浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

镇海中学2024学年第二学期期末考试 高一数学试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.己知d=(1,-2,3),b=(-4,x,2),且a⊥b,则实数x的值为() A.-1 B.0 C.1 D.5 2.“关于x,y的方程：x2+y2+mx+4y+8=0表示圆”是“m>4”的()条件 A.必要不充分 B.充要 C.充分不必要 D.既不充分也不必要 3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱AA1的中点，点F为棱CC1上靠近C的三等分 点.若EF=xA丽+yAD+zAA,x,y,z∈R,则x+y+z的值为() A.8 B.岩 c.名 D.-8 4.有一个质地均匀的骰子，连续投掷两次，A表示事件“第一次投掷正面朝上的点数是6”， B表示事件“第二次投掷正面朝上的点数是5”，C表示事件“两次投掷正面朝上的点数之和是 7”,D表示事件“两次投掷正面朝上的点数之和是8”，则以下说法正确的是() A.P(CD)=P(C)·P(D) B.P(AD)=P(A)·P(D) C.P(BD)=P(B)·P(D) D.P(AC)=P(A)·P(C) 5.己知直三棱柱ABC-A1B1C1,△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=AA1=4,以点B为球 心、半径为4的球与此直三棱柱表面相交，交线为「，点P为上的动点，当PC取最小值时， 此时BP.BC的值为() A.16 B.16V3 C.323 3 D.322 3 6.若点P(0,2)关于直线y=kx对称的点Q在圆x2-4x+y2+3=0上，且Q在第一象限内，则 实数k的值为() A.1+V2 B.2 C.8-s D.8+V15 7 7.己知长方形ABCD,AB=2,AD=1,将△ACD沿着AC折起得到三棱锥D-ABC,当点D在底 面ABC的投影恰好落在直线AB上时，此时点B到面ACD的距离为() A.V3 B.9 C. D.5 8.己知A,B,D为圆0：x2+y2=16上的三个点，且△A0B为正三角形，则|30D-0A+ 0币-0的最小值为() A.V133 B.5V5 C.11 D.8+√13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分， 9.己知事件A,B发生的概率分别为P(A)=,P(B)=子，则下列说法正确的是（) A.事件A与事件B互为对立事件 B.若ASB,则P(AB)=号 C.若P(AB)=则P(AB)=立 D.若P(AUB)=子，则事件A与事件B相互独立 10,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=6,AD=23,AA1=4,空间中的点P满足AP= xAD+yAB+zAA,x,y,z∈R,则下列说法正确的是() A.若x=1,则点P在平面DCC1D1上 B.若y=1,且x+z=1,则AP与面ADD,A1所成角最小值的正切值为受 C.若x+y+2=1,则AP的最小值为2受 D.若AP=4,且P在长方体表面上，则P的轨迹长度为π 11.在平面直角坐标系xOy中，对于直线：ax+by+c=0和点P1(x1,y1),Pz(x2,y2),记n= (ax1+by1+c)(ax2+by2+c),若n<0,则称点P1,P2被直线l分隔.若曲线C与直线l没有公 共点，且曲线C上存在点P,P2被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线.则下列选项正 确的是() A.若A(1,2),B(-1,0)被直线x+y-a=0分隔，则-1<a<3 B.若直线y=kx是曲线y=x+的分线，则k≤1 C.曲线C:x4+y=1存在分隔线 D.曲线E:x4+x2y-2)2=1,有且仅有一条过原点的分隔线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知直线l1:x+ay+1=0,l2:(a-1)x+2y-2=0.若l1/儿2，则实数a的值为 13.己知圆0：(x-3)2+y2=2,一条过点(0，-V3的直线将圆0分成面积相等的两部分，且 该直线在碰到直线x=6后反射，射出的直线恰好和圆O相切，则的值为 14.