第十七章勾股定理 单元练习2024-2025学年人教版数学八年级下册

第十七章勾股定理　 练习题 一、单选题 1．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．1，2，3 B．5，12，13 C．5，6，10 D．12，13，14 2．一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则，两港之间的距离为（   ） A． B． C． D．不能确定 3．如图，一只蚂蚁从边长是正方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它需要爬行的最短路线的长是（    ） A． B． C． D． 4．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，正方形，，，的边长分别是，，，，则最大正方形的面积是（    ）． A． B． C． D． 5．如图，点A表示的数为（    ） A．1.414 B． C． D． 6．如图，圆柱形玻璃杯的底面直径．当吸管直立于杯底时，高出杯口，当吸管与点A，C接触时，杯外部分长，则吸管长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，，，是坐标原点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 9．如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问葭长几何．大意是：如图，水池底面的宽丈（丈等于尺），芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，芦苇的长度是（   ）尺． A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，数轴上点D表示的实数是 ． 12．如图等腰三角形的底边长为，腰长为，一动点P(不与B，C重合)，在底边上从B向C以的速度移动，当P运动 秒时，三角形是直角三角形． 13．如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则 ． 14．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，长为半径画弧交最上方的网格线于点D，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ． 15．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ．（用含的代数式表示）． 三、解答题 16．如图，在中，． (1)在边上求作一点，连接，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求的长． 17．某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，甲船以每小时15海里的速度沿北偏东方向航行，乙船以每小时20海里的速度沿南偏东方向航行．问：离开港口2小时后，两船相距多少海里？ 18．如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且． (1)求的度数． (2)若直线为工厂的车辆进出道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少米？（精确到1m，参考数据，） 19．如图，在中，于点D． (1)已知，，，求证：； (2)已知． ①若，，求的长； ②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________． 20．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十七章勾股定理　 练习题2024-2025学年人教版数学八年级下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B D C B B D C 1．B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条边的长能否构成直角三角形，从而可以解答本题． 【详解】解：A、，故不可以构成直角三角形，不符合题意； B、，故可以构成直角三角形，符合题意； C、，故不可以构成直角三角形，不符合题意； D、，故不可以构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 2．C 【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，根据题意，得，，，，    ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即，两港之间的距离为． 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，， ∵展开后由勾股定理得：， ∴它需要爬行的最短路线的长是， 故选：． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理的几何意义可得，然后代入即可求解，解题的关键是熟悉勾股定理的几何意义． 【详解】解：如图， 根据勾股定理的几何意义， 可知 ， 故选：． 5．D 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，由勾股定理可得，再根据数轴即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴点A表示的数为， 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了勾股定理，理解题意得，，，根据勾股定理列式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： 依题意，，，， 在中，， ∴， 即， ∴， 则， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握这些性质与定理是解题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理判断出，然后根据等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 又，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、勾股定理，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：（负值舍去）， ∴， 故选：B． 9．D 【分析】根据网格的特点以及等腰直角三角形的性质，分类讨论，找出符合题意的点，即可求解． 【详解】解：如图， 格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有个 故选：D． 10．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水池深度为尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：设水池深度为尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ∴芦苇的长度是尺 故选：C． 11． 【分析】此题主要考查在数轴上表示无理数，正确理解实数与数轴上的点一一对应的关系是解题关键． 直接根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ∴数轴上点D表示的实数是． 故答案为：． 12．或4 【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法． 先利用等腰三角形“三线合一”求出、以及边上的高，再分别讨论和为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下的长，即可求出所需时间． 【详解】解：如图，作， ∵， ∴， 当点P运动到与点D重合，即为直角时，是直角三角形， 此时， ∴运动时间为(秒)； 当时，设 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 所以运动时间为(秒)； 综上可得：当P运动4秒或秒时，是直角三角形； 故答案为：或4． 13．8 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质，先求出，得出，再由直角三角形的性质结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形，是边上的中线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了勾股定理，求出的长是解题的关键． 连接，则，在中，利用勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意知：， 在 中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了弦图，完全平方公式，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，根据题意，，结合已知化简计算即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边为，较短直角边为， 根据题意，， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的值是， 故答案为：． 16．(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，勾股定理的应用． （1）作的垂直平分线，再得出，结合三角形的外角的性质可得结论； （2）设，则，再利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． . 理由：∵由作图可得为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵． 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， 的长为. 17．海里 【分析】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题、勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．离开港口2小时后，甲、乙两船的位置分别记为A，B，由题意得，，（海里），（海里），利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，离开港口2小时后，甲、乙两船的位置分别记为A，B， 由题意得，，（海里），（海里）， （海里） 答：离开港口2小时后，两船相距50海里． 18．(1) (2)被监控到的道路长度为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：连接， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，， 是直角三角形，， ； （2）解：过点作于，作点关于的对称点，连接， ， 由轴对称的性质，得：，， 由（1）知，， ， 是等腰直角三角形，， ∴， ， ， 被监控到的道路长度为． 19．(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得、，再根据勾股定理逆定理即可证明结论； （2）设，则，由勾股定理可得求解即可：②由勾股定理可得，进而得到求解即可． 【详解】（1）证明∶∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①设，则， ∴， ∴，即，解得：（已舍弃负值）， ∴． ②根据勾股定理得，， ∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 20．（1）的长为24；（2）的长为6；（3）的长为5或20 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定 （1）由折叠得到，然后对运用勾股定理即可求解； （2）先证明，设，则，在中，由勾股定理建立方程，即可求解； （3）设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况：①如图，当点在长方形内部时，在中，由勾股定理得，则，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时，由折叠的性质得：，同①得，此时，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为20． 【详解】解：（1）， ， 由折叠的性质得：， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 即的长为24； （2）四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为6； （3）四边形是长方形， ， 设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，同①得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，即的长为20； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$