专题01 特殊平行四边形三类存在性问题（压轴题专项训练）数学北师大版九年级上册

专题01 特殊平行四边形三类存在性问题 目录 典例详解 类型一、菱形存在性问题 类型二、矩形存在性问题 类型三、正方形存在问题 压轴专练 类型一、菱形存在性问题 例 如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，与交于点．，的长满足式子．    (1)求点，的坐标； (2)直接写出点的坐标，并求出直线的函数解析式； (3)是轴上一点，在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-1 如图，经过点作轴的平行线，交一次函数的图象于，函数的图象与轴分别相交于B、A．（其中）    (1)写出点的坐标，用含的式子表示； (2)当的面积是时，交轴于点，求点的坐标； (3)取时，在直线上有一点，坐标平面内是否存在点，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-2 在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，经过点A的直线与y轴交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线上一动点，若的面积为18，求点P的坐标； (3)如图2，将沿着x轴向右平移得到，在坐标平面内是否存在点M，使得以、、B、M为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-3在平面直角坐标系中，已知直线与直线：交于点分别交坐标轴于点A、B、C、D． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点P为线段上的一个动点，将绕点B逆时针旋转得到，连接与．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式，以及的最小值； (3)直线上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 类型二、矩形存在性问题 例2．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝x＋m与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），直线AC经过y轴负半轴上的点C，且OA＝OC． （1）求直线AC的函数表达式； （2）直线AC向上平移9个单位，平移后的直线与直线AB交于点D，连结DC，求△ACD面积； （3）在（2）的条件下，平移后的直线与x轴交于点E，点M为直线AB上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点E，D，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2-1 平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图①． (1)写出点C的坐标； (2)在图①中，连接，得到图②，求与的交点M的坐标； (3)将图②中的线段向两方延长得到图③，若点 D、E为直线上不与B、C重合的动点，是否存在这样的点D、E，使得四边形为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形的面积和点 D、E 的坐标，若不存在，请说明理由． 变式2-2 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标为且． (1)求对角线的长度； (2)把矩形沿直线对折使点落在点处，与相交于点，求四边形的周长； (3)若点在坐标轴上，平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 变式2-3 如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点．将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)直接写出直线的表达式； (2)E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G．当时，求点E的坐标； (3)如图②，若M为线段的中点，N为直线上一点，P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程． 类型三、正方形存在性问题 例3（1）【建构模型】 如图1，在正方形中，直线l经过点D，过点A、C分别作，交l于点F，E，求证：； （2）【应用模型】 已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； （3）【拓展模型】 如图3，四边形是矩形，O为坐标原点，点B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，P是线段上动点，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标． 变式【模型探究】如图①，等腰直角三角形中，，，过点作于点，过点作于点．求证：． 【迁移应用】如图②，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴交于、两点． （）的长为________，的长为________． （）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线所对应的函数表达式为________． 【拓展延伸】如图③，直线：与轴、轴分别交于、两点，若点是第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点．点在此一次函数的图象上，其横坐标为，直线上、两点间的部分（包括、两点）记为图象． (1)________； (2)当图象与轴有交点时，求的取值范围； (3)当图象最高点与最低点的纵坐标之差为6时，求的值； (4)平面内有一点，以点为对称中心构造正方形，使得轴，当图象与正方形的边有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 2．综合与实践在一次数学实践探究课上，老师带领学生以四边形折叠为主题进行探究活动． 问题情景：四边形中，，点在上，点在上，将沿翻折，使顶点落在四边形内，对应点为，点为边上一点，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好在射线上． (1)奋进小组提出的问题是：如图1，若四边形为矩形，点在射线上，，则与的位置关系是___________，数量关系是___________； (2)智慧小组提出的问题是：将矩形改为平行四边形，其他条件不变，（1）中的两个结论是否仍然成立？