1.1.2 集合的表示方法（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

1.1.2集合的表示方法 题型一 列举法 1．方程组的解集是（     ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】由，解得， 所以方程组的解集是或. 故选：C 2．集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以 ， 故选：B. 3．用列举法表示《沁园春·长沙》前三句的意象所组成的集合 . 【答案】{寒秋，湘江，橘子洲} 【分析】根据题意结合列举法即可得答案. 【详解】《沁园春·长沙》前三句为：“独立寒秋，湘江北去，橘子洲头”， 故用列举法表示《沁园春·长沙》前三句的意象所组成的集合为寒秋，湘江，橘子洲. 故答案为：寒秋，湘江，橘子洲. 4．已知集合，，则集合B可用列举法表示为 【答案】 【分析】将集合A的元素逐个代入所给函数求解即可得到集合B. 【详解】当时，，当时，，当时，， 当时，，所以. 故答案为： 5．已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为 ． 【答案】 【分析】是自然数集且，所以的值越小，则的值越小，注意相同元素要舍去，即可得到对应集合. 【详解】 要想越小，则取值越小， 故时，；故时，；故时，；故时，； 故集合中最小的4个元素所构成的集合为， 故答案为：. 6．用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】根据，对列举求解即可. 【详解】， ， ， 故答案为：. 7．，，，用列举法表示M，N，P． 【答案】，， 【分析】根据题意，求出的值域可得M,求出上面的点集得到N，根据，求出得到P. 【详解】，即为，也就是， 代入求值，即得到； 令得到，由于，则，故. 由于，则，代入求值得到， 则. 题型二 描述法 1．集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 【答案】D 【分析】由已知可得或，集合元素是点集，再结合点的坐标的特点即可判断． 【详解】因为，所以或， 所以集合表示第二象限和第四象限内的所有点，以及在轴上的点， 即不在第一、第三象限内的所有点. 故选：D. 2．能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能被8整除的所有正整数组成的集合中的元素为8的整倍数，结合选项判断即可. 【详解】能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，因此C，D排除， 利用描述法表示能被8整除的所有正整数组成的集合， 由于选项A中的集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A排除， 而选项B，符合能被8整除的所有正整数组成的集合，因此B正确， 故选：B. 3．用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 【答案】且． 【分析】根据描述法的定义求解． 【详解】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且． 故答案为：且． 4．直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解析】直角坐标平面中除去两点､，其余的点全部在集合中，逐一排除法． 【详解】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中， 选项中除去的是四条线； 选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意； 选项，则且，即除去两点､，符合题意； 选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点． 故选：C 5．已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有 ．（填序号） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）中变形得到，故，，一一对应，（1）正确，同理判断（2）和（3）；对于（4），可举出反例. 【详解】对于（1），由，可得，，一一对应， 则，故（1）符合； 对于（2），由，可得，，一一对应， 则，故（2）符合； 对于（3），由 ， 可得，， 一一对应，则，故（3）符合； 对于（4），，但方程无实数解， 则与不相同，（4）不符合. 故答案为：（1）（2）（3） 【点睛】本题考查了集合的元素和，分类讨论是一个常用的技巧，可以简化题目，易于计算. 6．用描述法表示下列集合： (1)被7除余1的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第一象限和第三象限的点组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】用集合的描述法来表示即可. 【详解】（1）被7除余1的正整数组成的集合是； （2）平面直角坐标系中第一象限和第三象限的点组成的集合是； （3）函数的图像上所有的点组成的集合是 7．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 【答案】(1)，无限集 (2)，有限集 (3)，有限集 【分析】（1）直接解不等式即可，解集为无限，用描述法表示； （2）解方程组，解集为有限，用列举法表示； （3）元素有限个，所以用列举法表示. 【详解】（1）因为，所以解集为，为无限集； （2）二元二次方程组，所以，解得或， 所以解集为，为有限集； （3）大于且小于9的偶数有， 所以解集为，为有限集. 题型三 区间 1．集合，用区间表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 则区间表示为：. 故选：C． 2．用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意区间为； （2）由得，解集为． 题型一 集合表示方法的综合运算 1．若集合，则不论实数取何值，集合不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论参数a，结合集合的描述判断可能对应的集合. 【详解】当时，有，此时； 当时，有，而，此时； 当时，，显然，有， 但，即集合不可能是. 故选：C 2．已知集合且，则下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知集合表示奇数集，集合表示偶数集，是奇数，是偶数，然后依次对，，，进行判断即可得出结果. 【详解】根据集合可知， 集合表示奇数集，集合表示偶数集，又，所以是奇数，是偶数； 对于A，因为两个奇数的乘积为奇数，所以，即A正确； 对于B，因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以，即B正确； 对于C，因为两个奇数的和为偶数，所以，即C正确； 对于D，因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以，所以D错误； 故选：D 3．已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别对，，的符号进行讨论，计算出集合的所有元素，再进行判断. 