专题02 绝对值贯穿有理数的十大经典问题（压轴题专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题02 绝对值贯穿有理数的十大经典问题 目录 1 类型一、根据绝对值的非负性求解 1 类型二、已知数轴上点的位置/字母的取值范围化简绝对值 2 类型三、利用绝对值的意义求字母的取值范围 2 类型四、解绝对值方程 3 类型五、绝对值中的最值问题 4 类型六、利用绝对值的性质化简求值 5 类型七、与绝对值有关的多结论问题 6 类型八、利用分类讨论思想解决绝对值问题 7 类型九、利用分类讨论思想解决绝对值化简问题）（|a|/a型） 8 类型十、绝对值与数轴综合 11 13 类型一、根据绝对值的非负性求解 根据绝对值或平方的非负性可知，如果几个非负数和为0，那么每一个非负数为0. 1．先化简，再求值：，其中． 2．已知：，． (1)求（结果要求化为最简）； (2)如果，求的值是多少？ 3．已知是最小的正整数，、是有理数，且有，求代数式的值． 4．对于两个有理数a、b，我们对运算“”作出如下定义： (1)计算： ； (2)若，求的值． 类型二、已知数轴上点的位置/字母的取值范围化简绝对值 1．已知，两数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．3 B． C． D． 2．已知，则式子化简的结果是（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．若，化简 ． 4．如果，那么化简等于 ． 5．如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：    （1） ； （2） ． 类型三、利用绝对值的意义求字母的取值范围 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即绝对值的代数意义可以用式子表示为：. 【易错】若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0.（错误原因：忽视关键数0） 1．已知|5x﹣2|＝2﹣5x，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 2．如，那么x的取值是 ． 3．若，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若不等式对一切数x都成立，则a的取值范围是 ． 类型四、解绝对值方程 在解含有绝对值的方程时需要运用分类讨论思路，转化为一般方程再解方程即可. 1．若，则 ． 2．为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本如图①的数学课本，其长为、宽为、厚为，小红用一张长方形纸包好了这本数学书，她将封面和封底各折进去，封皮展开后如图②所示． (1)求小红所用包书纸的周长是多少？（用含a的代数式表示，并化简） (2)若a满足时，请计算一下小红需要的包书纸的面积． 3．我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 4．阅读下面例题的解题方法． 解方程：． 解：根据绝对值的意义，原方程可化为 或． 解方程得， 解方程得， 所以原方程的解是或． 请仿照上面例题的解题方法，解方程：． 类型五、绝对值中的最值问题 若绝对值的个数为奇数，则当x对应的点取中间点时，式子有最小值； 若绝对值的个数为偶数，则当x对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值. 解题大招：奇取中间点，偶取中间段. 注意：若x的系数不为1，可以将其拆分为多个系数为1 的含绝对值的代数式之和，这时候相等的零点的值依旧一一罗列. 1．（1）的最小值是 ； （2）的最小值是 ． 2．已知是非负数，且非负数中最小的数是0． （1）已知，则的值是 ； （2）当 时，有最小值，最小值是 ． 3．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如：数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离．如图，若数轴上有两个点，表示的数为，表示的数为2．    （1）线段的长度是 ； （2）请思考：表示数轴上任意一个有理数，当有最小值，此时能取的所有整数是 ． 4．若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为 ； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 5．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 类型六、利用绝对值的性质化简求值 绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； ②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变(即本身)； 若负数，绝对值前的正负号改变(即相反数)； ③去括号:括号前是“+”，去括号，括号内不变； 括号前是“-”，去括号，括号内各项要变号； ④化简. 注意:注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性. 1．若有理数，满足，，且，则的值为 ． 2．若，，且，则的值为 ． 3．已知a是最大的负整数的相反数，，且．式子的值为 ． 4．若，，为整数，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．2024 5．已知整数的绝对值均小于10，且满足，则的值为 ． 类型七、与绝对值有关的多结论问题 1．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．在数轴上，有理数，的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为，，，，，且，．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知数，，的大小关系如图，下列说法：；；；；若为数轴上任意一点，则的最小值为；其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 4．给出下列判断：①若互为相反数，则 ②若互为倒数，则 ③若,则；④若，则； ⑤若,则； 其中正确结论正确的个数为 个. 类型八、利用分类讨论思想解决绝对值问题 1．“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用分类讨论的数学思想解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，，，且，，求的值． 2．阅读材料，解答下列问题 例：当时，如则，故此时a的绝对值是它本身 当时，，故此时a的绝对值是零 时，如则，故此时a的绝对值是它的相反数 所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即 这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想 (1)比较大小：______7，______；（用，，填写） (2)请仿照例中的分类讨论的方法，分析猜想与的大小关系． 3．“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用“分类讨论”的数学思想解答下面的问题．已知，，且，求的值． 4．数学课程要培养的学生核心素养是“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”，某学习小组在延时课上进行了数轴与分类讨论的项目式学习（结构不完整）． 数轴与分类讨论 背景 已知数轴上A，B两点对应的数字分别为a，b，且两点与原点的距离分别为5和2． 目的 由于A，B两点位置不确定，故a与b的数量关系无法计算，现需要分类讨论 讨论 （1）当A，B两点都在原点右侧时，求的值； （2）当A点在B点左侧时，求的值． 类型九、利用分类讨论思想解决绝对值化简问题）（|a|/a型） 1. “分类讨论”是一种重要的数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并回答问题． 例：三个有理数，，满足，求的值． 解：由题意，得，，都为正数或者其中一个为正数，另两个为负数． 当，，都是正数，即时， ； 当，，其中一个为正数，另两个为负数时，设， 综上所述，的值为3或-1 请根据上面的解题思路解答下面问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，是有理数，当时，求的值； (3)已知，，是有理数，，，求的值． 