专题01 集合及其表示方法讲义（10大题型+能力训练）-2025-2026学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题1.1 集合及其表示方法 知识点1 集合的含义 1、概念 把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成的一个集合（有时简称集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、要点辨析 （1）对象：现实生活中我们看到的、听到的、触摸到的、想到的事和物等，都可以看作“对象”，即集合的元素，它具有广泛性，组成集合的对象可以是数、图形、人、物等． （2）集合：集合是一个原式的、不加定义的概念，就如几何重点、线、面一样无法被“定义”； （3）元素：具有共同特征或共同的属性的对象； （4）总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”的含义，因此，一些对象一旦组成集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个体． 知识点2 元素与集合 1、元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 2、集合中元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 注意：如果元素的界限不明确，即不能构成集合。例如著名的科学家；比较高的人等 （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的． 简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 知识点3 集合的表示方法与分类 1、常用数集及其记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2、集合的表示方法 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】 ①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不能重复；④集合中的元素可以是任何事物． （2）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】 ①首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． ②若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． ③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． （3）图示法：画一条封闭曲线，用它的内部表示集合． 3、集合的分类 （1）一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅； （2）集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成含有0个元素的集合，所以空集是有限集． 4、集合相等 给定两个集合A和B，如果组成他们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B． 知识点4 区间的概念 1、一般区间的表示 设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 在数轴上，用实心点表示包括区间的端点，用空心点表示不包括区间的端点． 【常用方法技巧】 1、判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 2、元素与集合关系的判断方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 3、利用集合中元素的特异性求参数 （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 4、集合与方程的综合问题 （1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集．集合中的元素就是方程的实数根． （2）当方程中含有参数时，往往要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，有时还要进行分类讨论．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的特性． 5、集合的新定义问题 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． （2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． 题型01：集合的意义与分类 【例1】下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【答案】B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 【跟踪训练】 1．给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 【答案】D 【分析】根据集合元素的特征逐一判断各选项. 【详解】对于①，集合不满足集合元素的互异性，故①错误； 对于②，集合仅有1个元素，故②正确； 对于③，集合与元素相同，是两个相同的集合，故③错误； 对于④，集合大于3的无理数是无限集，故④错误. 故选：D. 2．已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 【答案】C 【详解】由方程组可得：，即， 若，则，不成立，方程组无解； 若，则，可得，即方程组只有一组解. 对于A：存在无数个实数k（），使得方程组的解集是单元素集，故A正确； 对于B：有且仅有一个实数，使得方程组的解集为空集，故B正确； 对于C：不存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集，故C错误； 对于D：如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集，故D正确； 故选：C. 3.判断下列各组对象能否组成集合．若能组成集合，指出是有限集还是无限集；若不能组成集合，请说明理由． (1)上海市现有各区的名称； (2)末位是3的自然数； (3)比较大的苹果． 【答案】(1)能，理由见解析； (2)能，理由见解析； (3)不能，理由见解析. 【分析】（1）（2）（3）根据集合的定义判断即可. 【详解】（1）能构成集合，元素是确定的且个数有限，该集合是有限集. （2）能构成集合，元素是确定的且个数无限，该集合是无限集. （3）不能构成集合，元素无法确定. 4．判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 【答案】(1)能组成集合，为有限集 (2)能组成集合，为无限集 (3)能组成集合，为 (4)不能组成集合，理由见解析 【分析】根据对象是否确定判断能否构成集合，由元素的个数判断集合类型. 