并就图2的情形说明理由； (3)创新小组提出的问题是：如图3，将问题迁移到平面直角坐标系中，使得矩形的边在轴上，三点重合，若点，点为的三等分点（位置不确定），连接，请直接写出点的坐标． 3．综合与探索 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）    【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， （1）直接写出_________，_________； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为_________；    （3）如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式；    【拓展应用】 （4）如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．    4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，P是x轴上一点．    (1)填空：线段______； (2)若点P在线段上（点P不与点O，A重合），将绕点P旋转后得到（点C，D，E依次与点O，A，B对应），连接，，若四边形恰好是矩形，求点P的坐标； (3)若P是x轴负半轴上一点，F是一次函数的图象上一点，Q是坐标平面内一点，且以P，Q，B，F为顶点的四边形是正方形，直接写出点Q的坐标． 5．如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与交于点E．的长满足式子． (1)求点A，C的坐标； (2)求出点E的坐标和直线的函数解析式； (3)F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，直线分别交坐标轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点P为线段上的一个动点，将绕点B逆时针旋转得到，连接与．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式； (3)直线上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接写出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 特殊平行四边形三类存在性问题 目录 典例详解 类型一、菱形存在性问题 类型二、矩形存在性问题 类型三、正方形存在问题 压轴专练 类型一、菱形存在性问题 例 如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，与交于点．，的长满足式子．    (1)求点，的坐标； (2)直接写出点的坐标，并求出直线的函数解析式； (3)是轴上一点，在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，的坐标为或或或 【分析】（1）根据非负数的性质，求出、的长即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，，构建方程求出，可得点坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （3）分情形分别求解即可解决问题①当OB为菱形的边时②当OB为菱形的对角线时，分别画出图形，根据菱形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，的长满足式子． ，， ，， ，； （2）解：四边形是矩形， ， ， 根据翻折不变性可知：， ， ，设， 在中，， ，解得， ， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的函数解析式为； （3）或或或． 如图，    ，， ． ①当为菱形的边时，，故， ，故． ②当为菱形的对角线时，， 设，则， 在中，， ，解得， ， ， ③当为对角线时，可得， 综上所述，存在，满足条件的点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数综合运用，算术平方根的非负性，菱形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 变式1-1 如图，经过点作轴的平行线，交一次函数的图象于，函数的图象与轴分别相交于B、A．（其中）    (1)写出点的坐标，用含的式子表示； (2)当的面积是时，交轴于点，求点的坐标； (3)取时，在直线上有一点，坐标平面内是否存在点，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，、或者 【分析】（1）根据轴的平行线经过点，可知C点横坐标为m，再将其代入一次函数，问题得解； （2）先求出A、B的坐标，即有， 再根据的面积是，且，，可得，即有， 可得，再证明，即有，问题随之得解； （3）先求出，，， 当点P、Q分别位于、时，四边形是菱形，可得，可得点与点D重合，可得；当点P、Q分别位于、时，四边形是菱形，有，，进而有轴，可得，当点P、Q分别位于、时，四边形是菱形，同理可求，问题得解． 【详解】（1）∵轴的平行线经过点， ∴C点横坐标为m， ∵平行线，交一次函数的图象于， ∴， ∴； （2）如图，    当时，，解得：， 当时，， ∴，， ∴， ∵的面积是，且，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴，， ∵， ∴，， 如图，    当点P、Q分别位于、时，四边形是菱形， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴点与点D重合， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点P、Q分别位于、时，四边形是菱形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∴， 当点P、Q分别位于、时，四边形是菱形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∴， 综上：Q分点坐标为：、或者． 【点睛】本题是一道一次函数与菱形的综合题，主要考察了菱形的性质，一次函数的图象与性质以及勾股定理等知识，掌握菱形的性质，准确画出图象，是解答本题的关键． 变式1-2 在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，经过点A的直线与y轴交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线上一动点，若的面积为18，求点P的坐标； (3)如图2，将沿着x轴向右平移得到，在坐标平面内是否存在点M，使得以、、B、M为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，， 【分析】（1）运用待定系数法，将点坐标代入解析式，求解方程组即可； （2）先注意判定点P的位置，如图，，于是点P在第二象限，或第四象限．设，分点P在第二象限，或点P在第四象限，运用组合图形求面积的思路分别求解； （3）存在；由平移知，，，轴；设平移距离为s，则，，分情况讨论：①若以为对角线构成菱形，如图，则点M应在x轴上，②若以为对角线构成菱形，则，点M在x轴上，③若以为对角线构成菱形，根据菱形的判定方法，由边相等构造方程求解； 【详解】（1）解：，时，；时，，得； ∴点． 直线经过点A，C，所以 ，解得． ∴； （2）解：如图，，， ∴． ∵的面积为18， ∴点P在第二象限，或第四象限．设， 若点P在第二象限，则 ， 解得，，；    若点P在第四象限，则 ， 解得，,；    ∴点P的坐标为或． （3）解：存在；由平移知，，，轴； 设平移距离为s，则，， ①若以为对角线构成菱形，则,点M应在x轴上，令， 由,得，； 由,得； ∴ ∴时，，构成菱形． 此时，    ②若以为对角线构成菱形，则，点M在x轴上，令 由，得，，解得， ∴, 由,得， ∴， ； ∴时，，四边形是菱形． 此时，    ③若以为对角线构成菱形， 由，得， 解得（舍去）或， ∴, 由,设，由，得， 解得，（舍去）或， 此时, ∴时，，四边形构成菱形 ． 此时，．    【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，菱形的判定，直角坐标系内求解三角形面积；由菱形的判定方法转化为线段间的数量关系从而求解点坐标是解题的关键． 变式1-3在平面直角坐标系中，已知直线与直线：交于点分别交坐标轴于点A、B、C、D． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点P为线段上的一个动点，将绕点B逆时针旋转得到，连接与．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式，以及的最小值； (3)直线上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【分析】（1）把代入确定a值，再代入确定直线的解析式； （2）分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足为G、H，设点，则点，根据旋转证明，可求得点，即有点Q运动所形成的线段所在直线的解析式，再利用二次函数的性质即可求得其最小值； （3）分为边、为对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得， 把代入，得， 解得， 故直线的表达式为：； （2）分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足为G、H，如图， ∵直线的表达式为：， ∴设点，则点， ∵绕点B逆时针旋转度得到， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∵直线， ∴点， ∴，， 故点， 令， ∴． ，当时，， 故最小值为． （3）∵直线，直线上有任意一点F， ∴设点F的坐标为， ∵点，点， ∴， ∵点，点， ∴， 当点F与点M重合时，为菱形的一边时， 点M沿着平移5个单位长度，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， 得到点M平移后的点都是符合题意的， ∵点， ∴； 当点F在的左侧，为菱形的一边时， 点F沿着平移5个单位长度，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∵点F的坐标为，， ∴， 解得， 故点或， 点F沿着平移5个单位长度，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， 得到点N平移后的点都是符合题意的， ∴或， 当是菱形的对角线时， 设与的交点为G，则， ∵轴，∴，∴，，解得，∴， 综上，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数的运用，涉及到待定系数法求解析式、一次函数的性质、三角形全等、二次函数的最值、菱形的判定和性质、平移思想和分类思想，熟练掌握待定系数法、菱形的判定和性质和平移是解题的关键． 类型二、矩形存在性问题 例2．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝x＋m与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），直线AC经过y轴负半轴上的点C，且OA＝OC． （1）求直线AC的函数表达式； （2）直线AC向上平移9个单位，平移后的直线与直线AB交于点D，连结DC，求△ACD面积； （3）在（2）的条件下，平移后的直线与x轴交于点E，点M为直线AB上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点E，D，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；（2）18；（3）或． 【分析】（1）根据点B在直线上，可求得直线AB的解析式，进而可求得点A的坐标；由OA=OC ，可得点C的坐标，用待定系数法则可求得直线AC的表达式； （2）根据题意，可求得直线AC向上平移9个单位后的直线解析式，联立此解析式与直线AB 解析式，可求得点D的坐标；过点D作DF⊥y轴于点F，则根据，即可求得结果； （3）分三种情况讨论：分别以ED、EM、EN为矩形的对角线这三种情况；利用两直线垂直，函数解析式中一次项系数之积为-1，以及矩形对角线互相平分的性质，可得方程组，可求得点N的坐标． 