第十七章勾股定理　复习练习题2024-2025学年人教版数学八年级下册

第十七章 勾股定理　复习练习题 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．13，14，15 B．9，40，41 C．3，4， D．1，， 2．如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（   ） A．1 B． C． D． 3．如图，在，．分别以为边作正三角形，连接，交于点，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，为半径作弧，与数轴交于点，那么点表示的无理数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（杯壁厚度不计）（   ） A． B．25 C． D．13 6．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积是(    ) A． B． C． D． 7．如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点，过两点作直线交于点，则的长是（　　）cm． A． B． C．3 D．2.6 8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 9．如图，在中，，记长为，长为．则的值为（    ） A．55 B．42 C．45 D．32 10．如图，正方形的面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，数轴上的点M表示的数为m，则 ． 12．如图，一个圆锥的高，底面半径，则 ． 13．如图，在中，，分别以边，向外作正方形，其面积分别为11，7，则 ． 14．如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为 ． 15．彩旗在藏语中的意思是隆达，也被称为风马旗或经幡．如图，在西藏某地有一根垂直于地面的木杆，木杆顶部与一条彩旗的一头绑定，将彩旗拉直，彩旗的另一头插入地面（两端接头处忽略不计）．若测得彩旗插入地面处到木杆底部的距离为，彩旗的长度为，则木杆的高度为 ． 三、解答题 16．如图，有一块不规则的四边形钢板．已知，，，，，工人师傅计划把它打造成一种模具，需要知道它的具体面积，请你帮忙算出来． 17．如图，点，，，是正方形网格的格点，每个小正方形的边长均为，请利用网格完成下面画图： (1)在图中过点画； (2)在图中过点，画，垂足为点； (3)在图中以为一边，画一个正方形，并写出它的面积． 18．在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 19．公园是周围市民健身散步的好去处，在某公园入口处有两条路线可以到达山顶．观景台在凉亭的正东方向，在入口的东北方向；凉亭在入口的西北方向，山顶在凉亭的北偏东方向，在观景台的北偏西方向，小明沿路线跑步到达山顶，与沿步行到山顶的爸爸汇合．已知米．（参考数据：，，） (1)求观景台到山顶的距离（结果保留根号）； (2)若小明跑步的速度为120米/分钟，爸爸步行的速度为80米/分钟，则爸爸和小明谁先到达山顶？请说明理由．（结果保留小数点后一位） 20．如图，在中，，，． (1)求和的长； (2)若点E为线段的中点，点F在边上，连接，沿将折叠得到，当点P落在上时，如图2，判断与的数量关系，说明理由； (3)若点E为线段的中点，点F在边上，连接，沿将折叠得到，连接，线段与交于点H，当时，如图3，求和的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十七章 勾股定理　复习练习题2024-2025学年人教版数学八年级下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D D A A C C D 1．B 【分析】此题主要考查了勾股数，掌握勾股数的定义及勾股定理的逆定理是解题的关键．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故选项错误，不符合题意； B、，能构成直角三角形，是整数，故选项正确，符合题意； C、不是整数，故选项不符合题意； D、1，，，不是整数，故选项不符合题意； 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出，再根据求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选C． 3．A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质及勾股定理，勾股定理，关键是由等边三角形得到三角形的全等，然后利用勾股定理进行求解即可．过D作于G，结合勾股定理以及等边三角形的判定与性质，来证明，故，即可作答． 【详解】解：如图所示，过D作于G， ∵是等边三角形， ． ， ． ， ． 在中，，， ∴， 和是等边三角形， ，， ． ． 在和中， ． ∴ 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了勾股定理，熟记定理并求出的长是解题的关键．利用勾股定理列式求出判断即可． 【详解】解：由勾股定理得， ∴点C表示的无理数是． 故选：D 5．D 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将杯子侧面展开，如图：延长至，使，作于，连接交于，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，延长至，使，作于，连接交于，    ∴，，， ∵底面周长为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴最短距离为． 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．连接，利用勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ，， ， ， ，， ， 为直角三角形，且， ， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 连接，得垂直平分线段，推出，设，在中，，根据构建方程即可解决问题． 【详解】解：连接． ∵，， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 解得， ∴， 故选A． 8．C 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可． 