《1.1三角形中的线段和角（一）》暑假预习导学案2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册1-《1.1三角形中的线段和角(一)》 ( 一、 预习 目标 1. 理解三角形三边关系,能判断三条线段能否构成三角形,以及已知两边求第三边的取值范围。 2. 掌握三角形中边和角的大小关系,即大边对大角,大角对大边,并能运用其解决角度问题。 ) ( 一、 预习内容 (一) 三角形的三边关系 【探究】 观察图中的三角形,你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗? 你能找出下列三角形各自的特点吗? (1) 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 。 (2) 三条边都相等的三角形叫作等边三角形. 三角形按边分类 【发现】节日的晚上,房间内亮起了彩灯.如图,装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢?说明你的理由. ) ( 【思考】 在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?为什么? 三角形的任意两边之和大于第三边 【探究】 如图 ,在 ABC中,以点B为圆心,以BA的长为半径作弧,与边 BC交于点D,图中是否有线段长度等于BC-AB呢?能用圆规直观说明 BC-AB与AC之间的大小关系吗?改变三角形的形状再试试看,你能得到什么结论? 因此,我们可以得出三角形的三边关系为: 三角形任意两边之和大于第三边. 三角形任意两边之差 小 于第三边. 两边之差<第三边<两边之和 AB-AC< BC <AB+AC 【 应用 】 : (1) 判断三条线段能否组成三角形:只需判断较短两条线段之和是否大于最长线段。 如线段3cm、4cm、5cm,因为3 + 4 > 5 ,所以能组成三角形。 (2) 已知三角形两边,求第三边的取值范围。若已知两边为a、b(a ≥ b),则第三边c的取值范围是a - b < c < a + b 。 比如已知两边为5和8,则第三边的范围是8 - 5 < c < 8 + 5 ,即3 < c < 13 。 (二) 三角形边和角的关系 1.大边对大角 ) ( 【思考】 在 ABC中,AB>AC,则 ∠ B和 ∠ C有什么大小关系? ∠ B < ∠ C 【验证】 在 ABC中,AB>AC,求证: ∠ C> ∠ B 在AB上截取AD=AC 延长AC至E,使AE=AB 【结论】 在一个三角形中,如果两条边不等,那么他们所对的角也不等,大边所对的角较大. 2.大角对大边 类似的 在一个三角形中,,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等,大角所对的边较大。 【即时理解】 (1)在三角形中,已知BC>AB>AC,那么 ∠ A, ∠ B, ∠ C有怎样的大小关系? (2) 如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角,这个三角形一定是锐角三角形吗?为什么? (3) 直角三角形的那一条边最长?为什么? ) ( 三.经典例题 例1 .已知三条线段的长度比如下:①2∶3∶4;②1∶2∶3;③2∶4∶6;④3∶3∶6;⑤6∶6∶ 10;⑥6∶8∶10,其中能构成三角形的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例2 .若三角形两条边的长分别是3,5,第三条边的长是整数,则第三条边的长的最大值是( ) A.2 B.3 C.7 D.8 例3 .图①是一副创意卡通圆规,图②是其平面示意图,OA是支撑臂,OB是旋转臂,已知OA=OB=8 cm.使用时,以点A为支撑点,铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆,则圆的半径AB不可能是( ) A.10 cm B.13 cm C.15 cm D.17 cm 例4 .长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),得到的三角形的最长边长为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 例 5.已知三角形的两边长分别为2和9,第三边长为正整数,则这样的三角形的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 例 6.