【详解】（1）∵B(0，2)在直线AB：上 ∴m=2 即直线的解析式为： 令，得 ∴A(-4，0)，且OA=4 ∴OC=OA=4 ∵点C在y轴负半轴上 ∴C(0，-4) 设直线AC的表达式为：，其中 把A、C两点的坐标分别代入中，得： 解得： ∴直线的表达式为： （2）把直线AC向上平移9个单位后的表达式为： ，即 解方程组： ，消去y，得 ∴x=2 把x=2代入中，得y=3 故方程组的解为： 即点D的坐标为(2，3) 过点D作DF⊥y轴于点F，如图 则DF=2 ∵B(0，2) ∴OB=2 ∴BC=OB +OC=2+4=6 ∴ =18 （3）令，得x=5 ∴E(5，0) ∵点M在直线上 ∴设点M的坐标为 ①当点E、D、M、N是以ED为对角线的矩形时，则ME⊥MD ∴ 即： 解得：或 ∵矩形的对角线相互平分 故有： ∴ 当t=2时，点M坐标为(2，3)，故点M与点D重合，不合题意 当时，， 即点N的坐标为 ②当点E、D、M、N是以EM为对角线的矩形时，则DE⊥DM 则 即 解得t=2，即点M与点D重合，不合题意 ③当点D、E、M、N是以EN为对角线的矩形时，则ME⊥ED 则 即 解得：t=14 ∴M(14，9) ∵矩形的对角线相互平分 ∴ 即 ∴， 即点N的坐标为(11，12) 综上所述，满足条件的点N的坐标为或 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，平面直角坐标系中求图形的面积，求两直线交点坐标，矩形的性质等知识，涉及分类讨论，数形结合等数学思想，其中第（3）小题比较难，探索以四点为顶点的矩形的存在问题，是中考常考的压轴题型． 变式2-1 平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图①． (1)写出点C的坐标； (2)在图①中，连接，得到图②，求与的交点M的坐标； (3)将图②中的线段向两方延长得到图③，若点 D、E为直线上不与B、C重合的动点，是否存在这样的点D、E，使得四边形为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形的面积和点 D、E 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，图见解析，矩形的面积为12， 【分析】（1）根据平行四边形的对边相等和已知点的坐标求得点的坐标即可； （2）首先求得直线的解析式，然后得到直线的解析式，联立后即可求得交点的坐标； （3）分别过点、作于点，于点，过、分别作轴和的垂线，垂足分别为、，利用四边形是平行四边形，得到，从而得到四边形是矩形，且与平行四边形面积相等，从而求得矩形的面积为12，求得线段和线段后即可求得点的坐标，同理即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， 、， ； （2）解：如图②，设所在的直线的解析式为， 直线经过点、， ， 解得： 所在直线的解析式为， 由于直线过原点， 设直线的表达式为， 将点代入，得， 解得：， 直线的表达式为， 联立方程 解得：， 即的坐标是； （3）解：存在这样的、，使得四边形是矩形． 分别过点、作于点，于点，过、分别作轴的垂线和的垂线，垂足分别为、， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形，且与平行四边形面积相等， 平行四边形的面积为， 矩形的面积为12，即， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，，，， ，，     ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 【点睛】此题主要考查四边形的综合知识、勾股定理等知识，综合性较强，熟练掌握知识点及应用是解题的关键． 变式2-2 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标为且． (1)求对角线的长度； (2)把矩形沿直线对折使点落在点处，与相交于点，求四边形的周长； (3)若点在坐标轴上，平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点坐标为或或或． 【分析】（）由四边形是矩形得，，又，然后根据角所对直角边是斜边的一半即可求解； （）由折叠性质可知，，垂直平分，证明是等边三角形，即可证明四边形是菱形，设，则，最后理性质和勾股定理即可求解； （）当是矩形的边时，分点在轴上，当点在轴上，当是矩形的对角线时，分点在轴上，当点在轴上 即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点坐标为， ∴，， ∵， ∴； （2）解：由折叠性质可知，，垂直平分， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴四边形； （3）存在， 如图，当是矩形的边时，当点在轴上， ∵是的中点， ∴ ， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， 过点，作于点， 则，， ∴， 当点在轴上，， ∴， 过点作轴于点， 则 ， ∴， ∵ ， ； 如图，当是矩形的对角线时， 当点在轴上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， 当点在轴上时，则点为， 综上所述，平面内存在点，以点为顶点的四边形为矩形，点的坐标为 或或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 变式2-3 如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点．将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)直接写出直线的表达式； (2)E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G．当时，求点E的坐标； (3)如图②，若M为线段的中点，N为直线上一点，P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程． 