第01讲 集合及其表示方法（3大知识点+2种易错点+5种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

第01讲集合及其表示方法 （3大知识点+2种易错点+5种必考题型+强化训练） 课程标准 学习目标 1.集合的含义 2.集合中元素的特征（必考） 3.集合与元素的关系 4.集合的表示方法（必考） 1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系．(重点) 2.识记常见数集的表示符号． 3.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法．(重点) 4.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合．(难点) 知识点01：集合的含义（基本点） 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示. 【即学即练1】（2022秋•浦东新区期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 　①②④　． ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解． 【分析】根据已知条件，结合集合的含义，即可求解． 【解答】解：①上海市2022年入学的全体高一年级新生，符合集合的定义，故①正确， ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点，符合集合的定义，故②正确， ③影响力比较大的中国数学家，不符合集合的确定性，故③错误， ④不等式的所有正整数解，即原不等式的集合为，2，，符合集合的定义，故④正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查集合的含义，属于基础题． 知识点02：元素与集合（重点） 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合． （2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}． （3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合． 3.集合相等 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 【即学即练2】(1)下列结论中，不正确的是(　　) A．若a∈N，则－a∉N B．若a∈Z，则a2∈Z C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则a3∈R (2)设集合B是小于的所有实数的集合，则2________ B,1＋________B．(用符号“∈”或“∉”填空) 答案　(1)A　(2)∉　∈ 解析　(1)A中，当a＝0时，显然不成立． (2)∵2＝>，∴2∉B， ∵(1＋)2＝3＋2<3＋2×4＝11， ∴1＋<，∴1＋∈B. 【即学即练3】(1)下列说法中正确的是(　　) A．与定点A，B等距离的点不能构成集合 B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能构成集合 【答案】Ｃ 【解析】A不正确，与定点A，B等距离的点在AB的垂直平分线上，能构成集合；B不正确，由title中的字母构成的元素为t，i，l，e，共4个；C正确，一个集合中有三个元素a，b，c，故a，b，c互异，故不可能构成等腰三角形；D不正确，游泳能手没有确定的标准，故不能构成集合． (2)若由a，，1组成的集合A与由a2，a＋b,0组成的集合B相等，则a2 023＋b2 023的值为________． 【答案】－1 【解析】由已知可得a≠0，因为两集合相等，又1≠0， 所以＝0，所以b＝0， 所以a2＝1，即a＝±1， 又当a＝1时，集合A不满足集合中元素的互异性，舍去， 所以a＝－1. 所以a2 023＋b2 023＝－1. 知识点03：集合的表示方法与分类 1.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 2.集合的表示方法 将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为． 集合可以用封闭的图形或数轴表示，有限集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示． 区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念． 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 常见集合的表示方法 ①方程的解集： ②不等式的解集： ③函数自变量构成的集合： ④函数因变量构成的集合： ⑤函数图象上的点构成的集合： ⑥方程组的解：或 ⑦奇数集： ⑧偶数集： ①做题时，要认清集合中元素的属性（点集、数集、自变量、因变量···），以及元素的范围（、、 、···）. 3.集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 【即学即练4】用“”或“”填空 (1)－3______N； (2)3．14______Q； (3)______Z； (4)－______R； (5)1______N*； (6)0________N． 【答案】(1)　(2)　(3)　(4)　(5)　(6) 【即学即练5】用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C； (4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. 解　(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}． (2)小于8的质数有2,3,5,7， 所以B＝{2,3,5,7}． (3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，，所以C＝. (4)由得 所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1,4)， 所以D＝{(1,4)}． 