【详解】（1）所给对象确定，能组成集合，为有限集. （2）所给对象确定，能组成集合，为无限集. （3）所给对象确定，能组成集合，为空集. （4）所给对象不确定，不能组成集合. 题型02：判断元素与集合的关系 【例2】下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集，得到答案. 【详解】分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集， 由，，，，可得ABC错误，D正确. 故选：D. 【例3】已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【分析】根据条件可得到集合中元素的特征，分析的特征后即可得到答案． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 【跟踪训练】 1．用符号“”或“”填空： （1） ；（2）5 ；（3） ；（4） ． 【答案】 【详解】因为为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集， 所以；；；. 故答案为：；；；. 2.下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据元素和集合的关系进行判断，得到答案. 【详解】，①正确；，②正确； 为元素，为集合，两者不能用等号连接，应，③错误； ，④错误；，⑤错误；，⑥正确. 故选：A 3．设，，若集合，则，与集合的关系是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】，， 对比集合中元素的系数可得，， 故选：A 题型03：集合相等 【例4】下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 【例5】已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据元素的互异性，确定的范围，根据集合相等列方程求即可. 【详解】因为，， 所以，且， 所以，且，， 因为， 所以或， 由，可得（舍去）， 由，可得（舍去）或， 所以. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．已知集合，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的表示，确定集合中的元素，能化简的集合要化简后对比 【详解】解：∵是单元素集，集合中的元素是， ， ， ，集合中的元素是点， . ∴. 故选：D. 2.已知集合，，且，则的值为________. 【提示】理解集合相等的定义； 【答案】； 【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求的值即可. 【详解】解：因为，，，所以，解得， 故答案为：0； 3.集合中有三个元素：、、，集合中有三个元素：、、0，若，求的值． 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】利用集合中元素的互异性，结合，所以只有，再对剩下两个数对应相等情况分类，即可求解. 【详解】由集合中元素有意义知，由集合中元素的互异性知， ∵，∴或 解得或（舍去）． ∴． 4．已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解； （2）按照，讨论，验证即可求解. 【详解】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 题型04：根据元素与集合的关系求参数 【例6】设集合，已知且，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】由或解出的值，再验证集合中元素的互异性即得解. 【详解】当时，可得或， 若时，则，不合题意； 若时，则，符合题意； 当，可得或， 若，则，不合题意； 若，则，不合题意. 综上所述：. 故答案为： 【跟踪训练】 1．已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由且，得，解得． 故选：A 2.设全集，集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先写出，将代入解不等式即可. 【详解】由得， 因为，所以，即. 故答案为： 题型05：利用集合的互异性求参数 【例7】已知集合，，且，则集合 ． 【答案】 【分析】根据条件，求出，再利用集合的性质，即可求解. 【详解】因为，所以或， 由，得到或， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 当时，，满足题意，此时， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 故答案为：. 【跟踪训练】 1.已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【答案】D 【解析】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去， 而时，符合题意.故选：D. 2.已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】B 【解析】由， 若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性； 若，即，则不符合集合元素的互异性. 故.故选：B. 题型06：用列举法与描述法表示集合 【例8】将集合用列举法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出当时，的值，判断是否满足即可判断． 【详解】， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； ； ， 故选：D． 【例9】给出下列说法，其中正确的是（ ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数}或 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 【答案】A 【解析】对于A，集合中只含有两个元素0和1，所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，R就表示实数集，实数集用为错误表示，另外花括号具有所有的意义， 描述内容中不能再出现所有字眼，故B错误； 对于C，解集应为，原表示错误，故C错误； 对于D，集合为y的取值集合，集合表示上点的集合， 所以两个集合不是同一个集合，故D错误；故选：A. 【跟踪训练】 1．集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以． 又因为，所以， 所以． 故选：B. 2．设集合，则集合 ． 【答案】 【分析】由得的取值，求出所有满足题意的即可. 【详解】因为，所以， 解得，又， 则.即 故答案为：. 3.下列用描述法表示的集合，不正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】B 【分析】根据描述法的特点逐项分析即可. 【详解】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：B. 4.