【详解】根据题意，分4种情况讨论； ①、全部为负数时，则也为负数，则； ②、中有一个为负数时，则为负数，则； ③、中有两个为负数时，则为正数，则； ④、全部为正数时，则也正数，则； 则；分析选项可得符合． 故选：A. 4．已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【分析】根据条件可得到集合中元素的特征，分析的特征后即可得到答案． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 5．若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断. 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，，所以，②正确； 对于③，若，不妨设， 则，，所以，③正确； 对于④，若且，不正确， 例如，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，， 若， 则，故，⑤正确. 综上，①②③⑤正确. 故选：C. 6．已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出3个结论：（1）；（2）集合不可能是单元素集；（3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中正确结论的序号为 【答案】（1）（3） 【分析】由集合的定义逐个判断即可. 【详解】若 ，则0不能作为分母，故，故（1）正确； 当时时，，所以为单元素集，故（2）错误； 当时时，，所以集合一定包含， 当取其他整数时，则其倒数必在集合中， 所以当取遍可以取的所有数时，集合的元素一定为偶数，故（3）正确. 故答案为：（1）（3）. 7．已知集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）若A中至多有一个元素，求实数的值，并写出相应的集合； （3）若A中至少有两个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）实数的取值为；当时，；当时，；当时，；（3） 【分析】（1）方程无解，则，根据判别式即可求解； （2）分方程无解或者一个解讨论即可； （3）由题意可知有两个不等的实根，由判别式求解即可. 【详解】（1）若A是空集，则方程无解， 此时 且，即， 所以的取值范围为； （2）若A中至多有一个元素， 则方程有且只有一个实根或者无解， 若方程有且只有一个实根，则 当时，方程为一元一次方程，满足条件， 当时，此时，解得：， 若方程无解，由（1）可知， 综上可知：若A中至多有一个元素，则实数的取值为； 当时，；当时，；当时，； （3）若A中至少有两个元素，则有两个不等的实数根， 此时 且，解得且， 所以a的取值范围是. 8．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则. (1)判断是否正确，并说明理由； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则. 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合的条件，先根据①②得，，进而有③可得； （2）先由①②得，进而可得； （3）先证，可得，，进而得，再结合可证. 【详解】（1）正确，理由如下： 由①知，，由②可得，， 由③可得. （2）证明：由①知，由题意， 所以由②可知，又，所以即证. （3）证明： ，由②可知，由③可知，， 所以，即，所以， 由（2）结论可知，即，即证 9．已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)证明：且对任意都是的因数； (3)当时，若，求集合. 【答案】(1)不具有性质具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由定义直接判断即可； （2）由定义可知，，，再验证即可证明； （3）由定义推导出，可得集合. 【详解】（1）（1）由于和均不属于数集，所以，数集不具有性质P． 由于都属于数集，所以数集 具有性质； （2）由，故，则，即， 时，，则，故， ，则有， 所以且对任意都是的因数； （3）由（2）知，当时，，，则， 由，则，所以， 由，则，得， 所以集合. 题型二 新定义 1．若对任意，均有，就称集合是伙伴关系集合．设集合，则的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（    ） A．15 B．16 C．32 D．128 【答案】A 【分析】根据题意，得到伙伴关系集合为，共有4组，结合组合数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，可得具有伙伴关系的元素有， 其中有，共4组， 它们中任选一组、二组、三组或四组均可组成伙伴关系集合， 所以共有. 故选：A. 2．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论：①；②；②；④若整数、属于同一“类”，则“”，其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“类”的定义对上述五个结论的正误进行判断. 【详解】对于①，，，结论①正确； 对于②，，，结论②错误； 对于③，对于任意一个整数，它除以的余数可能是、、、、，，结论③正确； 对于④，整数、属于同一“类”，设、，、、、、，则存在、，使得，，，结论④正确.故选C. 【点睛】本题考查集合中的新定义，在判断命题的正误时应充分结合题中定义来理解，考查推理能力，属于中等题. 3．集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有 个元素. 【答案】9 【分析】先根据数据计算集合至少有八个数，再应用反证法证明恰好有八个元素不成立，即可求出元素的最小值. 【详解】设A中的数从小到大排列为 则；；；；； 于是A至少有八个数； 假设A恰好有八个元素，由于； 故必须有，， 又，同理， 但此时，，矛盾， 故A不可能恰好有八个元素， 因此A至少有九个元素. 其九个数可以为：1，2，3，6，12，13，25，50，100. 故答案为：9. 4．若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是 . 【答案】4 【分析】根据定义有或，分别确定出所在区域，然后可求得面积． 【详解】根据定义有或， ，则，这是一个边长为的正方形，面积为， 同理，，也都形成一个边长为的正方形，面积都是， 所以. 故答案为： 1．对于任意实数，表示不小于的最小整数，如，定义在上的函数，若集合，则集合中所有元素的和为 【答案】-4 【分析】讨论，，三种情况，分别计算得到得到答案. 【详解】当时： 当时：，， 当时：，， 故，集合中所有元素的和为 故答案为 2．若､分别为集合､的元素个数，定义，若，且.设实数所有可能构成集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设可得或，分类讨论研究集合T中方程解的情况，即可确定实数所有可能，进而可得. 【详解】由题意，，，及方程的解. 由，， ∴或； 当时，只能为，则； 当时，分三种情况讨论： 或是方程的其中一个解，方程还有另外一解，把､代入验证，不符合题意； 当方程有两个相等的实数根时，即，解得，符合题意. 综上所述，､､. 故选：C 3．