专题02 勾股定理与全等三角形的四类几何模型（压轴题专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题02 勾股定理与全等三角形的四类几何模型 目录 典例详解 类型一、倍长中线模型 类型二、截长补短模型 类型三、一线三等角模型 类型四、手拉手模型 压轴专练 类型一、倍长中线模型 例1．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 变式1-1 （1）如图1，点是线段的中点，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______； （2）①如图2，在中，，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，探究之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，在中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 变式1-2．问题探究： 如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：    （1）小明证明的判定理由是______；（填写“”或“”） （2）的取值范围是______； 方法运用： （3）如图2，是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：； （4）如图3，在中，为的中点，．求证：． 变式1-3 如图，分别以的两边为腰向外作等腰直角和等腰直角，其中． (1)如图1，连接．若，求的长； (2)如图2，M为的中点，连接，过点M作与的反向延长线交于点N，连接，试猜想之间有何等量关系，并证明你的结论． 类型二、截长补短模型 例2．如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 变式2-1（1）【问题发现】①如图1，中，，为边上的中点，连接．设的面积和周长分别为和，的面积和周长分别为和，则 ， ．（填“>”，“<”或“”） ②如图2，中，、是边上的两点，若，则与的数量关系是 ． （2）【问题延伸】如图3，四边形中，，，若的长度为6，求出四边形的面积． （3）【问题解决】国际港务区计划将一块四边形空地开发为小型公园，空地的示意图如图4所示．其中，，，．现计划将点处设置为公园的入口，在边上设置一个出口，并修建一条贯穿整个公园的小路．根据规划，要求小路将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域（即与四边形的周长和面积都相同），施工队能否按照规划修建出这条小路？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由．（小路的宽度忽略不计） 变式2-2 如图，在四边形中，，，，， (1)求的长； (2)点从点出发以每秒速度沿着射线运动，设运动时间为秒，点在射线上，且． ①如图1，若点E在线段上，判断线段之间的数量关系，并加以证明． ②在整个运动过程中，求的周长（结果可用含的式子表示）． 类型三、一线三等角模型 应用：通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； 例3 （1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 变式3-1 （1）【问题提出】如图1，在和中，，，，，三点在一条直线上，，，则的长度为________；    （2）【问题探究】如图2，在中，，，，且，求点到的距离； （3）【问题解决】如图3，在四边形中，，，，求的周长． 变式3-2 如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，． (1)如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由； (2)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由； (3)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为 ． 类型四、手拉手模型 应用：通过辅助线利用旋转构造全等三角形解决问题。 例4．在中，，，是直线上的一点，连接，过点作，交直线于点． (1)当点P在线段上时，如图①，求证：； (2)当点P在直线上移动时，位置如图②、图③所示，线段，与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 变式4-1 如图所示，等腰直角中，． (1)如图1，若是内一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连，求证：； (2)若是外一点，将线段绕点顺时针旋转得到，且，连结BD，猜想：线段和满足什么数量关系？请在图2中画出符合要求的图形（一种即可），并在你所画图形的基础上完成证明； (3)如图，若是斜边的中点，为下方一点，且，，，则___________． 变式4-2 如图，在中，以为边向外作等边，以为边向外作等边，连接、．求证：． 【知识应用】如图，四边形中，、是对角线，是等腰直角三角形，，，，求的长． 【拓展提升】如图，四边形中，，，，则________． 1．如图，在中，，，是外一点，连接，若，，，则的长为 ． 2．如图，在中，为中线，点F在上，满足，连接并延长交于点E，若则的长为 ． 3．如图，在中，，平分，点N为线段上一点，连接，过点N作交于点D，连接．若，，，则 ．    4．如图1，在中，，E为上一点，D为延长线上一点，且，连接，并延长交于F．    (1)求证：． (2)若点N与C关于直线对称，连接，连接． ①如图2，作的角平分线交于点M，连接．判断与的数量关系，并证明你的结论． ②如图3，若，求的长． 5．[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 6．【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，点为中点，点在线段上（点E不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，求的长．    7．【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型． （1）如图1，和均为等边三角形，点D为边上一个动点，，点O为边中点，连接，写出图中全等的三角形______．