【详解】解：A、，本选项结论正确，不符合题意； B、，，， ， ， 本选项结论正确，不符合题意； C、，本选项结论错误，符合题意； D、点A到的距离，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 9．C 【分析】本题考查求线段长，涉及等腰三角形性质、勾股定理等知识，过点作，如图所示，先由等腰三角形三线合一性质得到长度，在和中，由勾股定理列式，作差即可得到答案．熟记等腰三角形性质，再由勾股定理列式求解是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，如图所示： ， 则由等腰三角形三线合一性质可知，是边上的中线， , 则， 记长为，长为， 在中，由勾股定理可得,即； 在中，由勾股定理可得,即； , 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及等腰直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理，找出规律是解题的关键．设正方形的边长为，求出找出规律，则，即可得出结论． 【详解】 解：如图，设正方形的边长为， 则， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， ， 同理，， 则， ， ． 故选：D． 11．/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理求出的长，即可得到的长，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∴， 故答案为：． 12．// 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理列式计算，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 在中，． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查勾股定理．根据勾股定理即可求出，进而可求出，即可求出面积． 【详解】解：∵在中，，分别以边，向外作正方形，其面积分别为11，7， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．8 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一性质、勾股定理等知识点，利用垂直平分线将转化为，找到P、A、D三点共线时最短成为解题的关键． 由作法知是的垂直平分线，可得，线段的最小就是，当A、P、D三点共线时最短，由点D是底边的中点，可，由可得，在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由作法知是的垂直平分线， ∴， ∴， 线段的最小就是， 当A、P、D三点共线时最短， ∵点D是底边的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：． ∴线段的最小值为8． 故答案为8． 15． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意可得木杆的长的平方等于彩旗的长的平方减去彩旗插入地面处到木杆底部的距离的平方，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，木杆的高度为， 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，利用勾股定理可得，则可证明得到，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析，正方形的面积为． 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （）根据平行线的定义画出图形； （）根据垂线的定义画出图形，取格点，作直线交于点即可； （）作一个边长为的正方形即可． 【详解】（1）解：如图中，线段即为所求； （2）解：如图中，直线即为所求； （3）解：如图，正方形即为所求，正方形的面积． 18．(1) (2)，． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算可得，作于点，连接，利用等积法求得，利用勾股定理求得，再利用等积即可求解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∴． 作于点，连接， ∵点落在直角边的中点上， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴． 19．(1) (2)小明先到达山顶 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的性质得到，进而由勾股定理得到，即可； （2）由题意得：，，根据时间计算比较即可． 【详解】（1）解：由题意得：，，，． ，，． ，，． ． 在中，，，根据勾股定理得， ． 又，， ． 在中，，，， 根据勾股定理得， ． 观景台到山顶的距离为． （2）解：由题意得：，， 小明所用时间为：． 爸爸所用时间为：． ， 小明先到达山顶． 20．(1)， (2) (3)， 【分析】(1) 先根据垂直的意义得出，再根据，，求得，然后根据，求得与，再根据求得； (2) 先判断，再说理，先根据折叠的性质得到，， 从而可根据等边对等角证得，，，再根据三角形内角和定理得到，进而得到，于是有，再根据等角的余角相等可得 ，再根据等角对等边得到； （3）先根据折叠的性质得到，，，从而可得，于是可求得 ，进而求得，再根据，得出，然后利用含有的直角三角形的性质得到进而得到关于的方程求出，从而可求得，再利用求得． 【详解】（1）解：如图，作于D， 则， ∵， ∴， ， ， ， ，； （2）解：，理由如下： ∵沿将折叠得到， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，设与交于点O，． 设与交于点O， ∵， ∴， ∵沿将折叠得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ， ， ， 作于Q， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，含有的直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握有关知识． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$