【即学即练6】试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程x2－5＝0的所有实数根组成的集合A； (2)由小于8的所有自然数组成的集合B. 解　(1)描述法表示为A＝{x∈R|x2－5＝0}，列举法表示为A＝{－，}． (2)描述法表示为B＝{x∈N|x<8}(形式不唯一)，列举法表示为B＝{0,1,2,3,4,5,6,7}． 【即学即练7】用区间表示下列集合 ： （ １ ）｛ x ｜１≤ x ＜２ ｝； （ ２ ） 不等式 ２ x ≤６ 的所有解组成的集合 ． 解 　 （ １ ） 该集合可用区间 ［ １ ， ２ ） 表示 ． （ ２ ） 因为不等式 ２ x ≤６ 的解是 x ≤３ ， 所以它的所有解组成的集合是 （ －∞ ， ３ ］ ． 【即学即练8】用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. （1）第三象限内所有点组成的集合； （2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合； （3）所有被5除余2的奇数组成的集合. 【详解】解：（1），它是无限集； （2），共有6个元素，是有限集； （3），它是无限集. 易错点01　忽略集合中元素的互异性而致错 【例1】已知集合A＝{a，1，a2－5a＋6}，若2∈A，则实数a的值构成的集合为________． 【详解】因为集合A＝{a，1，a2－5a＋6}，且2∈A， 所以2＝a或2＝a2－5a＋6. ①当a＝2时，此时a2－5a＋6＝0，A＝{2，1，0}，符合题意． ②当2＝a2－5a＋6时，解得a＝1或a＝4. 当a＝1时，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当a＝4时，A＝{2，1，4}，符合题意． 综上可知实数a的值构成的集合为{2，4}． 易错点02　不能正确理解集合的表示方法而致错 【例2】．集合M＝中的元素个数是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】因为M＝{y|y＝，x，y∈N}，所以当x＝0时，y＝＝∉N；当x＝1时，y＝＝2∈N；当x＝2时，y＝＝∉N；当x＝3时，y＝＝∉N；当x＝4时，y＝＝∉N；当x＝5时，y＝＝1∈N；当x≥6时，y＝<1，由题可知y≠0.综上所述，M＝＝{2，1}，元素个数是2.故选A. 【变式】给出下列说法： ①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1，0，1}； ②实数集可以表示为{x|x为实数}或{R}； ③方程组的解组成的集合为{x＝1，y＝2}． 其中不正确的有________．(把所有不正确说法的序号都填上) 【解析】①由x3＝x，即x(x2－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.因为－1∉N，所以集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{0，1}．②实数集正确的表示为{x|x为实数}或R .③方程组的解组成的集合正确的表示应为{(1，2)}或 .故①②③均不正确． 题型01 集合中元素的特性的应用 【解题策略】 【方法总结】由集合中元素的特性求解参数取值的步骤 1．（2023秋•浦东新区校级月考）由实数所组成的集合，最多含　　个元素． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据绝对值的定义和开平方、立方的方法，应对对分，，三种情况分类讨论，根据讨论结果可得答案． 【解答】解：当时，，，此时集合共有2个元素， 当时，，此时集合共有1个元素， 当时，，，此时集合共有2个元素， 综上的，此集合最多有2个元素， 故选：． 【点评】本题考查了元素与集合关系的判断及根式的化简求值，其中解答本题的关键是利用分类讨论思想，对分三种情况进行讨论． 2．（2022秋•黄浦区校级月考）若集合，，中的元素是的三边长，则一定不是　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【分析】根据集合元素的互异性，在集合，，中，必有、、互不相等，则不会是等腰三角形． 【解答】解：根据集合元素的互异性， 在集合，，中，必有、、互不相等， 故一定不是等腰三角形； 故选：． 【点评】本题较简单，注意到集合的元素特征即可． 3．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合，4，，若，则　3或　． 【分析】根据，所以，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可． 【解答】解：因为，所以． 解得或．符合题意． 故的值为3或． 故答案为：3或． 【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判断，以及集合的确定性、互异性、无序性，属于基础题． 题型02 元素与集合的关系 【解题策略】 【方法总结】判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法:如果集合中的元素是直接给出的,只要判断该元素在已知集合中是否出现即可 (2)推理法:对于一些没有直接给出元素的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征. 4．（2023秋•杨浦区校级期末）数集，，，，，，若，，则　　 A． B． C． D．，，都有可能 【分析】利用集合元素和集合之间的关系，表示出，，然后进行判断即可． 【解答】解：因为，，，设，，，． 由． 故选：． 【点评】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的判断，属于基础题． 5．（2023秋•宝山区校级期末）已知集合，，且，则实数的值为 　0或　． 【分析】根据元素与集合的关系列方程求解即可． 【解答】解：由题意，，解得或． 故答案为：0或． 【点评】本题考查元素与集合关系的应用，属于基础题． 题型03 集合的表示方法 【解题策略】 1.用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． 2.