2．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】两个不为0的有理数a，b满足a，b同号，求的值． 【解决问题】解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能：①a、b都是正数：②a、b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有及，则； ②若a、b都是负数，即，，有及，； 所以的值为2或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，求的值． (2)两个不为0的有理数a，b满足a，b异号，求的值． (3)若，则的值可能是多少？ 3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数，，满足，求的值； (2)若，，为三个不为0的有理数，且，求的值． (3)若，，，为四个不为0的有理数，则的值为________（直接写答案） 4．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】 【提出问题】两个不为0的有理数满足同号，求的值． 【解决问题】解：由同号且都不为0可知有两种可能：①都是正数：②都是负数． ①若都是正数，即，，有及，则； ②若都是负数，即，，及，则； 所以的值为2或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，求的值． (2)两个不为0的有理数满足异号，求的值． 5．【问题背景】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 已知．求x的值，我们采用分类讨论的方法： ①当时，，． ②当时，，． 所以或． 【解决问题】若a与b的乘积不等于0，求的值． ①a，b均是正数时，________； ②当a，b均是负数时，________； ③当a，b是一正一负时，________； 【探究拓展】 （1）已知a，b，c是有理数，当a，b，c三数的乘积小于0时，求的值； （2）根据以上解题思路，请探究： （其中，，均为不等于0的实数）， x共有________个不同的值，在这些不同的值中，最大的值减去最小的值的差等于________． 类型十、绝对值与数轴综合 1．如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为17，且a，b满足，动点M从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动；同时，动点N从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t秒． （1） ； （2）当M，N两点相距9个单位长度时，t的值为 ． 2．先阅读，再探究相关的问题：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m． (1)若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为________； (2)借助数轴思考，当________时，与的值相等； (3)借助数轴思考，当________时，有最小值，最小值为________； (4)若点P位于表示的点左侧，化简：． 3．观察题中每对数在数轴上的对应点间的距离：4与，3与5，与，与3，回答问题： (1)所得距离与这两个数的差的绝对值的关系是 ； (2)若数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为，则A与B两点间的距离可以表示为 ； (3)结合数轴可得的最小值为 ； (4)若关于的方程无解，则的取值范围是 ． 4．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，如图，数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，且满足，P，Q是数轴上的动点． (1)A，B两点之间距离为__________； (2)若点P以2个单位/秒的速度从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点A运动，经过5秒相遇，求点Q的运动速度； (3)若点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 5．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．若a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题． (1)当时，则 ；当时，则 ； (2)求的值； (3)化简：． 6．【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”，它们在一定条件下可以相互转化，这样的联系称为数形结合，数形结合是一种重要的数学思想方法，有着广泛的应用，在中学数学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是：表示在数轴上数a到原点的距离，借助绝对值的形的解释，我们就可以得到．又比如从数的角度来解释：表示7与3差的绝对值；从形的角度来解释：7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【分析应用】如图1，A、B是数轴上两点（A在B的左侧），A表示的数是－3．动点M从点A出发沿数轴向右匀速运动． (1)B点表示的数是 ，A和B两点之间的距离为 ； (2)①从形的角度来解释：5与 在数轴上所对应的两点之间的距离； ②数轴上表示数a和－3的两点之间的距离表示为 ； ③当a为 时，． (3)若动点M在A和B两点之间运动，其对应数的为x，化简：．（写出化简过程） 1．有理数、在数轴上的位置如图所示，则下面关系中正确的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知整数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，其中，则下列各式：①，②，③，④，其中一定成立的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．下列五种说法中：①若，则；②若，则 ；③若，则；④若，则；⑤若，则，一定正确的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．在数轴上，点A、点B分别表示数a．b．则线段的长表示为，例如：在数轴上点A表示5，点B表示2，则线段的长表示为．数轴上的任意一点P表示的数是x．且的最小值为7，若，则b的值为（   ） A．或5 B．或9 C．或9 D．5或9 5．若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．已知m，n为实数，下列说法： ①若，，则； ②若，则是正数； ③若，则； 其中正确的是 ． 7．定义：数轴上表示数，的点A，之间的距离．如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．当点A，之间的距离等于3个单位长度时，则经过的时间长为 ． 8．规定：，，例如，． （1） ； （2）的最小值是 ． 9．有下列说法： ①若单项式与是同类项，则． ②已知是不为0的有理数且，，则的值为或． ③已知有理数满足，且，则的值为． ④若，，则化简的结果为． 其中正确的说法有 ．（请填写序号） 10．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为__________． (2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 11．阅读材料： ，，，， 根据以上规律，解决下列问题： (1)______=______； (2)计算：； (3)计算：． 12．有理数a和b分别对应数轴上的点A和点B，定义为数a、b的中点数，为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是．请阅读以上材料，完成下列问题： (1)___________，___________； (2)已知，求的值； (3)当时，求． 13．