选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【答案】(1)，是有限集 (2)，是有限集 (3)，是有限集 (4)，是无限集 (5)，是无限集 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述写出集合的描述形式，即可判断有限或无限. 【详解】（1）由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集； （2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集． （3）方程的实数根为、，所以，是有限集． （4）由表示坐标系中的曲线，故，是无限集． （5）由，得，所以，是无限集． 题型08：区间表示集合 【例10】下列叙述正确的是（    ） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【解析】对于A，用区间可表示为，错误； 对于B，用区间可表示为，错误； 对于C，用集合可表示为，错误； 对于D，用集合可表示为，正确；故选：D 【跟踪训练】 1．用区间表示下列集合： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（3）；（4）；（5）. 【解析】直接把集合写成区间的形式，注意含有等号的用闭区间，不含等号的用开区间. 【详解】集合中六个集合对应的区间分别为（1），（2），（3），（4），（5），（6）. 【点睛】本题考查集合的区间表示，属于基础题. 2．用区间表示下列集合： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】根据集合与区间的关系，准确改写，即可求解． 【详解】（1）根据集合与区间的改写，可得． （2）由或． （3）由或． 【点睛】本题考查了集合与区间的改写，其中解答中熟记集合与区间的关系是解答的关键，属于容易题． 题型09：集合的元素个数问题 【例11】已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 【例12】设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 【答案】C 【解析】因为若，则， 所以，，则， 当时，4个元素中，任意两个元素都不相等， 所以集合中有且仅有4个元素，故选：C 【例13】已知集合 (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求集合A. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据空集转化为一元二次方程根的情况求解． （2）根据a分类讨论，从而解决问题． 【详解】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，或. 【跟踪训练】 1.由实数及所组成的集合，最少含有 个元素，最多含有 个元素． 【答案】 1 2 【分析】分、两种情况讨论，确定代数式的关系，即可确定集合的元素个数. 【详解】当时，各个式子都是； 当时，因为，，， 所以不论取何值，最多只能写成两种形式， 故集合中最少含有个元素，最多含有个元素． 故答案为：； 2．若集合至多有一个元素，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据讨论方程解的情况，即得结果 【详解】时，，满足题意； 时，要满足题意，需 综上的取值范围是或 故答案为或 【点睛】本题考查根据集合元素个数求参数，考查基本分析求解能力，属中档题. 3.已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)的值为或，当时，元素为，当时，元素为；(3) 【解析】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 4.已知由实数组成的集合，，又满足：若，则. (1)能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； (2)中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 【答案】(1)A不可能是单元素集合，理由见解析；(2)A中所含元素个数一定是，证明见解析． 【解析】（1）假设A中仅含一个元素，不妨设为a，则，有， 又A中只有一个元素，，即， 但此方程，即方程无实数根， ∴不存在这样的实数a，故A不可能是单元素集合． （2）中所含元素个数一定是个． 证明：，则，，而， 且，当时，， ，方程无解，； 当时，，，方程无解，； 当时，，，方程无解，， 中所含元素个数一定是个． 5．已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【答案】(1)，且 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由一元二次方程根的情况令，且判别式大于零求解即可； （2）由一元二次方程根的情况令，且判别式小于零求解即可； （3）分与不等于零的情况，当时，令判别式大于零. 【详解】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且. （2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得. （3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根. 当时，方程的根为；当时，令，解得，此时. 综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 题型10：集合新定义问题 【例14】已知集合，，记且.则 ， . 【答案】 【详解】由及可得可能的取值有1，2，3，6，即，4，3，0，故.因为且，所以；又且，则. 【例15】用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由于，，且，则或. 显然，则，故， 当是的根时，则，解得， 此时方程为，解得，满足题意； 当不是的根时，有两个相等的实数根， 故，从而， 综上所述，.故选：B. 【跟踪训练】 1.定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【解析】因为且， 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 综上可知：，所以集合中元素个数为5，故选：D. 2.定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】计算可求得，可得结论. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故中的元素个数为3. 故选：C. 3.对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 【答案】17 【解析】当a，b都是偶数或奇数时，因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16， 6+10=16，7+9=16，8+8=16； 当a，b一奇一偶时，1×16=16； 集合M中的元素是有序数对，所以集合M中的元素共有8×2+1=17个. 故答案为：17 4．已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 【答案】(1)； (2)没有可能； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用定义依次计算即得. （2）假定是，结合定义计算导出矛盾即可. （3）利用给定的定义计算推理即得. 【详解】（1）当时，即，则，， ，，所以. （2）假设集合是单元素集， 由，则，得，整理得与实数平方为非负数矛盾， 所以集合不可能是单元素集. （3）由，得且，，于是， ，所以. 一、填空题 1.（2024秋•浦东新区期中）　　R．（用符号“∈”或“∉”填空）． 【分析】根据已知条件，结合元素与集合关系，即可求解． 【解答】解：∈R． 故答案为：∈． 【点评】本题主要考查元素与集合关系的判断，属于基础题． 2.（2024秋•金山区高一数学期中）已知集合A＝{2，2a﹣1}，且1∈A，则实数a的值为 　　． 【分析】由题意可知2a﹣1＝1，求出a的值即可． 【解答】解：∵1∈A， ∴2a﹣1＝1，解得a＝1， 故答案为：1． 3.（2023秋•浦东新区高一数学期中）已知集合A＝{2，a2+3a+3}，且1∈A，则实数a的值为 　　． 【分析】根据已知条件，结合元素与集合关系，即可求解． 【解答】解：集合A＝{2，a2+3a+3}，且1∈A， 则a2+3a+3＝1，解得a＝﹣1或﹣2． 故答案为：﹣1或﹣2． 【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题． 4.（2024秋•崇明区高一数学期中）直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为 　　． 【分析】根据第二象限点的符号特征求解即可． 【解答】解：直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为：{（x，y）|x＜0，y＞0}． 故答案为：{（x，y）|x＜0，y＞0}． 【点评】本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题． 5.（2024-25奉贤区高一数学期中）已知集合A＝{（x，y）|y＝4x﹣1}，集合B＝{（x，y）|y＝x2+2}，用列举法表示集合A∩B=_________。 【分析】求出直线y＝4x﹣1与抛物线y＝x2+2的交点坐标，即可得到集合A∩B． 【解答】解：由题意可知，集合A∩B的元素为表示直线y＝4x﹣1与抛物线y＝x2+2的交点坐标， 联立方程，解得或， ∴A∩B＝{（1，3），（3，11）}． 【点评】本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题． 6．（2024上海市金山中学高一期中）设集合，若，则__________. 【答案】11 【分析】根据两个集合相等的知识列方程组，解方程组求得的值，进而求得的值. 【详解】由于，所以，解得，故. 故答案为. 【点睛】本小题主要考查两个集合相等的概念，属于基础题. 7．（2023上海市行知中学高一阶段练习）若，则实数_________. 【答案】或##或 【分析】由，可得或，分三种情况讨论即可求解. 【详解】解：因为，所以或，即或， 当时，与集合中元素的互异性相矛盾，舍去； 当时，符合题意； 当时，符合题意. 故答案为：或. 8．（2024上海·高一专题练习）下面四个说法错误的有________ （1）10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7} （2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2} （3）方程x2-2x+1=0的解集是{1，1} （4）0与{0}表示同一个集合 【答案】（3）（4） 【分析】利用集合的基本概念对四个命题一一验证即可判断. 【详解】10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故（1）说法正确; 由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，1，2}相等，且都可以表示由1，2，3组成的集合，故（2）说法正确; 方程x2-2x+1=0的解集应为{1}，故（3）说法错误; 由集合的表示方法知“0”不是集合，故（4）说法错误. 故答案为：（3）（4）. 9．（2024上海·高一专题练习）集合是单元素集合，则实数________ 【答案】0，2或18 【分析】集合是单元素集合，即方程只有一个根，分和两种情况，求出实数即可． 【详解】当时，，符合题意； 当时，令，即，解得或 故答案为：0，2或18 10．（2024-25徐汇区高一数学期中）已知集合，则中的元素个数为 ． 【答案】4 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 由集合C中元素满足互异性，所以． 故答案为：4 11．（2023·上海市实验学校高一期末）设是有理数，集合，在下列集合中； （1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（       ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】将分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断与是否一一对应，再举反例判断（4）. 【详解】 对于（1），由，得，一一对应，则 对于（2），由，得，一一对应，则 对于（3），由，得，一一对应，则 对于（4），，但方程无解，则与不相同 故选：B 12．（2024·上海·位育中学高一阶段练习）设为实数，关于的不等式组的解集为A，若，则的取值范围是_____________ 【答案】 【分析】根据，建立不等式求解即可求解. 【详解】由题意，， 则或 解得或. 故答案为： 二、选择题 13.（2023秋•奉贤区校级月考）如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【分析】利用集合元素的互异性求解． 【解答】解：因为集合中任何两个元素都不相等， 所以这个三角形的任意两边都不相等， 所以这个三角形一定不可能是等腰三角形， 故选：D． 【点评】本题主要考查了集合元素的互异性，是基础题． 14．（2024-25金山区高一数学期中）下面每一组的两个集合，相等的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由相等集合的概念一一分析每个选项中的集合，然后进行比较即可得出答案. 【详解】A选项中，表示两个不同的点，∴，∴该选项不符合； B选项中集合M有两个元素1，2是实数，N有一个元素是点，∴，∴该选项不符合； C选项中集合M是空集，集合N是含有一个元素的集合，∴，∴该选项不符合； D选项中由得，∴，∴该选项符合. 故选：D. 【点睛】本题考查了相等集合的判断，属于基础题. 15．（2024上海市行知中学高一阶段练习）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（       ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解析】直角坐标平面中除去两点､，其余的点全部在集合中，逐一排除法． 【详解】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中， 选项中除去的是四条线； 选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意； 选项，则且，即除去两点､，符合题意； 选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点． 故选：C 【点睛】本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题． 16．（2024-25松江区高一数学期中）设全集，给出条件：①；②若，则；③若，则.那么同时满足三个条件的集合的个数为（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】 集合中各元素的放置，由此可得出结论. 【详解】 由题意可知，若，则，，；若，则，，. 此时，、、、的放置有种； 若，则；若，则，此时、的放置有种； 若，则；若，则，此时，、的放置有种. 、的放置没有限制，各有种. 综上所述，满足条件的集合的个数为. 故选：C. 三、解答题 17．（2024上海高一数学课时作业）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 【答案】 【详解】由可得0且（否则不满足集合中元素的互异性）． 所以，或 解得，或． 经检验，满足题意． 所以． 18. （2024上海高一数学课时作业）用不同的方法表示下列集合： （1）； （2）； （3）所有被5除余1的正整数所构成的集合； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点构成的集合． 【答案】（1）．（2）．（3）．（4） 【分析】一般情况下，集合元素是有限个时可用列举法，反之则用描述法． （1）,对取值，使得得解； （2），得代入求得解； （3）用描述法得集合； （4）点集，第一、三象限点的横纵坐标同号得解． 【详解】解（1）∵，，∴取值为6，3，2，1．从而所求集合为． （2）∵，∴，对应的值为3，0，．故该集合表示为． （3）． （4）． 【点睛】本题考查集合的表示方法.集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． 19．（2024上海高一数学课时作业）已知集合A={x|ax23x4=0，x∈R}. （1）当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素；　 （2）当A中有两个元素时，求a满足的条件； （3）当A中至少有一个元素时，求a满足的条件. 【答案】（1）答案见解析；（2）a>且a≠0；（3）a≥. 【分析】（1）分a=0和a≠0两种情况讨论即可， （2）由A中有两个元素可知方程为二次方程，且判别式大于零，从而可求出的范围， （3）A中至少有一个元素包括（1）、（2）的情况，所以的范围是（1）（2）所求的的范围的并集 【详解】解:（1）①当a=0时，方程3x4=0的根为x=. 故A={}. ②当a≠0时，由Δ=(3)24a·(4)=0，得 a=，此时方程的两个相等的根为x1=x2=. 综上，当a=0时，集合A中的元素为； 当a= 时，集合A中的元素为. （2）集合A中有两个元素，即方程ax23x4=0有两个不相等的实根. 所以 解得a>且a≠0. （3）集合A中有一个元素或两个元素. 当集合A中有两个元素时， 由（2）得a>且a≠0； 当集合A中有一个元素时，由（1）得a=0或a=. 综上，当A中至少有一个元素时，a满足的条件是a≥. 20.（2024上海大同中学高一月考）设非空集合具有如下性质：①元素都是正整数；②若则． （1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合各一个； （2）是否存在恰有6个元素的集合？若存在，写出所有的集合；若不存在，请说明理由； （3）满足条件的集合S总共有多少个？ 【答案】（1）答案见详解；（2）存在，且共有个，答案见详解；（3）个. 【解析】（1）当集合中只有一个元素，则，得出集合即可；有两个元素时，只需两个元素之和为即可；当有三个元素时，只需其中两个元素之和为，另外一个元素为； （2）只需选对和为的正整数即可； （3）集合中元素的个数可以为，，，，，，，，个，先计算出当集合的元素个数为偶数时的个数，同理可得中元素个数为奇数的个数，然后则可得出符合条件的的总个数. 【详解】解：（1）若集合中只有一个元素，则只需满足，故，则； 若集合中有两个元素，则符合条件； 若集合中有三个元素，则符合条件. （2）存在，一共有四个： 或或或. （3）由题意可知，集合中元素的个数可以为，，，，，，，，个， 当集合中元素的个数为偶数时： 含有个元素时，只需在，，，这四对中任选一对，则共有个； 含有个元素时，只需，，，这四对中任选两对，则共有6个； 含有个元素时，只需，，，这四对中任选三对，则共有个； 含有个元素时，则共有个， 所以当集合中元素的个数为偶数时，满足条件的集合共有个， 同理可知，当中元素个数分别为时，符合条件的集合也为个； 由（1）可知，当中只有一个元素时，只有一个， 综上所述，符合条件的共有个. 【点睛】本题考查集合的新定义问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，理解题意是关键. 21．（2024·上海市金山中学高一期中）设数集由实数构成，且满足：若（且），则． （1）若，则中至少还有几个元素？ （2）集合是否为双元素集合？请说明理由． （3）若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合． 【答案】（1）中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）． 【解析】（1）由（且），则，结合可计算得出集合中的元素； （2）由，逐项可推导出，，结合集合元素满足互异性可得出结论； （3）由（2）中有三个元素为、、（且），设中还有一个元素，可得出，，由已知条件列方程求出、的值，即可求得集合中的所有元素. 【详解】（1），． ，． ，． 中至少还有两个元素为，； （2）不是双元素集合．理由如下： ，，， 由于且，，则， 则，可得，由，即，可得， 故集合中至少有个元素，所以，集合不是双元素集合． （3）由（2）知中有三个元素为、、（且）， 且， 设中有一个元素为，则，，且， 所以，，且集合中所有元素之积为. 由于中有一个元素的平方等于所有元素的积， 设或，解得（舍去）或或． 此时，，，， 由题意得，整理得， 即，解得或或， 所以，． 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素相关的问题，解题时要结合题中集合满足的定义推导出其它的元素，以及结合已知条件列方程求解，同时注意集合中元素满足互异性. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题1.1 集合及其表示方法 知识点1 集合的含义 1、概念：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成的一个集合（有时简称集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、要点辨析 （1）对象：现实生活中我们看到的、听到的、触摸到的、想到的事和物等，都可以看作“对象”，即集合的元素，它具有广泛性，组成集合的对象可以是数、图形、人、物等． （2）集合：集合是一个原式的、不加定义的概念，就如几何重点、线、面一样无法被“定义”； （3）元素：具有共同特征或共同的属性的对象； （4）总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”的含义，因此，一些对象一旦组成集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个体． 知识点2 元素与集合 1、元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 2、集合中元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 注意：如果元素的界限不明确，即不能构成集合。例如著名的科学家；比较高的人等 （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的． 简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 知识点3 集合的表示方法与分类 1、常用数集及其记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2、集合的表示方法 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】 ①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不能重复；④集合中的元素可以是任何事物． （2）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】 ①首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． ②若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． ③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． （3）图示法：画一条封闭曲线，用它的内部表示集合． 3、集合的分类 （1）一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅； （2）集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成含有0个元素的集合，所以空集是有限集． 4、集合相等 给定两个集合A和B，如果组成他们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B． 知识点4 区间的概念 1、一般区间的表示 设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 在数轴上，用实心点表示包括区间的端点，用空心点表示不包括区间的端点． 【常用方法】 1、判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 2、元素与集合关系的判断方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 3、利用集合中元素的特异性求参数 （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 4、集合与方程的综合问题 （1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集．集合中的元素就是方程的实数根． （2）当方程中含有参数时，往往要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，有时还要进行分类讨论．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的特性． 5、集合的新定义问题 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． （2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． 题型01：集合的意义与分类 【例1】下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【跟踪训练】 1．给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 2．已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 3.判断下列各组对象能否组成集合．若能组成集合，指出是有限集还是无限集；若不能组成集合，请说明理由． (1)上海市现有各区的名称； (2)末位是3的自然数； (3)比较大的苹果． 4．判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 题型02：判断元素与集合的关系 【例2】下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【例3】已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【跟踪训练】 1．用符号“”或“”填空： （1） ；（2）5 ；（3） ；（4） ． 2.下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3 B．4 C．5 D．6 3．设，，若集合，则，与集合的关系是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型03：集合相等 【例4】下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例5】已知集合，，且，则实数的值为 . 【跟踪训练】 1．已知集合，，，，，则（    ） A． B． C． D． 2.已知集合，，且，则的值为________. 3.集合中有三个元素：、、，集合中有三个元素：、、0，若，求的值． 4．已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 题型04：根据元素与集合的关系求参数 【例6】设集合，已知且，则实数的取值集合为 . 【跟踪训练】 1．已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.设全集，集合，若，则实数的取值范围是 . 题型05：利用集合的互异性求参数 【例7】已知集合，，且，则集合 ． 【跟踪训练】 1.已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 2.