用描述法表示集合的3个步骤 (1)写出代表元素：弄清楚集合的元素是数、点还是其他的元素，一般地，数用一个字母表示，点用一个有序实数对表示． (2)明确元素的特征：语言力求简明、准确，对代表元素以外的字母要指出其含义或其取值范围． (3)用花括号括起来：一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}．其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件． 6．（2023秋•徐汇区校级月考）直角坐标平面中除去两点、可用集合表示为　　 A．，，， B．或 C．， D．， 【分析】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，逐一排除法． 【解答】解：直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中， 选项中除去的是四条线； 选项中是一个或字，没有同时排除两点； 选项符合题意； 选项不能同时排除，两点． 故选：． 【点评】本题考查了集合的基本概念，属于基础题． 7．（2023秋•长宁区校级期中）用列举法表示集合　，2，3，　． 【分析】由题意可知为6的正因数，从而可求出答案． 【解答】解：因为，且，所以为6的正因数， 所以，或2，或3，或6， 所以． 故答案为：，2，3，． 【点评】本题考查了集合的表示，是基础题． 8．（2023秋•徐汇区校级期中）集合可用列举法表示为 　，1，　． 【分析】根据且，即可得出的值，从而得解． 【解答】解：且， ，1，4， 原集合列举法表示为，1，． 故答案为：，1，． 【点评】本题考查了元素与集合的关系，列举法和描述法的定义，是基础题． 9．（2023秋•静安区校级期中）试用列举法表示集合：，　，1，2，3，　． 【分析】根据及即可得出的值，然后用列举法表示集合即可． 【解答】解：，，1，2，3，． 故答案为：，1，2，3，． 【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，元素与集合的关系，是基础题． 10．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合，1，，则集合，　，4，　．（用列举法表示） 【分析】根据题意，代入计算，即可得到结果． 【解答】解：因为集合，1，，集合，，则集合中的元素有0，4，8， 所以，4，． 故答案为：，4，． 【点评】本题主要考查集合的表示法，属于基础题． 11．（2023秋•青浦区校级月考）用描述法表示直角坐标系中第二象限点的集合，则　，　． 【分析】根据第二象限点的性质写出集合即可． 【解答】解：直角坐标系中第二象限点的集合，． 故答案为：，． 【点评】本题考查集合的表示方法，属于基础题． 12．（2023秋•青浦区校级月考）用描述法表示如图中阴影部分的点（含边界）的集合 　　． 【分析】利用图中的阴影部分的点（含边界）的坐标满足的条件即为集合的元素的公共属性． 【解答】解：图中的阴影部分的点设为， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了集合的描述法的定义，是基础题． 13．（2023秋•静安区校级月考）已知，则集合用列举法表示为 　，0，　． 【分析】由已知对，的正负进行分类讨论求出集合中的元素，即可求解． 【解答】解：因为， 当，时，， 当，时，， 当时，． 故答案为：，0，． 【点评】本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题． 14．（2023秋•徐汇区校级月考）平面直角坐标系中坐标轴上所有点的坐标组成的集合可以用描述法表示为 　　． 【分析】根据描述法的表示方法，不难求出答案． 【解答】解：平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合表示为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查集合的表示方法，列举法和描述法是最基本的两种表示集合的方法，注意它们的区别和联系． 15．（2023秋•普陀区校级期中）方程组的解集为 　，　． 【分析】通过解方程组求得正确答案． 【解答】解：依题意，方程组， 则消整理得：，， 解得或， 所以方程组的解为或， 所以方程组的解集为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查方程组的求解以及集合的表示，属于基础题． 16．（2023秋•徐汇区校级期中）被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 　，　． 【分析】利用集合的描述法求解即可． 【解答】解：被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查集合的表示方法，属于基础题． 题型04 集合的新定义问题 17．（2022秋•浦东新区校级期中）已知集合A＝{1，2}，集合B＝{4，8}，则集合{z|z＝xy，x∈A，y∈B}的所有元素之和为 　28　． 【分析】根据新定义，求解出z的所有元素，再求所有元素之和． 【解答】解：有题意：{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1，2}，B＝{4，8}， 那么：当x＝1时：y＝4或8，可得z：4、8， 当x＝2时：y＝4或8，可得z：8、16， 故得z的所有元素：4、8、16，即集合{z|z＝xy，x∈A，y∈B}的所有元素为：4、8、16， 元素之和为：16+4+8＝28． 故答案为：28． 【点评】本题考查集合的基本运算，新定义的应用，是基础题． 18．（2022秋•松江区校级期中）定义集合运算，，，设集合，，，，则集合　，6，　 【分析】利用集合中新定义的元素的属性得出集合中元素的构成是解决该问题的关键，集合中元素不多时，将各个元素列举出来从而得到所求的集合． 【解答】解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，， ，6，． 故答案为：，6，． 【点评】本题考查学生对新定义的题型的理解和把握程度，弄准集合中元素的构造方式，考查列举法写集合，分类讨论思想． 19．（2023秋•徐汇区校级月考）用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，，则实数的所有可能取值构成集合，则　　（请用列举法表示）． 