《1.1三角形中的线段和角（二）》暑假预习导学案2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册2-《1.1三角形中的线段和角（二）》 ( 一、 预习 目标 1.   了解三角形的高、中线、角平分线的定义，能准确识别三角形中的这些重要线段。 2.   掌握三角形高、中线、角平分线的画法，能够规范地作出不同类型三角形的高、中线和角平分线。 3.   理解并掌握三角形高、中线、角平分线的性质，会运用这些性质解决简单的几何问题 ，提升逻辑思维能力和空间观念。 4.   通过观察、操作、思考等活动，培养自主学习能力和探索精神，感受数学知识之间的联系。 ) ( 一、 预习内容 （一）三角形的高 1.   定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。例如在 △ ABC中，过点A作对边BC所在直线的垂线，垂足为 F ，则线段A F 就是 △ ABC的高 。 注意： “ 垂线 ” 是一条直线 , “ 三角形的高 ” 是一条线段. 2.   画法： （1） 一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上，比如要作 △ ABC中BC边上的高，就把三角尺的一条直角边与BC边重合。 （2） 二移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点，即让三角尺的另一条直角边经过点A。 （3） 三画：沿着经过顶点的这条直角边画出垂线段AD 。 注意 :标明垂直的记号和垂足的字母. 【 活动探究 】三角形的３条高有交点吗？若有，交点在哪里？分别画出图中各个三角形的3条高。 【结论】 三角形的高线共有3条．锐角三角形的3条高交于三角形内一点．直角三角形的3条高交于直角顶点．钝角三角形的三条高不相交，但3条高所在直线相交于三角形外一点． ) ( （二）三角形的中线 1.   定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。比如在 △ ABC中，若 D 是BC边的中点，连接A D ，则线段A D 就是 △ ABC的中线。 如图，线段AD就是 △ ABC的一条中线 ,也称AD为边BC上的中线 注意： 角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段 2.   画法：先找到三角形一边的中点（可以用测量的方法确定中点位置），然后连接该中点与这条边所对的顶点，所得到的线段就是中线。 3.   性质： （1） 三角形的中线是一条线段 。 （2） 三角形有三条中线，且三条中线都在三角形内部，三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。 （3） 三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，即若AD是 △ ABC的中线，则S △ ABD = S △ ACD 。这是因为这两个小三角形等底（BD = CD ）同高（都是从A点到BC边的距离），根据三角形面积公式S = × 底 × 高，所以面积相等。 （4） 三角形的中线分三角形的周长差等于对应另两边的差，即若AD是 △ ABC的中线，则（AB + BD + AD） - （AC + CD + AD） = AB - AC （因为BD = CD ） 。 （三）三角形的角平分线 1.   定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。例如在 △ ABC中，A E 平分 ∠ BAC，交BC于点 E ，则线段A E 就是 △ ABC的角平分线。 2.   画法： (1) 用量角器量出三角形一个内角的度数，然后将这个角度平分。 (2) 以这个角的顶点为端点，在平分线上取一点，连接该点与这个角的对边，得到的线段就是角平分线。 3.   性质： (1) 三角形的角平分线是一条线段。 (2) 三角形有三条角平分线，且三条角平分线都在三角形内部，三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。 (3) 三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段比，即若AD是 △ ABC的角平分线，则S △ ABD ：S △ ACD = BD：CD 。 ) ( 三．经典例题 例1 ．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　） A． B． C． D． 例2 ．如图AE是 △ ABC的中线，点D是BE上一点，若BD＝5，CD＝9，则CE的长为（　） A．5 B．6 C．7 D．8 例3. 下列说法中正确的是（　　） A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线 B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线 C．钝角三角形的三条高都在三角形外 D．三角形的三条中线总在三角形内 例4 ．如图，AD，AE，AF分别是 △ ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（　　） A．BC＝2CD B． ∠ BAE＝ ∠ BAC C． ∠ AFB＝90 ° D．AE＝CE 例5 ．如图， △ ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若S △ ABC ＝24cm 2 ，则图中阴影部分面积为（　　） A．