精品解析：广东省佛山市禅城区佛山市第三中学初中部2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题

2024-2025学年下学期八年级期中考试数学学科试题 说明： 1．试卷内容共三大题，共4页，满分120分，时间120分钟． 2．本试卷的选择题和非选择题都在答题卡上作答，不能答在试卷上． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 如果等腰三角形的一个内角是，则它的另外两个内角分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，因为三角形的内角和为，所以只能为顶角，根据等腰三角形的性质从而可求出底角． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角是， ∴为三角形的顶角， ∴底角为：， 即其余两个内角的度数分别为，． 故选：B． 2. 某品牌酱油的包装上标注了“氨基酸态氮克/100毫升”，它的含义是（ ） A. 每100毫升酱油所含氨基酸态氮1.2克 B. 每100毫升酱油所含氨基酸态氮高于1.2克 C. 每100毫升酱油所含氨基酸态氮不低于1.2克 D. 每100毫升酱油所含氨基酸态氮不超过1.2克 【答案】C 【解析】 【分析】“≥”就是不小于，在本题中也就是“不低于”的意思． 【详解】解：根据≥的含义，“氨基酸态氮克/100毫升”，就是“每100毫升酱油所含氨基酸态氮不低于1.2克”， 故选：C． 【点睛】本题主要考查不等号的含义，是需要熟练记忆的内容． 3. 数学中处处存在着美，下图是赵爽弦图、莱洛三角形、笛卡尔心形线、阿基米德螺旋线，这些图形都具有对称之美． 上述图形中，是中心对称图形的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查中心对称图形的判断，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据这一定义分析即可得出答案，掌握中心对称图形的定义及性质是解题关键． 【详解】解： ①是中心对称图形，符合题意； ②不是中心对称图形，不符合题意； ③不是中心对称图形，不符合题意； ④不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 4. 下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了公因式的概念，正确理解公因式是解题的关键． 根据公因式的概念逐一判断选项即可． 【详解】A、和的公因式是，不符合题意； B、和，没有公因式，符合题意； C、和的公因式是，不符合题意； D、和的公因式是5，不符合题意； 故选B． 5. 若有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得， 故选：A． 6. 如图，在 中，，，则点 到边 的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，过点B作于D，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于D， ∵ 中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点 到边 的距离为， 故选：C． 7. 如图，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式解集即可． 【详解】解：函数过点， ∴， 解得：， ∴ ∴不等式得解集为． 故选：A． 8. 如图，在一块长为am，宽为bm的草地上有两条小路：路I路II．其中路I是弯曲的，路II是直的，且每条小路的右边线都是它的左边线向右平移1m得到的．记两条小路的面积分别为，，则下列判断正解的是（ ） A. B. C. D. 无法比较与的大小 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了生活中的平移现象．利用平移道路的方法计算小路的面积，通过比较可以得出答案． 【详解】解：小路I的面积为：； 小路II的面积为：． 所以． 故选：B． 9. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另－项是这两个数（或式）的积的 2 倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A，，不符合完全平方公式，故此选项错误； B，，不符合完全平方公式，故此选项错误； C，，符合完全平方公式，故此选项正确； D，，不符合完全平方公式，故此选项错误； 故选：C． 10. 如果关于x的分式方程无解，则a的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入整式方程求出a的值即可． 【详解】 解：去分母得： 解得． 当分母，即时方程无解， ． 时方程无解． 故选∶ A． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 设，用“＜”或“＞”号填空 （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，，， 故答案为：，，，． 12. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 直接利用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 一项工程，甲乙两人合作天可以完成．已知乙单独完成此项工程比甲单独完成此项工程多用天，如果设甲单独完成此项工程需用天，那么根据题意可列方程________________． 【答案】 【解析】 【分析】设甲单独完成此项工程需用天，则乙单独完成此项工程需用天，再根据两人合作两天可以完成任务列出方程即可． 【详解】解：设甲单独完成此项工程需用天，则乙单独完成此项工程需用天， 由题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 14. 如图，在三角形中，在上截取，作的平分线与相交于点P，连接，若的面积为，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考据等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键． 根据等腰三角形三线合一的性质即可得出，即得出和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案． 【详解】解：∵是的角平分线， ， ∴和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，，，可以看做是由绕点顺时针旋转角度得到的，若点在上，则旋转角的大小是_________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】由，，得出，由旋转的性质可得，进而求出的度数，即可得出旋转角的大小． 本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后的两个三角形是全等三角形及等腰三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵可以看做是由绕点顺时针旋转角度得到的， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角的大小是， 故答案为：． 16. 若的分子、分母同时加上正整数时，该分数成为整数，这样的正整数共有______个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为整数的条件，熟练掌握分离常数法是解题的关键．由，可知为998的因数，从而得到答案． 【详解】解： 为整数 为998的因数 或998 正整数n共有2个． 故答案为：2． 三、解答题（6*3+8+3+12*2，共66分） 17. 已知钝角．用直尺和圆规作底边上的高．（不写作法，保留痕迹）（温馨提示：请先用铅笔再答题卡上作图，再用黑色或兰色笔将痕迹描一下） 【答案】见解析 【解析】 【分析】过A点作的垂线即可． 【详解】解：如图，为所作． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的高． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，点的坐标为，点的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，画出旋转后的（点，的对应点分别为点，）． 【答案】图见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形-旋转变换，根据网格特点和旋转性质，得到对应点的位置，然后顺次连接即可求解． 【详解】解：如图，即为所求作： 19. 解不等式: ，并把它的解集在数轴上表示出来. 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，再把不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 20. 为实现核心素养导向教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“测量古树高度”的项目式学习活动，其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案。他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示： 活动课题 测量古树的高度 研学小组 甲组 乙组 测量示意图 测量说明 于点E，为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内 于点D，图中所有的点都在同一平面内 测量数据 ，， ，， 请你选择其中的一种测量方案，求古树的高度。（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、含30度直角三角形的性质及矩形的性质，熟练掌握勾股定理、含30度直角三角形的性质及矩形的性质是解题的关键；若选择甲组，则由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解；若选择乙组，则有，，然后问题可求解． 【详解】解：若选择甲组， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 若选择乙组，则有： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、含30度的直角三角形及矩形的性质、勾股定理、含30度的直角三角形． 21. （1）先化简，再求值：，然后从中选出一个合适的整数作为x的值代入求值． （2）求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【答案】（1），（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，因式分解，关键是掌握并运用因式分解． （1）先化简，分母不能为0，排除不符合的的值，且，为整数，可得原式的值； （2）用因式分解可证． 【详解】（1）解： ， ，即， ，即、， ，且整数， ， 原式； （2）证明： ， 当是整数时，两个连续奇数的平方差是8的倍数． 22. 秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用、两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆），其中型客车每辆租金500元，型客车每辆租金600元．已知5辆型客车和2辆型客车坐满后共载客310人；3辆型客车和4辆型客车坐满后共载客340人． （1）求每辆型客车，每辆型客车坐满后各载客多少人； （2）若该校计划租用型和型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部载至目的地，请列举出该校所有的租车方案；并比较哪种租车方案最省钱． 【答案】（1）每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人； （2）共有四种租车方案：①租用型客车辆，则租用型客车辆；②租用型客车辆，则租用型客车辆；③租用型客车辆，则租用型客车辆；④租用型客车辆，则租用型客车辆，其中用型客车辆，则租用型客车辆最省钱． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的应用，理解题意正确列方程和不等式组是解题关键． （1）每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用型客车辆，则租用型客车辆，根据题意列一元一次不等式组，求整数解即可得出的值，进而得出租车方案和费用即可． 【小问1详解】 解：设每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人， 则，解得：， 答：每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人； 【小问2详解】 解：设租用型客车辆，则租用型客车辆， 则， 解得：， 的可能取值为5、6、7、8， 当时，，租车费用为元； 当时，，租车费用为元； 当时，，租车费用为元； 当时，，租车费用为元； 共有四种租车方案：①租用型客车辆，则租用型客车辆；②租用型客车辆，则租用型客车辆；③租用型客车辆，则租用型客车辆；④租用型客车辆，则租用型客车辆，其中用型客车辆，则租用型客车辆最省钱． 23. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，要求购进空调的数量不少于电冰箱的数量并且不能超过电冰箱数量的2倍，问该商城如何进货能使利润最大，最大利润是多少元， 【答案】（1）每台电冰箱与空调进价分别是2000元和1600元． （2）该商城购进电冰箱34台、空调66台时利润最大，最大利润是13300元． 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式与分式方程的应用，一次函数的应用． （1）设每台电冰箱的进价是元，则每台空调的进价是元，根据“用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等”可列出分式方程，故可求解； （2）设购进电冰箱台，则购进空调的数量是台，这100台家电的销售总利润为元，列出不等式组，求得的范围，再求得y关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每台电冰箱的进价是元，则每台空调的进价是元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意 ． 每台电冰箱与空调的进价分别是2000元和1600元； 【小问2详解】 解：设购进电冰箱台，则购进空调的数量是台，这100台家电的销售总利润为元， 根据题意，得， 解得（为整数）． ， ， 随的增大而减小， （为整数）， 当时，值最大，， 此时购进空调的数量是台， 该商城购进电冰箱34台、空调66台时利润最大，最大利润是13300元． 24. 在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上． （1）如图1，以为斜边在第一象限内作等腰，点为边上一动点，过作垂线交于轴于点． ①直接写出点的坐标：__________（用含的式子表示）； ②四边形的面积为，若将三角形的面积分成两部分，求点的坐标； （2）如图2，以为一边在第一象限内作，再将绕原点逆时针旋转得到，使的对应边落在轴的负半轴上，、分别是与线段和轴的交点，若，，求的长． 【答案】（1）①；②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①过点分别作的垂线，垂足分别为，根据等腰三角形的性质可得，即可得出点的坐标； ②根据题意得出，证明进而得出，根据题意，分类讨论，，，分别求得的长，即可求解； （2）勾股定理求得，，勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，根据旋转的性质可得，则，根据平行线的性质可得，设得，进而可得，则，可得，再根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：①如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵等腰，在轴的正半轴上， ∴ ∴ 故答案为：． ②∵，轴， ∴,， 又∵ ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形正方形， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵等腰， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴, ∴ ∵将三角形的面积分成两部分， 当 ∴ ∴ 当 ∴ ∴ 综上所述，或 【小问2详解】 解：设 ∵，将绕原点逆时针旋转得到， ∵ ∴ ∴ ∵ 则 ∴ ∵ ∴ ∴是直角三角形，且 ∵将绕原点逆时针旋转得到， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角的性质与判定，正方形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，平行线的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期八年级期中考试数学学科试题 说明： 1．试卷内容共三大题，共4页，满分120分，时间120分钟． 2．本试卷的选择题和非选择题都在答题卡上作答，不能答在试卷上． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 如果等腰三角形的一个内角是，则它的另外两个内角分别是（ ） A 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 某品牌酱油的包装上标注了“氨基酸态氮克/100毫升”，它的含义是（ ） A. 每100毫升酱油所含氨基酸态氮1.2克 B. 每100毫升酱油所含氨基酸态氮高于1.2克 C. 每100毫升酱油所含氨基酸态氮不低于1.2克 D. 每100毫升酱油所含氨基酸态氮不超过1.2克 3. 数学中处处存在着美，下图是赵爽弦图、莱洛三角形、笛卡尔心形线、阿基米德螺旋线，这些图形都具有对称之美． 上述图形中，是中心对称图形的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 若有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在 中，，，则点 到边 的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一块长为am，宽为bm的草地上有两条小路：路I路II．其中路I是弯曲的，路II是直的，且每条小路的右边线都是它的左边线向右平移1m得到的．记两条小路的面积分别为，，则下列判断正解的是（ ） A. B. C. D. 无法比较与的大小 9. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式是（ ） A. B. C. D. 10. 如果关于x的分式方程无解，则a的值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 设，用“＜”或“＞”号填空 （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 12 因式分解：__________． 13. 一项工程，甲乙两人合作天可以完成．已知乙单独完成此项工程比甲单独完成此项工程多用天，如果设甲单独完成此项工程需用天，那么根据题意可列方程________________． 14. 如图，在三角形中，在上截取，作的平分线与相交于点P，连接，若的面积为，则的面积为________． 15. 如图，，，可以看做是由绕点顺时针旋转角度得到的，若点在上，则旋转角的大小是_________． 16. 若的分子、分母同时加上正整数时，该分数成为整数，这样的正整数共有______个． 三、解答题（6*3+8+3+12*2，共66分） 17. 已知钝角．用直尺和圆规作底边上的高．（不写作法，保留痕迹）（温馨提示：请先用铅笔再答题卡上作图，再用黑色或兰色笔将痕迹描一下） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，点的坐标为，点的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，画出旋转后的（点，的对应点分别为点，）． 19. 解不等式: ，并把它的解集在数轴上表示出来. 20. 为实现核心素养导向教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“测量古树高度”的项目式学习活动，其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案。他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示： 活动课题 测量古树的高度 研学小组 甲组 乙组 测量示意图 测量说明 于点E，为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内 于点D，图中所有的点都在同一平面内 测量数据 ，， ，， 请你选择其中的一种测量方案，求古树的高度。（结果保留根号） 21. （1）先化简，再求值：，然后从中选出一个合适的整数作为x的值代入求值． （2）求证：当n是整数时，两个连续奇数平方差是8的倍数． 22. 秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用、两种型号客车（每种型号的客车至少租用一辆），其中型客车每辆租金500元，型客车每辆租金600元．已知5辆型客车和2辆型客车坐满后共载客310人；3辆型客车和4辆型客车坐满后共载客340人． （1）求每辆型客车，每辆型客车坐满后各载客多少人； （2）若该校计划租用型和型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部载至目的地，请列举出该校所有的租车方案；并比较哪种租车方案最省钱． 23. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，要求购进空调的数量不少于电冰箱的数量并且不能超过电冰箱数量的2倍，问该商城如何进货能使利润最大，最大利润是多少元， 24. 在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上． （1）如图1，以为斜边在第一象限内作等腰，点为边上一动点，过作的垂线交于轴于点． ①直接写出点的坐标：__________（用含的式子表示）； ②四边形的面积为，若将三角形的面积分成两部分，求点的坐标； （2）如图2，以为一边在第一象限内作，再将绕原点逆时针旋转得到，使的对应边落在轴的负半轴上，、分别是与线段和轴的交点，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$