精品解析：内蒙古自治区通辽市奈曼旗初中义教联盟2024-2025学年八年级下学期5月期中联考数学试题

2024—2025学年第二学期初中义教联盟二区 八年级数学学科期中测试卷 注意事项： 1．本试卷共3页，18小题，满分100． 2．本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上做答，答在本试卷上的答案无效． 一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列选项中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题的逆命题是假命题的是(　　) A. 两直线平行，同位角相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 两三角形全等，三对对应边相等 D. 两三角形全等，三对对应角相等 5. 如图，平行四边形的两条对角线、相交于点O，，，，则四边形是的周长为（ ） A 24 B. 16 C. 20 D. 12 6. 有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 顺次连结原四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如果顺次连结原四边形各边中点得到中点四边形是矩形，那么原四边形一定是（ ） A 等腰梯形 B. 菱形 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 8. 如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①③ D. ②④ 二、选择题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 已知，则x+y=______． 10. 如图，BD是▱ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，则▱ABCD的边BC上的高为___． 11. 如图，一个正方形剪去四个角后形成一个边长为的正八边形，则这个正方形的边长为______． 12. 如图，正方形的边长为，点E、F分别为上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是 _________________． 三、解答题（本大题共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）． （3）； （4） 14. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出的一段绳子长为1米，若将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为5米，求旗杆的高度． 15. 如图，四边形平行四边形，对角线，交于点，E，F分别在，上，，． （1）当时，判断四边形的形状并证明； （2）当四边形为菱形时，求平行四边形的周长． 16. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请解答： （1）判断的形状，并说明理由； （2）在网格图中画出AD//BC，且AD=BC； （3）连接CD，若E为BC中点，F为AD中点，四边形AECF是什么特殊的四边形？请说明理由. 17. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿CA方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是秒（）．过点作于点F，连接DE，EF． （1）求证：； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由； （3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 18. 四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．（提示：过E作于点P，于点Q） （1）如图，求证：矩形正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期初中义教联盟二区 八年级数学学科期中测试卷 注意事项： 1．本试卷共3页，18小题，满分100． 2．本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上做答，答在本试卷上的答案无效． 一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意得出，求出结果即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， ， 故选：B． 2. 下列选项中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．根据最简二次根式的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、是最简二次根式，故该选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用二次根式的运算方法进行逐一计算、辨别． 【详解】A选项：，故A选项计算正确； B选项：，故B选项计算正确； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选：D 【点睛】此题考查了二次根式的运算能力，关键是能准确运用计算法则进行计算． 4. 下列命题的逆命题是假命题的是(　　) A. 两直线平行，同位角相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 两三角形全等，三对对应边相等 D. 两三角形全等，三对对应角相等 【答案】D 【解析】 【分析】分别写出逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：A、逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，是真命题； B、逆命题为：内错角相等，两直线平行，正确，是真命题； C、逆命题为：三对对应边相等的两三角形全等，正确，是真命题； D、逆命题为：三对对应角相等的两三角形全等，错误，是假命题， 故选D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，能够写出命题的逆命题是解答本题的关键，难度不大． 5. 如图，平行四边形的两条对角线、相交于点O，，，，则四边形是的周长为（ ） A. 24 B. 16 C. 20 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判别与性质，平行四边形的性质，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据平行四边形的性质得，运用勾股逆定理证明，则四边形是菱形，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 则， ∵， ∴ 即， ∴， 即， ∴四边形是菱形， ∴菱形的周长是， 故选：C 6. 有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设， 则， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：D． 7. 顺次连结原四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如果顺次连结原四边形各边中点得到中点四边形是矩形，那么原四边形一定是（ ） A. 等腰梯形 B. 菱形 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，中点四边形，画出图形进而应用平行四边形的判定以及矩形判定是解决问题的关键． 由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形． 【详解】解：如图，与的位置关系是互相垂直． 证明：点、、、分别是、、、的中点， 连接，，，，与交于点， 四边形是矩形， ， 、、分别是、的中点， ， ， 、、分别是、的中点， ， 又点、分别是、各边的中点， ， 即． A、B、C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 8. 如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 过作于点，过作于点，如图所示：根据正方形的性质得到，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故①正确；根据正方形的性质得到推出，得到，求得，故③④正确；当时，点与点重合，得到不一定等于，故②错误． 【详解】解：过作于点，过作于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ， ∴矩形为正方形；故①正确； ∵， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴，故④正确； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故②错误， 故选：B． 二、选择题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 已知，则x+y=______． 【答案】1 【解析】 【详解】解：由得， ，解得． ∴x+y=﹣1+2=1， 故答案为：1． 10. 如图，BD是▱ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，则▱ABCD的边BC上的高为___． 【答案】 【解析】 【分析】由作法得MN垂直平分BD，则MB=MD，NB=ND，再证明△BMN为等腰三角形得到BM=BN，则可判断四边形BMDN为菱形，利用菱形的性质和勾股定理计算出BN=5，然后利用面积法计算的边BC上的高． 