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】 如图，数轴上，点，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】 如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 绝对值贯穿有理数的十大经典问题 目录 1 类型一、根据绝对值的非负性求解 1 类型二、已知数轴上点的位置/字母的取值范围化简绝对值 4 类型三、利用绝对值的意义求字母的取值范围 6 类型四、解绝对值方程 8 类型五、绝对值中的最值问题 11 类型六、利用绝对值的性质化简求值 15 类型七、与绝对值有关的多结论问题 19 类型八、利用分类讨论思想解决绝对值问题 22 类型九、利用分类讨论思想解决绝对值化简问题）（|a|/a型） 25 类型十、绝对值与数轴综合 33 41 类型一、根据绝对值的非负性求解 根据绝对值或平方的非负性可知，如果几个非负数和为0，那么每一个非负数为0. 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式加减中的化简求值、非负数的性质等知识，熟练掌握整式加减运算法则是解题关键．首先按照去括号、合并同类项的步骤完成化简，再根据非负数的性质确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， 解得， ∴原式 ． 2．已知：，． (1)求（结果要求化为最简）； (2)如果，求的值是多少？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）把与代入中，去括号合并即可得到结果； （）利用非负数的性质求出与的值，代入计算即可求出结论； 本题考查了整式的加减﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，． ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 3．已知是最小的正整数，、是有理数，且有，求代数式的值． 【答案】 【分析】此题考查的知识点是代数式求值，关键是先由已知求出、、的值，再代入求解． 首先由已知是最小的正整数，、是有理数，并且有，求出、、的值．然后代入求解． 【详解】解：由已知得， 又因为， 所以，， 所以，． 把，，代入原式求得：． 4．对于两个有理数a、b，我们对运算“”作出如下定义： (1)计算： ； (2)若，求的值． 【答案】(1)22 (2) 【分析】本题考查定义新运算，有理数计算，绝对值和完全平方非负性等． （1）根据题意展开计算即可； （2）根据题意先利用非负性求出，再利用题意展开计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：22； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ， ， ． 类型二、已知数轴上点的位置/字母的取值范围化简绝对值 1．已知，两数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加减计算，有理数的乘法计算，先根据数轴得到，据此判断出的符号，再化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故选：C． 2．已知，则式子化简的结果是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据绝对值的定义即可得到结论． 【详解】解：∵， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，分式的化简，熟记绝对值的性质是解题的关键． 3．若，化简 ． 【答案】b 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，掌握绝对值的性质化简是解题的关键． 根据绝对值的性质化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：b． 4．如果，那么化简等于 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据表示数轴上表示m的点到表示有理数3，4的点距离之和解答即可． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知， 表示数轴上表示m的点到表示有理数3，4的点距离之和， ∵， ∴数轴上表示m的点在表示有理数3，4的点之间， 等于表示有理数3，4的点之间的距离1， 故答案为：1． 5．如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：    （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）先根据数轴确定a的正负，再根据绝对值的性质即可解答； （2）先根据数轴确定a、b、c的大小，再确定的正负，再根据绝对值的性质即可解答， 【详解】解：（1）∵， ∴． 故答案为． （2）由数轴可得：， ∴， ∴ ． 故答案为． 类型三、利用绝对值的意义求字母的取值范围 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即绝对值的代数意义可以用式子表示为：. 【易错】若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0.（错误原因：忽视关键数0） 1．已知|5x﹣2|＝2﹣5x，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0可得出答案． 【详解】解：∵|5x﹣2|＝2﹣5x， ∴5x﹣2≤0， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的性质以及解一元一次不等式，理解正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解决问题的关键． 2．如，那么x的取值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，求不等式的解集，正确理解绝对值的概念是解答本题的关键，绝对值化简方法为．移项得，根据绝对值的化简方法，即可得到答案． 【详解】 ． 故答案为：． 3．若，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质以及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是根据绝对值的性质得出关于的不等式，进而求解的取值范围，并正确在数轴上表示出来． 根据绝对值的性质，当时，．由此得到关于的不等式，解出的取值范围后，再判断在数轴上的正确表示． 【详解】根据绝对值的性质：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 已知，即， 所以， 解得：， 在数轴上表示时，应在数轴上1这个点处用实心圆点（表示包含1这个值），然后向右画一条线， 所以选项B的表示是正确的． 故选：B． 4．若不等式对一切数x都成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义， 表示数轴上两点间的距离，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 表示点x到 ，，，四点间距离的和， ∴当x在和之间是距离和最小， 最小值为 ， ∴ , 故答案为． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义： 表示数轴上两点间的距离，利用数形结合的思想是解题的关键． 类型四、解绝对值方程 在解含有绝对值的方程时需要运用分类讨论思路，转化为一般方程再解方程即可. 1．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 2．为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本如图①的数学课本，其长为、宽为、厚为，小红用一张长方形纸包好了这本数学书，她将封面和封底各折进去，封皮展开后如图②所示． (1)求小红所用包书纸的周长是多少？（用含a的代数式表示，并化简） (2)若a满足时，请计算一下小红需要的包书纸的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，绝对值方程，有理数的混合运算的应用．熟练掌握列代数式，绝对值方程，有理数的混合运算的应用是解题的关键． （1）由题意知，小红所用包书纸的周长：，化简求解即可； （2）由，可求得满足要求的，则包书纸长为：，包书纸宽为：，然后求面积即可． 【详解】（1）解：由题意知，小红所用包书纸的周长：， 答：小红所用包书纸的周长为； （2）解：∵， ∴， 解得，或（舍去）， ∴包书纸长为：，包书纸宽为：， ∴面积为：， 答：需要的包书纸的面积为． 3．我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先去绝对值，化成一元一次方程求解即可； （2）先去绝对值，化成一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义得或， 解得或； （2）解：由绝对值的意义得或， 解得或． 【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，理解绝对值的意义是求解本题的关键． 4．阅读下面例题的解题方法． 解方程：． 解：根据绝对值的意义，原方程可化为 或． 解方程得， 解方程得， 所以原方程的解是或． 请仿照上面例题的解题方法，解方程：． 【答案】或 【分析】根据阅读材料的解题过程结合绝对值的意义即可求解． 【详解】解：根据绝对值的意义，原方程可化为 或． 解方程得， 解方程得， ∴原方程的解是或． 【点睛】本题考查了绝对值方程的解答方法，读懂阅读材料，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 类型五、绝对值中的最值问题 若绝对值的个数为奇数，则当x对应的点取中间点时，式子有最小值； 若绝对值的个数为偶数，则当x对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值. 解题大招：奇取中间点，偶取中间段. 注意：若x的系数不为1，可以将其拆分为多个系数为1 的含绝对值的代数式之和，这时候相等的零点的值依旧一一罗列. 1．（1）的最小值是 ； （2）的最小值是 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思. 将式子转化为n个的系数为1的整式的绝对值和的形式，并按常数项大小排列，观察可发现，取最中间的值，式子取最小值，即可求出答案. 【详解】解：（1）可以表示在数轴上表示到1、2、3三个数的距离和， 当最中间点到的距离为0时，距离和最小，即当，即时，取最小值. （2） 同理（1）可知：原式可以表示在数轴上表示到距离的2倍，到距离的3倍，到距离的7倍的和， 当在最中间的点到的距离为0时，距离和最小，当时，即时，取最小值. 故答案为（1）2；（2）. 2．已知是非负数，且非负数中最小的数是0． （1）已知，则的值是 ； （2）当 时，有最小值，最小值是 ． 【答案】 3 1 2 【分析】本题考查绝对值的意义： （1）由绝对值的非负性可以得出，由此可解． （2）根据绝对值的非负性解题即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3； （2）∵， ∴当时，，此时有最小值， ∴当时有最小值，最小值是2， 故答案为：1，2． 3．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如：数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离．如图，若数轴上有两个点，表示的数为，表示的数为2．    （1）线段的长度是 ； （2）请思考：表示数轴上任意一个有理数，当有最小值，此时能取的所有整数是 ． 【答案】 3 ，0，1，2 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）分析出的几何意义，结合数轴可得结果． 【详解】解：（1）线段的长度是； （2）表示数轴上表示x的点到和2的距离之和， 则当x在之间（包含边界）时，有最小值， 此时x能取的所有整数是，0，1，2； 故答案为：3；，0，1，2． 【点睛】此题主要考查了数轴，读懂题意，掌握两点间的距离公式是解答本题的关键． 4．若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为 ； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 【答案】 5或1 6 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，数轴上两点间的距离等知识， （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值； 熟练掌握绝对值的定义是解决此题的关键． 【详解】（1）由绝对值的几何意义知：表示在数轴上x表示的点到3的距离等于2， ∴，或， ∴或1； 故答案为：5或1； （2）当时，即表求x的点在的左侧时， 当时，即表求x的点在和5之间时， ∴， 当时，即表求x的点在5的右侧时， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 5．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有最小值，最小值是．理由见解析 【分析】本题考查数轴、绝对值的定义和有理数的减法运算，熟知数轴上两点间的距离公式是解题关键． （1）根据两点间距离公式解答即可； （2）根据两点间的距离公式，把问题转化为求到的距离与到的距离之和是7； （3）根据两点间的距离公式，把问题转化为求到的距离与到的距离之和的最小值，当位于和之间时，的值最小，即为到的距离，进而求解即可； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴表示到的距离与到的距离之和， ∵， ∴一定在到之间， ∴符合条件的整数有， 故答案为：； （3）解：有最小值，最小值是，理由如下： ∵， ∴表示的是到的距离与到的距离之和， 当位于和之间时，的值最小，即为到的距离， ∴ 有最小值为． 类型六、利用绝对值的性质化简求值 绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； ②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变(即本身)； 若负数，绝对值前的正负号改变(即相反数)； ③去括号:括号前是“+”，去括号，括号内不变； 括号前是“-”，去括号，括号内各项要变号； ④化简. 注意:注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性. 1．若有理数，满足，，且，则的值为 ． 【答案】15或9 【分析】本题考查了绝对值的性质和平方的性质，及代数式求值，熟练掌握绝对值和平方的性质是解题的关键． 根据“互为相反数的两个数的绝对值相等”求出a的值，根据“互为相反数的两个数的平方相等” 求出b的值，再根据“负数的绝对值是它的相反数”可知，由此可得a、b的组合，最后再代入中求值即可． 【详解】解：由，得； 由，得； ∵， ∴， ，或，． 当，时， ； 当，时， 当， ∴的值为15或9． 故答案为：15或9． 2．若，，且，则的值为 ． 【答案】8或/或8 【分析】本题考查了有理数加法、绝对值，先根据绝对值和平方求出a、b的值，再根据，进一步确定a、b的值，最后求的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴或， ∴或， 故答案为：8或． 3．已知a是最大的负整数的相反数，，且．式子的值为 ． 【答案】5或1/1或5 【分析】根据有理数的概念求出，根据绝对值的性质求出的值，再根据非负数的性质列方程求解即可得到，将的值代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：是最大的负整数的相反数， , , 或, 或 , , 解得, 或 , 或, 的值为5或1 故答案为：5或1 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，还考查了绝对值的性质和有理数的概念． 4．若，，为整数，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义．根据题意，得到，或，，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵、、都为整数，且满足， ∴，或，； 当，时，； 当，时，； 综上：的值为1， 故选：B． 5．已知整数的绝对值均小于10，且满足，则的值为 ． 【答案】2或0或或或1 【分析】本题考查了乘方的意义以及乘法法则，一元一次方程的应用，熟练掌握常见的整数的乘方以及学会运用分类讨论思想是解决本题的关键．根据个位数为1可确定出或，再分别讨论时，时，c，b，a的可能值，由此即可求得答案． 【详解】解：∵整数a，b，c，d的绝对值均小于10，且满足， ∴个位上的4一定是由产生的， ∵绝对值小于10的整数中，只有，， ∴或， 当时，则， 当时，则， ∴此时十位上的1或5一定是由c产生的， ∴或或， ∴或或， ∴或或， ∴此时个位上的5或4或6一定是由产生的， ∵绝对值小于10的整数中， ，，，，， ∴，，，，， 将代入，得：， 将代入，得：， 将代入，得：， 将代入，得：, 将代入，得：， 综上所述，a的值为2或0或或或1， 故答案为：2或0或或或1． 