第1章 一元二次方程（单元测试·基础卷）数学苏科版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第1章 一元二次方程·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D A B B A 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 15．且 16． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17． 【详解】（1）解： ∴，，， ∴， ∴， 解得：.......................3分 （2） 因式分解得 移项得， 提取公因式得， 即， 解得.......................7分 18． 【详解】（1）解：方程左边分解因式，得：， 可得：或， 解得：，；.......................3分 （2）①甜宝同学的解法有误，错误的原因是原方程常数项移项时未变号； 故答案为：甜宝，原方程常数项移项时未变号； ②∵， ∴， 所以， 所以·.......................7分 19． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程；.......................4分 （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m........................8分 20. 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴；.......................4分 （2）解：∵是方程的两根， ∴， ∴ ．.......................8分 21． 【详解】（1）解：∵ ， ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；.......................4分 （2）解：将代入， 得， 解得：．.......................8分 22． 【详解】（1）证明：， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根；.......................3分 （2）解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 当或时， 把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， 此时不符合三角形三边的关系，此情况舍去， 的周长为5．.......................8分 23． 【详解】（1）解：设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米， ∵墙的最大可用长度为， ∴，解得： 由题意可得：， 整理得：，解得：或（舍弃）． 答：花圃边的长为4米．.......................4分 （2）解：花圃的面积不能达到，理由如下： 令， 整理得：， 因为， 所以方程无解，即花圃的面积不能达到．.......................8分 24． 【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程；.......................4分 （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是．.......................8分 25． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为；.......................3分 （2）解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元．.......................8分 26． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 方程左边因式分解得： 解得：.......................2分 （2）解：关于的一元二次方程， ， ， ，即， 不论为何实数，方程总有实数根；.......................5分 （3）解：是关于的一元二次方程的两个实数根， ， ， ， ，整理，得，解得， 的值为或1．.......................9分 27． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，，， ∵，的长为， ∴在中，，即， 解得， 即经过，的长为；.......................3分 （2）解：由（1）得，， ∵的面积为， ∴，即， 解得或， ∵当点运动到点时，点和点的运动停止， ∴，即， ∴经过或，的面积为；.......................3分 （3）解：不会，理由如下： 由（2）知， ， 当的面积会等于面积的一半时，则 ， 整理得， 此时， ∴的面积不会等于面积的一半.......................9分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第1章 一元二次方程·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 4．某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间都赛1场），单循环比赛共进行了45场，则参加比赛的队伍有（   ） A．8支 B．10支 C．7支 D．9支 5．已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 6．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．一元二次方程化成一般形式后为 ． 8．写一个解为，的一元二次方程 ．（答案不唯一） 9．已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 10．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 11．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ． 12．如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是 ． 13．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 14．已知一元二次方程的两个根为，则的值为 ． 15．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 16．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为4，则该菱形的边长为 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．按要求解下列关于的一元二次方程： (1)（公式法）；(2)（因式分解法）． 18．（1）解方程：； （2）解方程：在学完一元二次方程解法后，老师出了这样一道试题“”，让同学们求解．球宝和甜宝两位同学的做法如下： 球宝同学的解答 甜宝同学的解答 解：原方程可化为 ． 当时， ， 当时， ， 所以，． 解：原方程可化为， ， ． 所以， 所以，． ①小组在交流过程中发现两位同学的结果不同，请判断 （填球宝或甜宝）同学的解法有误，错误的原因是 ； ②请你写出其他的正确解法． 19．已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 20．已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： (1)； (2)． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当方程的一个根是1时，求的值． 22．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 23．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 24．已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 25．在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 26．已知关于的一元二次方程． (1)当时，解该一元二次方程； (2)求证：无论为何实数，方程总有实数根； (3)若是方程的两个实数根，且，求的值． 27．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿着运动；点从点出发，以的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点运动到点时，点和点的运动停止． (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积为？ (3)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第1章 一元二次方程·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 4．某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间都赛1场），单循环比赛共进行了45场，则参加比赛的队伍有（   ） A．8支 B．10支 C．7支 D．9支 5．已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 6．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．一元二次方程化成一般形式后为 ． 8．写一个解为，的一元二次方程 ．（答案不唯一） 9．已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 10．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 11．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ． 12．如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是 ． 13．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 14．已知一元二次方程的两个根为，则的值为 ． 15．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 16．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为4，则该菱形的边长为 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．按要求解下列关于的一元二次方程： (1)（公式法） (2)（因式分解法） 18．（1）解方程：； （2）解方程：在学完一元二次方程解法后，老师出了这样一道试题“”，让同学们求解．球宝和甜宝两位同学的做法如下： 球宝同学的解答 甜宝同学的解答 解：原方程可化为 ． 当时， ， 当时， ， 所以，． 解：原方程可化为， ， ． 所以， 所以，． ①小组在交流过程中发现两位同学的结果不同，请判断 （填球宝或甜宝）同学的解法有误，错误的原因是 ； ②请你写出其他的正确解法． 19．已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 20．已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： (1)； (2)． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当方程的一个根是1时，求的值． 22．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 23．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 24．已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 25．在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 26．已知关于的一元二次方程． (1)当时，解该一元二次方程； (2)求证：无论为何实数，方程总有实数根； (3)若是方程的两个实数根，且，求的值． 