【答案】(1) (2) (3)或或，见解析 【分析】（1）依题意求出点A，B坐标，求出，求出点C，D的坐标，用待定系数法求解析式； （2）设，则，由轴可得点G的纵坐标为，代入一次函数可得点G的横坐标为，表示出，求出，根据，可得a的值，即可得点E的坐标； （3）分两种情况：①为矩形的边时，②为矩形的对角线时，根据矩形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：一次函数，令，则，令，则， ∴，即，， ∵将绕点O顺时针旋转得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为；； （2）设，则， ∵轴， ∴点G的纵坐标为， 将代入一次函数得：， ∴，即点G的横坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E的坐标为； （3）解：①为矩形的边时，如图，分别过点O、M作交直线于N，作交直线于，在分别过点N、作交直线于P，作交直线于，则四边形、四边形均为矩形， ∵，点M为线段的中点， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N为线段的中点， ∵， ∴； 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴可设直线的解析式为， 将代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立直线得， 解得， ∴； 综上，为矩形的边时，点N的坐标为或； ②为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴轴， ∵四边形为矩形， ∴轴， ∴点N与点C重合， ∴． 综上，以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形时，点N的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，中点坐标公式的运用，一次函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，矩形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 类型三、正方形存在性问题 例3（1）【建构模型】 如图1，在正方形中，直线l经过点D，过点A、C分别作，交l于点F，E，求证：； （2）【应用模型】 已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； （3）【拓展模型】 如图3，四边形是矩形，O为坐标原点，点B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，P是线段上动点，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】（1）见详解，（2）（3）或 【分析】（1）由正方形的性质可得出，，再得出，最后利用可证明； （2）①过作轴于点，由直线解析式可求得、的坐标，利用模型结论可得，进而可得出，，求的，从而可求得点坐标． ②分两种情况考虑：如图3、图4所示，构造如图（1）模型，由全等三角形性质可得线段相等，设点D坐标为，即可用x表示P点坐标，根据点P在上列方程即可求出的坐标． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ； （2）如图2，过作轴于点， 在中，令可求得，令可求得， ∴， ，， 由旋转的性质可得出：， 同（1）可证得， ，， ， ， （2）∵矩形，O为坐标原点，B的坐标为， ∴A点坐标为，C点坐标为， 当四边形是正方形时， ，， 如图3，当D在A点下方时， 过D点作轴，垂足为N，交于M， 同理（1）：，，， 设D点坐标为，则N点坐标为， ∴，， ∴，P点坐标为， ∵P在上， ∴， ∴ ∴点坐标； 如图4，当D在A点上方时， 同理（1）：，，， 设D点坐标为，则N点坐标为， ∴，， ∴，P点坐标为， 因为P在上， ∴， ∴ ∴点坐标； 综上可知满足条件的点的坐标分别为或． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、正方形和矩形的性质、旋转的性质、分类讨论及数形结合的思想．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 变式【模型探究】如图①，等腰直角三角形中，，，过点作于点，过点作于点．求证：． 【迁移应用】如图②，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴交于、两点． （）的长为________，的长为________． （）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线所对应的函数表达式为________． 【拓展延伸】如图③，直线：与轴、轴分别交于、两点，若点是第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】模型探究：证明见解析；迁移应用：（），；（）；拓展延伸：存在，点的坐标为或或． 【分析】模型探究：利用余角性质可得，再由即可证明； 迁移应用：（）分别把和代入函数解析式计算即可求解；（）过点作，交直线于点，过点作轴于点，由旋转可得，可得为等腰直角三角形，得到，同理可得，进而得到，再利用待定系数法即可求解； 拓展延伸：由函数解析式可得，，再根据题意画出图形，分三种情况解答即可求解； 【详解】解：模型探究：∵于点，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 迁移应用：（）把代入得，， ∴， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 故答案为：，； （）过点作，交直线于点，过点作轴于点，则， 由旋转可得， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理模型探究可得， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线所对应的函数表达式为， 故答案为：； 拓展延伸：存在． 对于，当，；当，， ∴，， ①当为正方形的一边时，如图，分别过作轴于，轴于，则， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴, ∴， 同理得； ②当为正方形的一边时，此时点的坐标就是①中点的坐标，点为①中的点，即点的坐标为 ③当为正方形的对角线时，如图，过点作轴垂线，垂足为点，过作于点，则， 同理可证， ∴，， 设， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 1．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点．点在此一次函数的图象上，其横坐标为，直线上、两点间的部分（包括、两点）记为图象． (1)________； (2)当图象与轴有交点时，求的取值范围； (3)当图象最高点与最低点的纵坐标之差为6时，求的值； (4)平面内有一点，以点为对称中心构造正方形，使得轴，当图象与正方形的边有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了一次函数综合，一次函数的性质，正方形的性质，根据的坐标并结合正方形的性质得到四点坐标是解题的关键． （1）将点代入求出的值即可； （2）求出当时，的值即可得； （3）先求出点的纵坐标，再根据图像最高点与最低点的纵坐标之差为建立方程，解方程即可得； （4）分点在点的上方，点在点的下方两种情况，分别建立关于的不等式组，求解即可； 【详解】（1）解：∵一次函数的图像经过点， ∴， 解得： ∴该一次函数的表达式为； 故答案为：． （2）解：当时，， 解得： ∵，一次函数经过一、二、三象限， ∴当图像与轴有交点时，， ∴m的取值范围为； （3）解：当时，，即， ∵，图像最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得：或， ∴的值为或； （4）解：如图，由题意可知，点在直线上， ∵以点为对称中心构造正方形，轴， ∴，， ∵点在一次函数的图像上，其横坐标为， ∴， 当点在点的上方时， ∵图像与正方形的边有且只有一个交点， ∴， 解得：； 当点在点的下方时， ∵图像与正方形的边有且只有一个交点， ①若点在第一象限，则 ， 该不等式组的解集为空集； ②若点在第三象限，则在第一象限， ， 解得：； 综上所述，的取值范围是或． 2．综合与实践在一次数学实践探究课上，老师带领学生以四边形折叠为主题进行探究活动． 问题情景：四边形中，，点在上，点在上，将沿翻折，使顶点落在四边形内，对应点为，点为边上一点，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好在射线上． (1)奋进小组提出的问题是：如图1，若四边形为矩形，点在射线上，，则与的位置关系是___________，数量关系是___________； (2)智慧小组提出的问题是：将矩形改为平行四边形，其他条件不变，（1）中的两个结论是否仍然成立？并就图2的情形说明理由； (3)创新小组提出的问题是：如图3，将问题迁移到平面直角坐标系中，使得矩形的边在轴上，三点重合，若点，点为的三等分点（位置不确定），连接，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）根据矩形的性质、折叠的性质得到，得到，再证明，得到，由此即可求解； （2）根据平行四边形的性质、折叠的性质得到，得到，再证明，得到，由此即可求解； （3）分两种情况，利用矩形的性质和勾股定理，分别解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠，点共线，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：成立，理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠，点共线，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即（1）中两个结论仍然成立； （3）解：如图，当时，过点作交的延长线于点， ， 四边形是矩形，， ， ， ，， 根据折叠可得，， ， 四边形为矩形， ， 设，则，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ； 如图，当时，过点作交的延长线于点， ， 同理可得四边形为矩形，则， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 即，解得， ； 综上，点的坐标为或． 3．综合与探索 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）    【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， （1）直接写出_________，_________； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为_________；    （3）如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式；    【拓展应用】 （4）如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）4，2；（2）；（3）；（4）存在，点D的坐标为或或 【分析】（1）在中，分别令即可求得A，B的坐标，从而求得的长； （2）过点E作轴于M，构造“型全等”即可求得点E的坐标； （3）过点B作交于点C，过点C作轴于点N，这样构造了“型全等”，即可求得点C的坐标，用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （4）分三种情况考虑，构造“型全等”即可求得点D的坐标． 【详解】解：（1）在中，分别令，得，即点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 故答案为：4，2； （2）过点E作轴于M，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点E的坐标为； 故答案为：；    （3）过点B作交于点C，过点C作轴于点N，如图， 则， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为：， ∵直线过点A、C， ∴，解得：， 即直线的解析式为：；    （4）存在 对于，令，得；令，得； ∴； ①当为正方形的一边时，如图，分别过D、C作轴于F，轴于N； 则， ∵， ∴； ∵；， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理得； ②当为正方形的一边时，此时点D的坐标就是①中点C的坐标，点D为①中的点C， 即点D的坐标为；    ③当为正方形的对角线时，如图， 过点D作x轴垂线，垂足为点G，过B作于点H， 同理可证明， ∴， 显然点D落在第一象限，设， 则，， 由题意得，四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：， 即； 综上，点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定等知识，掌握一次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．注意分类讨论思想． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，P是x轴上一点．    (1)填空：线段______； (2)若点P在线段上（点P不与点O，A重合），将绕点P旋转后得到（点C，D，E依次与点O，A，B对应），连接，，若四边形恰好是矩形，求点P的坐标； (3)若P是x轴负半轴上一点，F是一次函数的图象上一点，Q是坐标平面内一点，且以P，Q，B，F为顶点的四边形是正方形，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)8 (2) (3)满足条件的点Q的值为或或或． 【分析】（1）求出点A的坐标，可得结论； （2）设，则，构建方程求出m即可； （3）分两种情形：为正方形的边，为正方形的对角线，分别构建全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：对于直线中， 令，得到， 令，得到， ∴，， ∴， 故答案为：8； （2）如图1中， ∵，， ∴，    ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵由旋转可得：， ∴，， ∴； （3）当为正方形的边，时，如图， 同理可得：，设， ∴，解得：， ∴．    过作于， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由中点坐标公式可得：； 当时，如图：过点作轴， 设， 同法可得：， ∴， ∴， ∴， ∵F是一次函数的图象上一点， ∴，解得：， ∴， ∵为对角线， 由中点坐标公式可得：； 当为正方形的对角线时，设，．    过作于，作于， 同理可得：， ∴，， 解得：，， ∴， 过作于， 同理可得：，， ∴，∴； 综上所述，满足条件的点Q的值为或或或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 5．如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与交于点E．的长满足式子． (1)求点A，C的坐标； (2)求出点E的坐标和直线的函数解析式； (3)F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，或或或 【分析】（1）利用绝对值及算术平方根的非负性求解； （2）根据折叠、平行的性质可证，设，则，用勾股定理解，求出x的值即可得到点E的坐标；利用待定系数法求直线的函数解析式； （3）分三种情况：为边，为对角线；为边，为对角线；为对角线，分别求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，（负值舍去）， ，； （2）解：矩形中， ， 由折叠得， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 点E的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为； （3）解：存在，点P的坐标为或或或． 矩形中，， ， ， 当以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形时，存在四种情况，如图： 当为边，为对角线时，, 当点P在点B左侧时，如所示，点坐标为， 当点P在点B右侧时，如所示，点坐标为； 当为边，为对角线时，点P与点B关于x轴对称，如所示，点坐标为； 当为对角线时，如所示， 设，则， 在中，，即， 解得， 可得点坐标为，即， 综上可知，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，非负数的性质，矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，求一次函数解析式等，注意数形结合及分类讨论是解题的关键． 6．在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，直线分别交坐标轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点P为线段上的一个动点，将绕点B逆时针旋转得到，连接与．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式； (3)直线上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接写出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为或或或 【分析】（1）把点代入直线中可得，得，再把点代入直线中即可求解； （2）根据直线与坐标轴的交点的计算方法可得，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，可证，设，则，可用含的式子表示，令，可得，，由此即可求解； （3）根据题意，点F是直线上有任意一点，设，根据菱形的性质分类讨论：第一种情况，如图所示，以为边，四边形是菱形，过点作轴于点，则，运用勾股定理可得；第二种情况，如图所示，以为对角线，四边形是菱形，运用两点之间距离的计算方法可得；第三种情况，如图所示，以为对角线，四边形是菱形，连接交以点，根据菱形的对角线相互垂直且平分即可求解． 【详解】（1）解：已知点在直线的图象上， ∴，则， 把点代入直线得，， 解得，， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：在直线中，令，则，令，则， ∴， 如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵旋转， ∴，， ∴，且， ∴， ∴， ∵点在直线的图象上， ∴设，则， ∴，，， ∴， 令， ∴，， ∴，整理得，， ∴点Q运动所形成的线段所在直线的解析式为：； （3）解：存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为或或或，理由如下， 在直线中，令，则， ∴，则， ∵点F是直线上有任意一点， ∴设， 第一种情况，如图所示，以为边，四边形是菱形，过点作轴于点，则， ∴，， ∴，即， 解得，， ∴或， ∴或； 第二种情况，如图所示，以为对角线，四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴点于点重合， ∴， ∴； 第三种情况，如图所示，以为对角线，四边形是菱形，连接交以点， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点的纵坐标为，即， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数图象的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间距离的计算方法，菱形的判定和性质，勾股定理的运用等知识的综合，掌握一次函数图象的性质，两点之间距离的计算，菱形的判定和性质是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$