类型七、与绝对值有关的多结论问题 1．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴进行的相关计算，数形结合并明确绝对值等的化简法则，是解题的关键．先由数轴观察得出 ，据此逐项计算验证即可． 【详解】解：∵由数轴可得：， ，①正确； ，②错误； ，③正确； ， ④正确； 综上，正确的个数为个． 故选：B． 2．在数轴上，有理数，的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为，，，，，且，．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查数轴，绝对值的定义．根据数轴表示数以及绝对值的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：，， ，且距离原点比较远，，且距离原点比较近， 中点所表示的数在原点的左侧， ，①正确； 由数轴所表示的数可知，可能大于0，也可能小于0， 符号不确定，②不正确； ， 表示数的点到表示数的点距离既可以表示为，也可以表示为， ，③正确； 在原点的左侧，而在原点右侧， 表示数的点到表示数的点距离为， 到的距离为， 即：，④正确； 故选：C． 3．已知数，，的大小关系如图，下列说法：；；；；若为数轴上任意一点，则的最小值为；其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和数的大小比较，利用数轴也可以比较任意两个数的大小，即在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 首先判断出，，，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可． 【详解】解：由题意，，，则 ，故原结论正确； ，故原结论错误； ，故原结论错误； ，故原结论错误； 当时，的最小值为，故原结论正确． 故正确结论有个． 故选：B． 4．给出下列判断：①若互为相反数，则 ②若互为倒数，则 ③若,则；④若，则； ⑤若,则； 其中正确结论正确的个数为 个. 【答案】2 【分析】由题意根据相反数的性质和互为倒数的性质以及绝对值的性质依次对所给结论进行判断即可. 【详解】解：①若互为相反数，则，结论正确； ②若互为倒数，则，结论正确； ③若,则不一定有，结论错误； ④若，则或互为相反数，结论错误； ⑤若,则，结论错误； 综上有①和②正确. 故答案为：2. 【点睛】本题考查相反数的性质和互为倒数的性质以及绝对值的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键. 类型八、利用分类讨论思想解决绝对值问题 1．“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用分类讨论的数学思想解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，，，且，，求的值． 【答案】(1)10或 (2)24或16 【分析】（1）根据绝对值的意义求得的值，根据有理数乘法的运算法则判断异号，进而分类讨论求得代数式的值； （2）根据绝对值的意义求得的值，根据绝对值的意义，有理数的加法法则判断出的值，进而分类讨论代入代数式求值即可求解． 【详解】（1）解： ，， ，， ， ，或，， 或， 的值是10或； （2），，， ，，， ，， ，，， 当，，时，， 当，，时，， 的值为或． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘法法则，加法法则，代数式求值，分类讨论是解题的关键． 2．阅读材料，解答下列问题 例：当时，如则，故此时a的绝对值是它本身 当时，，故此时a的绝对值是零 时，如则，故此时a的绝对值是它的相反数 所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即 这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想 (1)比较大小：______7，______；（用，，填写） (2)请仿照例中的分类讨论的方法，分析猜想与的大小关系． 【答案】(1)，； (2)见解析 【分析】本题考查了去绝对值，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）直接根据去绝对值的方法及有理数的大小比较即可得出答案； （2）根据绝对值的三种情况，进行分析即可 ． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）显然当时，， 当时，， 当时，． 3．“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用“分类讨论”的数学思想解答下面的问题．已知，，且，求的值． 【答案】或 【分析】先计算绝对值，结合，得到，计算即可． 本题考查了绝对值的计算，有理数的加减，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或；或， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故的值为或． 4．数学课程要培养的学生核心素养是“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”，某学习小组在延时课上进行了数轴与分类讨论的项目式学习（结构不完整）． 数轴与分类讨论 背景 已知数轴上A，B两点对应的数字分别为a，b，且两点与原点的距离分别为5和2． 目的 由于A，B两点位置不确定，故a与b的数量关系无法计算，现需要分类讨论 讨论 （1）当A，B两点都在原点右侧时，求的值； （2）当A点在B点左侧时，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了绝对值，求代数式的值，正确理解绝对值是解题的关键， （1）由绝对值的意义得，，当，两点都在原点右侧时，即，，进而得，，代入即可得解； （2）由绝对值的意义得，，由当点在点左侧时，即，得，，进而代入即可得解． 【详解】解：（1）数轴上，两点对应的数字分别为，，且两点与原点的距离分别为和． ∴，， 当，两点都在原点右侧时，即，， ∴，， ∴； （2）数轴上，两点对应的数字分别为，，且两点与原点的距离分别为和． ∴，， ∴，， 当点在点左侧时，即， ∴，， 当，时，； 当，时，， 综上，的值为或． 类型九、利用分类讨论思想解决绝对值化简问题）（|a|/a型） 1. “分类讨论”是一种重要的数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并回答问题． 例：三个有理数，，满足，求的值． 解：由题意，得，，都为正数或者其中一个为正数，另两个为负数． 当，，都是正数，即时， ； 当，，其中一个为正数，另两个为负数时，设， 综上所述，的值为3或-1 请根据上面的解题思路解答下面问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，是有理数，当时，求的值； (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或 (2)2或 (3)1 【分析】（1）先求解，，结合，可得或，再分别计算即可； （2）由，再分两种情况讨论：当时，；当时，，从而可得答案； （3）由是有理数，，可得中有一个是负数，另外两个是正数，设，再计算即可． 【详解】（1）∵， ∴，， ∵， ∴或， ∴或； （2）∵， 当时，； 当时，； 综上所述，的值为2或； （3）∵是有理数，， ∴中有一个是负数，另外两个是正数， 设， 则． 【点睛】本题考查的是绝对值的含义，绝对值方程的应用，求代数式的值，清晰的分类讨论是解本题的关键． 2．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a，b满足a，b同号，求的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能：①a、b都是正数：②a、b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有及，则； ②若a、b都是负数，即，，有及，； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，求的值． (2)两个不为0的有理数a，b满足a，b异号，求的值． (3)若，则的值可能是多少？ 【答案】(1)10或4； (2)0； (3)3或． 