【分析】根据题意，可得，则可通过讨论与的大小，进而得到结果，具体过程详见解析． 【解答】解：根据题意，，，则有， 又因为， 即得表示方程实数根的个数， 解这个方程得①，或② 解方程①得，， 解方程②得，若，即或时，方程有两个不等实根分别为，； 若，即或时，方程有且只有一个实根； 若，即时，方程没有实数根． 综上可得，当或时，； 当或时，； 当时， 所以（1）当时，，即得， 此时可得； （2）当时，即得，此时可得或； 故答案为：，． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的求解，以及分类讨论在解题中的使用，属于中档题． 20．（2022秋•徐汇区校级月考）对于两个正整数m、n，定义某种运算“⊙”如下，当m、n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；当m、n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，则在此定义下，求集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，p∈N*，q∈N*}中元素的个数． 【分析】根据已知条件，结合运算“⊙”的定义，即可求解． 【解答】解：∵当m、n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n， 当m、n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn， ∴集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，p∈N*，q∈N*}＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}， 故集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，p∈N*，q∈N*}中元素的个数为13． 【点评】本题主要考查集合中元素个数的求解，属于基础题． 题型05 集合中的分类讨论思想 21．（2022秋•宝山区校级月考）集合{x|x＝2m+3n，m、n是正整数，x≤30}中的元素个数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】讨论m＝1，2，3，4及m≥5，求出满足条件的n，从而可求解． 【解答】解：依题意m，n是正整数，x≤30， 当m＝1时，由21+3n≤30，可得3n≤28，可得n＝1，2，3； 当m＝2时，由22+3n≤30，可得3n≤26，可得n＝1，2； 当m＝3时，由23+3n≤30，可得3n≤22，可得n＝1，2； 当m＝4时，由24+3n≤30，可得3n≤14，可得n＝1，2； 当m≥5时，由2m+3n≥25+3n＞30，不符合题意． 又因为m＝1，n＝2时，x＝11， m＝3，n＝1时，x＝11， 故集合{x|x＝2m+3n，m、n是正整数，x≤30}中的元素个数为9． 故选：C． 【点评】本题考查了集合的元素个数，属于中档题． 22．已知非零实数，则代数式表示的所有的值的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，当时，， 因此，若都为正数，则； 若两正一负，则； 若一正两负，则； 若都为负数，则. 所以代数式表示的所有的值的集合是. 23.集合是单元素集合，则实数________ 【答案】0，2或18 【详解】当时，，符合题意； 当时，令，即，解得或 24.已知集合各元素之和等于3，则实数___________. 【答案】或 【详解】由题意知：中元素，即为的解， ∴或，可知：或 ∴当时，；当时，， ∴或， 25.集合且，用列举法表示集合________ 【答案】 【详解】由题意，集合且，可得，则， 解得且， 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，此时分母为零，不满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，满足题意； 综上可得，集合. 故答案为：. 26.已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证： （1）3∈A； （2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A． 解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A； （2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立， 1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数， ∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾． 2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数， ∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾． 综上4k﹣2∉A． 一、单选题 1．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）下列字母表示“自然数集”“整数集”“有理数集”“实数集”，其排列顺序正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据常用数集的记法做题即可. 【详解】“自然数集”记作，“整数集”记作， “有理数集”记作， “实数集”记作. 故选：D 2．（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 【答案】B 【分析】根据可知：集合A为奇数集，结合B为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断. 【详解】由题意可知：集合A为奇数集，集合B为偶数集， 即a为奇数，b为偶数，则为奇数， 所以AD错误，B正确； 例如，令，即， 解得，所以，故C错误； 故选：B. 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，则集合A中的元素（    ） A．除以3余数为； B．除以3余数为1； C．除以3余数为2； D．能被3整除. 【答案】C 【分析】根据集合的定义与整除的概念判断. 【详解】，因此集合A中的元素除以3余数为2， 故选：C. 4．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合M中元素的特征，对元素进行判断. 【详解】且，则；且，则，所以. 故选：A 5．（23-24高一上·上海嘉定·期中）方程组的解集是（     ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】首先解出方程组，再写出其解集. 【详解】由，解得， 所以方程组的解集是或. 故选：C 6．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）下列表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据集合的概念及相同集合的性质判断各选项集合是否相同即可. 【详解】A：集合中的元素不为同一个点，不是同一集合，故A错误； B、D：集合的元素不同，一个是数，一个是实数对，不是同一集合，故BD错误； C：根据集合元素的无序性，可知集合，即为同一集合，故C正确； 故选：C 二、填空题 7．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知集合.若且，则满足条件的正整数的个数为 . 【答案】669 【分析】根据题意，，进而结合且求解即可. 【详解】根据题意，集合表示的是位进制数的集合， 位进制数中，最小的位进制数为，，即， 最大的位进制数为，， 即， 所以集合， 因为且， 所以， 所以满足条件的正整数的个数为. 故答案为：669 8．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】利用集合的互异性及集合相等，求出即得. 【详解】由，得且，当时，显然，于是， 解得，，所以. 故答案为： 9．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，且，则实数 . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，元素的特点，求出的值即可． 【详解】集合，且， ， 故答案为：． 10．（23-24高一上·上海浦东新·期中）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等可得出关于实数、的等式组，解出、的值，即可得出的值. 【详解】由题意可知，，则，所以，，可得， 从而，所以，，且，解得， 因此，. 故答案为：. 11．（2023高一·上海·专题练习）若集合只有一个元素，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，结合根的判别式即可得解. 【详解】解：当时，方程为一元一次方程， 只有一个实根，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， 若要使集合只有一个元素，需使方程有两个相等的实数根， ∴，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：． 12．（2023高一·全国·专题练习）若集合与相等，则 【答案】 【分析】根据集合相等列方程，由此求得的值. 【详解】因为集合与相等， 所以， 解得或（舍去，不满足集合中元素的互异性）. 故答案为： 13．（2023高一上·全国·专题练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】 【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解. 【详解】解：由题意，若，则或， 检验可知不满足集合中元素的互异性， 所以，则， 所以，则， 故. 故答案为：. 14．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 【答案】0或 【分析】根据元素与集合关系得到方程，解出即可. 【详解】因为，则，解得或. 故答案为：0或. 15．（23-24高一上·上海徐汇·期中）被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】根据集合的表示方法，可得被4除余3的所有自然数组成的集合为. 故答案为：. 16．（23-24高一上·上海徐汇·期中）集合可用列举法表示为 ． 【答案】 【分析】根据集合描述法与列举法的定义求解. 【详解】由可知， 所以只能取，又，所以， 即集合中的元素为，故列举法表示为. 故答案为： 17．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 【答案】17 【分析】从定义出发，抓住a，b的奇偶性对16进行分拆，当a，b同是奇数或偶时，将16分拆为两个同奇偶数的和；若a，b一奇一偶时，将16分拆为一个奇数与一个偶数的积，再计算组数即可. 【详解】当a，b都是偶数或奇数时，因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16； 当a，b一奇一偶时，1×16=16； 集合M中的元素是有序数对，所以集合M中的元素共有8×2+1=17个. 故答案为：17. 18．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等求得，从而求得正确答案. 【详解】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 19．（23-24高一上·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由区间的含义列出限制条件可得答案. 【详解】由题意，，解得. 故答案为： 20．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 【答案】④ 【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可. 