1.1.2 集合的表示方法（教学课件）数学沪教版2020必修第一册

1.1.2 集合的表示方法 第一章 集合与逻辑 沪教版(2020)必修第一册·高一 章节导读 学 习 目 标 1 2 理解集合的表示方法，会用列举法和描述法表示具体的集合，会用区间表示某些实数集合. 在学习用三种语言（自然语言、符号语言、图形语言）表示集合的过程中，针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，提升数学表达能力. 复习引入 “集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语 解释为:许多的人或物聚在一起. 　　在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，还记得上节课学习的集合的概念吗？ 康托尔（G.Cantor,1845-1918）.德国数学家，集合论创始人.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日. 复习引入 把一些确定的对象的全体叫做集合（set），简称集.集合常用大写字母A,B,C,…来表示. 自然数集：N 有理数集：Q 整数集：Z 实数集：R 复习引入 上节课学习到的，这样表示集合的方法，是自然语言 判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1) 大于3小于11的偶数; (2) 我国的小河流. 【提示】（1）是由4,6,8,10四个元素组成的集合. （2）由集合元素的确定性知其不能组成集合. 小明 还有其它方法表示集合吗？ 新知探究 乙 阅读教材第4页至第6页，预习1.1.2集合的表示方法，尝试归纳总结表示集合的方法，标注有疑惑之处. 新知探究 乙 1.列举法 将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法.  (1)所有不大于10的素数组成的集合； (2)平面直角坐标系中，x轴上所有与原点距离为1的点组成的集合. 列举法表示：{2,3,5 ,7 }. 列举法表示：{(-1,0),(1,0)} 问题1 所有不大于10的素数组成的集合是否可以表示为{7，5，2，3}？请说明理由. 可以不考虑顺序 新知探究 乙 1.列举法 将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法.  不多 不少 不重 典例分析 例1 (课本第4页例题)用列举法表示下列集合： (1)所有不大于10的正整数组成的集合； 解(1){1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. (2)方程 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=0 的 所有解组成的集合 (3)集合{1,2,3,4}中任意两个不同 元素之和组成的集合. (3){3,4,5,6,7}. (2){1,2,3,4} 用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素. (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次. (3)用花括号括起来. 注意：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{(2,3)，(5，－1)}. 新知探究 乙 问题2 能否用列举法表示下述集合？ (1) 不等式2x+1≤0的的所有解组成的集合； (2) 直线y=x上的所有点组成的集合. 2．描述法 不能 新知探究 乙 2．描述法 描述法：在大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线，并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的共同特征. {x|x满足性质P} 新知探究 乙 (1) 不等式2x+1≤0的的所有解组成的集合； (2) 直线y=x上的所有点组成的集合. 2．描述法 （1）描述法表示：{x|2x+1≤0} （2）描述法表示:{(x,y)|y=x} 典例分析 例2 用描述法表示下列集合： (1)不等式2x－3<1的解组成的集合A； (2)被5除余2的正整数的集合B； 解集合A中的元素是数，设代表元素为x，即A＝{x|x<2}. 解　设被5除余2的数为x，则x＝5n＋2，n∈Z.但元素为正整数， 故集合B＝{x|x＝5n＋2，n∈N}. (3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D. 解直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正， 故集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}. 典例分析 提分笔记 利用描述法表示集合的注意事项 (1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}. (2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求. (3)不能出现未被说明的字母. (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}. 新知探究 乙 问题3 请分别说说用列举法与描述法表示集合各有哪些优缺点？ ‌优点‌： ‌直观明确‌：直接展示所有元素，一目了然 ‌操作简便‌：适用于元素数量少或规律明显的集合‌ 缺点‌： ‌效率低下‌：元素过多时列举繁琐，甚至不可行（如包含上千个元素的集合） ‌难以体现属性‌：无法直观反映元素的共同特征（如 {苹果, 香蕉} 无法体现“水果”属性） ‌适用场景‌：元素较少或规律清晰的‌有限集 列举法 新知探究 乙 问题3 请分别说说用列举法与描述法表示集合各有哪些优缺点？ ‌优点‌： 1.高度概括‌：通过条件定义元素，形式简洁 2.‌适用范围广‌：可表示无限集或元素量大的集合 ‌缺点‌： 1.抽象性强‌：依赖条件描述，需额外判断元素是否满足属性 ‌2.易产生歧义‌：若描述不严谨，可能导致集合范围模糊（如 {x | x 是较大的数}） ‌适用场景‌：‌无限集‌、元素多或需强调共同属性的集合 描述法 典例分析 例3 (课本第5页例题） 选择适当的方法表示下列集合： (1) 大于0且小于10的全体偶数组成的集合A； 变式：全体偶数组成的集合D. (2) 被3除余2的所有自然数组成的集合B； 变式：被3除余2的所有整数组成的集合E 解（1）用列举法：A={2,4,6,8} 变式：解用描述法：D={x|x=2k,k∈Z} 解（2）用描述法：B={n|n=3k+2,k∈N} 解用描述法： E={n|n=3k+2,k∈Z} 典例分析 例3 (课本第5页例题）选择适当的方法表示下列集合： (3) 直角坐标平面上由第二象限与第四象限中的所有点组成的集合C. 解因为第二象限中所有点(x,y)具有的特征是x<0且y>0，而第四 象限中所有点具有的特征是x>0且y<0，所以第二象限与第四象限 中所有点具有的特征可统一地写为xy<0，于是可用描述法表示该集 合： C={(x,y)| xy < 0} 新知探究 乙 3.区间 当a、b∈R且a<b时，规定： (1)满足不等式a≤x≤b的全体实数x组成的集合称为一个闭区间，记作[a,b] (2)满足不等式a<x<b的全体实数x组成的集合称为一个开区间，记作(a,b) 数轴上可以表示为： 新知探究 乙 3.区间 (3)满足不等式a≤x<b或者a<x≤b的全体实数x所组成的集合称为一个半 开半闭区间，分别记作[a,b)或者（a,b] 数轴上可以表示为： 注：这里的实数a，b统称为这些区间的端点 新知探究 乙 3.区间 注：这里的符号“∞”读作“无穷大” 满足不等式x≥a的全体实数x组成的集合可以用区间表示为[a,+∞） 满足不等式x>a的全体实数x组成的集合可以用区间表示为（a,+∞） 满足不等式x≤b的全体实数x组成的集合可以用区间表示为（-∞，b] 满足不等式x<b的全体实数x组成的集合可以用区间表示为（-∞，b） 典例分析 例4 用区间表示下列集合： (1) (2)不等式2x≤6的所有解组成的集合. （1）[1，2） （2）(-∞，3] 适当方法表示集合 题型一 题型探究 {0,1,2,-3} {3,0,-1} 区间 题型二 题型探究 (-2,0) 集合表示方法的运用 题型三 题型探究 集合表示方法的运用 题型三 题型探究 新定义 题型四 题型探究 31 新定义 题型四 题型探究 课堂小结 从特殊到一般 集合的表示方法 列举法 常用符号 区间 数学表达 描述法 从一般到特殊 感谢聆听!