．（22-23高一上·四川凉山·期末）已知集合，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由. 【答案】存在， 【分析】当方程有一解时，集合A只有一个元素即可满足题意. 【详解】存在实数m满足条件，理由如下： 若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素， 即方程只有一个根， ∴，解得. ∴所有的m的值组成的集合. 【经典例题二 求集合的子集（真子集）】 【例2】（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（    ） A．7 B．15 C．31 D．63 【答案】A 【分析】根据自恋数的定义逐个的进行判断可得集合B，进而即得. 【详解】，所以8是自恋数； ，所以23不是自恋数； ，所以81不是自恋数； ，所以153是自恋数； ，所以254不是自恋数； ，所以370是自恋数. 所以集合. 所以真子集个数：个. 故选：A 1．（22-23高一·全国·课后作业）满足条件∅⫋ M⫋{a，b，c}的集合M共有（　　） A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】利用真子集定义、列举法能求出满足条件∅⫋M⫋{a，b，c}的集合M的个数. 【详解】解：满足条件∅⫋ M ⫋{a，b，c}的集合M有： {a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}.共6个， ∴满足条件∅⫋M⫋{a，b，c}的集合M共有6个. 故选：B. 2．（2024·上海嘉定·二模）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【答案】 【分析】正确理解的含义，时，即要先求出满足的，即的第211个子集应含有的元素，计算出，再要求满足的，即的第211个子集应含有的元素，如此类推即得. 【详解】因，则的第211个子集必包含7，此时； 又因则的第211个子集必包含6，此时； 又则的第211个子集必包含4，此时； 又则的第211个子集必包含1；而. 综上所述，的第211个子集是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于仔细阅读题目所提供的信息，正确理解集合的新定义的含义，将文字语言转化为数学语言. 3．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 【经典例题三 判断两个集合的包含关系】 【例3】（22-23高三上·上海宝山·开学考试）若、，点集，，，则（    ） A． B． C． D．以上皆错 【答案】A 【分析】作出集合表示的平面区域，可得结论． 【详解】如图，集合表示以为顶点的正方形内部（不含边界）点的集合，集合表示以为顶点的六边形内部（不含边界）点的集合，集合表示以为焦点，为长轴（长轴长为）的椭圆内部（不含边界）点的集合， 由图可得， 故选：A． 【点睛】本题考查集合间的关系，解题方法在平面直角坐标系上作出集合表示的点集，由图形得出集合间的包含关系． 1．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可. 【详解】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，，则、之间的关系为 ． 【答案】 【分析】表示的奇数倍，而表示的整数倍，故得解. 【详解】因为， 所以集合中的元素是的奇数倍， 又因为集合中的元素是的整数倍， 所以. 故答案为：. 3．（2023高一·全国·专题练习）指出下列各组中两个集合的包含关系： （1），是8的约数； （2），； （3）是平行四边形，是菱形，是四边形，是正方形. 【答案】（1）B；（2）B；（3）DBAC 【分析】（1）由题得,进而判断即可; (2)根据以对任意的，即可判断; (3)根据Venn图判断即可. 【详解】解:（1）8的约数有1，2，4，8，所以，从而有B. （2）因为中的元素都是3的倍数，中的元素都是6的倍数， 所以对任意的，. 因为，所以，从而可得，从而有， 设，则，故，但，所以B. （3）画出Venn图如图所示，由图可知DBAC. 【经典例题四 根据集合的包含关系求参数】 【例4】（24-25高一上·上海·单元测试）若集合，，则能使成立的所有a的集合是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等价于，分类讨论是否等于，求出对应a的范围即可. 【详解】因为，所以， 若，则，得，满足； 若，即时，要使，则有， 所以，此时. 综上所述. 故选：C． 1．（2023·陕西西安·模拟预测）已知集合或，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由题意，则可以分两种情况来讨论当时，即无解，当时，根据包含关系即可列出不等式组，从而即可求解. 【详解】当时，无解，此时，满足题意； 当时，有解，即， 若，则，所以要使，需满足，解得； 若，则，所以要使，需满足，解得. 综上，实数a的取值范围为. 故选：A. 2．