第1章 三角形初步认识（单元测试·提升卷）数学浙教版2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第一章·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D C B B C B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．AB＝DE（或AD＝BE或AC＝DF或BC＝EF） 12．34 13．4 14．130 15．4+4 16．①、②、④ 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分） 证明：∵点D是BC延长线上一点，DE∥AB， ∴∠D＝∠ABC， 在△BDE和△ABC中， ， ∴△BDE≌△ABC（SAS）， ∴BE＝AC． 18．（6分） 解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝70°， ∴∠DAC＝∠BAD∠BAC＝35°， ∵EF垂直平分AC， ∴FA＝FC，FE⊥AC， ∴∠FCA＝∠DAC＝35°， ∴∠EFC＝90°﹣35°＝55°；（3分） （2）∵FG∥AB， ∴∠AFG＝∠BAD， ∵∠BAD＝∠DAC， ∴∠AFG＝∠DAC， ∴GA＝GF， ∴△GFC的周长＝GF+FC+CG＝GA+GC+AF＝AC+AF＝10+6＝16．（3分） 19．（8分） 证明：（1）∵AC，BD相交于点E，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上， ∴∠ACB＝∠ADF， ∵∠BAF＝∠EAD， ∴∠BAF﹣∠CAF＝∠EAD﹣∠CAF， ∴∠BAC＝∠FAD， 在△ABC和△AFD中， ， ∴△ABC≌△AFD（ASA）．（4分） （2）由（1）得△ABC≌△AFD， ∴AB＝AF， ∵BE＝FE， ∴AC⊥BF，即AC⊥BD．（4分） 20．（8分） 解：（1）∵AC＝6， ∴点P从点C出发到达点A时所用的时间为：6÷2＝3（秒）， ∴点Q从点D出发到达点A时所用的时间为3秒， ∵AB＝10，BD＝8， ∴BD+AB＝18， ∴点Q运动的时间为：x＝18÷3＝6， 故答案为：6；（2分） （2）依题意得：AP＝2t﹣6，DQ＝x t， ∴PB＝AB﹣AP＝10﹣（2t﹣6）＝16﹣2t，QB＝BD﹣DQ＝8﹣xt， ∵∠CAB＝∠DBA＝α， ∴当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况： ①当AC＝BP且AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ， 由AC＝BP，得：6＝16﹣2t， 解得：t＝5， 由AP＝BQ，得：2t﹣6＝8﹣xt， ∵t＝5， ∴2×5﹣6＝8﹣5x， 解得：x＝0.8；（3分） ②当AC＝BQ且AP＝BP时，△ACP≌△BQP， 由AP＝BP，得：2t﹣6＝16﹣2t， 解得：t， 由AC＝BQ，得：6＝8﹣xt， ∵t， ∴， 解得：x，（3分） 综上所述：当△ACP与△BPQ全等，x的值为0.8或． 21．（10分） 解：（1）如图所示： （2分） （2）图③的面积是； 故答案为：16；（3分） （3）图②和图③对应边的比为3：4， 则图③也可以看成是由图②按4：3放大后得到的． 故答案为：4：3．（5分） 22．（10分） 解：（1）∵∠B＝35°，∠C＝65°， ∴∠BAC＝180°﹣35°﹣65°＝80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC80°＝40°， ∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝35°+40°＝75°． ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°， 即∠DAE的度数为15°；（5分） （2）∵∠B＝α，∠C＝β， ∴∠BAC＝180°﹣α﹣β， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴， ∵FE⊥BC， ∴∠FEB＝90°， ∴．（5分） 23．（12分） 解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°， ∴∠CBA＝∠CAB， ∴BC＝CA， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BE．（3分） （2）∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC＝∠DAC， ∵∠BDP＝∠ADC， ∴∠BPD＝∠DCA＝90°， ∵AB＝AE， ∴AD平分∠BAE．（4分） （3）AD⊥BE不发生变化． 如图2， ∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC＝∠DAC， ∵∠BFP＝∠AFC， ∴∠BPF＝∠ACF＝90°， ∴AD⊥BE．（5分） 24．（12分） 解：（1）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG． ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴AG＝AF，∠1＝∠2， ∴∠1+∠3＝∠2+∠3∠BAD＝∠EAF． ∴∠GAE＝∠EAF． 又AE＝AE， 易证△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF． ∵EG＝BE+BG． ∴EF＝BE+FD 故答案为：EF＝BE+FD；（3分） （2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立． 理由是：如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG． ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°， ∴∠ABG＝∠D， ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴AG＝AF，∠1＝∠2， ∴∠1+∠3＝∠2+∠3∠BAD＝∠EAF． ∴∠GAE＝∠EAF． 又AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF． ∵EG＝BE+BG． ∴EF＝BE+FD（3分） （3）①EF＝BE﹣FD． 证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． ∵AE＝AE， 易证△AEG≌△AEF（SAS）． ∴EG＝EF ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． ②EF＝FD﹣BE． 证明：在DF上截取DH＝BE， 同第一种情况方法，证△AEB≌△AHD（SAS）， 证△AEF≌△AHF（SAS）， ∴EF＝FH＝FD﹣DH＝FD﹣BE； ③由（1）、（2）可知，EF＝BE+FD； ④如图，点E在BC延长线上，点F在DC延长线，此时线段EF，BE，FD之间并无直接数量关系． 综上，EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE或EF＝BE+FD； 故答案为：EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE或EF＝BE+FD；（6分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第一章·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线是射线． B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外． C．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形． D．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心． 2．在下列各组线段中，能组成三角形的是（　　） A．