【分析】（1）由且，且得到a和b的值，代入求解即可； （2）由a、b异号分2种情况讨论：①，；②，，分别求解即可； （3）由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，分情况讨论：①当a，b，c都是正数，即，，时，②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴，或，， 当，时， 当，时， 综上，的值10或4； （2）解：由a、b异号，可知：①，；②，， 当，时，； 当，时，， 综上，的值为0； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则： 所以：的值为3或． 【点睛】本题考查了阅读理解问题，涉及了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练掌握相关知识并能运用分类讨论思想是解题的关键． 3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数，，满足，求的值； (2)若，，为三个不为0的有理数，且，求的值． (3)若，，，为四个不为0的有理数，则的值为________（直接写答案） 【答案】(1)或1 (2)1 (3)，，0，2，4 【分析】本题考查有理数的运算，解题的关键是掌握去绝对值的法则． （1）由，可得，，中有一个为负，两个为正或三个都为负，分类讨论可得的值时1或； （2）由，可得，，中有两个为负，一个为正，即可得的值； （3）根据题意分5种情况，然后利用绝对值的意义化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当，，都是负数，即，，时， 则：； ②，，有一个为负数，另两个为正数时，不妨设，，， 则； 综上所述，值为或1； （2）解：∵，，为三个不为0的有理数，且， ∴，，中负数有2个，正数有1个， ∴， ∴； （3）解：∵，，，为四个不为0的有理数， ∴当，，，都为正数时，； 当，，，中有1个正数，3个负数时，不妨设a为正数，，，为负数 ∴； 当，，，中有2个正数，2个负数时，不妨设a，b为正数，，为负数 ∴； 当，，，中有3个正数，1个负数时，不妨设a，b，c为正数，为负数 ∴； ∴当，，，都为负数时，； 综上所述，的值为，，0，2，4． 4．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】 【提出问题】 两个不为0的有理数满足同号，求的值． 【解决问题】 解：由同号且都不为0可知有两种可能：①都是正数：②都是负数． ①若都是正数，即，，有及，则； ②若都是负数，即，，及，则； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，求的值． (2)两个不为0的有理数满足异号，求的值． 【答案】(1)10或4 (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由且，且得到a和b的值，代入求解即可； （2）由a、b异号分2种情况讨论：①，；②，，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时， 当，时， 综上，的值10或4； （2）解：由a、b异号，可知有两种可能：①，；②，， 当，时，； 当，时，， 综上，的值为． 5．【问题背景】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 已知．求x的值，我们采用分类讨论的方法： ①当时，，． ②当时，，． 所以或． 【解决问题】若a与b的乘积不等于0，求的值． ①a，b均是正数时，________； ②当a，b均是负数时，________； ③当a，b是一正一负时，________； 【探究拓展】 （1）已知a，b，c是有理数，当a，b，c三数的乘积小于0时，求的值； （2）根据以上解题思路，请探究： （其中，，均为不等于0的实数）， x共有________个不同的值，在这些不同的值中，最大的值减去最小的值的差等于________． 【答案】[解决问题]2，，0；[探究拓展]：（1）①1或；（2）2025，4048 【分析】本题主要考查化简绝对值、有理数的加减和分类讨论思想的应用， [解决问题]①根据问题背景可知化简后均为1，相加即可； ②根据问题背景可知化简后均为，相加即可； ③根据问题背景可知化简后为1和，相加即可； [探究拓展] （1）根据题意可得有两个正数和一个负数，或三个都未负数，结合问题背景相加即可； （2）利用分类讨论思想可得有0个正数、1个正数、……2024个正数，则有2025种不同情况，对应有2025个不同的值，且当，，均为正数时，x取得最大值为2024，当，，均为负数时，x取得最小值为，并相减即可． 【详解】解：[解决问题] ①a，b均是正数时，由[问题背景]可知，则； ②当a，b均是负数时，由[问题背景]可知，则； ③当a，b是一正一负时，由[问题背景]可知当时， ，当时，，则； 故答案为：2，，0； [探究拓展] （1）∵a，b，c三数的乘积小于0 ∴有两个正数和一个负数，或三个都未负数， 则，或， （2）当有0个正数、1个正数、……2024个正数，则有2025种不同情况，故有2025个不同的值， 当，，均为正数时，x取得最大值为2024， 当，，均为负数时，x取得最小值为， 则． 类型十、绝对值与数轴综合 1．如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为17，且a，b满足，动点M从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动；同时，动点N从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t秒． （1） ； （2）当M，N两点相距9个单位长度时，t的值为 ． 【答案】 6或12 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负性，解题的关键是用t表示出M，N表示的数； （1）根据偶次方和绝对值的非负性求解即可； （2）用t表示出M，N表示的数，再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）， ，， ，， ， 故答案为：； （2）当运动时间为t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 的值为6或． 故答案为：6或． 2．先阅读，再探究相关的问题：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m． (1)若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为________； (2)借助数轴思考，当________时，与的值相等； (3)借助数轴思考，当________时，有最小值，最小值为________； (4)若点P位于表示的点左侧，化简：． 【答案】(1)或 (2) (3)， (4) 【分析】（1）由两点间的距离可得，再解方程求解； （2）根据到两点距离相等的点是线段的中点，结合数轴可得答案； （3）根据两点之间，线段最短，结合数轴可得答案； （4）根据m的取值范围，画图，再去掉绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：数轴上点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度， ； 或， 解得：m为或， （2）解：如图，记表示，表示，对应的数为， ∴与的值相等， 即， 此时对应的数为：； （3）解：如图，记表示，表示，表示，对应的数为， ∴， ∴当重合时，即，有最小值， 最小值为； （4）解：点P位于表示的点左侧，如图， ∴ ； 【点睛】本题考查了绝对值，数轴上两点的距离，以及绝对值方程，整式的加减运算，线段的中点的含义，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点． 3．观察题中每对数在数轴上的对应点间的距离：4与，3与5，与，与3，回答问题： (1)所得距离与这两个数的差的绝对值的关系是 ； (2)若数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为，则A与B两点间的距离可以表示为 ； (3)结合数轴可得的最小值为 ； (4)若关于的方程无解，则的取值范围是 ． 【答案】(1)相等 (2) (3)5 (4) 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离可得出结论； （2）根据数轴上两点之间的距离可得结果； （3）根据表示在数轴上表示x的点到2和两点的距离之和，得出当x表示的点在2和之间时，这个距离之和最小，然后求出这个最小距离即可； （4）把的取值范围分成，，和四类进行讨论，求出最小值，由于方程无解，则小于最小值即可得出答案． 