精品解析：辽宁沈阳市第一二0中学2025-2026学年度下学期高二年级期中考试数学试题

沈阳市第120中学2025-2026学年度下学期 高二年级期中考试 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 命题人：张春雨 付博 校对人：付博 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，故. 可得. 2. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导数，求得，得到，即可求得的值. 【详解】由题意，函数，可得， 令，可得，解得，所以， 所以. 3. 在数列中，，，（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知递推关系逐次计算各项，即可求得. 【详解】由已知得， 所以，，， 故选：C. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整理可得，化分式为整式，结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】由，整理可得， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 5. 已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究单调性，进而得，解出即可求解. 【详解】由题意得：，令， 所以，所以在单调递增，且，， 又因为在上不单调，所以，解得. 6. 已知和分别是数列和的前项和，且满足，，若对，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用和与项的一般关系求得数列的递推关系，根据等比数列的定义判定为等比数列，得到通项公式，进而得到，利用等差数列的求和公式得到,进而结合二次函数和指数函数的单调性得到不等式左端的最大值，根据不等式恒成立的意义得到关于的不等式，求解即得. 【详解】由得,∴, , ∴,∴, ∴数列为首项为，公比为的等比数列， ∴,∴， ∵，∴为等差数列， ∴, , 记 当n∈N*时，为的单调递减函数， ∴ 恒成立的充分必要条件是,解得或， 故选：D 7. 已知函数，若方程有三个根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当，，则， 因为当，，单调递减； 当，，单调递增；，，， 当，，， 设，则过定点， 当，图像与图像相切时，设切点为，则切线斜率为 ， 切线方程： ，因为切线过点 ，代入得： ， 化简得， 因为在单调递增，当，，所以 ，切线斜率 ，此时图像与图像有两个交点； 当过原点，，因为，此时图像与图像有四个交点； 所以当时，图像与图像有三个交点，从而方程有三个根. 8. 已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（ ） A. 2026 B. 1013 C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】 【详解】因为且，所以， 因为，所以关于直线对称， 则原函数关于点对称，所以 所以， 令，则，即， 所以， 所以的周期为， 又，即，所以的周期也为， 由得， 由得，所以， 由得，所以， 又，所以， 所以， 所以， 又， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（ ） A. 在数列中，最大 B. 在数列中，或最大 C. D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】由，，得，，推得公差，进而可得最大项为，判断出ABD的对错；再根据，可判断C错误． 【详解】由，，得， 所以等差数列的公差, 所以等差数列是递减的等差数列，则最大项为，故A正确，B错误， 又因为得且公差,所以当时，，估D正确； ，所以，故C错误； 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则t的最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A，由，得，∴，故A正确； 对于B，， 当时，，当时，， ∴在，上单调递减，在上单调递增， ∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确； 对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； 对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确． 故选：ABC. 【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了． 11. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 在处的切线方程为： C. 若函数，使得成立，则 D. 若函数有两个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，取对数运算判断；对B，将变形为，求导并利用导数的几何意义求解；对C，问题转化为有解，令，利用导数求出的最大值，得解；对D，利用分析法要证，即证，即证，即证，即证，令，，利用导数证明即可. 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，由，则， 所以，，故在处的切线方程为，即，故B正确； 对于C，因为， 要存在，使得成立，即有解， 令，则，令，得， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， ，所以只需，即得，故C错误； 对于D，由，则，， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 若函数有两个零点，则，且， 要证，即证，又在上单调递增， 即证，即证， 只要证， 即证， 令，， 则， 当时，， 所以存在，使得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 当时，，而， 令，， 则，即在上单调递减，故， 所以，即，即， 所以对恒成立， 又，则，即成立， 即成立，问题得证，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为等差数列，，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】在等差数列中，由，得，解得 由，得，解得，公差， 所以. 13. 已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】通过构造函数得到单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】，， ，的每一项都除以不等号方向不变，即， ，设，则， ，，， 为R上的减函数，， 等价于，为R上的减函数， 的解为，等价于， 的解集为. 故答案为： 14. 若不等式对任意恒成立，则正实数t的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同构思想将问题转化为恒成立，再构造函数，得出其单调性，进而得出对任意恒成立，再利用参变分离，构造函数，求最大值即可. 【详解】因,则等价于， 即， 令，则，则在上单调递增， 因为不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为，所以，， 所以对任意恒成立， 则对任意恒成立， 令，则， 令， 则，则在上单调递减， 因为， 所以，则，即在上单调递减， 则，故， 则正实数t的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于直线，求实数的值； （2）讨论函数的单调区间． 【答案】（1） （2）当时，在递增;当时，在单调递减，在单调递增. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可列出的关系式，计算即可； （2）对函数求导，讨论，两种情况得单调性； 【小问1详解】 ，定义域为 所以， 因为直线的斜率为， 所以，所以. 【小问2详解】 ，定义域为， 若，则在恒成立，故在递增; 若，令得，令得， 故在单调递减，在单调递增; 综上所述：当时，在递增， 当时，在单调递减，在单调递增. 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求证：数列为等比数列； （2）若对一切，不等式均成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，结合作差法得到，变形可得，根据等比数列的概念证明即可. （2）结合（1）对不等式进行变形得到，求的最大值即可求解. 【小问1详解】 已知，当时，. 则， 所以，即. 当时，， 则，，满足. 因此，数列是以3为首项，3为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得， 故不等式可化为，即. 设，，故只需即可. ， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，，所以，即. 因此，在时取得最大值为， 故实数的取值范围为. 17. 已知函数. （1）求函数的最大值； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析的单调性，进而求得函数的最大值； （2）根据题意，在上恒成立，参变分离后，通过（1）中所求，即可求得参数的范围； （3）将转化为在上恒成立，构造函数，讨论该函数的单调性，进而根据不同单调性的情况，分析是否在区间上恒成立，从而求得参数的范围. 【小问1详解】 ，定义域为，， 令，得，当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，且最大值为. 【小问2详解】 因为函数在上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即， 由（1）可知，的最大值为1，所以，即， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 若函数在上恒成立，即在成立， 所以在上恒成立， 令， 则， 因为，所以当时，在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以，所以时不符合题意； 当时，令， ①当时，即时，则恒成立， 即在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，所以时符合题意； ②当时，即时，令， 则， 因为，所以， 所以当时，，所以在上恒成立， 即函数在上单调递增，所以当时，， 所以时，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 18. 已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． （3）若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列： ，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和． 【答案】（1），. （2） （3）21216 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差数列和等比数列的通项公式可求出和的通项公式； （2）由（1）得，分别利用错位相减法和裂项求和计算； （3）根据题意求得的前211项中有中的前203项和中的前8项，再分别求和. 【小问1详解】 由得公差， 又因为， 得， 化简得，解得， 所以. 由，，成等差数列，得 由是等比数列，设代入， 得，消去， 得，化简并解得， . 【小问2详解】 由（1）得， ， 第一部分为， 令， ， 两式相减： ， ， ， 第二部分利用裂项求和： ， 合并：； 【小问3详解】 由题可知新数列中，前有项， 令，得前有项， 令，得前有项， 恰好位于与之间，所以前项中包含的前八项， 剩下的全是中的项，，即的前项， . 19. 意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知） （1）证明：①倍元关系：；②平方关系： （2）对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意将双曲余弦函数，双曲正弦函数的解析式代入计算即可证明； （2）分和讨论，结合导数判断并取舍即可； （3）利用给定定义目标式子左边合理放缩，结合裂项相消法求和即可证明. 【小问1详解】 证明：①； ②. 【小问2详解】 构造函数 ①当时，因为，当且仅当即时等号成立， 所以，故单调递增， 此时，故对任意恒成立，符合题意； ②当时，令， 则恒成立，故单调递增， 由与， 可知存在唯一，使得， 当时，，则在内单调递减， 故对任意，即，不合题意，舍去； 综上所述，实数a的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知：当时，，令，则， 令单调递增， 所以，即恒成立， 所以，则， 令单调递增， 所以，即恒成立，令， 所以 . 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查数列与导数新定义结合，解题的关键是对目标式子左侧合理放缩，然后使用裂项相消法求和，得到所证明的不等关系即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第120中学2025-2026学年度下学期 高二年级期中考试 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 命题人：张春雨 付博 校对人：付博 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 3. 在数列中，，，（），则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知和分别是数列和的前项和，且满足，，若对，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 已知函数，若方程有三个根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（ ） A. 2026 B. 1013 C. 1 D. -1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（ ） A. 在数列中，最大 B. 在数列中，或最大 C. D. 当时， 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则t的最小值为2 11. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 在处的切线方程为： C. 若函数，使得成立，则 D. 若函数有两个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为等差数列，，，则______． 13. 已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为_______． 14. 若不等式对任意恒成立，则正实数t的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于直线，求实数的值； （2）讨论函数的单调区间． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求证：数列为等比数列； （2）若对一切，不等式均成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数. （1）求函数的最大值； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． （3）若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列： ，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和． 19. 意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知） （1）证明：①倍元关系：；②平方关系： （2）对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $