第2章 全章综合训练 课时同步训练 2026-2027学年北师大数学八年级上册

2026-2027学年度北师大数学)八年级上册课时同步训川练 第二章实数全章综合训练 课时目标 1. 能综合运用实数、无理数、平方根、立方根、二次根式等核心概念进行辨析与判断， 厘清易混概念之间的区别与联系，形成完整的实数知识体系。 2.能熟练运用实数非负性、估算方法、二次根式运算法则解决含参方程、大小比较、混 合运算等综合问题，提高运算的准确性与灵活性。 3. 能运用实数相关知识解决规律探索题和实际情境问题，体会数形结合、转化与化归等 数学思想在解题中的应用。 课时目录 知识点O1:无理数与实数概念的辨析 知识点02：实数分类与数轴对应的综合 知识点03：算术平方根、平方根、立方根的概念综合辨析 知识点04：利用非负性求解参数的综合问题 知识点05：利用平方根、立方根解方程的综合 知识点06：无理数估算与大小比较的综合 1/16 知识点07：二次根式有意义条件与最简、同类的综合判断 知识点08：二次根式乘除、化简、加减、混合运算的综合 知识点09：与二次根式相关的规律探索题 知识点10：实数与实际问题的综合运用 知识点01：无理数与实数概念的辨逝 综合辨析需区分三类概念： 有理数与无理数：有理数是整数和分数的统称，可化为两整数之比，有限小数和无限循环 小数属于有理数；无理数是无限不循环小数，不能化为分数，如π、√2、 0.1010010001.…。 实数与有理数：实数包含有理数和无理数，实数与数轴上的点一一对应。 易错题：“带根号的数是无理数”(×，如V4=2是有理数)；“无理数都是带根号的” (×,如π不带根号)。 解题时需先化简再判断。 1.(25-26八年级下·陕西榆林期末)下列各组数为勾股数的是() A.0.6,0.8.1B.9.10.1山 C.7.2425 D.52g 23.(25-26八年级下·广东珠海期末)如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，四 边形都是正方形，已知正方形A,B,C,D的面积分别是9,25,4,16，则最大正方形E的面积是 () ◇ D E A.V34+25 B.36 C54 D64 2/16 3.(25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末)√2的相反数是() A.-V2 B.-2 C.√2 D.2 4.(2026四川攀枝花中考真题)实数a、b满足a+b=0,则以下结论一定成立的是() A.a=l,b=-1B.a、b同时为0 C.a、b互为倒数D.a、b互为相反数 知识点02：实数分类与数轴对应的综合 实数分类按定义分为有理数（整数、分数）和无理数，按正负分为正实数、0、负实数。综 合题中常要求将一组数按要求分类，需先化简每个数再归类。数轴对应方面： 实数与数轴上的点一一对应，每个实数对应唯一的点，每个点对应唯一的实数： 比较实数大小时，可借助数轴判断左右位置关系； 无理数的几何表示：如V2可用边长为1的正方形的对角线长在数轴上表示。 π 典型题：将一V5、一1.5、0、2、2按从小到大顺序在数轴上标出并比较大小。 5.(2526七年级下河北沧州期末)关于8的叙述，下列示正确的是《) A 8 是无理数 B.在数轴上可以找到表示V8的古 c.2<V8<3 D.周长为8的正方形的边长是8 6.(25-26八年级下·山东德州期中)如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1， BC⊥AB,BC=AB AC ,垂足为B,以A为圆心，心为半径画弧，交数轴于点D,则点D表示的数为 () A B D 0 A.2.2 B.② C V3 D V5 3/16 7.(2526八年级上广东友名期中)如图，数销上点C表示2，点°表示5，点C是线段4B的中点 C 则点A表示的数是 ACB 8.(25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯期末)如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原 点重合.（所有结果均保留π） -4-3-2-1012345 (1)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点Q到达点Q,设点Q表示的数为， 求a的值： (2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下： +2,-1,+3,-4,-3. ①第几次滚动后，点Q距离原点最近？第几次滚动后，点Q距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点Q运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？ 知识点03：算术平方根平方根立方根的概念综合辨析 三者对比： 定义：算术平方根是正数x满足x2=a(x>0),平方根是x满足x2=a(x有两个，互为相 反数)，立方根是x满足x=a(x唯一)。 表示方法：算术平方根Va,平方根±Va,立方根a。 性质：算术平方根≥0，平方根一正一负（正数），立方根与被开方数同号。 被开方数限制：算术平方根和平方根要求α≥0，立方根无限制。 个数：正数有1个算术平方根、2个平方根、1个立方根；0三者均为0：负数无算术平方 根和平方根，有1个立方根。 易错点：混淆Vā与tVā，误认为负数没有立方根。 9.(25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末)下列结论中，正确的是() 4/16 A,64的立方根是±4 B.8没有平方根 C.算术平方根等于它本身的数是0,1，】D.27=-3 10.(2026河北邯郸三模)a的算术平方根是3，b的立方根是2，则下列说法正确的是() A.a<b B.a>b C.a=b D.b=a+l 11.(25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔期中)若一个正数的两个平方根是2a+7和a-4,这个数的立方根 是 12.(25-26七年级下江苏南通阶段检测)已知。是27的立方根，b是g的算术平方根与8的立方根的 和，c是a+6b的平方根. (I)直接写出a,b的值，并比较a,b,a-b的大小： (2)求C的所有可能值. 知识点04：利用非负性求解参数的综合问题 实数范围内常见的非负量： 算术平方根Va≥0(a≥0)； 绝对值向≥0 完全平方式(a+b)}'≥0 综合思型：若Va+4+(c-2少=0，则由非负数之和为0得各项均为0，即a=0、b=0、c =2。 进阶题型： 含系数的非负式：2Va+3b=0,仍得a=0、b=0: 求代数式的值：已知V1++2=0,求x+y=1+(-2=5； 求参数范围：要使Va+1-a有意义，需a≥0且1-a≥0，即0≤a≤1。 13.(2526七年级下云南大理阶段检测)若V+y-2+(x-3)=0,则-2y的值为《) 5/16 A.-13 B.3 c.1 D.5 14.(25:26八年级下安徽六安期未)已知口-3到+b-4)+5-c=0 对于以a,b,c为三边长的三角 形的形状，你认为以下判断中最准确的是() A.锐角三角形B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 15.25,26八年经下-江苏宿迁期未)若a-63与a-l互为相反数，则a+b的值为 16.(25-26七年级下河北廊坊阶段检测)己知m-2)+vn+5=0 则2m-12n的立方根是 知识点05：利用平方根立方根解方程的综合 综合方程类型： 直接开方法：r=a(a≥0)-x=±a:x=a一x=3a。 含系数方程：2x2-4=8一x2=4→x=±2：3(x-=24,(x-)=8,x-1=2,x=3。 含多重根号：、 R2-3列=1，x-3=1x2=4一x=2（需检验，x=2均满足原式)。 联立方程：己知Va+=0且b+c=3,求a、b、c。 解题关键：先利用非负性求α、b,再代入求c。 17.(25-26七年级下广东广州期中)解下列方程： 1)'-0.027=0 2(x-1}-1=8 18.(25-26七年级下福建龙岩期中)求下列各式中的x值， 1①-5=20 2)2(6-1)°+16=0 19.(25-26七年级下湖北孝感期中)求下列各式中的x: 12(x+)-72=0 6/16 2(x-1°+125=0 20.(25-26七年级下·重庆云阳·期中)解方程： a)49r2-81=0 23r+2)3+8=0 知识点06：无理数估算与大小止比较的综合 估算方法： 夹逼法：确定无理数介于哪两个连续整数之间，如3<0<4， 确定整数部分与小数部分：若n<√a<十1，则整数部分为n,小数部分为Va一n。 大小比较方法： 平方法：a与b比较，平方后比较a与b: 作差法：a一Vb与0比较： 近似值法：估算出无理数的近似值再比较。 21. （25-26七年级下北京期未)若”<v57<m+1 则整数n的值为() A.5 B.6 C.7 D.8 2。(2026北京模拟预测)下列整数中与 最接近的是() A.2 B.4 C.6 D.8 28。（25:26七年级下湖南株洲期未)比较大小：V6 2 <2W6-1<n+1 24. (25-26七年级下·安徽滁州期末)若“为正整数，且满足 知识点0：二次根式有意义条件与最简.同类的综合判断 综合判断步骤： 先判断二次根式有意义的条件：被开方数≥0： 7/16 再判断是否为最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式： 最后判断是否为同类二次根式：化简后被开方数相同。 易错点：未化简就判断同类二次根式。 25 (2526九年级上潮南长沙开学考试)若最简二次根式V3a-4与16-“可以合并，使V5a-2x有意 义的x的取值范围是一 V6-3x 26.(25-26八年级下辽宁抚顺期末)要使二次根式 有意义，则的取值范围是 27.(25-26八年级下安徽毫州期末)若V3x+2 有意义，则的取值范围是 28.(24-25八年级下河北石家庄期中)已知式子4=Vx-了 在实数范围内有意义. (I)求x的取值范围； (2②)若式子A是最简二次根式，且可与V3合并，求x的值，并计算 x-5÷3的值. 知识点08：二次根式乘除化简，加减。混合运算的综合 混合运算的综合题型： 纯运算题：按“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的顺序，每一步化为最简二次根 式，再合并同类二次根式。 含字母的混合运算 分母有理化与化简综合 解题关键：优先化简、巧用公式、结果最简。 29.(25-26八年级下·福建莆田期末)计算： -27+V48÷5-V3-2 30.(25-26七年级下河南洛阳期末)计算： aw6-+恩 e人o+66G 31.(25-26七年级下山东德州期中)计算： 8/16 )-2×-27+2-5-V(-5 ②-16=0 6)-203=-125 32.(25-26八年级下四川南充期中)计算： a2is-3网6+65， +h-+-a-或 知识点09：与二次根式相送的规律探索题 常见规律类型： 分母有理化连锁反应：例如， 1 1 1 2+*+V2++ n+n后+n+i+a =(W2-+(N5-2)+…+(n-n-)+(n+1-vn =√n+1-1 1 二次根式与数列结合：如4，n+i+V万+1- ,求前n项和。 循环规律：如V2≈1.414，V20≈4.472，√200≈14.14，观察得被开方数扩大100倍，算 术平方根扩大10倍。 解题方法：先计算前几项，观察规律，猜想结论，再验证推广。 √2V3√4V5√6V7 33.(25-26八年级下云南文山期末)有一组数据按如下规律排列：248’16’32’64’则第 2026个数是（) √2025 √2026 √2026 V2027 A. 22023 22023 C. 22026 D 22026 9/16 4、(250儿年经下山家把合周末小行黄数学是所，发现号5.V号-2得。 小高-侣号4侣，按录，有品。4念a为江袋我，明0 4 b b 35.(25-26八年级下·安徽池州期末)阅读下列解题过程： o及周 日周 -R-哥 (1)请写出第④个等式： 1-2n+1 2)猜想：（n+12=一； （n为正整数，填最后结果) 36.(25-26八年级下广西贺州期末)观察下列等式，解答下列问题： 3 [1 第1个等式： 第3个等式： 第5个等式： 6g- (1)请直接写出第8个等式： (不用化简) 10116 (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式. 3)利用(2)的结论计算： 4051 4049 4047 2026 ×√2026+ 2025 ×V2025 2024 ×√2024 2026 2025 2024 知识点10：实数与实际问题的综合运里 实际应用题型： 几何问题：利用勾股定理求边长，如已知直角三角形两直角边，求斜边或求斜边上的高 物理问题：给定公式，求具体数值： 工程问题：如已知正方形花坛面积，求边长。 解题关键：建立数学模型，列出实数运算式，结合实际意义处理结果。 37.(25-26七年级下浙江绍兴期中)如图，在长方形ABCD中，AB=6,BC=10,其内部有边长为a的 正方形AEFG与边长为b的正方形HWK,两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若S,=5S, 则下列说法中正确的有() G E B 05=ab-65,@5=10ab ,③a+b=6-5,④正方形AEFG与正方形H水的面积之和为29， A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 38.(25-26七年级下·北京期中)如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴 影部分面积为一· 39.(25-26七年级下·陕西榆林·期中)陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经 典民间传统艺术.它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰.风格粗犷古朴、 11/16 造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的 祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝.现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为4：3，宣纸面积为588cm2, (1)求宣纸的周长： (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为291cm的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？ 请说明理由.（π取3） 40.(25-26七年级下山西大同期中)阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角 形拼在一起，得到的大正方形面积为2×P,其边长√2就是原边长为1的小正方形的对角线长。 材料二：按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪 开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸：将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸： 将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对 折裁开得到的. A A0 A 图1 图2 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长：宽= 图3 请根据材料回答下列问题： (I)A5纸的面积是 平方米. (2)A4纸的长：宽=」 (③3)按照图2的A系列纸生成过程，经过探究发现，A系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之 比都相等.请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数， √2≈1.414，√0.7072≈0.841 12116 课时训练 一、选择题 1,（25-26八年级下湖北武汉期未)若二次根式-2 在实数范围内有意义，则的取值范围是()· A.x<2 B.x≤2 C.x≥2 D.x≠2 √6 2.(25-26七年级下·云南文山期末)如图，在数轴上， 对应的点可能是() MNO P 07234→ A.点M B.点W C.点Q D.点P 3.(25-26八年级下·山东临沂期末)下列各式中，运算正确的是() A.V-3}=-3B.3+2=V5 C.√27÷V5=3 D.33-5=3 4.(25-26八年级下·浙江台州期末)下列二次根式中，最简二次根式的是() A V5 BV⑧ C V20 D.4 4v15 5.(24-25八年级下·广东汕头·期末)计算2√5的结果是() A.2 B V3 C.25 D.2V10 6.(25-26八年级上广东茂名阶段检测)如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（) 0 3 4.v3 B.vA 7.(24-25八年级上·山东青岛阶段检测)实数a,b在数轴上对应，点的位置如图所示，则化简代数式 la+b-Va2 的结果是() 0 13/16 A.b B.-b C.2a-b D.2a+b 8.(25-26八年级下·四川凉山期末)为了让孩子了解蔬菜的种植，阿昌爸爸给阿昌规划了一块如图所示 ,S1=3nS2=6 的矩形菜地.菜地内有两个相邻的正方形，若两个正方形的面积分别为 和 ，则图中阴影部 分的面积为() S2 S A.32-3 2V5+3 C.3V2+3 D.2W3-3 二、填空题 9(25-26八年级下陕西渭南期末)比25， 小的正整数可以是 (写出一个符合题意的数即 可) ±V36= 10.(25-26七年级下·江西期末) 11.(25-26八年级下·内蒙古乌兰察布期末)实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简 √a-+V(a-b}2= e b -1 0 12.(25-26七年级下·山西吕梁期末)将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm)，数 轴上点A对应刻度尺上的“4”，面积为2cm的正方形其中一个顶点落在点C处，以点A为圆心，以正 方形边长为半径作圆交数轴于点C.则点C在刻度尺上对应的数为一 34cm1 13,(2526七年级下海南省直辖县级单位期末)已知实数0，b清足a可+b+3引=0，◇是而的整数 部分.则a的值是 ,a+b-2c的立方根是 14/16 14.(25:26七年级下黑龙江哈尔滨期末)已知25.6=5.06，V256=1.60 0.256= 则 15.(25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末)如图，方格中小正方形的边长为1，将方格图中涂色部分剪 下来，再把剪下的涂色部分重新剪拼成一个正方形，那么所拼成的正方形的边长应是 16.(25-26八年级下·河北邢台阶段检测)我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出 “幻圆”的概念.如图所示的是一个简单的二阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆 两直径上的四个数之和都相等，则a-b= a /32 b 2 32 三、解答题 17.(25-26七年级下贵州安顺阶段检测)计算： )3-4+22 2)1+9+2-V+8 18 .(25-26八年级下四川广安·期末)按要求解答以下问题 0四计.5--（ +√27+（π-1）9 (2)已知m的算术平方根是3，n的立方根是-2， ①求m-n的值： 15116 ②若c是厅的整数部分，求(Nm-n-c的值 19.(25-26七年级下·山东滨州期末)如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方 的体积为8. A 图① 图② (1)求这个魔方的棱长： (2)图①中阴影部分是一个正方形ABCD,它的面积是魔方侧面EFGH面积的一半，求正方形ABCD的 边长a. 3)把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点D与1重合，那么点A在数轴上表示的数为_- 32 20.(2526七年级下山东济南期末)在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如5,3+1，这样一 33×V53v5 类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：55×√55， 2 2×(5-）2×(5--5-1,以上这种化简的步骤叫做分母有理化 3+1(3+1×(W5-3-1 2 1 ①)仿照上面的解题过程，化简：V ,7-6 1 1 尼知5+2,65-2，求a+6的值。 2x 2x 2x 2x )解关于x的方程：1+V+5+V5+5+V万++99+V0l. 16116 2026－2027学年度北师大数学八年级上册课时同步训练 第二章 实数 全章综合训练 ▌课时目标 1. 能综合运用实数、无理数、平方根、立方根、二次根式等核心概念进行辨析与判断，厘清易混概念之间的区别与联系，形成完整的实数知识体系。 2. 能熟练运用实数非负性、估算方法、二次根式运算法则解决含参方程、大小比较、混合运算等综合问题，提高运算的准确性与灵活性。 3. 能运用实数相关知识解决规律探索题和实际情境问题，体会数形结合、转化与化归等数学思想在解题中的应用。 ▌课时目录 知识点01：无理数与实数概念的辨析 知识点02：实数分类与数轴对应的综合 知识点03：算术平方根、平方根、立方根的概念综合辨析 知识点04：利用非负性求解参数的综合问题 知识点05：利用平方根、立方根解方程的综合 知识点06：无理数估算与大小比较的综合 知识点07：二次根式有意义条件与最简、同类的综合判断 知识点08：二次根式乘除、化简、加减、混合运算的综合 知识点09：与二次根式相关的规律探索题 知识点10：实数与实际问题的综合运用 ▌知识点01：无理数与实数概念的辨析 综合辨析需区分三类概念： 1. 有理数与无理数：有理数是整数和分数的统称，可化为两整数之比，有限小数和无限循环小数属于有理数；无理数是无限不循环小数，不能化为分数，如π、√2、0.1010010001…。 2. 实数与有理数：实数包含有理数和无理数，实数与数轴上的点一一对应。 3. 易错题：“带根号的数是无理数”（×，如是有理数）；“无理数都是带根号的”（×，如π不带根号）。 解题时需先化简再判断。 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）下列各组数为勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A、，，不是正整数，故不是勾股数； B、，，，故不是勾股数； C、，且，，均为正整数，故是勾股数； D、，，不是正整数，故不是勾股数． 23．（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形，，，的面积分别是9，25，4，16，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：如图， 根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为，， 即． 3．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，任意数的相反数为． 【详解】的相反数是． 4．（2026·四川攀枝花·中考真题）实数a、b满足，则以下结论一定成立的是（     ） A． B．a、b同时为0 C．a、b互为倒数 D．a、b互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查相反数的定义，根据已知条件，结合各选项内容逐一判断，即可得到一定成立的结论． 【详解】解：∵ 实数，满足，即． 对各选项分析如下： A选项：，只是满足的一种特殊情况，故A错误． B选项：例如，满足，但，不都为，故B错误． C选项：互为倒数的两个数乘积为，例如，满足，乘积为，不互为倒数，故C错误． D选项：根据相反数的定义，和为的两个数互为相反数，由可知，互为相反数，结论一定成立，故D正确． ▌知识点02：实数分类与数轴对应的综合 实数分类按定义分为有理数（整数、分数）和无理数，按正负分为正实数、0、负实数。综合题中常要求将一组数按要求分类，需先化简每个数再归类。数轴对应方面： 1. 实数与数轴上的点一一对应，每个实数对应唯一的点，每个点对应唯一的实数； 2. 比较实数大小时，可借助数轴判断左右位置关系； 3. 无理数的几何表示：如可用边长为1的正方形的对角线长在数轴上表示。 典型题：将－、－1.5、0、、2按从小到大顺序在数轴上标出并比较大小。 5．（25-26七年级下·河北沧州·期末）关于的叙述，下列不正确的是（     ） A．是无理数 B．在数轴上可以找到表示的点 C． D．周长为8的正方形的边长是 【答案】D 【分析】先化简，再结合无理数定义、实数与数轴的关系、无理数估算、正方形周长公式逐一判断选项，找出错误叙述即可． 【详解】∵是无限不循环小数，属于无理数，∴A叙述正确； ∵所有实数都能在数轴上找到对应点，是实数，∴B叙述正确； ∵，，且 ，∴ ，C叙述正确； ∵周长为8的正方形，边长为 ，∴D叙述不正确． 6．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，，垂足为B，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（     ） A．2．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据勾股定理求出的长，再根据同圆的半径相等可知＝，再根据条件：点对应的数是原点，可求出点D表示的数． 【详解】解：∵， ∴＝， ∴， ∵以为圆心，为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数是：． 7．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 【答案】 【分析】设点表示的数为，结合题意可得，进一步可得答案． 【详解】解：设点表示的数为， ∵数轴上点表示，点表示，点是线段的中点， ∴，即， ∴． 8．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，半径为 个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合．（所有结果均保留） (1)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，设点表示的数为．求的值： (2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：，，，，． ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)①第四次滚动距离原点最近，第三次滚动距离原点最远； ②点运动的路程共有，此时点所表示的数是 【分析】（1）将的值代入，计算算术平方根即可得； （2）①分别求出第次滚动后，点距离原点的距离，由此即可得； ②先将滚动记录的数字的绝对值相加，再乘以即可得点运动的总路程；先将滚动记录的数字相加，再乘以即可得此时点所表示的数． 【详解】（1）解：该圆片滚动一周的距离为， ∵该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点， ∴点表示的数； （2）解：①第1次滚动后，，点距离原点2周， 第2次滚动后，，点距离原点1周， 第3次滚动后，，点距离原点4周， 第4次滚动后，，点在原点处， 第5次滚动后，，点距离原点3周， 由此可知，第4次滚动后，点距离原点最近；第3次滚动后，点距离原点最远； ②∵， ∴当圆片结束运动时，点运动的路程共有； ∵， ∴当圆片结束运动时，此时点所表示的数是． ▌知识点03：算术平方根、平方根、立方根的概念综合辨析 三者对比： 1. 定义：算术平方根是正数x满足x²＝a（x＞0），平方根是x满足x²＝a（x有两个，互为相反数），立方根是x满足x³＝a（x唯一）。 2. 表示方法：算术平方根，平方根，立方根。 3. 性质：算术平方根≥0，平方根一正一负（正数），立方根与被开方数同号。 4. 被开方数限制：算术平方根和平方根要求a≥0，立方根无限制。 5. 个数：正数有1个算术平方根、2个平方根、1个立方根；0三者均为0；负数无算术平方根和平方根，有1个立方根。 易错点：混淆与，误认为负数没有立方根。 9．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列结论中，正确的是（     ） A．的立方根是 B．没有平方根 C．算术平方根等于它本身的数是0，1， D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义，根据相关定义逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】选项A：， 的立方根是， 选项A错误，不符合题意； 选项B：正数都有平方根，， 有平方根， 选项B错误，不符合题意； 选项C：负数没有算术平方根，是负数， 算术平方根等于它本身的数只有和， 选项C错误，不符合题意； 选项D：， ， 选项D正确，符合题意． 10．（2026·河北邯郸·三模）a的算术平方根是3，b的立方根是2，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根、立方根、实数比较大小，有理数的加法，逐项分析求解即可． 【详解】解：由题意，得，， ，，故A，C，D错误，B正确， 11．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若一个正数的两个平方根是和，这个数的立方根是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质与立方根的概念，根据正数的两个平方根互为相反数的性质求出的值，再确定这个正数，最后计算该数的立方根即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴这个正数为， ∴这个数的立方根是． 12．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）已知是27的立方根，是的算术平方根与的立方根的和，是的平方根． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小； (2)求的所有可能值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根及实数的大小比较，解题的关键是掌握立方根和算术平方根的定义，注意一个正数有两个平方根， (1)中由27的立方根得，由的算术平方根与的立方根求和得，再计算，比较三个数的大小； (2)中先计算，再由平方根的定义得． 【详解】（1）解：是27的立方根， ， 的算术平方根为的立方根为， ， ， ， ； （2）解：， 是的平方根， ． ▌知识点04：利用非负性求解参数的综合问题 实数范围内常见的非负量： 1. 算术平方根（）； 2. 绝对值； 3. 完全平方式。 综合题型：若，则由非负数之和为0得各项均为0，即a＝0、b＝0、c＝2。 进阶题型： 1. 含系数的非负式：2＋3|b|＝0，仍得a＝0、b＝0； 2. 求代数式的值：已知，求； 3. 求参数范围：要使有意义，需a≥0且1－a≥0，即0≤a≤1。 13．（25-26七年级下·云南大理·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B．3 C．1 D．5 【答案】D 【分析】几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，先求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵算术平方根和平方数都是非负数，且， ∴， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得． 14．（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知，对于以a，b，c为三边长的三角形的形状，你认为以下判断中最准确的是（     ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用绝对值、平方、二次根式的非负性求出三边长，再根据勾股定理逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴ ，，， 解得 ，，， ∵ ∴ 根据勾股定理的逆定理，以为三边长的三角形是直角三角形，三边长度不相等，不属于等腰三角形，因此最准确的判断是直角三角形． 15．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若与互为相反数，则的值为______． 【答案】 【分析】由相反数的定义可得，再结合非负数的性质得出，，求出，，代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 16．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）已知，则的立方根是______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出和的值，再代入代数式求出的值，最后计算该值的立方根即可． 【详解】解：，且， ，， 解得，， 将，代入得：， ， 的立方根是，即的立方根是． ▌知识点05：利用平方根、立方根解方程的综合 综合方程类型： 1. 直接开方法：→；→。 2. 含系数方程：→→；→→→。 3. 含多重根号：→→→（需检验，均满足原式）。 4. 联立方程：已知且b＋c＝3，求a、b、c。 解题关键：先利用非负性求a、b，再代入求c。 17．（25-26七年级下·广东广州·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：， 移项得， 开立方得； （2）解：， 移项整理得， 开平方得或， 解得或． 18．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）把移到右边，再利用平方根的定义解答即可； （）把移到右边，再两边除以，最后利用立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）求下列各式中的x： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：原式变形为， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：原式变形为， ∴． ∴． 20．（25-26七年级下·重庆云阳·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解： 即 或； （2）解： ． ▌知识点06：无理数估算与大小比较的综合 估算方法： 1. 夹逼法：确定无理数介于哪两个连续整数之间，如3＜＜4； 2. 确定整数部分与小数部分：若n＜＜n＋1，则整数部分为n，小数部分为－n。 大小比较方法： 1. 平方法：与比较，平方后比较a与b； 2. 作差法：－与0比较； 3. 近似值法：估算出无理数的近似值再比较。 21．（25-26七年级下·北京·期末）若，则整数n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵已知，且为整数， ∴． 22．（2026·北京·模拟预测）下列整数中与最接近的是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】通过比较平方数确定的取值范围即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 因此下列整数中与最接近的是． 23．（25-26七年级下·湖南株洲·期末）比较大小：________2 【答案】 【分析】两个正数比较大小，可采用平方法，先分别计算两个数的平方，再根据平方结果的大小判断原数的大小，平方更大的正数原数更大． 【详解】解：分别对两个数平方，得 ， ， ∵，且两个数均为正数， ∴ ． 24．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）若为正整数，且满足，则________． 【答案】3 【分析】先将变形为，利用算术平方根的性质确定的取值范围，再推导得到的范围，结合为正整数和已知不等式求出的值即可． 【详解】解：，又， ∴， ∴， ，且为正整数， ． ▌知识点07：二次根式有意义条件与最简、同类的综合判断 综合判断步骤： 1. 先判断二次根式有意义的条件：被开方数≥0； 2. 再判断是否为最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式； 3. 最后判断是否为同类二次根式：化简后被开方数相同。 易错点：未化简就判断同类二次根式。 25．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）若最简二次根式与可以合并，使有意义的的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据已知得出，求出的值再根据二次根式有意义的条件得出不等式，求出不等式的解集即可．本题考查了同类二次根式，二次根式有意义的条件和解一元一次不等式等知识点，能根据题意得出方程和不等式是解此题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得∶， 要使有意义，必须≥， 解得： 故答案为： 26．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）要使二次根式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 27．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）若有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得：，解得． 28．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知式子在实数范围内有意义． (1)求x的取值范围； (2)若式子A是最简二次根式，且可与合并，求x的值，并计算的值． 【答案】(1)； (2)；3 【分析】本题考查了二次根式的性质、同类二次根式，二次根式的除法运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式中被开方数为非负数，求解即可； （2）只有同类二次根式才能合并，把化简为最简二次根式，即可求解；利用二次根式的除法法则求解即可． 【详解】（1）解：∵式子有意义， ∴， 解得； （2）解：， ∵与能合并，并且是最简二次根式， ∴， 解得； ∵， ∴． ▌知识点08：二次根式乘除、化简、加减、混合运算的综合 混合运算的综合题型： 1. 纯运算题：按“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的顺序，每一步化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 2. 含字母的混合运算 3. 分母有理化与化简综合 解题关键：优先化简、巧用公式、结果最简。 29．（25-26八年级下·福建莆田·期末）计算： 【答案】 【详解】解：原式 30．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据求平方根、立方根的计算方法，进行实数的四则混合运算． 【详解】（1）解： （2）解： 31．（25-26七年级下·山东德州·期中）计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： 移项得：， 直接开平方得：； （3）解： 开立方得：， 解得：． 32．（25-26八年级下·四川南充·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ． ▌知识点09：与二次根式相关的规律探索题 常见规律类型： 1. 分母有理化连锁反应：例如， 2. 二次根式与数列结合：如，求前n项和。 3. 循环规律：如≈1.414，≈4.472，≈14.14，观察得被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍。 解题方法：先计算前几项，观察规律，猜想结论，再验证推广。 33．（25-26八年级下·云南文山·期末）有一组数据按如下规律排列：则第2026个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别找出数据分子和分母的变化规律，推导出第个数的通用表达式，再代入计算即可得到结果． 【详解】观察已知数据找规律： 第个数为 ， 第个数为 ， 第个数为 ， … ∴ 归纳可得，第个数为， 当时，代入得：第个数为 ． 34．（25-26九年级下·山东烟台·期末）小言做数学题时，发现；；；；按此规律，若（a，b为正整数），则________． 【答案】 【分析】找出一系列等式的规律为（的正整数），再比较即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：（的正整数）， ，， ， 则． 35．（25-26八年级下·安徽池州·期末）阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）略 （2）解：理由如下： ； （3）解：原式． 36．（25-26八年级下·广西贺州·期末）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；…… (1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简） (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式． (3)利用（2）的结论计算： 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】（1）根据已知等式的规律写出第8个等式即可； （2）根据已知等式的规律写出第n个等式即可； （3）根据（2）中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：，即； 第2个等式：，即； 第3个等式：，即； 第4个等式：，即； 第5个等式：，即； …… 第8个等式：，即． （2）解：第n个等式为． （3）解： ． ▌知识点10：实数与实际问题的综合运用 实际应用题型： 1. 几何问题：利用勾股定理求边长，如已知直角三角形两直角边，求斜边或求斜边上的高 2. 物理问题：给定公式，求具体数值； 3. 工程问题：如已知正方形花坛面积，求边长。 解题关键：建立数学模型，列出实数运算式，结合实际意义处理结果。 37．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图，在长方形中，，其内部有边长为a的正方形与边长为b的正方形，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若，则下列说法中正确的有（　　） ①；②；③；④正方形与正方形的面积之和为29． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】首先求出重合部分小正方形的边长为，然后表示出，得到，即可判断③；然后表示出和即可判断①②；然后根据长方形的面积与各个部分面积之间的关系得到，整理后求出，进而求解即可． 【详解】解：由题意得重合部分小正方形的面积为5，其边长为 ∵ ∴，故③错误； ∵ ∴；故①正确； ∵ ∴，故②错误； 由长方形的面积与各个部分面积之间的关系可得， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 代入得， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有2个． 38．（25-26七年级下·北京·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 【答案】 【分析】求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，两个正方形的边长分别为， 由图可知，阴影部分的面积为． 39．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 40．（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 【答案】(1) (2) (3)A0纸的长为，宽为 【分析】（1）根据系列纸的面积规律即可求出答案； （2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案； （3）设纸的宽为，则长为，则，运算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知， A0纸的面积为1平方米， A1纸的面积为平方米， A2纸的面积为平方米， A3纸的面积为平方米， A4纸的面积为平方米， A5纸的面积是平方米． （2）解：如图， 由折叠的性质可知，由材料一可知，在图3折叠得到正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （3）解：设纸的宽为，则长为， 依题意得， ， ∵， ∴， ∵（负值不合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：纸的长为，宽为． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负要求， 即， 解不等式得． 2．（25-26七年级下·云南文山·期末）如图，在数轴上，对应的点可能是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】估算出，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴在数轴上，对应的点可能是点． 3．（25-26八年级下·山东临沂·期末）下列各式中，运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的化简法则，加减法则，除法法则，逐一计算验证即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：∵ ，∴ A错误； 对于选项B：∵ 与不是同类二次根式，无法合并，∴ B错误； 对于选项C：∵ ，∴ C正确； 对于选项D：∵ ，∴ D错误． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ，，，均能化简，∴ B、C、D都不是最简二次根式， ∵ 不能再化简，∴ A是最简二次根式． 5．（24-25八年级下·广东汕头·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的除法法则，将系数和被开方数分别计算约分即可得到结果． 【详解】解：． 6．（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴确定被遮挡数的取值范围． 【详解】解：由图可知，被手掌遮挡住的数在2与3之间． ， 该数应满足， A．，不合题意， B．，不合题意， C．，符合题意， D．，不合题意． 7．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）实数 ， 在数轴上对应，点的位置如图所示，则化简代数式的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴可得，从而可得，再根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 8．（25-26八年级下·四川凉山·期末）为了让孩子了解蔬菜的种植，阿昌爸爸给阿昌规划了一块如图所示的矩形菜地．菜地内有两个相邻的正方形，若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵图中两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为和， ∴阴影部分的面积：． 二、填空题 9．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）比小的正整数可以是___________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 3（答案不唯一，也可以为1或2） 【分析】先估算出的取值范围，再找出符合条件的正整数即可． 【详解】解：， 又，即， ∴比小的正整数有1，2，3（任写一个即可，答案不唯一）． 10．（25-26七年级下·江西·期末）________． 【答案】 【详解】， ， ． 11．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简___________． 【答案】 【分析】由数轴可得，，根据进行化简即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ ． 12．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），数轴上点对应刻度尺上的“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点处，以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点．则点在刻度尺上对应的数为______． 【答案】 【详解】解：由题意得，正方形的边长为， ∵数轴上点对应刻度尺上的“4”， 以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点 ∴点在刻度尺上对应的数为． 13．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 【答案】 1 【分析】根据算术平方根，绝对值的非负性求出，的值，通过估算无理数的大小得到的值，再计算，最后根据立方根的定义得到结果． 【详解】解：，且，， ，， 解得，， ，，， ， 的整数部分， 将，，代入得：， 的立方根是． 14．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，则_________． 【答案】 【分析】根据进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 15．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，方格中小正方形的边长为1，将方格图中涂色部分剪下来，再把剪下的涂色部分重新剪拼成一个正方形，那么所拼成的正方形的边长应是_____． 【答案】 【分析】求出涂色部分的面积，再根据正方形的面积公式可得答案． 【详解】解：涂色部分的面积为， ∴所拼成的正方形的边长应是． 16．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图所示的是一个简单的二阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆两直径上的四个数之和都相等，则__________． 【答案】0 【分析】设内圆圆周上未知的数为c，根据外圆竖直方向直径上四个数的和等于内圆圆周上四个数的和列式，即可求解． 【详解】解：设内圆圆周上未知的数为c， 由题意得：， ∴． 三、解答题 17．（25-26七年级下·贵州安顺·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根、二次方、绝对值的运算与有理数的加减运算法则计算即可． （2）根据立方根、算术平方根、绝对值、乘方的运算与实数的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 18．（25-26八年级下·四川广安·期末）按要求解答以下问题 (1)计算： (2)已知的算术平方根是3，的立方根是． ①求的值； ②若是的整数部分，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：原式； （2）解：①∵的算术平方根是3，的立方根是， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（25-26七年级下·山东滨州·期末）如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8． (1)求这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长． (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点D与重合，那么点A在数轴上表示的数为_． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，可求出侧面面积为4，阴影部分正方形面积为2，由此求出边长即可得解； （3）用点表示的数加上边长即可得解． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 则， 解得； ∴这个魔方的棱长为2； （2）解：∵棱长为2， ∴每个小立方体的边长都是1， ∴正方形的面积为：，即, ∴正方形的边长； （3）∵正方形的边长为，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为：． 20．（25-26七年级下·山东济南·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)仿照上面的解题过程，化简：__________，__________； (2)已知，，求的值； (3)解关于的方程：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）仿照例题进行分母有理化即可； （2）先对、分母有理化，再结合完全平方公式代入计算即可； （3）先将方程左侧的式子分母有理化，再合并计算求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：，， ； （3）解：， ， ， ， ， 解得：． / 学科网（北京）股份有限公司 $