详解】 由作法得MN垂直平分BD， ∴MB＝MD，NB＝ND， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠MDB＝∠NBD， 而MB＝MD， ∴∠MBD＝∠MDB， ∴∠MBD＝∠NBD， 而BD⊥MN， ∴△BMN为等腰三角形， ∴BM＝BN， ∴BM＝BN＝ND＝MD， ∴四边形BMDN为菱形， ∴， 设▱ABCD的边BC上的高为h， ∵， ∴， 即▱ABCD的边BC上的高为． 故答案为． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质． 11. 如图，一个正方形剪去四个角后形成一个边长为的正八边形，则这个正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设剪掉的等腰直角三角形的直角边为x，根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍表示出斜边，列得方程，即得正八边形的边长． 【详解】解： ∵正八边形的每个外角的度数为， ∴四个角的三角形为等腰直角三角形， 设剪掉的等腰直角三角形的直角边为x， 则斜边为， ∴， 解得， 正方形的边长， 故答案为：． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，正多边形的外角，勾股定理，正确理解正多边形的性质是解题的关键． 12. 如图，正方形的边长为，点E、F分别为上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G，则当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求，由题意确定在边上，证明四边形是矩形，则， 由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G， ∴，则， 当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求， ∵正方形， ∴， ∴点在边上． ∵， ∴四边形矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识．确定和最小时的情况是解题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）． （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减运算法则计算； （2）先计算二次根式的乘除法，再进行加减计算； （3）根据二次根式的加减运算法则计算； （4）利用完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 14. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出的一段绳子长为1米，若将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为5米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高为 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形．设旗杆的高为，根据，，，运用勾股定理得到，解方程即得． 【详解】解：设旗杆的长为， 根据题意，得，，， 在中，， ， 解方程得：． 答：旗杆的高为． 15. 如图，四边形为平行四边形，对角线，交于点，E，F分别在，上，，． （1）当时，判断四边形的形状并证明； （2）当四边形为菱形时，求平行四边形的周长． 【答案】（1）四边形是平行四边形；证明见解析． （2） 【解析】 【分析】（1）由已知易得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可， （2）根据四边形为菱形时，可得，利用勾股定理即可求出菱形边长 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形 ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图，∵四边形菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴ 又∵，， ∴， ∴行四边形的周长． 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的判定与性质、的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形、菱形的判定与性质是解题的关键． 16. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请解答： （1）判断的形状，并说明理由； （2）在网格图中画出AD//BC，且AD=BC； （3）连接CD，若E为BC中点，F为AD中点，四边形AECF是什么特殊的四边形？请说明理由. 【答案】（1）是直角三角形，理由见解析；（2）图见解析；（3）四边形是菱形，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）先结合网格特点，利用勾股定理求出三边长，再根据勾股定理的逆定理即可得； （2）先利用平移的性质得到点D，再连接AD即可； （3）先根据线段中点的定义、等量代换可得，再根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，然后根据直角三角形的性质可得，最后根据菱形的判定、正方形的判定即可得． 【详解】（1）是直角三角形，理由如下： ，， 即 是直角三角形； （2）由平移的性质可知，先将点B向下平移3个单位，再向右平移4个单位可得点C 同样，先将点A向下平移3个单位，再向右平移4个单位可得点D，然后连接AD 则有，且，作图结果如下所示： （3）四边形是菱形，理由如下： 为中点，为中点 ， ，即 四边形是平行四边形 又为中点，是的斜边 平行四边形是菱形 不是等腰直角三角形 与BC不垂直，即 菱形不是正方形 综上，四边形是菱形． 【点睛】本题考查了作图—平移、勾股定理与勾股定理的逆定理、菱形的判定、正方形的判定等知识点，较难的是题（3），熟练掌握特殊四边形的判定方法是解题关键． 17. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿CA方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是秒（）．过点作于点F，连接DE，EF． （1）求证：； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由； （3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）t=10； （3）当t=或12时，△DEF为直角三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由题意得∠BCA=30°，CD=4tcm，AE=2tcm，再由含30°角的直角三角形的性质得DF=DC=2tcm， 即可得到AE=DF； （2）由AE=AD，得四边形AEFD为菱形，得2t=60-4t，进而求得t的值； （3）分∠EDF=90°、∠DEF=90°两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可． 【小问1详解】 证明：由题意可知CD=4tcm，AE=2tcm， ∵∠B=90°，∠A=60°， ∴∠C=30°， ∴DF=DC=2t cm． ∵AE=2t cm，DF=2t cm， ∴AE=DF． 【小问2详解】 解：∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴． ∵AE=DF，， ∴四边形AEFD为平行四边形， ∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE=AD， 即2t=60-4t， 解得t=10， ∴当t=10时，四边形AEFD为菱形， 故答案为：10． 【小问3详解】 当∠EDF=90°时，如图①， ∵DF⊥BC，AB⊥BC， ∴， ∴四边形DFBE矩形． ∴ ∴AD=2AE，即60-4t=2t×2， 解得，t=， 当∠DEF=90°时，如图②， ∵， ∴DE⊥AC， ∴． ∴AE=2AD，即2t=2×（60-4t）， 解得，t=12， 综上所述，当t=或12时，△DEF为直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 18. 四边形正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．（提示：过E作于点P，于点Q） （1）如图，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、角平分线的性质、多边形的内角和等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答的关键． （1）作于P，于Q 证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）先利用勾股定理求得，进而得到，则点F与C重合，根据（1）中正方形的性质可求解； （3）分①当与的夹角为时，点F在边上和②当与的夹角为时，点F在的延长线上两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 证明：作于P，于Q，则 ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 【小问2详解】 解：如图2， 在中．， ∵， ∴， ∴点F与C重合， ∵四边形是正方形， ∴； 【小问3详解】 解：①当与的夹角为时，点F在边上，，如题干图： 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得：； ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵，， ∴， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$