（22-23高一上·上海杨浦·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合为 ; 【答案】 【分析】先求出集合，由，得或或，分别求解的值即可. 【详解】解：集合，因为集合，且， 所以或或， 当时，，当时，，当时，， 故的所有取值构成的集合为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 【经典例题五 判断两个集合是否相等】 【例5】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对参数进行分类讨论求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以， 所以，故A正确. 故选：A 1．（22-23高一上·上海奉贤·阶段练习）设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案 【详解】对于①：集合，则， 解得，即，是一一对于，所以与集合相同. 对于②：集合，则，也是一一对应，所以与集合相同. 对于③：集合，，一一对应，，所以与集合相同. 对于④：，但方程无解，则，与不相同． 故选：D 2．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 【答案】④ 【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可. 【详解】对于①，因为，设， 则， 不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等； 对于②，令，则， 显然，但，即②与集合不相等； 对于③，当时，此时，即， 而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等； 对于④，令， 则，其中， 所以④与集合相等； 故答案为：④ 3．（24-25高一上·全国·课堂例题） ，集合A 与 B有什么关系? 【答案】相等 【分析】求出集合，进行判断即可. 【详解】因为， 所以. 【经典例题六 根据两个集合相等求参数】 【例6】（22-23高一·全国·课后作业）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由两集合相等，元素完全一样，则可列出等式，结合集合中元素满足互异性即可解出答案. 【详解】因为，所以或，解得或或， 又集合中的元素需满足互异性，所以， 则． 故选：C. 1．（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，. 故选：B. 2．（22-23高一下·湖南岳阳·阶段练习）若集合，实数的值为 【答案】 【分析】由已知中集合，根据集合相等对应元素分别相等，我们可以分若、、，三种情况进行分类讨论，结合集合元素的性质，即可得到答案． 【详解】令,,，,,， ,,，，， 若，则，则,,，,,，满足要求； 若，则，而中元素，矛盾； 若，则，则,,，,,，满足要求； 故实数的值为. 故答案为： 3．（22-23高一·全国·课后作业）已知集合，集合. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）是否存在实数，使. 【答案】（1）0或；（2）；（3）不存在. 【分析】（1）中不可能等于，让另外两个元素分别等于求得检验； （2）让中元素分别等于，求得，然后检验； （3）由，令和分别求得，然后检验是否符合题意． 【详解】（1）集合中有三个元素：，，，， 或， 解得或， 当时，，，，成立； 当时，，，，成立. 的值为0或. （2）集合中也有三个元素：0，1，.， 当取0，1，时，都有， 集合中的元素都有互异性，，， . 实数的值为. （3）， 若，则，，5，， 若，则，，，， 不存在实数，，使. 【经典例题七 空集的概念以及判断】 【例7】（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系以及空集的定义逐一判断. 【详解】选项，不是的元素，即不成立，则错误； 选项，中没有任何元素，即，则错误； 选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误； 选项，元素为集合中的元素，即，则正确； 故选：D. 1．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】应用集合与集合的包含关系，元素与集合的属于关系，集合的确定性，无序性，空集的含义及空集与集合的关系即可判断. 【详解】易知，故①正确； ，故②错误； 著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误； 表示有一个元素的集合，不是空集，④错误； 空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误； ，故，故⑥正确. 故选：B 2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 3．