6cm 2 B．7cm 2 C．8cm 2 D．10cm 2 例6 ． 如图所示 ， ∠ 1 ＝∠2 ， ∠ 3 ＝∠4 ，下列结论中错误的是 (　　) A．BD 是△ABC的角平分线 B．CE 是△BCD的角平分线 C． ∠ 3 ＝ ∠ACB D．CE 是△ABC的角平分线 例7 如图， AD 是△ ABC 的中线， AB =5， AC =3，△ ABD 的周长和△ ACD 的周长相差____________． ) ( 例8 ． (1)已知：如图( a ) ， 在△ABC中 ，AD，AE 分别是△ABC的高线和角平分线．若∠B＝30 ° ， ∠ C ＝ 50 ° ， 则∠DAE的 度数是 ______． (2)如图( b ) ， 已知AF平分∠BAC ， 交边BC于点E ， 过点F作FD⊥BC于点D.若∠B＝x ° ， ∠ C ＝(x＋36) ° . ①∠ CAE ＝________ ° (用含x的代数式表示)； ②∠ F 的度数是________． ) ( 四．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 2 ．在 △ ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：（1） ∠ BAD＝ ∠ CAD；（2） ∠ ABE＝ ∠ CBE；（3）BD＝DC；（4）AE＝EC，其中正确的是（　　） A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（4） D．（2）（3） 3. 如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（　　） A．点M在AB上 B．点M在BC的中点处 C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远 D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远 4．如图，在 △ ABC中，E是BC上一点，EC＝2BE，点F是AC的中点，若S △ ABC ＝12，则S △ ABD 的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 ) ( 5 ． 如图 ， 在△ABC中 ， 点D ，E，F 分别在 三边上 ，E 是AC的中点 ，AD，BE，CF 交于一点G ，BD ＝2DC ，S △ BDG ＝8 ，S △ AGE ＝3 ， 则△ABC的面积是( ) A. 25　　　B. 30　　　C. 35　　　D. 40 6. 如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图 的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ） A．25 B．26 C．30 D．39 7. 如图,△ABC中,AE⊥BC于点E,AD为BC边上的中线,DF为△ABD中AB边上的中线,已知AB=5cm,AC=3cm,△ABC的面积为12cm 2 .求△ABD与△ACD的周长的差( ) A．3 B．4 C．2 D．1 8. 如图， 的角平分线 与中线 相交于点 ，有下列两个结论：① 是 的角平分线；② 是 的中线，其中，（ ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正确 18. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是( ) A．120° B．130° C．75° D．150° 10. 如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 二．填空题（30分） 1 1 ．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S 1 ，△ACE的面积为S 2 ，若S △ABC =6，则S 1 ﹣S 2 的值为 　　 ． ) ( 12. 如图，在△ ABC中，已知点 D、E、F 分别是 BC、AD、CE 的中点，且 S △ ABC =4，S △ BEF = _____. 13. 如图，点D在△ABC内，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，则∠A的度数为 ________. 14 ．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=_____． 15. 如图，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE =______度． 16 ．如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝_____． 17 、如图，在 △ ABC 中， AD ⊥ BC ， AE 平分 ∠ BAC ，若 ∠ 1=30° ， ∠ 2=20° ，则 ∠ B=___ 50 °_____ 1 8 ．如图，已知 △ ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上中线AD＝5cm， △ ABD的周长为15cm，则AC长为 　 　 ． 1 9 ．如图，在 △ ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且 △ ABC的周长为15，那么BC＝ 　 　 ． 20 ．如图，在 △ ABC中，AD是BC边上的中线， △ ADC的周长比 △ ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC＝ 　 　 ． ) ( 三．解答题（60分） 21 ． 如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（ 保留画图痕迹 ）： （ 1 ）在给定方格纸中画出平移后的△A'B'C'； （ 2 ）画出AB边上的中线CD； （ 3 ）画出BC边上的高线AE； （ 4 ）△A'B'C'的面积为 ； （ 5 ）在图中能使S△PAC＝S△ABC的格点P的个数有 个（点P异于点B）. 2 2. 如图， ， 和 分别是 的高、角平分线和中线． （1）对于下面的五个结论： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ． 其中正确的是 （只填序号） （2）若 ， ，求 的度数． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 24. ．在 △ ABC中，BC＝8，AB＝1； （1）若AC是整数，求AC的长； （2）已知BD是 △ ABC的中线，若 △ ABD的周长为10，求 △ BCD的周长． ) ( 25 ．探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a． （1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S 1 ，则S 1 = 　　 （用含a的代数式表示）； （2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S 2 ，则S 2 = 　　 （用含a的代数式表示），并写出理由； （3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD、FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S 3 ，则S 3 = 　　 （用含a的代数式表示）． 发现： 像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 　　 倍． 应用： 去年在面积为10m 2 的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？ 26 ． (1)如图① ， 在△ABC中 ， ∠ ABC 的平分线BO与∠ACB的平分线CO交于点O ， 试探求∠A与∠BOC的数量关系． (2)如图② ， 在△ABC中 ，D 是边AB延长线上一点 ，E 是边AC延长线上一点 ， ∠ CB D 的平分线BO与∠BCE的平分线CO交于点O. ① 试探求∠A与∠BOC的数量关系． ② 按角的大小来判断△BOC的 形状． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册2-《1.1三角形中的线段和角（二）》 ( 一、 预习 目标 1.   了解三角形的高、中线、角平分线的定义，能准确识别三角形中的这些重要线段。 2.   掌握三角形高、中线、角平分线的画法，能够规范地作出不同类型三角形的高、中线和角平分线。 3.   理解并掌握三角形高、中线、角平分线的性质，会运用这些性质解决简单的几何问题 ，提升逻辑思维能力和空间观念。 4.   通过观察、操作、思考等活动，培养自主学习能力和探索精神，感受数学知识之间的联系。 ) ( 一、 预习内容 （一）三角形的高 1.   定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。例如在 △ ABC中，过点A作对边BC所在直线的垂线，垂足为 F ，则线段A F 就是 △ ABC的高 。 注意： “ 垂线 ” 是一条直线 , “ 三角形的高 ” 是一条线段. 2.   画法： （1） 一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上，比如要作 △ ABC中BC边上的高，就把三角尺的一条直角边与BC边重合。 （2） 二移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点，即让三角尺的另一条直角边经过点A。 （3） 三画：沿着经过顶点的这条直角边画出垂线段AD 。 注意 :标明垂直的记号和垂足的字母. 【 活动探究 】三角形的３条高有交点吗？若有，交点在哪里？分别画出图中各个三角形的3条高。 【结论】 三角形的高线共有3条．锐角三角形的3条高交于三角形内一点．直角三角形的3条高交于直角顶点．钝角三角形的三条高不相交，但3条高所在直线相交于三角形外一点． ) ( （二）三角形的中线 1.   定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。比如在 △ ABC中，若 D 是BC边的中点，连接A D ，则线段A D 就是 △ ABC的中线。 如图，线段AD就是 △ ABC的一条中线 ,也称AD为边BC上的中线 注意： 角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段 2.   画法：先找到三角形一边的中点（可以用测量的方法确定中点位置），然后连接该中点与这条边所对的顶点，所得到的线段就是中线。 3.   性质： （1） 三角形的中线是一条线段 。 （2） 三角形有三条中线，且三条中线都在三角形内部，三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。 （3） 三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，即若AD是 △ ABC的中线，则S △ ABD = S △ ACD 。这是因为这两个小三角形等底（BD = CD ）同高（都是从A点到BC边的距离），根据三角形面积公式S = × 底 × 高，所以面积相等。 （4） 三角形的中线分三角形的周长差等于对应另两边的差，即若AD是 △ ABC的中线，则（AB + BD + AD） - （AC + CD + AD） = AB - AC （因为BD = CD ） 。 （三）三角形的角平分线 1.   定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。例如在 △ ABC中，A E 平分 ∠ BAC，交BC于点 E ，则线段A E 就是 △ ABC的角平分线。 2.   画法： (1) 用量角器量出三角形一个内角的度数，然后将这个角度平分。 (2) 以这个角的顶点为端点，在平分线上取一点，连接该点与这个角的对边，得到的线段就是角平分线。 3.   性质： (1) 三角形的角平分线是一条线段。 (2) 三角形有三条角平分线，且三条角平分线都在三角形内部，三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。 (3) 三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段比，即若AD是 △ ABC的角平分线，则S △ ABD ：S △ ACD = BD：CD 。 ) ( 三．经典例题 例1 ．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【 解析 】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答． AD 为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A． 例2 ．如图AE是 △ ABC的中线，点D是BE上一点，若BD＝5，CD＝9，则CE的长为（　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】 ∵ BD＝5，CD＝9， ∴ BC＝BD+CD＝14， ∵ AE是 △ ABC的中线， ∴ CE＝BE＝ BC＝7，故选：C． 例3. 下列说法中正确的是（　　） A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线 B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线 C．钝角三角形的三条高都在三角形外 D．三角形的三条中线总在三角形内 【 答案】D 【 解析】 A、三角形的角平分线是一条线段，错误；B、三角形的中线是经过顶点和对边中点的线段，错误；C、钝角三角形的二条高都在三角形外，最长边上的高在三角形内，错误；D、三角形的三条中线总在三角形内，本选项说法正确，符合题意；故选：D． 例4 ．如图，AD，AE，AF分别是 △ ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（　　） A．BC＝2CD B． ∠ BAE＝ ∠ BAC C． ∠ AFB＝90 ° D．AE＝CE 【答案】D 【解析】 选项 A 因为AD是 △ ABC的中线，根据中线的定义，中线将对边分成相等的两部分，所以BD = CD，那么BC = BD + CD = 2CD，该选项正确。选项B 由 于AE是 △ ABC的角平分线，依据角平分线的定义，角平分线将角分成两个相等的角，所以 ∠ BAE= ∠ EAC = 1/2 ∠ BAC，该选项正确。选项C因为AF是 △ ABC的高，按照高的定义，从顶点A向BC边所在直线作垂线，垂足为F，所以 ∠ AFB = 90 ° ，该选项正确。选项D仅知道AE是角平分线，角平分线的性质是将角平分，并没有AE = CE的性质，所以该选项错误。选项A、B、C的表述均符合三角形中线、角平分线和高的性质，而选项D不符合，所以本题答案是D。 例5 ．如图， △ ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若S △ ABC ＝24cm 2 ，则图中阴影部分面积为（　　） A．6cm 2 B．7cm 2 C．8cm 2 D．10cm 2 【答案】C 【解析】 ∵△ ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G， ∵ AD是BC边上的中线， ∴ 在 △ ABC 和 △ G BC 中 S △ AB D = S △ A CD ， S △ G B D = S △ GCD ， S △ ABG = S △ ACG ，同理， S △ CAF = S △ CBF ， S △ GAF = S △ GBF ， S △ CAG = S △ CBG ， S △ BCE = S △ BAE ， S △ GCE = S △ GAE ， S △ BGA = S △ BCA ， ∴ S △ G B D = S △ GCD = S △ GAF = S △ GBF = S △ GCE = S △ GAE ， ∵ S △ ABC ＝24cm 2 ， ∴ S 阴影 ＝S △ CGE +S △ BGF ＝8（cm 2 ），故选：C． ) ( 【解析】 ∵△ ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G， ∵ AD是BC边上的中线， ∴ 在 △ ABC 和 △ G BC 中 S △ AB D = S △ A CD ， S △ G B D = S △ GCD ， S △ ABG = S △ ACG ，同理， S △ CAF = S △ CBF ， S △ GAF = S △ GBF ， S △ CAG = S △ CBG ， S △ BCE = S △ BAE ， S △ GCE = S △ GAE ， S △ BGA = S △ BCA ， ∴ S △ G B D = S △ GCD = S △ GAF = S △ GBF = S △ GCE = S △ GAE ， ∵ S △ ABC ＝24cm 2 ， ∴ S 阴影 ＝S △ CGE +S △ BGF ＝8（cm 2 ），故选：C． 例6 ． 如图所示 ， ∠ 1 ＝∠2 ， ∠ 3 ＝∠4 ，下列结论中错误的是 (　　) A．BD 是△ABC的角平分线 B．CE 是△BCD的角平分线 C． ∠ 3 ＝ ∠ACB D．CE 是△ABC的角平分线 【 答案】 D 　 【 解析 】 由∠1＝∠2 ， ∠ 3 ＝∠4 ， 根据角平分线的定义 ， 可知BD是△ABC的角平分线 ，CE 是△BCD的角平分线 ， 所以选项 A，B 正确；因为∠3＝∠4＝ ∠ACB ， 所以选项 C 正确；CE不是△ABC的角平分线 ， 三角形的角平分线是三角形的内角平分线与对边相交 ， 这个角的顶点与交点之间的线段 ， 所以选项 D 错误．故选 D. 例7 如图， AD 是△ ABC 的中线， AB =5， AC =3，△ ABD 的周长和△ ACD 的周长相差____________． 【答案】2 【解析】 ∵AD是△ABC中BC边上的中线， ∴BD=DC= BC， ∴△ABD和△ADC的周长的差， =(AB+ BC+AD)-(AC+ BC+AD)， =AB-AC， =5-3， =2， 故答案为：2． 例8 ． (1)已知：如图( a ) ， 在△ABC中 ，AD，AE 分别是△ABC的高线和角平分线．若∠B＝30 ° ， ∠ C ＝ 50 ° ， 则∠DAE的 度数是 ______． (2)如图( b ) ， 已知AF平分∠BAC ， 交边BC于点E ， 过点F作FD⊥BC于点D.若∠B＝x ° ， ∠ C ＝(x＋36) ° . ①∠ CAE ＝________ ° (用含x的代数式表示)； ②∠ F 的度数是________． 【 答案】 (1)10 ° (2)①(72－x) ② 18 ° 　 【 解析 】 (1)∵∠B＝30 ° ， ∠ C ＝50 ° ， ∴∠ CAB ＝180 ° －∠B－∠C＝100 ° . ∵ AE 是△ABC的角平分线 ， ∴∠ CAE ＝ ∠ CAB＝50 ° . ∵ AD 是△ABC的高 ， ∴∠ ADC ＝90 ° ， ∴∠ CAD ＝180 ° －∠ADC－∠C＝40 ° ， ∴∠ DAE ＝∠CAE－∠CAD＝50 ° －40 ° ＝10 ° . (2)①∵AF平分∠BAC ， ∴∠ CAE ＝∠BAE. ∵∠ B ＝x ° ， ∠ C ＝(x＋36) ° ， ∴∠ CAE ＝ ×[180 ° －x ° －(x＋36) ° ]＝(72－x) ° . ②∵∠ FED ＝∠AEC＝180 ° －∠CAE－∠C＝ 180 ° －(72－x) ° －(x ＋ 36) ° ＝72 ° ，FD ⊥ BC， ∴∠ F ＝180 ° －∠FDE－∠FED＝180 ° －90 ° －72 ° ＝18 ° . ) ( 四．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【 解析 】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．线段BE是△ABC的高的图是选项D．故选D． 2 ．在 △ ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：（1） ∠ BAD＝ ∠ CAD；（2） ∠ ABE＝ ∠ CBE；（3）BD＝DC；（4）AE＝EC，其中正确的是（　　） A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（4） D．（2）（3） 【答案】D 【解析】 ∵ AD为中线， ∴ BD＝DC，故（3）正确， ∵ BE为角平分线， ∴∠ ABE＝ ∠ CBE，故（2正确，故选：D． 3. 如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（　　） A．点M在AB上 B．点M在BC的中点处 C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远 D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远 【答案】C 【 解析 】：∵∠C=100°，∴AB＞AC，如图，取BC的中点E，则BE=CE，∴AB+BE＞AC+CE， 由三角形三边关系，AC+BC＞AB，∴AB＜ AD，∴AD的中点M在BE上，即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远．故选：C． 4．如图，在 △ ABC中，E是BC上一点，EC＝2BE，点F是AC的中点，若S △ ABC ＝12，则S △ ABD 的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】 连接CD ∵ EC＝2BE，点F是AC的中点， ∴ S △ AB D = S △ BCD ， S △ DCE =2 S △ DBE ， S △ A DC =2 S △ A DB ，设 S △ BDE =x，则 S △ DCE =2x， S △ AB D =3x， S △ A DC =6x， ∵ S △ ABC ＝12， ∴ S △ ABD =3，故选：B ) ( 5 ． 