线段的最小值______． 【问题探索】 （2）是等腰直角三角形，，点E是上一点，，交于D． ①如图①试探究数量关系，并给予证明； ②如图②，若，点F是的中点，求的长． 【灵活运用】 （3）如图3，四边形中，对角线相交于点E，，，求四边形的面积． 8．【知识背景】 勾股定理的内容是：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．在中，，则三边的数量关系满足 ； 【提出问题】 某学生在学习了勾股定理之后提出：锐角三角形有没有类似于勾股定理的结论．首先定义一个新的概念：如图1，锐角中，M是的中点，N是线段上的点，设，若，，则称k为勾股比． 【解决问题】 （1）如图2，若，，，当勾股比时，求与的数量关系． （2）如图3，在锐角中，M是的中点，N是线段上的点，过点B、C作的垂线，垂足分别为P、Q， ①求证：； ②若，时，用勾股比k的代数式填空：（ ）． 9．综合与实践 【问题重现】 义务教育教科书数学八年级上册《第十一章三角形》中我们学过了三角形中线的定义、画法、性质等．下面是一道关于三角形的中线有关问题： 如图1，是的中线，，，求的取值范围． 问题解决思路：延长到，使得，连接，可证（相当于将绕点顺时针旋转得到，把，，变换到中，利用三角形的三边关系可得，所以．根据上面信息，解决下面问题． 【问题变式】 如图2，点，，分别在的边，，上，是边上的中点，，连接． （1）求证：； （2）当时，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 【问题拓展】 （3）如图3，四边形中，，，，点，分别在四边形的边，上，且，连接．探索线段，，之间的数量关系并证明．          1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理与全等三角形的四类几何模型 目录 典例详解 类型一、倍长中线模型 类型二、截长补短模型 类型三、一线三等角模型 类型四、手拉手模型 压轴专练 类型一、倍长中线模型 例1．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 【答案】（1）；；；；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）如图1，延长，使，连接，利用证明，得到，再由三角形三边的关系得到，则，即可求出； （2）延长使，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后利用证明，得到，，进而得到，最后根据勾股定理证明即可； （3）延长交的延长线于点F，根据证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）延长，使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）， 证明：如图所示，延长到G，使，连接， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：如图所示，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质，“倍长中线”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形． 变式1-1 （1）如图1，点是线段的中点，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______； （2）①如图2，在中，，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，探究之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，在中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）相等；平行     （2）①，详见解析；② 【分析】（1）由中点的定义可得，，然后可证，然后根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可解答； （2）①延长到T，使得，连接．先说明、，平行线公理得出，由勾股定理可得，然后利用等腰三角形三线合一的性质得出，最后运用等量代换即可解答；②长到T，使得，连接，延长交于点J．再证可得，再说明是等腰直角三角形，最后根据直角三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：结论：，理由如下：． 如图1中，∵点O是线段的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：相等；平行． （2）解：①结论：． 理由：延长到T，使得，连接． ∵， ∴同理（1）可证， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3中，延长到T，使得，连接，延长交于点J． ∵， ∴同理可证，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴，即． ∴. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解答本题的关键． 变式1-2．问题探究： 如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：    （1）小明证明的判定理由是______；（填写“”或“”） （2）的取值范围是______； 方法运用： （3）如图2，是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：； （4）如图3，在中，为的中点，．求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答； （2）根据全等的性质及三角形的三边关系计算； （3）延长到，使，连接，证明，根据全等三角形的性质解答； （4）延长到，使，连接、，，得到，，再根据勾股定理解答． 【详解】（1）是中线， ， 又，， ， 故答案为：； （2）， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （3）证明：延长到，使，连接．    ∵是的中线 ∴ 在和中 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （4）证明：延长到，使，连接、．    ∵为的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴，， ∵ ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 变式1-3 如图，分别以的两边为腰向外作等腰直角和等腰直角，其中． (1)如图1，连接．若，求的长； (2)如图2，M为的中点，连接，过点M作与的反向延长线交于点N，连接，试猜想之间有何等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由已知易得，则；在中由勾股定理即可求得，从而求得结果； （2）延长到G，使，分别连接；易证，则有，可得；由（1）知，，设交于点F，则可得，由平行可得，则由勾股定理及线段垂直平分线的性质可得之间等量关系． 【详解】（1）解：∵和均是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴，； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得； ∴； （2）解：； 证明如下：如图，延长到G，使，分别连接； ∵M为的中点， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； 由（1）知， ∴； 设交于点F， ∵ ， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得； ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题是全等三角形的综合，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，构造全等三角形是本题的关键． 类型二、截长补短模型 例2．如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)24 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键的通过截长补短，构造特殊三角形和全等三角形． （）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （3）过点C作，垂足为点C，截取．连接、，证明，再证明，得到，，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：（）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点C作，垂足为点C，截取．连接、． ∵， ∴ ∵， ∴， 在和中 ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 在和中 ∵ ， ∴ ∴，， ∴． 故答案为：24． 变式2-1（1）【问题发现】①如图1，中，，为边上的中点，连接．设的面积和周长分别为和，的面积和周长分别为和，则 ， ．（填“>”，“<”或“”） ②如图2，中，、是边上的两点，若，则与的数量关系是 ． （2）【问题延伸】如图3，四边形中，，，若的长度为6，求出四边形的面积． （3）【问题解决】国际港务区计划将一块四边形空地开发为小型公园，空地的示意图如图4所示．其中，，，．现计划将点处设置为公园的入口，在边上设置一个出口，并修建一条贯穿整个公园的小路．根据规划，要求小路将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域（即与四边形的周长和面积都相同），施工队能否按照规划修建出这条小路？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由．（小路的宽度忽略不计） 【答案】（1）①，；②；（2）；（3）能， 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质， （1）①根据等腰三角形的性质，即可求解；②根据三角形的面积公式，即可求解； （2）延长至，使得，连接，证明，进而得出，，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （3）延长至，使得，过点作交的延长线于点，同（2）可得，设，则，，根据得出，根据勾股定理求得，根据（2）的方法求得面积，根据题意在上取点，使得，根据将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域，得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：①∵中，，为边上的中点， ∴， 设的面积和周长分别为和，的面积和周长分别为和， ∴， ∴， 故答案为：，． ②设边上的高为， ∵ ∴ ∴ 即 （2）如图所示，延长至，使得，连接， ∵， ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴ ∴， ∴ ∴ （3）能， 如图所示，延长至，使得，过点作交的延长线于点， 同（2）可得 ∴， ∴ ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴ ∴，则， 设，则，， ∴ 又∵ ∴ 解得： ∴ 在上取点，使得， ∵， ∴将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域，则即为所求， 由（2）可得 即 解得： ∴ 变式2-2 如图，在四边形中，，，，， (1)求的长； (2)点从点出发以每秒速度沿着射线运动，设运动时间为秒，点在射线上，且． ①如图1，若点E在线段上，判断线段之间的数量关系，并加以证明． ②在整个运动过程中，求的周长（结果可用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①它们的关系为．证明见解析；②当秒时周长为，当时，不存在；当秒时，周长为 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由勾股定理直接求解； （2）①如图1，延长到点G，使，连结，先证明，再证明，即可求解；②依题意得，记的周长，则，故（I）当秒时，点在线段上，点在上，由①知，II）当时，点与点重合，不存在；III）当时，点在延长线上，点在延长线上，如图2，在上取点G，使，连结，同理可得，，． 【详解】（1）解：，， ，； （2）解：①它们的关系为．