第一章 整式的乘除 综合练习2024-2025学年北师大版七年级下册暑假巩固复习

北师大版数学七年级下册暑假巩固复习 第一章《整式的乘除》 综合练习 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．2025年气候监测发现，每立方米空气中含某污染物约0.0000000305克，数据0.0000000305用科学记数法表示为（　　） A．3.05×10﹣8 B．3.05×10﹣7 C．0.305×10﹣7 D．30.5×10﹣9 2．下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．a3+a3＝2a3 C．a6÷a2＝a3 D．（3a2）2＝6a4 3．已知2x＝5，则2x+3的值是（　　） A．8 B．15 C．40 D．125 4．计算2a•3a2的结果是（　　） A．5a2 B．6a2 C．5a3 D．6a3 5．计算2m（3m﹣2）的结果正确的是（　　） A．4m2﹣6m B．5m2+4m C．6m2﹣2m D．6m2﹣4m 6．若（x+a）（bx﹣2）展开后不含x的一次项，且常数项为﹣2，则a+b的值为（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 7．下列多项式乘多项式，能用平方差公式计算的是（　　） A．（x﹣2）（2﹣x） B．（a﹣b）（a+2b） C．（m+n）（﹣m﹣n） D．（x﹣1）（1+x） 8．运用整式乘法公式计算993×1007，下列变形正确的是（　　） A．（990+3）×（1000+7） B．（1000﹣7）×（1000+7） C．（990+3）×（990+17） D．（1000﹣7）×（990+17） 9．若2a5b2÷a＝2ambn，则m，n的取值分别为（　　） A．m＝4，n＝0 B．m＝4，n＝2 C．m＝5，n＝2 D．m＝5，n＝0 10．已知（x﹣5）2+（x﹣7）2＝30，则（x﹣6）2的值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．计算：0.1252024×（﹣8）2025＝　 　 ． 12．若a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b＝　 　 ． 13．若实数x满足，则x＝ 　 　 ． 14．已知m，n，那么2016m﹣n＝　 　 ． 15．如图摆放两个正方形卡片，点A，M，B在同一直线上．若AB＝5，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．计算： （1）； （2）5x4•（﹣x）2﹣（2x2）3． 17．先化简，再求值：[（x+4y）2﹣（2y+x）（x﹣2y）]÷（﹣4y），其中x＝1，y＝﹣3． 18．已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x． （1）求A﹣2B； （2）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值． 19．已知4m÷2n＝8，（2m）2•2n＝32． （1）求2m﹣n的值． （2）计算（﹣8）2m+n×0.1252m﹣n的结果． 20．对于整数a、b定义运算：a⊗b＝（ab）m+（ba）n（其中m、n为常数），如4⊗3＝（43）m+（34）n． （1）填空：当m＝2，n＝2025时，2⊗（﹣1）＝ 　 　 ； （2）若1⊗4＝8，2⊗2＝19，求42n﹣m的值． 21．某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形，内部挖去两个相同的小长方形（如图）．其中大长方形的长为x+3y，宽为2x+y，每个小长方形的长为x+y，宽为y﹣x（y＞x）． （1）用含x，y的代数式表示该零件模型的面积并化简； （2）当x＝2，y＝3时，求该零件模型的面积． 22．对于整式M：（x+2）2﹣（x+3）（x﹣1）． （1）当x＝﹣4时，求M的值．甲、乙二人分别给出了自己的思路： 甲的思路：将x＝﹣4代入整式M求值； 乙的思路：先化简整式M，然后再将x＝﹣4代入求值． 请你选一个人的思路，完成求值． （2）若x为正整数，请说明M的值为奇数． 23．数学活动课上，老师准备了若干张如图①的三种纸片，其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用1张A种纸片，1张B种纸片和2张C种纸片拼成如图②的大正方形． （1）观察图②，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系； （2）若要拼出一个面积为（2a+b）2的正方形，则需要C种纸片　 　 张； （3）根据（1）中的等量关系，解决问题：当a+b＝5，a2+b2＝13时，求ab的值． 24．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的关系：　 　 ； （2）利用（1）的结论和公式变形，解决下面问题： 已知x+y＝7，xy＝6，则x﹣y值为 　 　 ； （3）两个正方形ABCD、AEFG如图3摆放．边长分别为x，y，若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分的面积是多少？ 25．有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、形象的几何模型，加深认识和理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感悟代数和几何内在的一致性．如图1是由两个边长分别为m，n的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式：（m+n）2＝m2+2mn+n2． （1）图2是由四个全等的直角三角形（边长分别为a，b，c，且a＜b＜c）和一个小正方形拼成的大正方形，利用图1验证公式的方法求出a、b、c满足的等量关系式； （2）如图2，在（1）的条件下，若a+b＝7，c＝5，求阴影部分的面积； （3）如图3，以（1）中的a，b，c为边长作三个正方形，并将以a，b为边长的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1，求四边形ABCD的面积． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版数学七年级下册暑假巩固复习 第一章《整式的乘除》 综合练习 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．2025年气候监测发现，每立方米空气中含某污染物约0.0000000305克，数据0.0000000305用科学记数法表示为（　　） A．3.05×10﹣8 B．3.05×10﹣7 C．0.305×10﹣7 D．30.5×10﹣9 【解答】解：0.0000000305＝3.05×10﹣8． 故选：A． 2．下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．a3+a3＝2a3 C．a6÷a2＝a3 D．（3a2）2＝6a4 【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项不符合题意； B、a3+a3＝2a3，故此选项符合题意； C、a6÷a2＝a4，故此选项不符合题意； D、（3a2）2＝9a4，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．已知2x＝5，则2x+3的值是（　　） A．8 B．15 C．40 D．125 【解答】解：∵2x＝5， ∴2x+3 ＝2x×23 ＝5×8 ＝40． 故选：C． 4．计算2a•3a2的结果是（　　） A．5a2 B．6a2 C．5a3 D．6a3 【解答】解：将系数和字母分别相乘，2a•3a2＝6a3， 故选：D． 5．计算2m（3m﹣2）的结果正确的是（　　） A．4m2﹣6m B．5m2+4m C．6m2﹣2m D．6m2﹣4m 【解答】解：2m（3m﹣2）＝6m2﹣4m， 故选：D． 6．若（x+a）（bx﹣2）展开后不含x的一次项，且常数项为﹣2，则a+b的值为（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 【解答】解：（x+a）（bx﹣2） ＝bx2﹣2x+abx﹣2a ＝bx2+（ab﹣2）x﹣2a， ∵（x+a）（bx﹣2）展开后不含x的一次项，且常数项为﹣2， ∴， 由①得：a＝1， 把a＝1代入b＝2， ∴a+b＝1+2＝3， 故选：A． 7．下列多项式乘多项式，能用平方差公式计算的是（　　） A．（x﹣2）（2﹣x） B．（a﹣b）（a+2b） C．（m+n）（﹣m﹣n） D．（x﹣1）（1+x） 【解答】解：（x﹣2）（2﹣x）＝﹣（x﹣2）（x﹣2），不是两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则A不符合题意， （a﹣b）（a+2b）不是两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则B不符合题意， （m+n）（﹣m﹣n）＝﹣（m+n）（m+n），不是两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则C不符合题意， （x﹣1）（1+x）＝（x﹣1）（x+1），它是两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则D符合题意， 故选：D． 8．运用整式乘法公式计算993×1007，下列变形正确的是（　　） A．（990+3）×（1000+7） B．（1000﹣7）×（1000+7） C．（990+3）×（990+17） D．（1000﹣7）×（990+17） 【解答】解：993×1007＝（1000﹣7）×（1000+7）， 故选：B． 9．若2a5b2÷a＝2ambn，则m，n的取值分别为（　　） A．m＝4，n＝0 B．m＝4，n＝2 C．m＝5，n＝2 D．m＝5，n＝0 【解答】解：2a5b2÷a＝2a4b2， ∴m＝4，n＝2， 故选：B． 10．已知（x﹣5）2+（x﹣7）2＝30，则（x﹣6）2的值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【解答】解：∵（x﹣5）2+（x﹣7）2＝30， ∴[（x﹣6）+1]2+[（x﹣6）﹣1]2＝30， ∴（x﹣6）2+2（x﹣6）+1+（x﹣6）2﹣2（x﹣6）+1＝30， 即2（x﹣6）2+2＝30， 那么（x﹣6）2＝14， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．计算：0.1252024×（﹣8）2025＝　﹣8　 ． 【解答】解：0.1252024×（﹣8）2025 ＝0.1252024×（﹣8）2024×（﹣8） ＝[0.125×（﹣8）]2024×（﹣8） ＝（﹣1）2024×（﹣8） ＝1×（﹣8） ＝﹣8， 故答案为：﹣8． 12．若a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b＝　4　 ． 【解答】解：∵a﹣b＝2 ∴原式＝（a+b）（a﹣b）﹣4b＝2（a+b）﹣4b＝2a﹣2b＝2（a﹣b）＝4 故答案为：4 13．若实数x满足，则x＝ 　2024.5或2020.5　 ． 【解答】解：设a＝x﹣2022.5，则原方程化为：（a﹣2.5）（﹣a﹣2.5）， ， a2＝4， a＝±2， ∴x﹣2022.5＝±2， ∴x＝2024.5或2020.5， 故答案为：2024.5或2020.5． 14．已知m，n，那么2016m﹣n＝　1　 ． 【解答】解：∵m， ∴m＝n， ∴2016m﹣n＝20160＝1． 故答案为：1． 15．如图摆放两个正方形卡片，点A，M，B在同一直线上．若AB＝5，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为 　6　 ． 【解答】解：设AM＝a，BM＝b， ∵AB＝5， ∴a+b＝5， ∴（a+b）2＝25． ∴a2+2ab+b2＝25． ∵两个正方形面积之和为13， ∴a2+b2＝13， ∴2ab＝25﹣13， ∴ab＝6． 连接CM，如图， 由题意得：AC＝AM＝a，BM＝DM＝b， ∴阴影部分的面积＝S△CDM+S△BCM ＝ab ＝6． 故答案为：6． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．计算： （1）； （2）5x4•（﹣x）2﹣（2x2）3． 【解答】解：（1） ＝1﹣9+（﹣1） ＝﹣9； （2）5x4•（﹣x）2﹣（2x2）3 ＝5x4•x2﹣8x6 ＝5x6﹣8x6 ＝﹣3x6． 17．先化简，再求值：[（x+4y）2﹣（2y+x）（x﹣2y）]÷（﹣4y），其中x＝1，y＝﹣3． 【解答】解：原式＝[x2+8xy+16y2﹣（x2﹣4y2）]÷（﹣4y） ＝[x2+8xy+16y2﹣x2+4y2]÷（﹣4y） ＝（8xy+20y2）÷（﹣4y） ＝﹣2x﹣5y， 当x＝1，y＝﹣3时，原式＝﹣2×1﹣5×（﹣3）＝﹣2+15＝13． 18．已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x． （1）求A﹣2B； （2）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值． 【解答】解：（1）A﹣2B＝2x2+3xy+2y﹣2（x2﹣xy+x） ＝2x2+3xy+2y﹣2x2+2xy﹣2x ＝5xy+2y﹣2x； （2）5xy+2y﹣2x＝（5y﹣2）x+2y， ∵A﹣2B的值与x的取值无关， ∴5y﹣2＝0 解得：y． 19．已知4m÷2n＝8，（2m）2•2n＝32． （1）求2m﹣n的值． （2）计算（﹣8）2m+n×0.1252m﹣n的结果． 【解答】解：∵4m÷2n＝8， ∴22m÷2n＝23， ∴22m﹣n＝23， ∴2m﹣n＝3． （2）∵（2m）2•2n＝32， ∴22m•2n＝25， ∴22m+n＝25， ∴2m+n＝5， ∴（﹣8）2m+n×0.1252m﹣n ＝64×（﹣1） ＝﹣64． 20．对于整数a、b定义运算：a⊗b＝（ab）m+（ba）n（其中m、n为常数），如4⊗3＝（43）m+（34）n． （1）填空：当m＝2，n＝2025时，2⊗（﹣1）＝ 　　 ； （2）若1⊗4＝8，2⊗2＝19，求42n﹣m的值． 【解答】解：（1）∵a⊗b＝（ab）m+（ba）n， ∴当m＝2，n＝2025时， 2⊗（﹣1） ＝（2﹣1）2+[（﹣1）2]2025 ； （2）∵1⊗4＝8，2⊗2＝19， ∴（14）m+（41）n＝8，（22）m+（22）n＝19， 1m+4n＝8，4m+4n＝19， ∴4n＝8﹣1＝7，4m＝19﹣7＝12， ∴42n﹣m ＝42n÷4m ＝（4n）2÷4m ＝72÷12 ． 21．某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形，内部挖去两个相同的小长方形（如图）．其中大长方形的长为x+3y，宽为2x+y，每个小长方形的长为x+y，宽为y﹣x（y＞x）． （1）用含x，y的代数式表示该零件模型的面积并化简； （2）当x＝2，y＝3时，求该零件模型的面积． 【解答】解：（1）该零件模型的面积为：（2x+y）（x+3y）﹣2（x+y）（y﹣x） ＝2x2+6xy+xy+3y2﹣2y2+2x2 ＝4x2+7xy+y2； （2）当x＝2，y＝3时， 该零件模型的面积 ＝4×22+7×2×3+32 ＝4×4+7×2×3+9 ＝16+42+9 ＝67． 22．对于整式M：（x+2）2﹣（x+3）（x﹣1）． （1）当x＝﹣4时，求M的值．甲、乙二人分别给出了自己的思路： 甲的思路：将x＝﹣4代入整式M求值； 乙的思路：先化简整式M，然后再将x＝﹣4代入求值． 请你选一个人的思路，完成求值． （2）若x为正整数，请说明M的值为奇数． 【解答】解：（1）若选甲的思路：将x＝﹣4代入M＝（﹣4+2）2﹣（﹣4+3）×（﹣4﹣1） ＝4﹣（﹣1）×（﹣5） ＝4﹣5 ＝﹣1； 若选乙的思路：（x+2）2﹣（x+3）（x﹣1） ＝x2+4x+4﹣（x2﹣x+3x﹣3） ＝x2+4x+4﹣x2+x﹣3x+3 ＝2x+7， 当x＝﹣4时，原式＝2×（﹣4）+7＝﹣8+7＝﹣1； （2）由（1）可得：M＝2x+7＝2x+6+1＝2（x+3）+1， ∴若x为正整数，M的值为奇数． 23．数学活动课上，老师准备了若干张如图①的三种纸片，其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用1张A种纸片，1张B种纸片和2张C种纸片拼成如图②的大正方形． （1）观察图②，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系； （2）若要拼出一个面积为（2a+b）2的正方形，则需要C种纸片　4　 张； （3）根据（1）中的等量关系，解决问题：当a+b＝5，a2+b2＝13时，求ab的值． 【解答】解：（1）大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，或表示为：a2+b2+2ab， 因此有（a+b）2＝a2+b2+2ab； （2）（2a+b）2＝4a2+4ab+b2， ∴需要C种纸片4张； 故答案为：4； （3）∵a+b＝5， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝52， 又∵a2+b2＝13， ∴25＝13+2ab， ∴ab＝6． 24．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的关系：　（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn　 ； （2）利用（1）的结论和公式变形，解决下面问题： 已知x+y＝7，xy＝6，则x﹣y值为 　±5　 ； （3）两个正方形ABCD、AEFG如图3摆放．边长分别为x，y，若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分的面积是多少？ 【解答】解：（1）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，理由：图2整体上是边长为m+n的正方形，因此面积为（m+n）2，图2中阴影部分是边长为m﹣n的正方形，因此面积为（m﹣n）2，图2中四个空白长方形的面积和为4mn，所以有（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，故答案为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn； （2）∵x+y＝7，xy＝6， ∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy ＝49﹣24 ＝25， ∴x﹣y＝±5， 故答案为：±5； （3）∵x2+y2＝34，BE＝2＝x﹣y， ∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy，即4＝34﹣2xy， ∴xy＝15， 又∵（x+y）2＝x2+y2+2xy， ∴（x+y）2＝34+30， ∵x＞y＞0， ∴x+y＝8， ∴S阴影部分x（x﹣y）y（x﹣y） （x+y）（x﹣y） 8×2 ＝8． 25．有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、形象的几何模型，加深认识和理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感悟代数和几何内在的一致性．如图1是由两个边长分别为m，n的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式：（m+n）2＝m2+2mn+n2． （1）图2是由四个全等的直角三角形（边长分别为a，b，c，且a＜b＜c）和一个小正方形拼成的大正方形，利用图1验证公式的方法求出a、b、c满足的等量关系式； （2）如图2，在（1）的条件下，若a+b＝7，c＝5，求阴影部分的面积； （3）如图3，以（1）中的a，b，c为边长作三个正方形，并将以a，b为边长的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1，求四边形ABCD的面积． 【解答】解：（1）a2+b2＝c2． ∵图2从整体看，大正方形的边长为c，． ∴面积表示为：c2； ∵从构成看，大正方形由四个直角三角形和一个小正方形组成， ∴面积可表示为：ab×4+（b﹣a）2， ∴ab×4+（b﹣a）2＝c2， ∴a2+b2＝c2； （2）∵c＝5， ∴c2＝25， ∴a2+b2＝25． ∵a+b＝7， ∴（a+b）2＝49． ∴a2+b2+2ab＝49． ∴25+2ab＝49． ∴2ab＝24． ∵阴影部分的面积＝（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab， ∴阴影部分的面积＝25﹣24＝1（m2）； （3）∵图3中两个长方形的边长均为c﹣a和c﹣b， ∴两个长方形的面积相等． ∴a2+b2+2×四边形ABCD的面积﹣c2＝S阴影， ∵a2+b2＝c2，阴影部分的面积为1， ∴2×四边形ABCD的面积＝1． ∴四边形ABCD的面积＝0.5（m2）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$