如图 ， 在△ABC中 ， 点D ，E，F 分别在 三边上 ，E 是AC的中点 ，AD，BE，CF 交于一点G ，BD ＝2DC ，S △ BDG ＝8 ，S △ AGE ＝3 ， 则△ABC的面积是( ) A. 25　　　B. 30　　　C. 35　　　D. 40 【答案】B 【解析】 在△BDG和△GDC中 ， ∵ BD ＝2DC ， ∴ S △ BDG ＝2S △ GDC ＝8 ， ∴ S △ GDC ＝4.同理 ，S △ GEC ＝S △ AGE ＝3 ， ∴ S △ BEC ＝S △ BDG ＋S △ GDC ＋S △ GEC ＝8＋4＋3＝15 ， ∴△ ABC 的面积＝2S △ BEC ＝30. 6. 如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图 的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ） A．25 B．26 C．30 D．39 【答案】B 【 解析 】 如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形，由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为： （个）；较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为： （个）；平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为： （个）；小正三角形个数为13个；∴一共有小正三角形个数为： （个），∴图中阴影部分面积为： ，故选：B． 7. 如图,△ABC中,AE⊥BC于点E,AD为BC边上的中线,DF为△ABD中AB边上的中线,已知AB=5cm,AC=3cm,△ABC的面积为12cm 2 .求△ABD与△ACD的周长的差( ) A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【 解析 】 ∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，∴△ABD与△ACD的周长的差=(AB+AD+BD)−(AC+AD+CD)=AB−AC=2cm.故选择C. 8. 如图， 的角平分线 与中线 相交于点 ，有下列两个结论：① 是 的角平分线；② 是 的中线，其中，（ ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正确 【答案】C 【 解析 】 ：∵AD是 的角平分线，∴AD平分∠BAE，∴ 是 的角平分线，说 ) ( 法正确；∵ 是 的中线，∴点E是AC的中点，∴DE是AC边上的中线，∴ 是 的中线，说法正确，故选：C． 18. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是( ) A．120° B．130° C．75° D．150° 【答案】A 【 解析 】 ：∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB= ，∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，∴ ， ，∴ ∴∠BOC=180° （∠ABC+∠ACB）=180° =120°．故选：A. 10. 如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】D 【解析】 如图，连接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC= ∠ABC，∠A'CB= ∠ACB，∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°，∵沿DE折叠，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故选：D． 二．填空题（30分） 1 1 ．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S 1 ，△ACE的面积为S 2 ，若S △ABC =6，则S 1 ﹣S 2 的值为 　　 ． 【答案】1 【 解析 】∵BE=CE，∴S △ACE = S △ABC = ×6=3，∵AD=2BD，∴S △ACD = S △ABC = ×6=4， ∴S 1 ﹣S 2 =S △ACD ﹣S △ACE =4﹣3=1．故答案为：1． 12. 如图，在△ ABC中，已知点 D、E、F 分别是 BC、AD、CE 的中点，且 S △ ABC =4，S △ BEF = _____. 【答案】1 ) ( 【 解析 】 ： 点 是 的中点， ， ， 点 是 的中点， ， ， ， 点 是 的中点， ， ， ． 13. 如图，点D在△ABC内，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，则∠A的度数为 ________. 【答案】 65° 【 解析 】 在△BCD中，∠BDC=120°，∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=60°，∵∠1+∠2=55°，∴∠ABC+∠ACB=∠1+∠2+∠DBC+∠DCB=115°，∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=65°. 14 ．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=_____． 【 答案】 40° 【 解析 】 ∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB， 而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣ （∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BOC=180°﹣ （180°﹣∠A）=90°+ ∠A，而∠BOC=110°，∴90°+ ∠A=110° ∴∠A=40°．故答案为40°． 15. 如图，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE =______度． 【 答案】10 【 解析 】 因为，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，所以∠BAC=180°-60°-40°=80°，因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE=40°，又因为在△ACD中，AD⊥BC，∠C=40°，所以∠CAD=50°，所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=50°-40°=10° 16 ．如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝_____． 【 答案】 67° 【 解析 】 ∵∠B＝46°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°，∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°，∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA， ∴∠EAC＝ ∠DAC，∠ECA＝ ∠FCA，∴∠EAC+∠ECA＝ （∠DAC+∠FCA）＝113°，∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．故答案为：67°． ) ( 17 、如图，在 △ ABC 中， AD ⊥ BC ， AE 平分 ∠ BAC ，若 ∠ 1=30° ， ∠ 2=20° ，则 ∠ B=___ 50 °_____ 【 答案】50 ° 【 解析 】 ∵ AE 平分 ∠ BAC ， ∴∠ 1= ∠ EAD+ ∠ 2 ， ∴∠ EAD= ∠ 1 ﹣∠ 2=30° ﹣ 20°=10° ， Rt △ ABD 中， ∠ B=90° ﹣∠ BAD=90° ﹣ 30° ﹣ 10°=50° ．故答案为 50° ． 1 8 ．如图，已知 △ ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上中线AD＝5cm， △ ABD的周长为15cm，则AC长为 　 　 ． 【 答案】 7cm． 【 解析】 ∵ AB＝6cm，AD＝5cm， △ ABD周长为15cm， ∴ BD＝15 ﹣ 6 ﹣ 5＝4cm， ∵ AD是BC边上的中线， ∴ BC＝ 2BD= 8cm， ∵△ ABC的周长为21cm， ∴ AC＝21 ﹣ 6 ﹣ 8＝7cm．故AC长为7cm，故答案为：7cm． 1 9 ．如图，在 △ ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且 △ ABC的周长为15，那么BC＝ 　 　 ． 【答案】5 【 解析】 ： ∵ CF、BE分别是AB、AC边上的中线，AE＝2，AF＝3， ∴ AC＝2AE＝4，AB＝2AF＝6， ∵△ ABC的周长为15， ∴ BC＝15 ﹣ 4 ﹣ 6＝5，故答案为：5． 20 ．如图，在 △ ABC中，AD是BC边上的中线， △ ADC的周长比 △ ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC＝ 　 　 ． 【 答案】8 【解析】 ∵ AD是BC边上的中线， ∴ BD＝DC， ∵ △ ADC的周长比 △ ABD的周长多3， ∴ （AC+CD+AD） ﹣ （AB+BD ﹣ AD）＝3， 即 AC ﹣ AB＝3， 又 ∵ AB与AC的和为13， ∴ ，解得 ，故答案为：8． 三．解答题（60分） 21 ． 如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（ 保留画图痕迹 ）： （ 1 ）在给定方格纸中画出平移后的△A'B'C'； （ 2 ）画出AB边上的中线CD； ) ( （ 3 ）画出BC边上的高线AE； （ 4 ）△A'B'C'的面积为 ； （ 5 ）在图中能使S△PAC＝S△ABC的格点P的个数有 个（点P异于点B）. 解： （ 1） 如图，△A'B'C'即为所求作； ； （2）如图，CD即为所求作；（3）如图，AE即为所求作；（4）△A'B'C'的面积= ×4×4=8，故答案为：8；（5）如图，满足条件的点P有7个，故答案为：7. 2 2. 如图， ， 和 分别是 的高、角平分线和中线． （1）对于下面的五个结论： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ． 其中正确的是 （只填序号） （2）若 ， ，求 的度数． 