理由如下 如图1，延长到点G，使，连结， 又， ，， ， 又， 即 ②依题意得，记的周长， ，， ， （I）当秒时，点在线段上，点在上， 由①知， II）当时，点与点重合，不存在. III）当时，点在延长线上，点在延长线上， 如图2，在上取点G，使，连结， 同理可得，， 综上所述，当秒时周长为， 当时，不存在. 当秒时，周长为． 类型三、一线三等角模型 应用：通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； 例3 （1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 变式3-1 （1）【问题提出】如图1，在和中，，，，，三点在一条直线上，，，则的长度为________；    （2）【问题探究】如图2，在中，，，，且，求点到的距离； （3）【问题解决】如图3，在四边形中，，，，求的周长． 【答案】（1）5；（2）点到的距离为3；（3）的周长为 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及等腰直角三角形、三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形（型全等)． （1）由，得，可证明，即得，，利用勾股定理求出即可； （2）过作交延长线于，由，得，即得，可证明，得，据此求解即可； （3）过作于，过作交延长线于，由，，得是等腰直角三角形，即得，，根据，可得，，即有，即可证明，从而，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5； （2）过D作交延长线于E，如图：    ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点到的距离为3； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图：    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴的周长为． 变式3-2 如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，． (1)如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由； (2)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由； (3)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为 ． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用、互余，、互余可推得，再根据“角角边”即可证明； （2）由、互余，、互余推得，再根据“角角边”即可证明，再根据全等三角形的性质即可推得、、的数量关系； （3）作延长线交于点，同理证明后，求得垂线的长度，根据即可得解． 【详解】（1）解：，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ． （2）解：猜想，证明如下： ， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ． （3）解：作延长线交于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 中，， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质与判定、勾股定理，解题关键是熟练掌握一线三等角模型的全等判定方法． 类型四、手拉手模型 应用：通过辅助线利用旋转构造全等三角形解决问题。 例4．在中，，，是直线上的一点，连接，过点作，交直线于点． (1)当点P在线段上时，如图①，求证：； (2)当点P在直线上移动时，位置如图②、图③所示，线段，与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)如图②，如图③ 【分析】（1）在上截取，连接，可先证得，则，，进而可证得为等腰直角三角形，即可得证； （2）仿照（1）的证明思路，作出相应的辅助线，即可证得对应的，，与 之间的数量关系． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取， ， ，． ， ． 又， ， ，． ． 在中，， ； （2）解：如图2，． 在上截取，连接， 由（1）可知， ，， ， 在中，， ， ， ． 如图3，． 延长至点，使得，连接， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形、勾股定理等相关知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． 变式4-1 如图所示，等腰直角中，． (1)如图1，若是内一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连，求证：； (2)若是外一点，将线段绕点顺时针旋转得到，且，连结BD，猜想：线段和满足什么数量关系？请在图2中画出符合要求的图形（一种即可），并在你所画图形的基础上完成证明； (3)如图，若是斜边的中点，为下方一点，且，，，则___________． 【答案】(1)见解析； (2)图见解析，； (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，从而得到，可证明，即可； （2）连接交于点O，连接，根据旋转的性质可得，再证明，可得，从而得到，进而得到，可得到，即可； （3）过点O作于点O，使，连接，并延长交于点Q，交于点N，先证明，可得，，从而得到，再由，以及等腰直角三角形的性质可得，，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明∶∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接交于点O，连接， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，过点O作于点O，使，连接，并延长交于点Q，交于点N， ∵是等腰直角三角形，是斜边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的旋转的性质，勾股定理，利用类比思想解答是解题的关键． 变式4-2 如图，在中，以为边向外作等边，以为边向外作等边，连接、．求证：． 【知识应用】如图，四边形中，、是对角线，是等腰直角三角形，，，，求的长． 【拓展提升】如图，四边形中，，，，则________． 【答案】证明见解析；； 【分析】（1）要证，由于，是等边三角形，故，，只需要再证明夹角即可． （2）要求的长，根据已知条件以及第一问的启示，需要构造三角形，过点C作且，连接，．证明，可将的长转化为在中求的长，利用勾股定理即可解决． （3）根据前两问的启示，已知，因此需要同样构造三角形，将角和并在一起构造直角三角形．作，且，连接，然后利用三角形全等，以及角度的等量替换即可解决问题． 【详解】（1）证明：，是等边三角形， ，，， ， ． （2）解：过点C作且，连接，，则，. 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在中， ． ． 为直角三角形，在中 , ， ， （3）解：作，且，连接，如图所示， ， ， ， ， ，， ，且，, ， ， ， 在，又， 为等腰直角三角形，， 设，由于，则， ，， 又， ， ． 【点睛】本题综合考查了三角形的全等，勾股定理，根据图中已知条件，尤其已知条件中直角的信息，构造适当的三角形，掌握转化和化归思想是解决问题的关键． 1．如图，在中，，，是外一点，连接，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角性质，全都三角形的判定和性质，勾股定理，作于，由余角性质可得，进而可证，得到，，设，则，在中，由勾股定理得，即得，再利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作于，如图所示， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，在中，为中线，点F在上，满足，连接并延长交于点E，若则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的中线，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形是解决问题的关键． 延长到，使，连接，过点作于点，依题意得，则，证明和全等得，进而再证明是等腰三角形得，则，由此可求出，然后再由勾股定理求出BP的长即可得出答案． 【详解】延长到，使，连接，过点作于点，如图所示： ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又∵， ， ∴是等腰三角形， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ． 故答案为：． 3．如图，在中，，平分，点N为线段上一点，连接，过点N作交于点D，连接．若，，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，过作交延长线于，先证明，得到，再证明，，即可证明，得到，，求出，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，过作交延长线于，    ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．如图1，在中，，E为上一点，D为延长线上一点，且，连接，并延长交于F．    (1)求证：． (2)若点N与C关于直线对称，连接，连接． ①如图2，作的角平分线交于点M，连接．判断与的数量关系，并证明你的结论． ②如图3，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）依据判定，再根据三角形内角和定理，即可得到，进而得出； （2）①依据判定，即可得到，再根据（1）可得，，根据点与关于直线对称，可得，进而得出，即可得到； ②连接，过作，交于，根据，即可得出，再根据，即可得到，最后在中，依据勾股定理即可得到的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， 又中， ∴， 又∵中，， ∴， ∴，即；    （2）①． 证明：∵平分， 在和中， 由（1）可得，， 点N和点C关于直线对称， 垂直平分 即；    ②如图，连接，过作，交于，    由（1）可得，， 又∵，∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，∴， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，∴， ∴， ∴， ∴中，． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，折叠的性质，勾股定理，同角的余角相等，直角三角形的性质的综合运用，解本题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行计算． 5．[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 【答案】[方法储备]，；[思考探究] ；[拓展延伸]①见解析；② 【分析】[方法储备] 由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， [思考探究] 延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， [拓展延伸] ①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证， ②延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，作，， ，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中线法”． 【详解】[方法储备]解： 在和中，， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， [思考探究]解： 延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：， [拓展延伸]解： ①延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， 又， ， ，， 又， ， 为等腰直角三角形， ②如图，延长至点，使得，连结，，， 为中点，同上“倍长中线”方法可得， ，， 设， ， ，， ，，， 分别过，作，，，为垂足， ， 设，，，， ，，， 解得， ， ， 故答案为：． 6．