【详解】对于①，因为，设， 则， 不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等； 对于②，令，则， 显然，但，即②与集合不相等； 对于③，当时，此时，即， 而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等； 对于④，令， 则，其中， 所以④与集合相等； 故答案为：④ 21．（22-23高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【答案】或 【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案. 【详解】由方程，则或， 当存在两个相等的实数根时，，解得， 此时方程的解为，符合题意； 当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得， 此时，则方程另一个解为，符合题意. 综上所述，当或时，集合中恰有两个元素. 故答案为：或. 22．（23-24高一上·上海·期中）已知，，，我们记为集合中元素的个数，则 ． 【答案】77 【分析】利用坐标系中的坐标与集合中元素的关系求解. 【详解】 因为集合， 所以集合中有5个元素，即5个点，即图中圆上的整点，包含边界， 集合中有个元素， 即图中正方形中的整点， 所以集合的元素可看做正方形 中的整点（去除4个顶点），即个元素， 故答案为:77. 三、解答题 23．（23-24高一·江苏·假期作业）用适当的方法表示下列集合． (1)方程组 的解集； (2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (3)方程的实数根组成的集合； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) (5) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述法和列举法的使用特点，即可求解. 【详解】（1）解方程组得，故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为． （2）小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11，故可用列举法表示为． （3）方程的实数根为2，因此可用列举法表示为，也可用描述法表示为. （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对，其中x，y满足， 由于点有无数个，则用描述法表示为． （5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为． 24．（2021高一·上海·专题练习）用描述法表示下列集合： （1）{0，2，4，6，8}； （2）{3，9，27，81，…}； （3）； （4）被5除余2的所有整数的全体构成的集合； （5）如图中阴影部分的点(含边界)的集合. 【答案】（1）{x∈N|0≤x<10，且x是偶数}；（2）{x|x＝3n，n∈N*}；（3）；（4）{x|x＝5n＋2，n∈Z}；（5）{(x，y)| 1≤x≤，≤y≤1且xy≥0}. 【分析】（1）集合表示不大于8的非负偶数，（2）集合为3的n次幂，n从1开始的整数，（3）集合的分子为奇数，可表示为2n 1，分母为偶数，可以表示为2n，（4）根据被除数=商×除数+余数，（5）图中阴影部分的点(含边界)的集合是一个无限集，把横坐标与纵坐标的范围用不等式表示出来即可， 【详解】（1）观察看出集合为不大于8的非负偶数，所以用描述法表示为{x∈N|0≤x<10，且x是偶数}； （2）集合为3的n次幂，n从1开始的整数，则用描述法表示为{x|x＝3n，n∈N*}； （3）该集合的分子为奇数，可表示为2n 1，分母为偶数，可以表示为2n，且n为自然数，所以集合用描述法表示为； （4）根据被除数=商×除数+余数，则x=5n+2，所以集合用描述法表示为{x|x＝5n＋2，n∈Z}； （5）图中阴影部分的点(含边界)的集合是一个无限集，把横坐标与纵坐标的范围用不等式表示出来即可，同时注意象限，则用描述法可表示为{(x，y)| 1≤x≤，≤y≤1且xy≥0}. 25．（23-24高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】由题意，依次求出（1）、（2）、（3）、（4）集合中的元素，再用列举法写出即可． 【详解】（1）不大于10的非负偶数有， 所以； （2）小于8的质数有，所以； （3）方程的实数根为， 所以． （4）由，得， 所以一次函数与图象的交点为， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲集合及其表示方法 （3大知识点+2种易错点+5种必考题型+强化训练） 课程标准 学习目标 1.集合的含义 2.集合中元素的特征（必考） 3.集合与元素的关系 4.集合的表示方法（必考） 1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系．(重点) 2.识记常见数集的表示符号． 3.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法．(重点) 4.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合．(难点) 知识点01：集合的含义 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示. 【即学即练1】（2022秋•浦东新区期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 　　． ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解． 知识点02：元素与集合 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合． （2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}． （3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合． 3.集合相等 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 【即学即练2】(1)下列结论中，不正确的是(　　) A．若a∈N，则－a∉N B．若a∈Z，则a2∈Z C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则a3∈R (2)设集合B是小于的所有实数的集合，则2________ B,1＋________B．(用符号“∈”或“∉”填空) 【即学即练3】(1)下列说法中正确的是(　　) A．与定点A，B等距离的点不能构成集合 B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能构成集合 (2)若由a，，1组成的集合A与由a2，a＋b,0组成的集合B相等，则a2 023＋b2 023的值为________． 知识点03：集合的表示方法与分类 1.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 2.集合的表示方法 将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为． 集合可以用封闭的图形或数轴表示，有限集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示． 区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念． 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 常见集合的表示方法 ①方程的解集： ②不等式的解集： ③函数自变量构成的集合： ④函数因变量构成的集合： ⑤函数图象上的点构成的集合： ⑥方程组的解：或 ⑦奇数集： ⑧偶数集： ①做题时，要认清集合中元素的属性（点集、数集、自变量、因变量···），以及元素的范围（、、 、···）. 3.集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 【即学即练4】用“”或“”填空 (1)－3______N； (2)3．14______Q； (3)______Z； (4)－______R； (5)1______N*； (6)0________N． 【即学即练5】用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C； (4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. 【即学即练6】试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程x2－5＝0的所有实数根组成的集合A； (2)由小于8的所有自然数组成的集合B. 【即学即练7】用区间表示下列集合 ： （ １ ）｛ x ｜１≤ x ＜２ ｝； （ ２ ） 不等式 ２ x ≤６ 的所有解组成的集合 ． 【即学即练8】用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. （1）第三象限内所有点组成的集合； （2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合； （3）所有被5除余2的奇数组成的集合. 易错点01　忽略集合中元素的互异性而致错 【例1】已知集合A＝{a，1，a2－5a＋6}，若2∈A，则实数a的值构成的集合为________． 易错点02　不能正确理解集合的表示方法而致错 【例2】．集合M＝中的元素个数是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【变式】给出下列说法： ①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1，0，1}； ②实数集可以表示为{x|x为实数}或{R}； ③方程组的解组成的集合为{x＝1，y＝2}． 其中不正确的有________．(把所有不正确说法的序号都填上) 题型01 集合中元素的特性的应用 【解题策略】 【方法总结】由集合中元素的特性求解参数取值的步骤 1．（2023秋•浦东新区校级月考）由实数所组成的集合，最多含　　个元素． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2022秋•黄浦区校级月考）若集合，，中的元素是的三边长，则一定不是　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合，4，，若，则　 　． 题型02 元素与集合的关系 【解题策略】 【方法总结】判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法:如果集合中的元素是直接给出的,只要判断该元素在已知集合中是否出现即可 (2)推理法:对于一些没有直接给出元素的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征. 4．（2023秋•杨浦区校级期末）数集，，，，，，若，，则　　 A． B． C． D．，，都有可能 5．（2023秋•宝山区校级期末）已知集合，，且，则实数的值为 　 　． 题型03 集合的表示方法 【解题策略】 1.用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． 2.用描述法表示集合的3个步骤 (1)写出代表元素：弄清楚集合的元素是数、点还是其他的元素，一般地，数用一个字母表示，点用一个有序实数对表示． (2)明确元素的特征：语言力求简明、准确，对代表元素以外的字母要指出其含义或其取值范围． (3)用花括号括起来：一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}．其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件． 6．（2023秋•徐汇区校级月考）直角坐标平面中除去两点、可用集合表示为　　 A．，，， B．或 C．， D．， 7．（2023秋•长宁区校级期中）用列举法表示集合　 　． 8．（2023秋•徐汇区校级期中）集合可用列举法表示为 　 　． 9．（2023秋•静安区校级期中）试用列举法表示集合：，　 ． 10．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合，1，，则集合，　 　．（用列举法表示） 11．（2023秋•青浦区校级月考）用描述法表示直角坐标系中第二象限点的集合，则　 　． 12．（2023秋•青浦区校级月考）用描述法表示如图中阴影部分的点（含边界）的集合 　 　． 13．（2023秋•静安区校级月考）已知，则集合用列举法表示为 　 　． 14．（2023秋•徐汇区校级月考）平面直角坐标系中坐标轴上所有点的坐标组成的集合可以用描述法表示为 　 　． 15．（2023秋•普陀区校级期中）方程组的解集为 　 　． 16．（2023秋•徐汇区校级期中）被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 　 　． 题型04 集合的新定义问题 17．（2022秋•浦东新区校级期中）已知集合A＝{1，2}，集合B＝{4，8}，则集合{z|z＝xy，x∈A，y∈B}的所有元素之和为 　　． 18．（2022秋•松江区校级期中）定义集合运算，，，设集合，，，，则集合　 　 19．（2023秋•徐汇区校级月考）用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，，则实数的所有可能取值构成集合，则　 　 （请用列举法表示）． 20．（2022秋•徐汇区校级月考）对于两个正整数m、n，定义某种运算“⊙”如下，当m、n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；当m、n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，则在此定义下，求集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，p∈N*，q∈N*}中元素的个数． 题型05 集合中的分类讨论思想 21．（2022秋•宝山区校级月考）集合{x|x＝2m+3n，m、n是正整数，x≤30}中的元素个数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 22．已知非零实数，则代数式表示的所有的值的集合是（ ） A． B． C． D． 23.集合是单元素集合，则实数________ 24.已知集合各元素之和等于3，则实数___________. 25.集合且，用列举法表示集合________ 26.已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证： （1）3∈A； （2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A． 一、单选题 1．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）下列字母表示“自然数集”“整数集”“有理数集”“实数集”，其排列顺序正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，则集合A中的元素（    ） A．除以3余数为； B．除以3余数为1； C．除以3余数为2； D．能被3整除. 4．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·上海嘉定·期中）方程组的解集是（     ） A． B．或 C． D． 6．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）下列表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 7．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知集合.若且，则满足条件的正整数的个数为 . 8．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若，则 ． 9．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，且，则实数 . 10．（23-24高一上·上海浦东新·期中）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则 . 11．（2023高一·上海·专题练习）若集合只有一个元素，则实数的取值范围是 ． 12．（2023高一·全国·专题练习）若集合与相等，则 13．（2023高一上·全国·专题练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 14．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 15．（23-24高一上·上海徐汇·期中）被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 . 16．（23-24高一上·上海徐汇·期中）集合可用列举法表示为 ． 17．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 18．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 19．（23-24高一上·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为 . 20．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 21．（22-23高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 22．（23-24高一上·上海·期中）已知，，，我们记为集合中元素的个数，则 ． 三、解答题 23．（23-24高一·江苏·假期作业）用适当的方法表示下列集合． (1)方程组 的解集； (2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (3)方程的实数根组成的集合； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 24．（2021高一·上海·专题练习）用描述法表示下列集合： （1）{0，2，4，6，8}； （2）{3，9，27，81，…}； （3）； （4）被5除余2的所有整数的全体构成的集合； （5）如图中阴影部分的点(含边界)的集合. 25．（23-24高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$