一个三角形的3条边长分别为x cm,(x-1)cm,(x-2)cm,它的周长不超过39 cm,则x的取值范围为( ) A B C D 例 7.三个数3,1-a,1-2a在数轴上从左到右依次排列,且以这三个数为边长能构成三角形,则a的取值范围为 . 例 8.等腰三角形的两边长分别为6 cm,13 cm,其周长为 cm. 例 9.a,b,c分别为 ABC的三边长,且满足a+b=3c-2,a-b=2c-6. (1)求c的取值范围; (2)若 ABC的周长为18,求c的值. 例 1 0 .如图,D是 ABC内一点. 求证:(1)AB+AC>BD+CD. (2)AB+BC+AC>AD+BD+CD. ) ( 四.强化练习 (时间:60分钟 满分:120分) 一.选择题(30分) 1.下列各组中的三条线段,能组成三角形的是( ) A. , , B. , , C. , , D. , , 2.一个三角形的两条边长分别为 和 ,那么第三条边 的范围是( ) A. B. C. D. 3.若三角形两边长分别为 和 ,则第三边长可能为( ) A. B. C. D. 4.如图,小明为了估计池塘两岸A、B间的距离,在池塘一侧选取了点O,测得 , ,那么A、B间的距离不可能是( ) A. B. C. D. 5 .一个等腰三角形的三边长分别为3cm、acm、6cm,则它的周长是( ) A.12cm B.15cm C.12cm或15cm D.不能确定 6. 若三角形的三边长分别是 ,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 7 .老师布置了一份家庭作业:用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形,三根小木棍的长 度分别为5 cm 、9 cm 、10.5 cm ,并且只能对10.5 cm 的小木棍进行裁切(裁切 后,参与拼图的小木棍的长度为整数),则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 8 . 若a ,b,c 是三角形的三边长 , 则化简|a-b-c|+|a+c-b|-|c-a-b|的结果是( ) A. 3a-b-c B. -a-b+3c C. a+b+c D. a-3b+c 9 .四边形ABCD的边长如图所示,对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当 ABC为等腰三角形时,对角线AC的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 . 1 0 .有四根长度分别为2、4、5、x(x为正整数)的木棒,从中任取三根,首尾顺次相接都能围成一个三角形,则围成的三角形的周长( ) A.最小值是8 B.最小值是9 C.最大值是13 D.最大值是14 二.填空题(30分) 11 、如果等腰三角形两边长是 6cm 和 3cm ,那么它的周长是 _ cm . 1 2 、等腰三角形的三边长分别为: x+1 , 2x+3 , 9 ,则 x=_ . 13 .小颖要制作一个三角形木架,现有两根长度为2cm和7cm的木棒,如果要求第三根木棒的长度是奇数,那么第三根的长度是_. 14 .一个三角形的两边长分别是5和11,那么第三边长 的取值范围是_. 15.若长度分别为3,4,a的三条线段能组成一个三角形,则整数a的值可以是 .(写出一个即可) 1 6 .三角形的周长小于13,且各边长为互不相等的整数,则这样的三角形共有 个. 1 7 . 为锐角,AB=16,点C在射线AM上,点B到射线AM的距离为8,BC=x,若 ABC的形状、大小是唯一确定的,则x的取值范围是_. ) ( 1 8 .已知某三角形的三边长分别为4,9,a,若a为偶数,则a的取值有_ 4 _个. 1 9 .若m,n满足等式|m-3|+(n-4) 2 =0,且m,n恰好是等腰三角形ABC的两边长,则 ABC的周长是 . 20 .定义:各边长均为整数的三角形称为整边三角形,已知 ABC是整边三角形,三角形的三边长分别为a,b,c,且a≤b<c,当b=7时,符合条件的 ABC有 个. 三.解答题(60分) 2 1 .判断下列各组线段中,哪些首尾相接能组成三角形,哪些不能组成三角形,并说明理由. (1)a=2.5cm,b=3cm,c=5cm; (2)e=6.3cm,f=6.3cm,g=12.6cm. 2 2 .已知 ABC的三边长分别是a,b,c. (1)若a=4,b=6,且三角形的周长是小于18的偶数,求c的值; (2)化简|a+b-c|+|c-a-b|. 23 已知P是 ABC内任意一点. (1)如图1,求证:AB+AC>PB+PC; (2)如图2,连接PA,比较AB+AC+BC与PA+PB+PC的大小关系. ) ( 24. 某市木材市场上木棒的规格与价格如下表: 规格 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 价格/(元/根) 10 15 20 25 30 35 小明的爷爷要做一个三角形的支架,现有两根长度分别为3 m和5 m的木棒,还需要到该木材市场上再购买一根. (1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择? (2)在能做成三角形支架的情况下,选择哪一种规格的木棒最省钱? 25 .已知 ABC的三边长分别为a,b,c. (1)若a,b,c满足(a-b) 2 +(b-c) 2 =0,试判断 ABC的形状; (2)若a=5,b=2,且c为整数,求 ABC的周长的最大值及最小值. 26. 如图,四个工厂A、B、C、D,试找一个供应站M,使它到四个工厂的距离之和为最小. 27. 【定义】 若一个三角形三边长均为偶数,则称这个三角形为“好运三角形” 例如,三边为 6 , 8 , 10 的三角形是“好运三角形”. ( 1) 【概念运用】 在 ABC 中, AB=2 , BC=4 ,若 ABC 为“好运三角形”,求 AC 的长; ( 2) 【变式运用】 已知 ABC 的周长为 16 , AC=4 ,若 1B 的长为偶数,试判断 ABC 是否为“好运三角形”. ) 学科网(北京)股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册1-《1.1三角形中的线段和角（一）》 ( 一、 预习 目标 1.   理解三角形三边关系，能判断三条线段能否构成三角形，以及已知两边求第三边的取值范围。 2.   掌握三角形中边和角的大小关系，即大边对大角，大角对大边，并能运用其解决角度问题。 ) ( 一、 预习内容 （一） 三角形的三边关系 【探究】 观察图中的三角形，你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗? 你能找出下列三角形各自的特点吗？ （1） 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 。 （2） 三条边都相等的三角形叫作等边三角形． 三角形按边分类 【发现】节日的晚上，房间内亮起了彩灯.如图，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由. 【解析】 装有黄色彩灯的电线长 。 方法一:测量可以得出：AB+AC>BC 方法二:根据 “ 两点之间的所有连线中,线段最短 ” 的结论，也可以得出: AB+AC>BC. ) ( 【思考】 在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?为什么? 如图， 根 据 “ 两点之间线段最短 ” ，可得a＋b＞c.同理b＋c＞a，a＋c＞b. 三角形的任意两边之和大于第三边 【探究】 如图 ，在 △ ABC中，以点B为圆心，以BA的长为半径作弧，与边 BC交于点D，图中是否有线段长度等于BC-AB呢?能用圆规直观说明 BC-AB与AC之间的大小关系吗?改变三角形的形状再试试看，你能得到什么结论? 【 解析】 ① 图中线段CD等于BC-AB. ② 由于BC-AB=CD，且线段CD与线段AC相交于点C，所以可以用圆规以点C为圆心画弧且交于线段AC于一点，那么BC-AB的长度小于线段AC的长度. ③ 无论三角形是什么形状，三角形的两边之差始终小于第三边. 因此，我们可以得出三角形的三边关系为: 三角形任意两边之和大于第三边.   三角形任意两边之差 小 于第三边. 两边之差＜第三边＜两边之和 AB-AC＜ BC ＜AB+AC 【 应用 】 ： （1） 判断三条线段能否组成三角形：只需判断较短两条线段之和是否大于最长线段。 如线段3cm、4cm、5cm，因为3 + 4 > 5 ，所以能组成三角形。 （2） 已知三角形两边，求第三边的取值范围。若已知两边为a、b（a ≥ b），则第三边c的取值范围是a - b < c < a + b 。 比如已知两边为5和8，则第三边的范围是8 - 5 < c < 8 + 5 ，即3 < c < 13 。 （二） 三角形边和角的关系 1.大边对大角 ) ( 【思考】 在 △ ABC中，AB＞AC，则 ∠ B和 ∠ C有什么大小关系？ ∠ B ＜ ∠ C 【验证】 在 △ ABC中，AB＞AC，求证： ∠ C＞ ∠ B 在AB上截取AD=AC 延长AC至E,使AE=AB 【解析】（1）   利用左图证明（在AB上截取AD = AC） 因为在 △ ABC中，在AB上截取AD = AC，连接CD（辅助线的添加）。根据等腰三角形的性质，在 △ ADC中，AD = AC，所以 ∠ ADC= ∠ ACD（等边对等角）。又因为 ∠ BDC是 △ ADC的一个外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，所以 ∠ BDC> ∠ B。而 ∠ BDC = ∠ ADC（同一个角），且 ∠ ACD是 ∠ ACB的一部分，即 ∠ ACB> ∠ ACD，所以 ∠ ACB> ∠ B，也就是 ∠ C> ∠ B。 （2）利用右图证明（延长AC至E，使AE = AB） 因为在 △ ABC中，延长AC至E，使AE = AB，连接BE（辅助线的添加）。 根据等腰三角形的性质，在 △ ABE中，AE = AB，所以 ∠ ABE= ∠ AEB（等边对等角）。 又因为 ∠ ABC是 ∠ ABE的一部分，即 ∠ ABE> ∠ ABC。而 ∠ ACB是 △ BCE的一个外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，所以 ∠ ACB> ∠ AEB。因为 ∠ ABE= ∠ AEB，所以 ∠ ACB> ∠ ABC，也就是 ∠ C> ∠ B。 总结综上，在 △ ABC中，当AB > AC时， ∠ C> ∠ B得证。 【结论】 在一个三角形中，如果两条边不等，那么他们所对的角也不等，大边所对的角较大. 2.大角对大边 类似的 在一个三角形中，，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大。 【即时理解】 （1）在三角形中，已知BC＞AB＞AC,那么 ∠ A， ∠ B, ∠ C有怎样的大小关系？ 【解析】 ∵ CB＞AB＞AC ； ∴∠ A＞ ∠ C＞ ∠ B （2） 如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形吗？为什么？ 【解析】已知这个三角形中最大的边所对的角是锐角，因为最大边对应最大角，所以这个三角形的最大角是锐角。而三角形中最大角是锐角，那么其他的角肯定也都是锐角（因为其他角比最大角小，最大角是锐角，那么比它小的角必然也是锐角）。根据锐角三角形的定义：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，所以这个三角形一定为锐角三角形。 （3） 直角三角形的那一条边最长？为什么？ 【解析】 因为直角是直角三角形中最大的角，根据大角对大边的性质，直角所对的边就是直角三角形中最长的边，这条边被称为斜边。 ) ( 三．经典例题 例1 .已知三条线段的长度比如下:①2∶3∶4;②1∶2∶3;③2∶4∶6;④3∶3∶6;⑤6∶6∶ 10;⑥6∶8∶10,其中能构成三角形的有(　　) A.1个　　　　 B.2个　　 C.3个　　　　 D.4个 【 答案】 C 　 【 解析】 ①设三条线段的长分别为2x,3x,4x,x>0,则2x+3x>4x,故能构成三角形;②设三条线段的长分别为x,2x,3x,x>0,则x+2x=3x,故不能构成三角形;③设三条线段的长分别为2x,4x,6x,x>0,则2x+4x=6x,故不能构成三角形;④设三条线段的长分别 为 3x,3x, 6x,x>0,则3x+3x=6x,故不能构成三角形;⑤设三条线段的长分别为6x,6x,10x,x>0,则6x+6x>10x,故能构成三角形;⑥设三条线段的长分别为6x,8x,10x,则6x+8x>10x,故能构成三角形.故选C. 例2 .若三角形两条边的长分别是3,5,第三条边的长是整数,则第三条边的长的最大值是(　　) A.2　　　　 B.3　　 C.7　　　　 D.8 【 答案】 C 　 【 解析】 根据三角形的三边关系得5-3<第三边的长<3+5,即2<第三边的长<8,所以第三边长的最大整数值是7,故选C. 例3 .图①是一副创意卡通圆规,图②是其平面示意图,OA是支撑臂,OB是旋转臂,已知OA=OB=8 cm.使用时,以点A为支撑点,铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆,则圆的半径AB不可能是(　　) A.10 cm　　 B.13 cm　　 C.15 cm　　　　D.17 cm 【 答案】 D 　 【 解析】 根据三角形的三边关系可知0 cm<AB<16 cm,所以选项D不符合要求,故选D. 例4 .长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),得到的三角形的最长边长为(　　) A.4　　 B.5　 　C.6　 　D.7 【 答案】 B 　 【 解析】 ①长度分别为5、3、4,能构成三角形,且最长边长为5;②长度分别为2、6、4,不能构成三角形;③长度分别为2、7、3,不能构成三角形;④长度分别为6、3、3,不能构成三角形.综上所述,得到三角形的最长边长为5.故选B. 例 5.已知三角形的两边长分别为2和9,第三边长为正整数,则这样的三角形的个数为(　　) A.3　　 B.4　　 C.5 　　D.6 【 答案】 A 　 【 解析】 设第三边长为x,由题意可得9-2<x<9+2,解得7<x<11,因为第三边长为正整数,所以x的值为8、9、10,所以这样的三角形有3个.故选A. 例 6.一个三角形的3条边长分别为x cm,(x-1)cm,(x-2)cm,它的周长不超过39 cm,则x的取值范围为(　　) A B C D 【 答案】 A 　 【 解析】 根据三角形两边之和大于第三边可得x-1+x-2>x,再根据周长不超过39 cm可得 ) ( x+x-1+x-2≤39,联立两个不等式得 解得3<x≤14,故选A. 例 7.三个数3,1-a,1-2a在数轴上从左到右依次排列,且以这三个数为边长能构成三角形,则a的取值范围为 　　　　　　 .  【 答案】 .-3<a<-2 【 解析 】 　∵3,1-a,1-2a在数轴上从左到右依次排列,∴3<1-a<1-2a,∴a<-2,∵以这三个数为边长能构成三角形,∴3+1-a>1-2a,∴a>-3,∴-3<a<-2,故答案为-3<a<-2. 例 8.等腰三角形的两边长分别为6 cm,13 cm,其周长为 　　　　 cm.  【 答案】 32 【 解析】 由题意知,应分两种情况:当腰长为6 cm时,三角形的三边长分别为6 cm,6 cm,13 cm,6+6<13,不能构成三角形;当腰长为13 cm时,三角形的三边长分别为6 cm,13 cm,13 cm,6+13>13,能构成三角形,则周长=2×13+6=32 cm. 例 9.a,b,c分别为△ABC的三边长,且满足a+b=3c-2,a-b=2c-6. (1)求c的取值范围; (2)若△ABC的周长为18,求c的值. 【 答案】（1） 2<c<6. （ 2）5 【 解析 】 　(1)∵a,b,c分别为△ABC的三边长,且a+b=3c-2,a-b=2c-6,∴ 解得2<c<6.(2)∵△ABC的周长为18,a+b=3c-2,∴a+b+c=4c-2=18,解得c=5. 例 1 0 .如图,D是△ABC内一点. 求证:(1)AB+AC>BD+CD. (2)AB+BC+AC>AD+BD+CD. 【解析】证明:(1)如图,延长BD交AC于点E.在△ABE中,有AB+AE>BE, 在△EDC中,有DE+CE>CD,∴AB+AE+DE+CE>BE+CD.∵AE+CE=AC,BE=BD+DE, ∴AB+AC+DE>BD+DE+CD,∴AB+AC>BD+CD. (2)由(1)同理可得AB+BC>AD+CD,BC+AC>BD+AD,AB+AC>BD+CD, ∴2(AB+BC+AC)>2(AD+BD+CD),∴AB+BC+AC>AD+BD+CD. ) ( 四．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1．下列各组中的三条线段，能组成三角形的是（      ） A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 【 答案】 D 【 解析 】：A、 ，不能构成三角形；B、 ，不能构成三角形；C、 ，不能构成三角形；D、 ，能构成三角形；故选D． 2．一个三角形的两条边长分别为 和 ，那么第三条边 的范围是（      ） A． B． C． D． 【 答案】 D 【 解析 】∶∵三角形的两条边长分别为 和 ，∴第三条边 的范围是 ，即 ，故选∶D． 3．若三角形两边长分别为 和 ，则第三边长可能为（      ） A． B． C． D． ) ( 【 答案】 B 【 解析 】设三角形的第三边长为 ，∴ ，解得： ，∴选项中 符合题意，故选： ． 4．如图，小明为了估计池塘两岸A、B间的距离，在池塘一侧选取了点O，测得 ， ，那么A、B间的距离不可能是（      ） A． B． C． D． 【 答案】 D 【 解析 】：在 中， ， ，则 ，即 ， ∴A、B间的距离不可能是 ，故选：D． 5 ．一个等腰三角形的三边长分别为3cm、acm、6cm，则它的周长是（      ） A．12cm B．15cm C．12cm或15cm D．不能确定 【 答案】 B 【 解析 】：当a=3时，三角形的三边为3，3，6而3+3=6，不能组成三角形，当a=6时，三角形的三边为3，6，6所以周长为3+6+6=15(cm)故选B． 6. 若三角形的三边长分别是 ，则 的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【 答案】 B 【 解析 】 根据题意，得 ，解得 ，故选：B． 7 ．老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长 度分别为5 cm 、9 cm 、10.5 cm ，并且只能对10.5 cm 的小木棍进行裁切（裁切 后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（      ） A．4 B．5 C．6 D．7 【 答案】 C 【 解析 】设从10.5 cm 的小木棍上裁剪的线段长度为x cm ，则 ，即 ，∴整数x的值为5 cm 、6 cm 、7 cm 、8 cm 、9 cm 、1 cm 0，∴同学们最多能做出6个不同的三角形木架．故选：C． 8 ． 若a ，b，c 是三角形的三边长 ， 则化简|a－b－c|＋|a＋c－b|－|c－a－b|的结果是( ) A. 3a－b－c B. －a－b＋3c C. a＋b＋c D. a－3b＋c 【 答案】 B 【 解析 】 ∵a＋b＞c ，b ＋c＞a ，a ＋c＞b ， ∴ 原式＝b＋c－a＋a＋c－b－a－b＋c＝－a－b＋3c. 9 .四边形ABCD的边长如图所示,对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时,对角线AC的长为(　　) A.2　　　 B.3　　　 C.4　　　 D.5 【 答案】 B　 【 解析】 当AB=AC=3时,2+2>3,符合题意;当BC=AC=4时,2+2=4,不能形成△ADC.故选B. 1 0 .有四根长度分别为2、4、5、x(x为正整数)的木棒,从中任取三根,首尾顺次相接都能围成一个三角形,则围成的三角形的周长(　　) A.最小值是8　　　B.最小值是9 C.最大值是13　　D.最大值是14 ) ( 【 答案】 D　 【 解析】 根据题意可得长度分别为2、4、x,4、5、x,2、4、5,2、5、x的三根木棒都能组成三角形,∴4-2<x<4+2,5-4<x<5+4,5-2<x<5+2,即2<x<6,1<x<9,3<x<7,∴3<x<6.∵x为正整数,∴x取4或5.组成的三角形周长最小时,x=4,三边长分别为2、4、4,其最小周长为2+4+4=10;组成的三角形周长最大时,x=5,三边长分别为4、5、5,其最大周长为4+5+5=14.故选D. 二．填空题（30分） 11 、如果等腰三角形两边长是 6cm 和 3cm ，那么它的周长是 ________ cm ． 【答案】 15 【解析】：当腰为 3cm 时， 3+3=6 ，不能构成三角形，因此这种情况不成立． 当腰为 6cm 时， 6 ﹣ 3 ＜ 6 ＜ 6+3 ，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为 6+6+3=15cm ．故填 15 ． 1 2 、等腰三角形的三边长分别为： x+1 ， 2x+3 ， 9 ，则 x=________ ． 【答案】 3 【解析】： ① 当 x+1=2x+3 时，解得 x= ﹣ 2 （不合题意，舍去）； ② 当 x+1=9 时，解得 x=8 ，则等腰三角形的三边为： 9 、 19 、 9 ，因为 9+9=18 ＜ 19 ，不能构成三角形，故舍去； ③ 当 2x+3=9 时，解得 x=3 ，则等腰三角形的三边为： 4 、 9 、 9 ，能构成三角形．所以 x 的值是 3 ．故填 3 ． 13 ．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为2cm和7cm的木棒，如果要求第三根木棒的长度是奇数，那么第三根的长度是_______． 【 答案】 7 cm 【 解析】 ∵两根长度为2cm和7cm的木棒，设第三根木棒的长度为 ，∴ ，即 ，∵ 为奇数，∴ ．故答案为：7 cm． 14 ．一个三角形的两边长分别是5和11，那么第三边长 的取值范围是________________． 【 答案】 【 解析】 ： 三角形的两边长分别是5和11， 第三边长 的取值范围是 ，即 ， 故答案为： ． 15．若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是 ．（写出一个即可） 【 答案】 5（答案不唯一） 【 解析】 ：由题意知：4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7，整数a可取2、3、4、5、6中的一个， 故答案为：5（答案不唯一）． 1 6 ．三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有 个． 【 答案】 3 【 解析 】：根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何一边不能超过6.5； 根据三角形各边为整数，所以任何一边都大于1，且小于6，故三边可选的数字为2、3、4、5；根据各边不相等可得，三边可以为：2、3、4；2、4、5；3、4、5； 故这样的三角形共有3个，故答案为：3． 1 7 ． 为锐角，AB=16，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为8，BC=x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是____． 【 答案】 x=8或x≥16 【 解析】 ：∵点B到射线AM的距离为8，AB=16，∴当BC⊥AM时，有BC=8，此时△ABC是直角三角形，当BC≥AB时，∴△ABC是钝角三角形，且只有∠ABC是钝角，当8＜BC＜16时，△ABC可能是钝角三角形也可能是锐角三角形，综上：△ABC的形状、大小是唯一确定的，则有∠ACB=90°或BC≥AB，则x的取值范围是x=8或x≥16，故答案为：x=8或x≥16． ) ( 1 8 ．已知某三角形的三边长分别为4，9，a，若a为偶数，则a的取值有__ 4 __个． 【 答案】4 【 解析 】 ： 根据三角形的三边关系，得9－4＜a＜9＋4，即5＜a＜13，∵a为偶数， ∴a为6，8，10，12. 1 9 .若m,n满足等式|m-3|+(n-4) 2 =0,且m,n恰好是等腰三角形ABC的两边长,则△ABC的周长是 　　　　 .  【 答案 】 　11或10 【 解析 】 　∵|m-3|+(n-4) 2 =0,|m-3|≥0,(n-4) 2 ≥0,∴m-3=0,n-4=0,解得m=3,n=4, 当3是等腰三角形的底边长时,三边长分别为4,4,3,能构成三角形,周长为4+4+3=11; 当4是等腰三角形的底边长时,三边长分别为3,3,4,能构成三角形,周长为3+3+4=10. 综上,△ABC的周长是11或10. 20 .定义:各边长均为整数的三角形称为整边三角形,已知△ABC是整边三角形,三角形的三边长分别为a,b,c,且a≤b<c,当b=7时,符合条件的△ABC有 　　　 个.  【 答案 】 　21 【 解析 】 　∵三角形的三边长分别为a,b,c,且a≤b<c,b=7,∴a=1或2或3或4或5或6或7.根据三角形的三边关系,得当a=1时,c不存在;当a=2时,c=8;当a=3时,c=8或9; 当a=4时,c=8或9或10;当a=5时,c=8或9或10或11;当a=6时,c=8或9或10或11或12;当a=7时,c=8或9或10或11或12或13.综上,符合条件的△ABC有21个.故答案为21. 三．解答题（60分） 2 1 ．判断下列各组线段中，哪些首尾相接能组成三角形，哪些不能组成三角形，并说明理由． (1)a＝2.5cm，b＝3cm，c＝5cm； (2)e＝6.3cm，f＝6.3cm，g＝12.6cm． 解： (1)能，理由：∵2.5+3>5，这三条线段首尾相接能组成三角形； (2)不能，理由 ： ∵6.3+6.3=12.6，这三条线段首尾相接不能组成三角形． 2 2 .已知△ABC的三边长分别是a,b,c. (1)若a=4,b=6,且三角形的周长是小于18的偶数,求c的值; (2)化简|a+b-c|+|c-a-b|. 