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）讨论当时和当时两种情况，当时，，从而可得答案. （2）讨论当时和当时两种情况，列出方程，即可得解； 【详解】（1）当时，原方程可化为，得，不符合题意； 当即时解集为空集， 所以的取值范围是. （2）当时，原方程可化为，得，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由题意得，，得. 所以当或时，集合A中只有一个元素． 【经典例题八 空集的性质及应用】 【例8】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【详解】当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 1．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 【答案】D 【分析】根据集合、空集性质及元素与集合关系判断各项正误即可. 【详解】由集合的性质及关系知，、，①②对； 由空集的性质知，、、，③④错，⑤对； 由元素与集合关系知，，⑥对. 故选：D 2．（23-24高一上·上海虹口·期中）在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为 （填写所有正确的序号）． 【答案】② 【分析】由数集定义、空集性质及集合的关系判断各项正误即可. 【详解】由数集的定义知：，，则①③错； 由空集性质和集合关系知：，，则②对，④错. 故答案为：② 3．（22-23高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知集合，或 . (1)若为非空集合，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由条件可知，，即可求解不等式； （2）分和两种情况，列不等式求解. 【详解】（1）若为非空集，则，解得：； （2）若，则， 当时，，解得：， 当时， ，解得： 或，解得： 所以实数的取值范围是或 【经典例题九 根据集合相等关系进行计算】 【例9】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据集合相等的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】假设①，②错，③对， 因为， 所以有，此时； 假设①，③错，②对， 因为错，必有，而，不符合集合元素的互异性，假设不成立； 假设②，③错，①对， 因为错，所以， 因为错，所以对，而对，因此只能，不符合集合元素的互异性，假设不成立， 综上所述：， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用假设法、应用集合元素的互异性进行判断. 1．（23-24高一上·河南驻马店·期中）已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【分析】根据求得，由此求得. 【详解】由于， 所以对于集合有或. 若，则，此时符合题意，. 若，则集合不满足互异性，不符合. 所以的值为. 故选：A 2．（2023高一上·全国·专题练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】 【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解. 【详解】解：由题意，若，则或， 检验可知不满足集合中元素的互异性， 所以，则， 所以，则， 故. 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·课后作业）一个含有三个元素的集合可以表示为，也可以表示为，求的值． 【答案】1 【分析】依题意可得，则，即可求出，再由，即可求出，即可得解； 【详解】解：因为，所以，则，即，即，所以，解得或，又，所以，所以 【经典例题十 子集的概念】 【例10】（2024·全国·模拟预测）已知，则（     ） A．0 B．2 C． D．0或2 【答案】B 【分析】 根据集合关系及元素与集合的关系列方程求解计算即可. 【详解】当时，由知，，又，所以，不满足集合元素的互异性； 当时，由知，，又，无解； 当时，由知，，又，无解； 当时，由知，，又，所以，所以； 综上，则2. 故选：B 1．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据集合子集个数确定集合元素只有一个，讨论参数m判断方程仅有一个解情况下m取值. 【详解】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素， 所以有且仅有一个解， 当，则，满足要求； 当，则，满足要求； 综上，满足条件的实数m组成的集合是. 故选：B 2．（23-24高一上·江西·期中）已知满足：①（，2，3，4）；②，均有；若，其中，，，，且集合有7个真子集，则满足条件的A的个数为 . 【答案】5 【分析】先根据条件列出的所有情况，根据题意列举即可. 