已知三棱锥A-BCD中，LABC=婴，∠ABD=,BC=BD,则异面直线AB和CD所成角余 弦值的取值范国是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)一个不透明的袋子中有五个大小质地都相同的小球，分别标号0,1,2,3， 4.从中不放回的依次取出2个球，分别记录球上的数字为x,y,记a=(x,y),且b=(2,-1). (1)求事件“a.6=0”发生的概率； (2)求事件“>”发生的概率. 16.(15分)如图，在四面体D-ABC中，AB=BC=CD=DA=5,AC=6,BD=4. (1)求二面角B-AC一D的平面角的大小： D (2)求异面直线AB与CD间的距离， 17.(15分)在平面直角坐标系中.点A(2,4),B(6,2),直线l1:x+y-4=0,2:(m-1)x+ y+2m+2=0,m∈R.圆C经过A,B两点，且圆心C在直线l1上， (1)求圆C的方程： (2)当直线2与圆C相切时，求实数m的值. (3)若直线L2与圆C相交于D,E两点，当m变化时，是否存在一个定点P,使得引DP·EPI为定 值？若存在，求出一个P的坐标：若不存在，请说明理由. 18.(17分)如图，在四梭雏P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥PC (1)求四梭锥P-ABCD的体积V的最大值： (2)在(I)的条件下，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值： D (3)若PD=4,求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值的最大值. 19.(17分)已知点O(0,0),A1,0),B(4,0),动点P到B的距离是P到A点距离的2 倍，记动点P的轨迹为曲线厂， (1)求曲线厂的轨迹方程： (2) 已知动点在直线1：y=2x+2上，过2作曲线Γ的两条切线l,2分别切于C,D 两点，直线：y=2与l,I2分别交于E,F,连接CF,DE交于K. () 直线CD是否过定点，如果是，求出定点坐标：如果不是，说明理由： (ii) 求|OK的最小值高一数学参考答案 一、选择题 1.C 4.D 7.D 2.A 5.A 8.C 3.B 6.D 二、选择题 9.BCD 10.BD 11.ACD 三、填空题 12.-1 13.23 14.[0, 四、解答题 15.(1) ·从5个球中不放回取2个，共有A号=20种情况。 ·由a·b=2x-y=0,即y=2x。满足条件的(x,y)有：(0,0)（舍 去，球标号不同)、(1,2)、(2,4)，共2种 ·故概率P=易= (2) 。1al=x2+y2,b1=22+（-1)=5,所以x2+y2>5。 。满足条件的(x,y)有： o当x=1时，y=3,4: oX=2时，y=1,3,4: ox=3时，y=0,1,2,4; oX=4时，y=0,1,2,3。 共2+3+4+4=13种。 ·故概率P=品 16.(1) ·取AC中点O,连接BO、DO。 ·由AB=BC=5,AC=6,得BO⊥AC,且B0=√52-32=4. ·同理，AD=CD=5,得DO⊥AC,DO=4。 ·在△BOD中，BO=DO=4,BD=4,故△BOD为等边三角形， ∠BOD=60°，即二面角B-AC-D的平面角为60°。 (2) ·以O为原点，OA、OB、OD分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则A(3,0,0),B(0,4,0),C(-3,0,0),D(0,0,4)。 ·AB=(-3,4,0),CD=(3,0,4). ·设异面直线AB与CD的公垂线方向向量为n=(x,y,z),则 AB=-3x+4y=0,取x=4,得y=3,z=-3,即n= n·CD=3x+4z=0 (4,3,-3)。 ·向量AC=(-6,0,0),则异面直线间的距离d=ACm=-24 16+9+9 2A=1234 34-170 17.(1) ·设圆心C(a,b),因为圆心在11：x+y-4=0上，所以a+b=4。 ·圆经过A(2,4)、B(6,2),则(a-2)2+(b-4)2=(a-6)2+(b- 2)2,化简得a-b=2。 。联立0+b=4解得a=3,b=1,半径r= a-b=2 V(3-2)2+(1-4)2=V10。 ·圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=10。 (2) ·直线12：(m-1)x+y+2m+2=0可化为m(x+2)-x+y+ 2=0,过定点(-2,0)。 ·由直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即m-)3+1+2m+2= (m-1)2+1 √10，化简得： mm=v0.两边平方得25m2=100m2-2m+2).即 15m2+20m-20=0.解得m=20±0+20=2950，即m= 30 号或m=-2 (3) ·设P(Xo,yo),由圆的幂定理，DP1·1EPI=PC2-r2,若为定值， 则1PC2为定值，即P在圆外且到圆心C(3,1)的距离为定值。 ·令P为定点，取P在直线I2所过定点(-20)，此时IPC2=(3+ 2)2+(1-0)2=26,1DP1·1EP1=26-10=16为定值。故存在定 点P(-2,0)。 继续化简： lcos1 8t2+162t+16 8t2+16V2t+24 8(t2+2V2t+2) 8(t2+22t+3) 、 (t+2)2 (t+2)2+1 =1- (t+2)2+1 当t=1时，(t+2)2取得最大值(1+2)2=3+22，此时： 1 7=1、1 2-2 1c0s01=1- =1- 3+22+14+22(4+22)(2-2) =1- 2-22+√2 4 4 故平面PAB与平面PBC夹角余弦值的最大值为2+ 4 18.(1)求四棱锥P-ABCD的体积V的最大值 ·底面ABCD是边长为4的正方形，故底面积S=4×4=16。 ·设PA=a,PC=b,由PA⊥PC,根据勾股定理得AC2=a2+ b2。 正方形对角线AC=4V2,故a2+b2=(42)2=32。 ·四棱锥的体积V=Sh(h为顶点P到底面ABCD的距离)。 由几何关系，h的最大值为P到平面ABCD的垂直距离，当PA⊥ PC且PA=PC时，P在底面的投影为AC中点，此时h最大。 由均值不等式，a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立，即a= b=V16=4。 此时P到底面的距离h=PAC=号=2。 AC ·故体积最大值为Vmax=号×16×22=3 3 (2②)在(1)的条件下，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值 ·以A为原点，建立空间直角坐标系： oA(0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0),D(0,4,0),P(0,0,4)(因 PA=4且垂直底面)。 ·向量表示： 0PB=(4,0,-4),PC=(4,4,-4),PD=(0,4,-4) ·求平面PCD的法向量n: 设n=(x,y,z),则{ PC.n=4x+4y-4z=0由第二个方程得 PD.n=0x+4y-4z=0 y=z,代入第一个方程得4x+4y-4y=0→x=0,取y=1, 则n=(0,1,1)。 ·直线PB与平面PCD所成角的正弦值为：sin8=Icos(PB,n)川= PB-nl 4×0+0×1+(-4)×1山 4 41 IPBl-Inl 2+02+-42.02+12+市=32.2=8=2 (3)若PD=4,求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值的最大值 ·设P(x,y,z),由PD=4,得√x2+(y-4)2+z2=4,即x2+ (y-4)2+z2=16。 ·底面ABCD是正方形，PA⊥PC,即PA·PC=0,其中PA= (-x,-y,-z),PC=(4-x,4-y,-z),故：（-x)(4-x)+ (-y)(4-y)+(-z)(-2)=0=x2-4x+y2-4y+z2=0结 合x2+(y-4)2+z2=16,展开得x2+y2-8y+16+z2=16, 即x2+y2+z2=8y。 代入前式得8y-4x-4y=0=x=y。 ·设x=y=t,则P(t,t,z),代入PD=4:t2+(t-4)2+z2= 16→2t2-8t+16+z2=16→2t2-8t+z2=0→z2=- 2t2+8t由z2≥0，得-2t2+8t≥0→0≤t≤4。 ·求平面PAB和平面PBC的法向量： o平面PAB的法向量n1 PA=(-t,-t,-z),PB=(4-t,-t,-2),设n1= (a,b,c),则ta-tb-cz=0 (4-t)a-tb-cz=0 两式相减得4a=0→ a=0,取b=Z,则-tz-cz=0→c=-t,故n1= (0,z,-t) o平面PBC的法向量n2: PB=(4-t,-t,-z),PC=(4-t,4-t,-z),设n2= (d,e.f).(4-t)d-te-fz=0 两式相减得4e= (4-t)d+(4-t)e-fz=0 0=e=0,取d=z,则(4-t)z-fz=0曰f=4-t,故 n2=(2,0,4-t)。 ·计算两法向量夹角的余弦值：cos日=m1坠= In1Hn2l 02+22+22402+4-=72+2+4-由2=-2t2+8t,代入得： I0×z+z×0+(-t)(4-t)1 t(t-4川 It(t-4引 t(4-t) C0S日=C22+80+t2-22+8e)+4-t=7-2+8tV-2t2+8t+t2-8t+1 化简 分母：√-t2+8t.√-t2+16=t(8-t)·(4-t)(4+t)分子 t(4-t) 4-西=V t(4-t),故：c0s6=78-4-54+6=8-4+6 (8-t)(4+t) ·令f)=t∈0,4，求其最大值： 分子g(t)=t(4-t)=-t2+4t,分母h(t)=(8-t)(4+t)=- 2+4就+32，则f因=器==1-7品m 32 当t2-4t取最大值时，f(t)最大。t2-4t=(t-2)2-4,在t∈ [0,4]时，当t=0或t=4时，t2-4t=0;当t=2时，t2-4t= -4,故-t2+4t的最大值为0（当t=0或t=4),但此时 f(t)=0,不符合题意。 重新考虑：令u=t(4-t),则u=-t2+4t=-(t-2)2+4,最大 值为4（当t=2): 分母v=(8-t)(4+t)=32+4t-t2=-(t-2)2+36,当t=2 时，V=36,此时f()=希=号c0s0= 当t=1时，f)==房c0s0=偏< 当t=3时，f3)=兴=品同理 当t→0+时，f(t)→0；当t一4-时，f(t)→0。 但通过另一种方法：设t=4sin2a,a∈[0,2]，则4-t=4cos2a, 8-t=8-4sin2a=4(2-sin2a),4+t=4(1+sin2a),代入 得：cos0-00而上60oa令s (2-sin2 a)(1+sin2 a) sin2a∈0,1]，期：cos6=Va产=产=1-4s (2-s)(1+s) -s2+s+2 分母-s2+S+2=-(5-)2+号当s=号时，分母最大为？此时： c0s0=V1-青=V1-音=故平面PAB与平面PBC夹角余弦值的 最大值为 19.(1) 设P(X,y),由题意IPB=2PA,即： V(x-4)2+y2=2√(x-1)2+y2 两边平方化简： (x-4)2+y2=4[(x-1)2+y2] x2-8x+16+y2=4x2-8x+4+4y2 3x2+3y2=12→x2+y2=4 故曲线T的轨迹方程为x2+y2=4。 (2)0 设Q(t,2t+2),圆x2+y2=4上切点C(x1,y1),D(x2,y2),则切线 QC的方程为X1x+y1y=4,切线QD的方程为X2x+y2y=4。 因为Q在两条切线上，所以： X1t+y1(2t+2)=4 x2t+y2(2t+2)=4 故直线CD的方程为tx+(2t+2)y=4,整理得： t(x+2y)+2y-4=0 令+2y=0解得义=24，故直线CD过定点(-4,2)。 2y-4=01 X=-4 (2)) 由⊙知直线CD过定点M(-4,2),设K(x,y),因为K是CF与DE的交 点，且E、F是直线y=2与切线11、2的交点。 切线1：X1X+y1y=4,与y=2交于E,2):切线12：x2X+ y2y=4,与y=2交于F-2业，2)。 2 直线CF的方程：y-y1=2-k 2=1(x-x1),直线DE的方程：y-y2= x2 2-2(x-X2)。 4-2y1-X2 X1 由于C、D在圆上，且直线CD过M(-4,2),所以-4x1+2y1=4→ 2y1=4+4x1=y1=2+2X1,同理y2=2+2x2。 代入化简后可得K的轨迹满足：点K到定点O的距离最小值为原点O到直 线OM上的投影长度。 直线OM的方程为y=-x,原点到直线CD所过定点M(-4,2)的距离 为(-4)2+22=25，而K在以OM为直径的圆上（或利用几何关系）， 故OK1的最小值为： 10+0-4纠42V5 (-42+元25=5