1.1.3 集合之间的关系（教学课件）数学沪教版2020必修第一册

1.1.3 集合之间的关系 第一章 集合与逻辑 沪教版(2020)必修第一册·高一 章节导读 学 习 目 标 1 2 3 能用集合语言表示实际问题，会运用元素与集合的关系描述集合之间的关系. 掌握子集、真子集的定义及其表示方法，理解和辨识集合之间的包含、相等、真包含关系，感悟分类讨论思想与数形结合思想. 通过对子集定义的辨析、类比实数的大小关系，理解包含关系的三个结论 复习引入 元素 组成 集合 确定性 互异性 无序性 集合相等 有限集、无限集 特别的：空集 常用数集： N,Z,Q,R 集合的表示方法 列举法 描述法 新知探究 乙 引例：考察以下四组集合： （1）C是申辉中学高一（1）班的全体学生组成的集合，D是申辉中学全体学生组成的集合； （2）C是一平面上所有矩形组成的集合，D是该平面上所有平行四边形组成的集合； （3）C={2,3}，D=; （4）C=,D=. 问题1 在上述各组集合中，集合C中的元素与集合D有什么关系？ 集合C中的元素都属于集合D 集合C中的元素都属于集合D 集合C中的元素都属于集合D 集合C中的元素都属于集合D D={2,3} 新知探究 乙 1.子集 对于两个集合A与B,如果集合A的每个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集(subset),记作AB(或BA),读作“A包含于B”(或“B包含A”). 对任何集合A,规定A.即空集是任何集合的子集. 我们常用文氏图(Venn diagram)来直观表示集合以及集合之间的关系 对于任意一个集合A而言，怎样的集合一定是它的子集？ 新知探究 乙 问题2 引例集合（3）（4）中有怎样的包含关系？ 由CD，即集合C的每个元素都是集合D的元素， 又DC，即集合D的每个元素都是集合C的元素 问题3 实数的大小关系具有传递性，那么集合之间的包含关系是否也具有传递性？ 已知：AB且BC，求证：AC. 证明 因为AB，所以集合A的每个元素都是集合B的元素， 因为BC，所以集合B的每个元素都是集合C的元素, 因此，集合A的每个元素都是集合C的元素，即AC. 若AB且BC，则AC 新知探究 乙 问题4 任意两个实数必然存在大小关系，那么任意两个集合一定存在包含关系吗？ 任意两个集合不一定存在包含关系 典例分析 例1 指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； 解　集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对， 故A与B之间无包含关系. 解　集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. 新知探究 乙 问题5 回顾引例，已知C是一平面上所有矩形组成的集合，D是该平面上所有平行四边形组成的集合，集合D中的元素与集合C有什么关系？ 由CD，即集合C的每个元素都是集合D的元素， 又D不包含于C，即集合D的每个元素不都是集合C的元素 新知探究 乙 2.真子集 对于两个集合A与B，如果AB，且B中至少有一个元素不属于A（即 B不是A的子集），那么称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作 AB（或BA），读作“A真包含于B”（或“B真包含A"） 思考：常用数集R、Q、Z、N之间有怎样的包含关系？请说明理由. NZQR 典例分析 例2 C (1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是 A.M＝N B.NM C.MN D.N⊆M (2)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是 A.A⊆B B.A＝B C.AB D.BA D 新知探究 乙 判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察. (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. (3)数形结合法：利用数轴或文氏图. 新知探究 乙 思考　空集是否是任意一个集合的真子集？ 空集是任意一个非空集合的真子集 子集的性质 (1)即A⊆A. (2)如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C . (3)如果A⊆B，则AB 或A=B 典例分析 例3 C 下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}.其中正确的个数是 A.1 B.3 C.4 D.6 集合关系的判断 题型一 题型探究 1.判断下列各组中集合之间的关系： (1)A＝{x|x是12的正约数}，B＝{1，2，3，6}； 解根据题意，集合4={1,2,3,4,6,12}.因为集合B中的元素都属于集合A， 所以BA，又因为4A，且4B，所以BA. (2);D=; 解在数轴上标出集合C与D 集合C中的元素都属于集合D，所以CD. 又因为4∈D，而4C，所以CD 子集、真子集个数问题 题型二 题型探究 2.写出集合{a,b,c}的所有子集，并指出哪些是真子集. 分析 空集是任意一个集合的子集，任意一个集合是其自身的子集. 解 不含任何元素的子集1个：空集; 含1个元素的子集3个：{a},{b},{c}; 含2个元素的子集3个：{a,b},{a,c},{b,c}; 含3个元素的子集1个：{a,b,c}. 除集合{a,b,c}本身外，其余7个都是真子集. 子集、真子集个数问题 题型二 题型探究 3.已知集合M满足：{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况． 解：由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有5个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． 题型探究 求集合子集、真子集个数的3个步骤 子集、真子集个数问题 题型二 提分笔记 题型探究 子集、真子集个数问题 题型二 提分笔记 与子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 由集合的关系求参数 题型三 题型探究 4.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA， 求实数m的取值范围． 解　(1)当B＝时，由m＋1>2m－1，得m<2. 由集合的关系求参数 题型三 题型探究 利用集合的关系求参数问题 (1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． (2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 课堂小结 子集 相等的集合 逻辑推理 逻辑推理 集合之间的关系 A元素都是集合B的元素 真子集 AB中至少有一个元素不属于A. ABA. 感谢聆听! (2)当B≠∅时，如图所示． ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))解这两个不等式组，得2≤m≤3. 综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}． $$