27．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿着运动；点从点出发，以的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点运动到点时，点和点的运动停止． (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积为？ (3)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第1章 一元二次方程·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：．分母中含有未知数，不是整式方程，故该选项不符合题意； ．时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．是一元二次方程，故该选项符合题意； ．含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．先化二次项系数为，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值． 【详解】解：， ∴， ∴ ∴， 所以 故选：D． 3．一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解决问题的关键，先计算判别式，再利用判别式的意义进行判断即可． 【详解】解：在中， ， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：． 4．某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间都赛1场），单循环比赛共进行了45场，则参加比赛的队伍有（   ） A．8支 B．10支 C．7支 D．9支 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设参加比赛的队伍有支，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设参加比赛的队伍有支，根据题意得， 解得：，（舍去） 故选：B． 5．已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用方程根的定义将高次项降次，结合根与系数的关系求解． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴． 代入所求表达式： 由根与系数的关系，方程的两根之和为：， ∴． 故选：B． 6．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．一元二次方程化成一般形式后为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．去括号，将移到方程的左边即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 8．写一个解为，的一元二次方程 ．（答案不唯一） 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是了解一元二次方程的解的定义，难度不大． 根据一元二次方程的定义直接构造即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：（答案不唯一）． 9．已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式的项或项的系数时，带着前面的符号．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项的系数为3， ∴一次项的系数为， 故答案为：． 10．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可． 【详解】解：依题意可得， 解得， 故答案为：． 11．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查根的判别式，解题的关键是根据题意列出方程求解． 由方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可得到关于m的方程，则可求得m的值． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴， 解得． 故答案为：． 12．如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽的道路，中间是宽的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得， 故答案为： 13．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据题意得出，再整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 14．已知一元二次方程的两个根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是解题的关键．将转化为，根据一元二次方程根与系数的关系即可进行求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为、， ∴， ∴， 故答案为：． 15．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，由一元二次方程的定义可得，由根的判别式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 16．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为4，则该菱形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键． 设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， 由题意得：， ∵菱形面积为4， ∴，解得：， ∴菱形的边长为 ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．按要求解下列关于的一元二次方程： (1)（公式法） (2)（因式分解法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴，，， ∴， ∴， 解得： （2） 因式分解得 移项得， 提取公因式得， 即， 解得 18．（1）解方程：； （2）解方程：在学完一元二次方程解法后，老师出了这样一道试题“”，让同学们求解．球宝和甜宝两位同学的做法如下： 球宝同学的解答 甜宝同学的解答 解：原方程可化为 ． 当时， ， 当时， ， 所以，． 解：原方程可化为， ， ． 所以， 所以，． ①小组在交流过程中发现两位同学的结果不同，请判断 （填球宝或甜宝）同学的解法有误，错误的原因是 ； ②请你写出其他的正确解法． 【答案】（1）；（2）①甜宝；原方程常数项移项时未变号；② 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，配方法法解一元二次方程，解题关键是掌握上述两方法求解． （1）利用因式分解法求解； （2）先判断甜宝解法错误，再找出错因，然后写出正确解法即可． 【详解】（1）解：方程左边分解因式，得：， 可得：或， 解得：，； （2）①甜宝同学的解法有误，错误的原因是原方程常数项移项时未变号； 故答案为：甜宝，原方程常数项移项时未变号； ②∵， ∴， 所以， 所以· 19．已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 20．已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系得到，再由计算求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再把所求式子去括号得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的两根， ∴， ∴ ． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当方程的一个根是1时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式判定即可； （2）将代入，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：将代入， 得， 解得：． 22．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】（1）证明：， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 当或时， 把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， 此时不符合三角形三边的关系，此情况舍去， 的周长为5． 23．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)花圃边的长为4米． (2)花圃的面积不能达到，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题成为解题的关键． （1）设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米，由墙的最大可用长度为，可知，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）令，再运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答． 【详解】（1）解：设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米， ∵墙的最大可用长度为， ∴，解得： 由题意可得：， 整理得：，解得：或（舍弃）． 答：花圃边的长为4米． （2）解：花圃的面积不能达到，理由如下： 令， 整理得：， 因为， 所以方程无解，即花圃的面积不能达到． 24．已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 25．在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低20元 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 26．已知关于的一元二次方程． (1)当时，解该一元二次方程； (2)求证：无论为何实数，方程总有实数根； (3)若是方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或1 【分析】本题考查了一元二次方程的综合运用． （1）将代入方程求解即可； （2）根据根的判别式证明即可； （3）根据根与系数的关系求出，代入求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 方程左边因式分解得： 解得： （2）解：关于的一元二次方程， ， ， ，即， 不论为何实数，方程总有实数根； （3）解：是关于的一元二次方程的两个实数根， ， ， ， ，整理，得，解得， 的值为或1． 27．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿着运动；点从点出发，以的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点运动到点时，点和点的运动停止． (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积为？ (3)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查的了勾股定理，列代数式，一元二次方程的应用． （1）设运动时间为，则，，，利用勾股定理得出关于t的方程，解方程即可； （2）根据题意得，解方程即可； （3）当的面积会等于面积的一半时，则，再根据的值可得结论． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，，， ∵，的长为， ∴在中，，即， 解得， 即经过，的长为； （2）解：由（1）得，， ∵的面积为， ∴，即， 解得或， ∵当点运动到点时，点和点的运动停止， ∴，即， ∴经过或，的面积为； （3）解：不会，理由如下： 由（2）知， ， 当的面积会等于面积的一半时，则 ， 整理得， 此时， ∴的面积不会等于面积的一半． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 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