解 ： (1)∵a,b,c是△ABC的三边长,a=4,b=6,∴6-4<c<6+4,∴2<c<10. ∵三角形的周长是小于18的偶数,∴a+b+c<18,即c<8,∴c=4或6. (2)∵a,b,c是△ABC的三边长,∴a+b>c,∴|a+b-c|+|c-a-b|=a+b-c-c+a+b=2a+2b-2c. 23 已知P是△ABC内任意一点. (1)如图1,求证:AB+AC>PB+PC; (2)如图2,连接PA,比较AB+AC+BC与PA+PB+PC的大小关系. 解 ： (1)证明:如图,延长BP交AC于D. 在△ABD中,AB+AD>BP+PD,在△PCD中,PD+DC>PC,所以AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC, 即AB+AC>PB+PC. (2)AB+AC+BC>PA+PB+PC. 理由:由(1)得AB+AC>PB+PC,同理可得AC+BC>AP+PB,AB+BC>AP+PC, 以上三式相加得到2(AB+AC+BC)>2(AP+BP+PC),即AB+AC+BC>PA+PB+PC. ) ( 24. 某市木材市场上木棒的规格与价格如下表: 规格 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 价格/(元/根) 10 15 20 25 30 35 小明的爷爷要做一个三角形的支架,现有两根长度分别为3 m和5 m的木棒,还需要到该木材市场上再购买一根. (1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择? (2)在能做成三角形支架的情况下,选择哪一种规格的木棒最省钱? 解 ： (1)设第三根木棒的长度为x m.根据三角形的三边关系可得5-3<x<5+3, 解得2<x<8,∴x=3或x=4或x=5或x=6,∴有4种规格的木棒可供小明的爷爷选择. (2)根据木棒的价格可得选3 m最省钱. 25 .已知△ABC的三边长分别为a,b,c. (1)若a,b,c满足(a-b) 2 +(b-c) 2 =0,试判断△ABC的形状; (2)若a=5,b=2,且c为整数,求△ABC的周长的最大值及最小值. 解 ： (1)∵(a-b) 2 +(b-c) 2 =0,∴a-b=0,b-c=0,∴a=b=c,∴△ABC是等边三角形. (2)∵a=5,b=2,∴5-2<c<5+2,即3<c<7,又c为整数,∴c=4,5,6,当c=4时,△ABC的周长最小,最小值=5+2+4=11;当c=6时,△ABC的周长最大,最大值=5+2+6=13. 26. 如图，四个工厂A、B、C、D，试找一个供应站M，使它到四个工厂的距离之和为最小． 解：如图所示， 连接AC，BD，它们的交点是M，点M就是修建供应站的位置，这一点到A，B，C，D四点的距离之和最小．理由：任取一点P，∵PB+PD≥BD，PA+PC≥AC，∴PB+PD+PA+PC≥AC+BD，∴所求作的点M符合题意． 27. 【定义】 若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形” 例如，三边为 6 ， 8 ， 10 的三角形是“好运三角形”． （ 1） 【概念运用】 在 △ABC 中， AB=2 ， BC=4 ，若 △ABC 为“好运三角形”，求 AC 的长； （ 2） 【变式运用】 已知 △ABC 的周长为 16 ， AC=4 ，若 1B 的长为偶数，试判断 △ABC 是否为“好运三角形”． 解 ： （1） △ ABC中，根据三角形三边关系 “ 任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边 ” ，已知AB = 2，BC = 4，所以4 - 2 ＜ AC ＜ 4 + 2，即2 ＜ AC ＜ 6。 因为 ＜ ABC为 “ 好运三角形 ” ， “ 好运三角形 ” 三边长均为偶数，所以AC的长为偶数。 在2 ＜ AC ＜ 6这个范围内的偶数只有4，所以AC = 4。 （2）已知 △ ABC的周长为16，AC = 4，因为三角形周长等于三边之和，即AB + BC + AC = 16，所以AB + BC = 16 - 4 = 12，则BC = 12 - AB。因为AB的长为偶数，12是偶数，根据偶数减偶数为偶数，所以BC = 12 - AB的长也为偶数。又已知AC = 4为偶数，所以 △ ABC的三边长均为偶数，根据 “ 好运三角形 ” 的定义，可知 ＜ ABC是 “ 好运三角形 ” 。 总结（1）AC的长为4；（2） △ ABC是 “ 好运三角形 ” 。 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$