【详解】（1）解：在数轴上4与之间距离为6，3与5之间距离为2，与之间距离为4，与3之间距离为7， ∵，，，， ∴数轴上两点距离两点表示的数的差的绝对值； 故答案为：相等； （2）解：由（1）可知：， 故答案为：； （3）解：∵表示在数轴上表示x的点到2和两点的距离之和， ∴当x表示的点在2和之间时，这个距离之和最小， ∴的最小值为； （4）解：①当时，，，， ， ②当时，，，， ， ， ③当时，，，， ， ， ④当时，，，， ， 最小值为6， 方程无解， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数轴上两点的距离以及绝对值的意义，整式的加减运算，掌握分类讨论的思想方法求最值是解题的关键． 4．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，如图，数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，且满足，P，Q是数轴上的动点． (1)A，B两点之间距离为__________； (2)若点P以2个单位/秒的速度从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点A运动，经过5秒相遇，求点Q的运动速度； (3)若点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16 (2)个单位/秒 (3)存在，6秒或12秒 【分析】（1）根据非负数的性质，可得，，求解即可获得答案； （2）设点的运动速度为个单位长度/秒，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （3）根据题意，可得点对应的数为，结合点，对应的数，求得，的值，然后根据，可得，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 解得，， 所以A，B两点之间距离为：． 故答案为：16． （2）解：设点Q的运动速度为x个单位/秒， 根据题意，得， 解得， 所以点Q的运动速度为1.2个单位/秒． （3）解：存在，理由如下： 因为点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t秒， 则点P对应的数为， 所以，． 因为，所以， 当时， 解得秒， 当时， 解得秒， 所以当t的值为6秒或12秒时，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、一元一次方程的应用以及绝对值方程等知识，理解题意，根据题目中的描述找到等量关系式是解题的关键． 5．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．若a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题． (1)当时，则 ；当时，则 ； (2)求的值； (3)化简：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，整式的加减； （1）当时，点a在原点右边，由题意可知，此时，代入即可求值；当 时，点b在原点左边，由题意可知，此时，代入即可求值； （2）由图中获取三点的位置信息后，结合题意即可求原式的值； （3）由图获取的正、负信息和三个数绝对值的大小后，就可确定原式中绝对值符号里面式子的值的符号，就可化简原式． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 故答案是：；； （2）由数轴可得： ， ， ， ∴； （3）由数轴可知：且， ∴， ∴ ． 6．【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”，它们在一定条件下可以相互转化，这样的联系称为数形结合，数形结合是一种重要的数学思想方法，有着广泛的应用，在中学数学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是：表示在数轴上数a到原点的距离，借助绝对值的形的解释，我们就可以得到．又比如从数的角度来解释：表示7与3差的绝对值；从形的角度来解释：7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【分析应用】如图1，A、B是数轴上两点（A在B的左侧），A表示的数是－3．动点M从点A出发沿数轴向右匀速运动． (1)B点表示的数是 ，A和B两点之间的距离为 ； (2)①从形的角度来解释：5与 在数轴上所对应的两点之间的距离； ②数轴上表示数a和－3的两点之间的距离表示为 ； ③当a为 时，． (3)若动点M在A和B两点之间运动，其对应数的为x，化简：．（写出化简过程） 【答案】(1)4，7； (2)①2；②；③或6； (3) 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的意义、解绝对值方程等知识点，掌握绝对值的意义成为解题的关键． （1）直接在数轴上表示有理数以及数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）①根据阅读材料中关于绝对值的阐述进行解答即可；②直接运用数轴上两点间的距离公式解答即可；③根据绝对值的意义求解即可； （3）根据绝对值的意义化简即可； 【详解】（1）解：由数轴可得点B表示的数为4； A和B两点之间的距离为． 故答案为：4，7． （2）解：①从形的角度来解释：5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为2； ②数轴上表示数a和的两点之间的距离表示为． 故答案为：． ③表示点a表示的点到的距离与到2的距离的和为13， 当时，，解得， 当时，，此时无解， 当时，，解得， 综上所述：或6． 故答案为：或6． （3）解：∵动点M在A和B两点之间运动， ∴， ∴． 1．有理数、在数轴上的位置如图所示，则下面关系中正确的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查用数轴判断式子的正负、有理数的加减和乘法运算、绝对值的意义，根据有理数在数轴上的位置得到，，进而利用有理数的运算法则判断式子的符号即可求解． 【详解】解：由数轴得：，， ∴，，，， 故正确的有①、④和⑤，共3个， 故选：C． 2．已知整数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，其中，则下列各式：①，②，③，④，其中一定成立的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数运算，含绝对值的数的化简，数轴的应用，通过观察数轴上各数的位置，得到，，逐一判断各个式子，即可得到结果． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，，， ∴， ∴， 故②错误，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故③正确，符合题意； ∵，，， ∴， 故④正确，符合题意， 综上所述，成立的有3个， 故选：B． 3．下列五种说法中：①若，则；②若，则 ；③若，则；④若，则；⑤若，则，一定正确的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的性质逐个分析判断即可得出答案． 【详解】解：①若，则，错误，例如，但； ②若，则，错误，例如，但； ③若，则，错误，例如，但； ④若，则，故④正确； ⑤若，则，故⑤正确， 一定正确的有④⑤，共2个， 故选：B． 4．在数轴上，点A、点B分别表示数a．b．则线段的长表示为，例如：在数轴上点A表示5，点B表示2，则线段的长表示为．数轴上的任意一点P表示的数是x．且的最小值为7，若，则b的值为（   ） A．或5 B．或9 C．或9 D．5或9 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点表示的数，如何表示数轴上两点之间的距离及绝对值的化简，得出是解题的关键．根据表示点P到点A的距离，表示点P到点B的距离，当点P在点A、点B两点之间时，的值最小，且，可得绝对值方程，从而求出b的值． 【详解】解：表示点P到点A的距离，表示点P到点B的距离， 当点P在点A、点B两点之间时，的值最小， ∴， ∵， ∴， ∴或9． 故选：C． 5．若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的混合运算，分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴有四种情况： ①三个都为正数，则原式； ②三个都为负数，则原式； ③一个正数，两个负数，假设为正数，为负数， 则原式； ④一个负数，两个正数，假设为负数，为正数， 则原式； 综上，的值为或， 故选：． 6．已知m，n为实数，下列说法： ①若，，则； ②若，则是正数； ③若，则； 其中正确的是 ． 【答案】①②/②① 【分析】此题考查了相反数，绝对值和有理数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键． ①根据条件可得，即可化简绝对值；②分类讨论，利用有理数的加法，加法和乘法法则计算判断；③利用绝对值的意义化简即可． 【详解】解：①若，m、n同号，由，则，则,本项正确； ②若，当，，则，，，是正数， 当，时，，，是正数， 当，时，，，是正数， 当，时，，，是正数，故本项正确； ③若，则，，故本项错误， 故答案为：①②． 7．定义：数轴上表示数，的点A，之间的距离．如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．当点A，之间的距离等于3个单位长度时，则经过的时间长为 ． 【答案】4秒或6秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，绝对值的意义等知识，解题的关键是：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可； 【详解】解：设经过x秒，则A表示的数为， B表示的数为， 根据题意，得，解得或6， 答：经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度． 故答案为：4秒或6秒． 8．规定：，，例如，． （1） ； （2）的最小值是 ． 【答案】 4 1 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）根据新运算的法则，求出，再进行减法运算即可； （2）根据新运算的法则，求出，再根据绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：4； （2）， 由绝对值的意义，可知：表示数轴上表示数的点到数的距离之和， ∴当在之间（包括两个端点）时，的值最小为：； 故答案为：1． 9．有下列说法： ①若单项式与是同类项，则． ②已知是不为0的有理数且，，则的值为或． ③已知有理数满足，且，则的值为． ④若，，则化简的结果为． 其中正确的说法有 ．（请填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了同类项定义，绝对值的非负性质，有理数的除法运算，熟练掌握同类项定义，绝对值的非负性质，有理数的除法运算法则是解题的关键． ①根据单项式的定义可得：，，求出m，n的值，然后再根据有理数的乘方运算法则计算即可； ②根据题意可知，，由可分，和，两种情况，去掉所求问题中的绝对值，进而得出答案； ③根据已知，可分两种情况分析，当时；当时，由绝对值的非负性质结合已知，得出a，b的关系，进而得出答案； ④根据题意，，，利用绝对值的非负性质可得：，，求出a，b的取值范围，即可判断出，的符号，进而得出答案． 【详解】解：①∵单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴，故①正确； ②∵，， ∴b，c同号， （i）当，时，原式； （ii）当，时，原式； 综上所述，的值为或，故②正确； ③∵， ∴，， 当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 的值为或，故③错误； ④∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ，故④正确， 综上所述，其中正确的说法有①②④． 故答案为：①②④． 10．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为__________． (2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 【答案】(1) (2)2或 (3)8 (4)13 【分析】本题考查了非负数的性质及数轴上两点间距离、绝对值的意义，读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键． （1）根据表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，求解即可； （2）根据，表示在数轴上与的距离为3的点对应的数，求出答案； （3）表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数的距离之和，因此当x在2与之间时，这个距离之和最小，最小值为2与之间的距离8， （4）根据题意得到，，然后将，代入求解即可． 【详解】（1）解：，数轴上表示数x的点到原点的距离为3， 因此或， 故答案为：； （2）解：，在数轴上与的距离为3的点对应的数2或， 故答案为：2或； （3）解：表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数的距离之和， 因此当时，这个距离之和最小，最小值就是2与之间的距离，为8， 故有最小值，是8； （4）解：∵表示在数轴上表示数x的点到表示数与表示数2的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值3 ∵表示在数轴上表示数y的点到表示数1与表示数3的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值2 ∵ ∴只有当且时等式成立 ∴， ∴当，时，有最大值，即． 11．阅读材料： ，，，， 根据以上规律，解决下列问题： (1)______=______； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算及绝对值的意义．有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． （1）根据材料中的规律写出答案即可； （2）根据规律去绝对值符号，再利用有理数的减法法则计算即可； （3）根据规律去绝对值符号，再利用有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． 12．有理数a和b分别对应数轴上的点A和点B，定义为数a、b的中点数，为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是．请阅读以上材料，完成下列问题： (1)___________，___________； (2)已知，求的值； (3)当时，求． 【答案】(1)3，2 (2)3 (3)或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握的定义，的定义是解题关键． （1）根据的定义，的定义即可求解； （2）先根据新定义得出关于的方程求得，进一步根据的定义即可求解； （3）先根据新定义得出关于的方程求得，进一步根据的定义即可求解． 【详解】（1）解：，． 故答案为：3，2； （2）解：， ， 解得， 则； （3）解：， ， 解得或8， 当时，； 当时，． 故的值为或． 13．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】 如图，数轴上，点，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】 如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】(1) (2)①；②或 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． （1）根据绝对值的性质进行去绝对值即可； （2）①根据当在和之间时，有最小值，化简绝对值即可求解；②根据题意得，即可求解； （3）、、、分别在数轴上表示，，，，设表示的数为，距离之和为，根据题意可知，当在线段上时，、、、到的距离之和最小，则、、、到的最小距离之和为： ，即可求解． 【详解】（1）解：当点在线段上时，有最小值，最小值是， 故答案为：； （2）①表示到和的距离之和，当在和之间时，有最小值， 的最小值为， 故答案为：； ②代数式的最小值是， ， 解得：或； （3）如图所示，、、、分别在数轴上表示，，，，设表示的数为，距离之和为， 由题意得：当在线段上时，、到的距离之和最小，当在线段上时，、到的距离之和最小， 当在线段上时，、、、到的距离之和最小， 、、、到的最小距离之和为： 当在线段上时，、、、到的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$