已知集合具有性质：对任意与至少有一个属于集合； (1)判断集合与是否具有性质，并说明理由； (2)已知具有性质，当时，求集合； (3)已知具有性质，求的值； 【答案】(1)M具有性质，不具有性质 (2) (3) 【分析】（1）由新定义判断即可； （2）由定义知,，可得，再由，， 可分析出，即得解. （3）由得，再由，可得，， 即可得到，用累加法即可得到 一般结论，进而得到答案. 【详解】（1）集合中，因为,，所以集合具有性质. 集合中，因为，所以集合不具有性质. （2）因为，且具有性质，所以,， 则，又因为，所以，则， 由集合的互异性知，而， 所以，故. （3）先证明一般结论： 具有性质，则. 因为具有性质， 所以 ,则，则. 又因为，所以 又因为，所以，则， 所以. 所以， 即， 所以具有性质，则， 所以. 【点睛】关键点点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 4．记存在正整数n，且．若集合满足，则称集合A为“谐调集”． (1)分别判断集合、集合是否为“谐调集”； (2)已知实数x、y，若集合为“谐调集”，是否存在实数z满足，并且使得为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z，若不存在，请说明理由； (3)若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合． 【答案】(1)E不是，F是 (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义计算即可判断； （2）若存在符合题意的实数z，根据题意可得的关系式，求解后，检验，即可判断； （3）不妨设A中所有元素满足，从而可得，进而可得，再分三种情况求解即可． 【详解】（1）∵， ∴E不是“谐调集”， ∵， ∴F是“谐调集”. （2）若存在符合题意的实数z，则， ∴，即，解得或或， 当时，则，不符合题意. 当时，， 由此，x、y是方程的实数解． 但，方程无实数解，所以不符合题意. 同理，当时，不符合题意， 综上，不存在符合题意的实数. （3）不妨设A中所有元素满足， 则， 于是，， 即， 当时，则， ∴，但无解，所以不存在符合题意的“谐调集”， 当时，则， ∴ ∴， 当时， ∵均为正整数， ∴， ∴， 又∵， ∴即， 但当时，，矛盾． 所以不存在符合题意的“谐调集” 综上，符合题意的“谐调集”为． 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.2集合的表示方法 题型一 列举法 1．方程组的解集是（     ） A． B．或 C． D． 2．集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 3．用列举法表示《沁园春·长沙》前三句的意象所组成的集合 . 4．已知集合，，则集合B可用列举法表示为 5．已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为 ． 6．用列举法表示集合 . 7．，，，用列举法表示M，N，P． 题型二 描述法 1．集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 2．能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 3．用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 4．直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（    ） A． B．或 C． D． 5．已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有 ．（填序号） 6．用描述法表示下列集合： (1)被7除余1的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第一象限和第三象限的点组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 7．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 题型三 区间 1．集合，用区间表示为（    ）． A． B． C． D． 2．用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 题型一 集合表示方法的综合运算 1．若集合，则不论实数取何值，集合不可能是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合且，则下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 5．若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出3个结论：（1）；（2）集合不可能是单元素集；（3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中正确结论的序号为 7．已知集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）若A中至多有一个元素，求实数的值，并写出相应的集合； （3）若A中至少有两个元素，求实数的取值范围. 8．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则. (1)判断是否正确，并说明理由； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则. 9．已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)证明：且对任意都是的因数； (3)当时，若，求集合. 题型二 新定义 1．若对任意，均有，就称集合是伙伴关系集合．设集合，则的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（    ） A．15 B．16 C．32 D．128 2．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论：①；②；②；④若整数、属于同一“类”，则“”，其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 3．集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有 个元素. 4． 若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是 . 1．对于任意实数，表示不小于的最小整数，如，定义在上的函数，若集合，则集合中所有元素的和为 2．若､分别为集合､的元素个数，定义，若，且.设实数所有可能构成集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合具有性质：对任意与至少有一个属于集合； (1)判断集合与是否具有性质，并说明理由； (2)已知具有性质，当时，求集合； (3)已知具有性质，求的值； 4．记存在正整数n，且．若集合满足，则称集合A为“谐调集”． (1)分别判断集合、集合是否为“谐调集”； (2)已知实数x、y，若集合为“谐调集”，是否存在实数z满足，并且使得为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z，若不存在，请说明理由； (3)若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$