解： （1） ∵ AD，AE和AF分别是 △ ABC的高、角平分线和中线， ∴ AD ⊥ BC， ∠ CAE= ∠ BAE= ∠ CAB，BF=CF，BC=2BF， ∵ S △ AFB = BF • AD，S △ AFC = CF • AD， ∴ S △ AFB =S △ AFC ，故 ①②④⑤ 正确， ③ 错误，故答案为 ①②④⑤ ； （2） ∵∠ C=66 ° ， ∠ ABC=30 ° ， ∴∠ CAB=180 ° - ∠ ABC- ∠ C=84 ° ， ∴∠ CAE= ∠ CAB=42 ° ， ∵∠ ADC=90 ° ， ∠ C=66 ° ， ∴∠ DAC=24 °∴∠ DAE= ∠ CAE- ∠ DAC=42 ° -24 ° =18 ° 23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 解 ： （1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE= ∠CBD=65°； （2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°﹣65°=25°．∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB =25° ) ( 24. ．在 △ ABC中，BC＝8，AB＝1； （1）若AC是整数，求AC的长； （2）已知BD是 △ ABC的中线，若 △ ABD的周长为10，求 △ BCD的周长． 解：（1） ∵ BC＝8，AB＝1 ， BC ﹣ AB＜AC＜BC+AB， ∴ 7＜AC＜9， ∵ AC是整数， ∴ AC＝8； （2） ∵ BD是 △ ABC的中线， ∴ AD＝CD， ∵△ ABD的周长为10，AB＝1， ∴ AB+AD+BD＝10， AD+BD＝9， ∴△ BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+BD＝8+9＝17． 25 ．探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a． （1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S 1 ，则S 1 = 　　 （用含a的代数式表示）； （2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S 2 ，则S 2 = 　　 （用含a的代数式表示），并写出理由； （3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD、FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S 3 ，则S 3 = 　　 （用含a的代数式表示）． 发现： 像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 　　 倍． 应用： 去年在面积为10m 2 的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？ 解：（1）∵BC=CD，∴△ACD和△ABC是等底同高的，即S 1 =a； （2）2a；理由：连接AD， ∵CD=BC，AE=CA，∴S △DAC =S △DAE =S △ABC =a，∴S 2 =2a； （3）结合（2）得：2a×3=6a； 发现：扩展一次后得到的△DEF的面积是6a+a=7a，即是原来三角形的面积的7倍．应用：拓展区域的面积：（7 2 ﹣1）×10=480（m 2 ）． 26 ． (1)如图① ， 在△ABC中 ， ∠ ABC 的平分线BO与∠ACB的平分线CO交于点O ， 试探求∠A与∠BOC的数量关系． (2)如图② ， 在△ABC中 ，D 是边AB延长线上一点 ，E 是边AC延长线上一点 ， ∠ CB D 的平分线BO与∠BCE的平分线CO交于点O. ① 试探求∠A与∠BOC的数量关系． ② 按角的大小来判断△BOC的 形状． ) ( 解 ： (1)∵BO平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ， ∴∠ OBC ＝ ∠ ABC， ∠ OCB ＝ ∠ ACB， ∴∠ OBC ＋∠OCB＝ (∠ABC＋∠ACB)． ∵∠ ABC ＋∠ACB＝180 ° －∠A ， [来源:学科网ZXXK] ∴∠ OBC ＋∠OCB＝90 ° － ∠ A. 又∵∠OBC＋∠OCB＝180 ° －∠BOC ， ∴ 180 ° －∠BOC＝90 ° － ∠ A， ∴∠ BOC ＝90 ° ＋ ∠ A. (2)①∵BO平分∠CBD ，CO 平分∠BCE ， ∴∠ CBO ＝ ∠ CBD， ∠ BCO ＝ ∠ BCE， ∴∠ CBO ＋∠BCO＝ (∠CBD＋∠BCE)． ∵∠ ABC ＋∠CBD＝180 ° ， ∠ ACB ＋∠BCE＝180 ° ， ∴∠ CBD ＋∠BCE＝360 ° －(∠ABC＋∠ACB)． ∵∠ ABC ＋∠ACB＝180 ° －∠A ， ∴∠ CBD ＋∠BCE＝180 ° ＋∠A ， ∴∠ CBO ＋∠BCO＝90 ° ＋ ∠ A. ∵∠ BOC ＝180 ° －(∠CBO＋∠BCO) ， ∴∠ BOC ＝180 ° －90 ° － ∠ A ＝90 ° － ∠ A. ②∵∠ CBO ＝ ∠ CBD， ∠ BC O ＝ ∠ BCE， 且∠CBD<180 ° ， ∠ BCE<180 ° ， ∴∠ CBO<90 ° ， ∠ BCO <90 ° . 又∵∠BOC＝90 ° － ∠ A， ∴∠ BOC<90 ° ， ∴∠ BOC， ∠ CBO， ∠ BCO 都是 锐角 ， ∴△ BOC 为锐角三角形． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$