【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，点为中点，点在线段上（点E不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形综合应用，解题的关键是灵活应用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会添加常用的辅助线，构建全等三角形． （1）根据证明与全等即可； （2）连接，利用证明与全等，可得，，从而，又，故，即得； （3）延长到，使得，连接，延长交于点，证明是等腰直角三角形，即可求出的长． 【详解】（1）证明：点是线段，的中点， ，， 在与中， ， ， ， ∴； （2）解：，理由如下： 连接，如图：   是等腰三角形，是底边上的高线， ， 在与中， ， ， ，， ∴， ， ， ， ； （3）解：延长到，使得，连接，延长交于点，如图：   为的中点， ， 在与中， ， ， ，， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 7．【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型． （1）如图1，和均为等边三角形，点D为边上一个动点，，点O为边中点，连接，写出图中全等的三角形______．线段的最小值______． 【问题探索】 （2）是等腰直角三角形，，点E是上一点，，交于D． ①如图①试探究数量关系，并给予证明； ②如图②，若，点F是的中点，求的长． 【灵活运用】 （3）如图3，四边形中，对角线相交于点E，，，求四边形的面积． 【答案】（1），；（2）①，证明见解析；②；（3）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等： （1）连接，证明，得到，则，可得点E在射线上运动，故当时，有最小值，此时，据此求解即可； （2）①如图所示，过点C作交延长线与F，连接，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，，得到，则，由勾股定理即可得到；②如图所示，过点C作于G，则，进而得到，再求出，由勾股定理得； （3）如图所示，在延长线上截取，连接，过点A作于H证明，得到，在中，，则，可得，，再由即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E在射线上运动， ∴当时，有最小值， ∴此时， ∵点O为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （2）①，证明如下： 如图所示，过点C作交延长线与F，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得， 在中， 由勾股定理得， ∴； ②如图所示，过点C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； （3）如图所示，在延长线上截取，连接，过点A作于H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．【知识背景】 勾股定理的内容是：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．在中，，则三边的数量关系满足 ； 【提出问题】 某学生在学习了勾股定理之后提出：锐角三角形有没有类似于勾股定理的结论．首先定义一个新的概念：如图1，锐角中，M是的中点，N是线段上的点，设，若，，则称k为勾股比． 【解决问题】 （1）如图2，若，，，当勾股比时，求与的数量关系． （2）如图3，在锐角中，M是的中点，N是线段上的点，过点B、C作的垂线，垂足分别为P、Q， ①求证：； ②若，时，用勾股比k的代数式填空：（ ）． 【答案】【知识背景】； 【解决问题】（1）（2）①见解析；②； 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理的内容并正确运用是解题的关键． 【知识背景】由勾股定理即可得：； 【解决问题】（1）由等腰三角形的性质得，设，得，，；在中，，则得，即可求得与的关系； （2）①证明，即可求解； ②由勾股比设，得，，；在与中，分别由勾股定理得，，两式相加，再利用勾股定理即可求得与的关系． 【详解】解：【知识背景】由勾股定理得：； 故答案为：； 【解决问题】（1）解：∵是的中点， ∴； 设，由，得， ∴； ∵， ∴，； 在中，， ∴， 即， ∴； （2）①证明：∵， ∴； ∵M是的中点， ∴； ∵， ∴， ∴； ②解：由勾股比设，得， ∴； ∵是的中点，， ∴； 在中，由勾股定理得：①， 与中，由勾股定理得：②， ∵， ∴， 得，； 在中，由勾股定理得：， ∴ ； ∵， ∴， ∴ 即． 故答案为：． 9．综合与实践 【问题重现】 义务教育教科书数学八年级上册《第十一章三角形》中我们学过了三角形中线的定义、画法、性质等．下面是一道关于三角形的中线有关问题： 如图1，是的中线，，，求的取值范围． 问题解决思路：延长到，使得，连接，可证（相当于将绕点顺时针旋转得到，把，，变换到中，利用三角形的三边关系可得，所以．根据上面信息，解决下面问题． 【问题变式】 如图2，点，，分别在的边，，上，是边上的中点，，连接． （1）求证：； （2）当时，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 【问题拓展】 （3）如图3，四边形中，，，，点，分别在四边形的边，上，且，连接．探索线段，，之间的数量关系并证明．          【答案】（1）详见解析 （2），证明见解析 （3），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定即性质，勾股定理，三角形的三边关系，合理作出辅助线是解题的关键． （1）延长至，使，证出得到，再证出，得到，再根据三角形的三边关系求解即可； （2）根据全等的性质进行角的等量代换求出，再利用勾股定理求解即可； （3）延长至，使，证出得到，，通过角的等量代换得到，推出后即可求解． 【详解】解：（1）证明：延长至，使，连接，，如图所示： ∵是边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）猜想：， 证明：由（1）可知，， 又∵， ∴， ∴，即， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴； （3）答：， 证明：延长至，使，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴在和中： ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$