已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 题型06：用列举法与描述法表示集合 【例8】将集合用列举法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例9】给出下列说法，其中正确的是（ ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数}或 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 【跟踪训练】 1．集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 2．设集合，则集合 ． 3.下列用描述法表示的集合，不正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 4.选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 题型08：区间表示集合 【例10】下列叙述正确的是（    ） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【跟踪训练】 1．用区间表示下列集合： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 2．用区间表示下列集合： （1） ； （2） ； （3） ． 题型09：集合的元素个数问题 【例11】已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例12】设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 【例13】已知集合 (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求集合A. 【跟踪训练】 1.由实数及所组成的集合，最少含有 个元素，最多含有 个元素． 2．若集合至多有一个元素，则的取值范围是 ． 3.已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 4.已知由实数组成的集合，，又满足：若，则. (1)能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； (2)中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 5．已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 题型10：集合新定义问题 【例14】已知集合，，记且.则 ， . 【例15】用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【跟踪训练】 1.定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 2.定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 4．已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 一、填空题 1.（2024秋•浦东新区期中）　　R．（用符号“∈”或“∉”填空）． 2.（2024秋•金山区高一数学期中）已知集合A＝{2，2a﹣1}，且1∈A，则实数a的值为 　　． 3.（2023秋•浦东新区高一数学期中）已知集合A＝{2，a2+3a+3}，且1∈A，则实数a的值为 　　． 4.（2024秋•崇明区高一数学期中）直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为 　　． 5.（2024-25奉贤区高一数学期中）已知集合A＝{（x，y）|y＝4x﹣1}，集合B＝{（x，y）|y＝x2+2}，用列举法表示集合A∩B=_________。 6．（2024上海市金山中学高一期中）设集合，若，则__________. 7．（2023上海市行知中学高一阶段练习）若，则实数_________. 8．（2024上海·高一专题练习）下面四个说法错误的有________ （1）10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7} （2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2} （3）方程x2-2x+1=0的解集是{1，1} （4）0与{0}表示同一个集合 9．（2024上海·高一专题练习）集合是单元素集合，则实数________ 10．（2024-25徐汇区高一数学期中）已知集合，则中的元素个数为 ． 11．（2023·上海市实验学校高一期末）设是有理数，集合，在下列集合中； （1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（       ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．（2024·上海·位育中学高一阶段练习）设为实数，关于的不等式组的解集为A，若，则的取值范围是_____________ 二、选择题 13.（2023秋•奉贤区校级月考）如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 14．（2024-25金山区高一数学期中）下面每一组的两个集合，相等的是（ ） A．， B．， C．， D．， 15．（2024上海市行知中学高一阶段练习）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（       ） A． B．或 C． D． 16．（2024-25松江区高一数学期中）设全集，给出条件：①；②若，则；③若，则.那么同时满足三个条件的集合的个数为（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 三、解答题 17．（2024上海高一数学课时作业）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 18. （2024上海高一数学课时作业）用不同的方法表示下列集合： （1）； （2）； （3）所有被5除余1的正整数所构成的集合； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点构成的集合． 19．（2024上海高一数学课时作业）已知集合A={x|ax23x4=0，x∈R}. （1）当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素；　 （2）当A中有两个元素时，求a满足的条件； （3）当A中至少有一个元素时，求a满足的条件. 20.（2024上海大同中学高一月考）设非空集合具有如下性质：①元素都是正整数；②若则． （1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合各一个； （2）是否存在恰有6个元素的集合？若存在，写出所有的集合；若不存在，请说明理由； （3）满足条件的集合S总共有多少个？ 21．（2024·上海市金山中学高一期中）设数集由实数构成，且满足：若（且），则． （1）若，则中至少还有几个元素？ （2）集合是否为双元素集合？请说明理由． （3）若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $