精品解析：湖北省襄阳随州部分高中2024-2025学年高二下学期6月期末联考数学试题

湖北省襄阳随州部分高中2024—2025学年下学期期末联考 高二数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 设抛物线的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 4. 直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长，则该公司需经过（ ）年其投入资金开始超过万元. （参考数据：，，） A. B. C. D. 5. 若函数 仅在处有极值，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ） A. 120 B. 60 C. 40 D. 30 7. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ） A. 0.495% B. 0.9405% C. 0.99% D. 0.9995% 8. 某科研型企业，每年都对应聘入围的大学生进行体检，其中一项重要指标就是身高与体重比，其中每年入围大学生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）基本都具有线性相关关系，根据今年的一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（ ） A. y与x具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心 C. 若某应聘大学生身高增加1cm，则其体重约增加0.83kg D. 若某应聘大学生身高为170cm，则可断定其体重必为55.39kg 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在直三棱柱中，，，D是AC中点，下列判断正确的是（ ） A. ∥平面 B. 面⊥面 C. 直线到平面的距离是 D. 点到直线的距离是 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的切线斜率可以是1 B. 曲线的切线斜率可以是 C. 过点且与曲线相切的直线有且只有1条 D. 过点且与曲线相切的直线有且只有2条 11. 炎炎夏日，许多城市发出高温预警，凉爽的某市成为众多游客旅游的热门选择.为了解来某市旅游的游客旅行方式与年龄是否有关，随机调查了100名游客，得到如下表格.零假设H0旅行方式与年龄没有关联，则下列说法中，正确的有（ ） 小于40岁 不小于40岁 自由行 38 19 跟团游 20 23 附:χ2=，其中. α 0.1 0.05 0.01 xα 2706 3.841 6.635 A. 在选择自由行的游客中随机抽取一名，其小于40岁的概率为 B. 在选择自由行的游客中按年龄分层随机抽样抽取6人，再从中随机选取2人做进一步的访谈，则2人中至少有1人不小于40岁的概率为 C. 根据的独立性检验，推断旅行方式与年龄没有关联，且犯错误概率不超过0.01 D. 根据的独立性检验，推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误概率不超过0.05 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 直线交椭圆：于，两点，设中点为，直线的斜率等于，为坐标原点，则椭圆的离心率________. 13. 等差数列中，若，则________． 14. 某旅行团查看出游当天的天气情况，某天气预报软件预测出游当天在12:00～13:00，13:00～14:00，14:00 ～15:00这3个时间段内降雨的概率分别为0.5，0.4，0.6，则该旅行团出游当天在12:00～15:00时间段内降雨的概率为______.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知点，圆． （1）若直线过点且在两坐标轴上截距之和等于，求直线的方程； （2）设是圆上的动点，求（为坐标原点）的取值范围． 16. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，， （1）求方程； （2），，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值． 17. 已知为数列的前项和，，，记. （1）求数列的通项公式； （2）已知，记数列的前项和为，求证：. 18. 函数． （1）讨论的单调性； （2）若有最大值M，且，求a的值． 19. 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率； （2）设为选出3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省襄阳随州部分高中2024—2025学年下学期期末联考 高二数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值. 【详解】由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有 故选：C 2. 折纸艺术是我国民间传统文化，将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析题意，画出图形，分析重合的两个点之间的关系，O点落在线段上，O点与上的点关于折痕对称，两点的连线与折痕垂直，求出对应点之间的斜率，即可求解 【详解】如图， 要想使折叠后O点落在线段上，可取上任意一点， 作线段的垂直平分线，以为折痕可使与重合， 因为， 所以，且. 又当折叠后与重合时，， 所以 的取值范围是， 故选：D 3. 设抛物线的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何图形，结合抛物线的定义的性质，即可判断. 【详解】依题意，，，， 又，，则为等边三角形，有， 故选：B 4. 直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长，则该公司需经过（ ）年其投入资金开始超过万元. （参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该公司经过年投入的资金为万元，可得出，然后解不等式可得结果. 【详解】设该公司经过年投入的资金为万元，则， 由题意可知，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，，由可得， 因此，该公司需经过年其投入资金开始超过万元. 故选：C. 5. 若函数 仅在处有极值，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，要保证函数仅在处有极值，必须满足在两侧异号，即恒成立，得解． 【详解】由题，， 要保证函数仅在处有极值，必须满足在两侧异号， 所以，恒成立， ，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 6. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ） A. 120 B. 60 C. 40 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】选出一个志愿者连续参加两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人参加这两天的活动，计算结果即可. 【详解】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法， 同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种. 故选：B. 7. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ） A. 0.495% B. 0.9405% C. 0.99% D. 0.9995% 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解. 【详解】记感染新冠病毒为事件,感染新冠病毒的条件下,标本为阳性为事件 则,故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为， 故选：A 8. 某科研型企业，每年都对应聘入围的大学生进行体检，其中一项重要指标就是身高与体重比，其中每年入围大学生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）基本都具有线性相关关系，根据今年的一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（ ） A. y与x具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心 C. 若某应聘大学生身高增加1cm，则其体重约增加0.83kg D. 若某应聘大学生身高为170cm，则可断定其体重必为55.39kg 【答案】D 【解析】 【分析】根据线性回归方程分析，x的系数为正则正相关；线性回归方程必过样本中心点；利用线性回归方程分析数据时只是估计值，与真实值存在误差. 【详解】由于线性回归方程中x的系数为0.83，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确； 线性回归方程必过样本中心点，故B正确； 由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.83kg，故C正确； 当某大学生的身高为170cm时，其体重估计值是55.39kg，而不是具体值，故D不正确. 故选：D 【点睛】本题考查两变量间的相关关系、线性回归方程，属于基础题. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在直三棱柱中，，，D是AC的中点，下列判断正确的是（ ） A. ∥平面 B. 面⊥面 C. 直线到平面的距离是 D. 点到直线的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.连接交于点E，连接DE，易得，再利用线面平行的判定定理判断； B.易证，再根据平面平面ABC，得到平面，再利用面面垂直的判定定理判断；C.以D点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解判断；D.作，连接，易证，利用勾股定理求解判断。 【详解】A.如图所示： 连接交于点E，连接DE，所以，又平面， 平面，所以平面，故正确； B.因为，D是AC的中点，所以，又平面平面ABC， 所以平面，又平面，所以面⊥面，故正确； C.∵平面，∴到平面的距离等于点到平面的距离， C.以D点为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设平面的一个法向量， 则，即，不妨取， 所求距离，故错误； D.如图所示： 作，连接，因为平面ABC，所以， 又，所以平面，则， 又， 所以，故正确； 故选：ABD 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的切线斜率可以是1 B. 曲线的切线斜率可以是 C. 过点且与曲线相切的直线有且只有1条 D. 过点且与曲线相切的直线有且只有2条 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数，求导得到，再逐项判断. 【详解】因为函数，所以 A.令，得 ，所以曲线的切线斜率可以是1，故正确； B.令无解，所以曲线的切线斜率不可以是，故错误； C. 因为在曲线上，所以点是切点，则， 所以切线方程为，即，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故正确； D.设切点，则切线方程为，因为点在切线上，所以，解得，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故错误； 故选：AC 11. 炎炎夏日，许多城市发出高温预警，凉爽的某市成为众多游客旅游的热门选择.为了解来某市旅游的游客旅行方式与年龄是否有关，随机调查了100名游客，得到如下表格.零假设H0旅行方式与年龄没有关联，则下列说法中，正确的有（ ） 小于40岁 不小于40岁 自由行 38 19 跟团游 20 23 附:χ2=，其中. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3841 6.635 A. 在选择自由行的游客中随机抽取一名，其小于40岁的概率为 B. 在选择自由行的游客中按年龄分层随机抽样抽取6人，再从中随机选取2人做进一步的访谈，则2人中至少有1人不小于40岁的概率为 C. 根据的独立性检验，推断旅行方式与年龄没有关联，且犯错误概率不超过0.01 D. 根据的独立性检验，推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误概率不超过0.05 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据古典概型运算判断；对B，先根据分层抽样求出各层所抽取的人数，再根据古典概型结合对立事件运算判断；对于CD，根据题中数据求，并与临界值对比分析. 【详解】对于A，选择自由行的游客人数为，其小于40岁的概率是，故A错误； 对于B，选择自由行中小于40岁和不小于40岁的人数比为2：1， 则按年龄分层抽样抽取的6人中，有4人小于40岁，有2人不小于40岁， 设事件为“2人均小于40岁”，则2人中至少有1人不小于40岁的概率为，故B正确； 对于C，因为， 所以可推断旅行方式与年龄没有关联，但对零假设犯错误的概率是不可知的，故C错误； 对于D，因为，所以推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误概率不超过0.05，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 直线交椭圆：于，两点，设中点为，直线的斜率等于，为坐标原点，则椭圆的离心率________. 【答案】 【解析】 【分析】 设，，中点为，则，根据相交弦的中点为P，利用点差法求解. 【详解】设，，中点为， 则， 两式相减得：， 即， 即， 因， 所以， 所以， 故答案为： 13. 在等差数列中，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合积化和差公式和等差数列的性质即可求解. 【详解】 ， ， 所以. 故答案为：0. 14. 某旅行团查看出游当天的天气情况，某天气预报软件预测出游当天在12:00～13:00，13:00～14:00，14:00 ～15:00这3个时间段内降雨的概率分别为0.5，0.4，0.6，则该旅行团出游当天在12:00～15:00时间段内降雨的概率为______.（用数字作答） 【答案】0.88 【解析】 【分析】利用独立事件、对立事件的概率公式计算． 【详解】记出游当天在12:00～13:00，13:00～14:00，14：00～15:00这3个时间段降雨分别为事件A，B，C，出游当天在12:00～15:00时间段内降雨为事件D，则，由对立事件与相互独立事件的概率计算公式得. 故答案为：0.88． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知点，圆． （1）若直线过点且在两坐标轴上截距之和等于，求直线的方程； （2）设是圆上的动点，求（为坐标原点）的取值范围． 【答案】（1）和；（2）. 【解析】 【分析】 （1）分两种情况讨论，①直线过原点，可设直线的方程为；②当两截距均不为零时，设直线的方程为.将点的坐标代入上述直线的方程，求出参数值，综合可得出直线的方程； （2）设点，利用平面向量数量积坐标运算得出，结合辅助角公式和正弦型函数的值域可求出的取值范围. 【详解】（1）当截距均为即直线过原点时，设直线的方程为． 代入，解得，直线的方程为； 当截距均不为时，设直线的方程为，代入，解得， 直线方程为. 综上所述，所求直线的方程为和； （2）将圆方程整理为，则有， 所以可设，， 其中，，由于，所以． 【点睛】本题考查直线的截距式方程，同时也考查了平面向量数量积取值范围的计算，将圆上的点的坐标利用圆的参数方程表示是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 16. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，， （1）求的方程； （2），，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到，根据得到，再结合焦半径公式即可得到，从而得到. （2）根据题意得到，设直线的方程为，，，与抛物线联立得到，，根据斜率公式得到，从而得到，即可得到直线过定点，再根据当时，点到直线距离最大求解即可. 【小问1详解】 如图所示： 由题意可知，因为，， 由，，可得， 由抛物线的定义可知，，解得． 则的方程为. 【小问2详解】 如图所示： 在抛物线上，所以， 设直线的方程为，，， 将代入，得 则， ，同理 整理得，， 直线的方程为，所以直线过定点. 当时，点到直线距离最大， 且最大距离为， 经检验符合题意. 17. 已知为数列的前项和，，，记. （1）求数列的通项公式； （2）已知，记数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助构造等比数列算出，即可求出； （2）将裂项后求和，再分奇偶讨论即可得证. 【小问1详解】 由，得，， 则，，， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ， ， . 【小问2详解】 ， ， ， 当为奇数时，， 当为偶数时，，由，可知是递增数列， ， 综上，. 18. 函数． （1）讨论的单调性； （2）若有最大值M，且，求a的值． 【答案】（1）答案见解析；（2）1 【解析】 【分析】 （1）求出，分或两种情况讨论可得； （2）由（1）可得，则，构造函数，利用导数可求最大值得出，则，即可得出. 【详解】解：（1）易知，， 当时对任意的恒成立； 当时，若，得，若，得， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）可得当时，单调递增，则没有最大值，， 则在上单调递增，在上单调递减， ，即， ，，即， 令， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ， ， ，. 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是先得出，再根据导数求出函数单调性，得出. 19. 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出3名同学是来自互不相同学院的概率； （2）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1）；（2） 分布列见解析，． 【解析】 【详解】（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件， 则． （2）随机变量的所有可能值为0，1，2，3． 随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$