【详解】，由①②条件知，中元素各不相等且， 所以有以下24种情况：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 因为集合有7个真子集，所以有3个元素， 即有3种情况.又，则满足题意，，，，，共5种情况. 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 3．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）（1）已知集合，求实数的值； （2）已知集合，若集合有四个子集，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）且. 【分析】（1）根据，讨论集合A中元素，列式求解，即得答案； （2）根据集合有四个子集，可得A中有2个元素，结合一元二次方程的判别式求得答案. 【详解】（1）解：由题知因为，故， 又因为，则或， ①当时，即，此时， 集合中的元素不满足互异性，故舍； ②当时，即，解得或（舍）， 此时，集合中的元素满足互异性， 综上所述，； （2）由题因为集合有四个子集， 所以集合中有两个元素， 所以，且，即且， 所以且. 1．（22-23高一上·天津蓟州·阶段练习）已知集合，，且，则实数的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解出集合A，根据，分类讨论求出实数. 【详解】. 因为，所以，，. 当时，关于x的方程无解，所以； 当时，是关于x的方程的根，所以； 当时，是关于x的方程的根，所以. 故实数的取值构成的集合为. 故选：D 2．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据集合子集个数确定集合元素只有一个，讨论参数m判断方程仅有一个解情况下m取值. 【详解】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素， 所以有且仅有一个解， 当，则，满足要求； 当，则，满足要求； 综上，满足条件的实数m组成的集合是. 故选：B 3．（22-23高一上·北京·开学考试）已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．8 C．7 D．16 【答案】B 【解析】先分别用列举法表示出，然后根据确定出中一定有的元素和可能有的元素，从而求解出满足的的个数. 【详解】因为的解为或，所以； 又因为，且，所以中一定含有元素，可能含有元素， 所以的个数即为集合的子集个数：， 故选：B. 【点睛】本题考查根据集合的子集关系求解符合条件的集合个数，解答问题的关键是确定出集合中一定包含的元素和可能包含的元素，难度一般. 4．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据集合相等的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】假设①，②错，③对， 因为， 所以有，此时； 假设①，③错，②对， 因为错，必有，而，不符合集合元素的互异性，假设不成立； 假设②，③错，①对， 因为错，所以， 因为错，所以对，而对，因此只能，不符合集合元素的互异性，假设不成立， 综上所述：， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用假设法、应用集合元素的互异性进行判断. 5．（22-23高一上·北京海淀·期中）若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若，且A为互斥集，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的新定义先确定集合，而要想取得最大值，则要最小，从而确定，即可求解 【详解】因为， 所以为 又且为互斥集， 所以为， 要想取得最大值， 则要最小，此时， 不妨令，则， 故选：C 6．（22-23高一上·北京海淀·阶段练习）已知集合，则 . 【答案】2或4或1 【分析】根据，，，，，利用集合元素的互异性，分别求出与即可． 【详解】，，，，， ，，， 若或，则或． 当时，，2，，，， 即，解得或， 此时或， 当时，，，，1，， 即，解得，， 所以或4或1， 故答案为：2或4或1. 7．（2023高三·江苏·专题练习）已知集合，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由得到．然后分B＝和B≠两种情况求解，将集合间的包含关系转化为不等式或不等式组求解，可得所求的范围． 【详解】因为， 所以B⊆A． ①当B＝时，满足B⊆A，此时－a≥a＋3，解得． ②当B≠时，由B⊆A，得，解得．　 由①②可知． 所以实数a的取值范围为． 故答案为． 【点睛】解答本题时注意两点： （1）对于已知求参数的取值范围的问题，求解时不要忘了这一情况． （2）已知集合间的包含关系求参数的取值范围时，需要结合数轴将问题转化为不等式（组）求解，注意转化思想在解题中的应用． 8．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 . 【答案】120 【分析】确定最小值分别为时相应的集合A的个数，再求和即可. 【详解】设，对M的任意非空子集A共有个， 其中最小值为1的有，最小值为2的有个，…，最小值为6的只有个， ． 故答案为：120 9．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若规定的子集为E的第个子集，其中，则E的第211个子集为 ． 【答案】 【分析】分别讨论的取值，通过讨论计算n的可能取值即可得到. 【详解】因为E的第211个子集包含，,此时211-128=83； 因为，所以E的第211个子集包含，此时83-64=19； 因为，所以E的第211个子集包含，此时19-16=3.； E的第211个子集包含，此时3-2=1， E的第211个子集包含. 所以E的第211个子集是 故答案为：. 10．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）已知，则下列结论中正确的序号是 ． ；；若，则； ④若且，则；⑤若，则. 【答案】①②③⑤ 【分析】①中分母有理化后即可判断出①正确； ②中令即可得到，②正确； ③中，可知满足，③正确； ④中通过反例，，即可验证出④错误； ⑤根据展开式通项，可判断出，，可得⑤正确 【详解】①中，，①正确； ②当时，，可知，②正确； ③令，， 则 ，    ，③正确； ④令，，满足，则，④错误； ⑤，展开式通项为： 当为偶数时，；当为奇数时， 又    ，，即，⑤正确 故答案为①②③⑤ 【点睛】本题考查元素与集合关系、集合之间的包含关系等知识，属于集合部分知识的综合应用，属于中档题. 11．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若，求的值. 【答案】或. 【解析】利用两个集合相等它们的元素分别对应相等,得到关于的方程,再利用集合中元素的互异性进行取舍即可. 【详解】由题意知，当时，，此时符合题意； 当时，，此时不符合集合中元素的互异性，（舍去）； 当时，，此时，符合题意； 综上可知，或. 【点睛】本题考查两个集合相等和集合中元素的互异性;属于中档题、常考题型. 12．（22-23高一·全国·课堂例题）集合，，试证明． 【答案】证明见解析 【分析】设，利用集合的的含义和奇偶数的性质即可得，再设，再次利用集合的的含义和奇偶数的性质即可得，综合即可证明. 【详解】（1）设，则，且． ①若是偶数，可设，，则，，∴； ②若是奇数，可设，，则，，∴． ∴不论是奇数还是偶数，都有．∴． （2）设，则，或，． ∵，或，，，， ∴，则． 由（1）（2），得． 13．（22-23高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合 （1）用列举法表示集合； （2）写出集合的所有真子集. 【答案】（1）；（2），，，，，， 【解析】（1）首先根据题意得到，再分类讨论解不等式组即可. （2）根据集合写出真子集即可. 【详解】（1） ①，又因为，所以. ②，又因为，无解. 综上. （2）集合的所有真子集为：，，，，，，. 【点睛】本题第一问考查集合的列举法，第二问考查集合的真子集，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题. 14．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合P为的自邻集．记为集合的所有自邻集中最大元素k的集合的个数． (1)直接判断集合和是否为的自邻集； (2)比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析； (2)，理由见解析. 【分析】（1）利用自邻集的定义直接判断即可. （2）利用自邻集的定义求出的自邻集中最大元集分别为6，5，3的所有自邻集，从而可得答案. 【详解】（1）由，得和， 而，所以不是的自邻集， 又， 所以是的自邻集. （2）， 则其自邻集中最大元素为6的集合中必含5和6，则有，，， ，，，，，共9个，即， 其自邻集中最大元素为5的集合中必含4和5，则有，，，，共5个， ， 其自邻集中最大元素为3的集合中必含2和3，则有，共2个，， 所以. 15．（22-23高一下·北京密云·期末）已知集合（且），，且．若对任意，当时，存在，使得，则称是的元完美子集． (1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由； ①；     ②． (2)若是的3元完美子集，求的最小值． 【答案】(1)不是的3元完美子集，是的3元完美子集，理由见解析 (2) 【分析】（1）理解3元完美子集的定义，并判断两个集合是否满足完美子集的定义； （2）分别设，，以及时，判断是否存在3元完美子集，并比较最小值， 即可求解. 【详解】（1）①因为，且， 所以不是的3元完美子集； ②因为，且， 而， 是的3元完美子集． （2）不妨设． 若，则，且， 则集合的元素个数大于3个，这与3元完美子集矛盾； 若，则，而，符合题意， 此时，即, 此时． 若，则，于是，，若存在3元完美子集， 则或，即，所以． 综上，的最小值是12． 【点睛】关键点点睛：本题考查有关集合新定义的综合应用，本题的关键是理解3元完美子集的定义. 学科网（北京）股份有限公司 $$