1、6、6 B．2、3、5 C．2、6、9 D．5、3、10 3．在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°，线段AB的垂直平分线DE交BC点D，交AB点E，连接AD，则∠CAD的大小是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 4．下面是“作∠AOB的平分线”的尺规作图方法： （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P； （3）作射线OP． 上述方法通过判定△POC≌△POD得到∠POC＝∠POD，其中判定△POC≌△POD 的依据是（　　） A．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 5．如图，点F、A、D、C在同一直线上，FA＝DC，AB∥DE，添加一个条件，仍不能判断△ABC≌△DEF的是（　　） A．BC∥EF B．AB＝DE C．BC＝EF D．∠B＝∠E 6．如图，△ABC的面积为20，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，则阴影部分的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，交BC于点D，交AC于点E，AB＝4cm，AC＝5cm，BC＝6cm，则△ABD周长为（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 8．如图，在△ABC中，AF⊥BC，通过尺规作图，得到直线DE，仔细观察作图痕迹，若∠B＝38°，则∠EAF的度数为（　　） A．18° B．16° C．14° D．12° 9．如图，射线OC平分∠AOB，点D，Q分别在射线OC，OB上，过点D作DP⊥OA于点P，若OQ＝4，DP＝3，则△ODQ的面积为（　　） A．10 B．6 C．4 D．3 10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MB平分∠ABO．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，已知AC∥DF，CB∥FE，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，这个条件可以是 　 　 （填写一个即可）． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝4，AB＝17，则△ABD的面积为 　 　 ． 13．如图，已知在△ABC中，点E在边AB上，AD垂直平分CE，垂足为点F，如果AB＝9，AC＝5，那么BE＝　 　 ． 14．在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且相交于点P，∠A＝50°，则∠BPC是　 　 度． 15．如图，在△ABC中，点D是BC边上的中点，E在AC上，BE交AD于点F，且AE＝EF，若EF＝4，EC＝4，则线段BF的长为 　 　 ． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的角平分线CF交AB于点F，∠BAC的角平分线AE分别交CF和BC于点D、E，连接EF，过点D作AE的垂线分别交AB和CB的延长线于点P、H，连接EP，则下列结论①∠ADF＝45°；②AE＝DH+DP；③EP平分∠BEF；④S四边形ACEF＝2S△ACD，其中正确的序号是 　 　 ． 三．解答题（共8小题，共6+6+8+8+10+10+12+12=72分） 17．如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC．求证：BE＝AC． 18．如图，已知：在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AC分别交AC、AD于点E、F，连接CF． （1）如果∠BAC＝70°，求∠EFC的度数； （2）过点F作FG∥AB交边AC于点G，如果AC＝10，AF＝6，求△GFC的周长． 19．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD． （1）求证：△ABC≌△AFD； （2）若BE＝FE，求证：AC⊥BD． 20．如图，AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． （1）若P、Q两点同时到达A点时，则点Q的速度x＝ 　 　 ． （2）若△ACP与△BPQ全等，求x的值． 21．如图是按一定比例缩放的两个图形，每个小正方形的边长是1． （1）请你画出图①按4：1放大后的图形③． （2）直接写出图③的面积是　 　 ． （3）图③也可以看成是由图②按　 　 ：　 　 放大后得到的（填最简整数比）． 22．如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，∠C＝65°． （1）求∠DAE的度数； （2）如图2，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE． 23．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P； （1）求证：AD＝BE； （2）试说明AD平分∠BAE； （3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由． 24．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　 　 ； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　 　 ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第一章·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线是射线． B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外． C．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形． D．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心． 2．在下列各组线段中，能组成三角形的是（　　） A．1、6、6 B．2、3、5 C．2、6、9 D．5、3、10 3．在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°，线段AB的垂直平分线DE交BC点D，交AB点E，连接AD，则∠CAD的大小是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 4．下面是“作∠AOB的平分线”的尺规作图方法： （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P； （3）作射线OP． 上述方法通过判定△POC≌△POD得到∠POC＝∠POD，其中判定△POC≌△POD 的依据是（　　） A．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 5．如图，点F、A、D、C在同一直线上，FA＝DC，AB∥DE，添加一个条件，仍不能判断△ABC≌△DEF的是（　　） A．BC∥EF B．AB＝DE C．BC＝EF D．∠B＝∠E 6．如图，△ABC的面积为20，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，则阴影部分的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，交BC于点D，交AC于点E，AB＝4cm，AC＝5cm，BC＝6cm，则△ABD周长为（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 8．如图，在△ABC中，AF⊥BC，通过尺规作图，得到直线DE，仔细观察作图痕迹，若∠B＝38°，则∠EAF的度数为（　　） A．18° B．16° C．14° D．12° 9．如图，射线OC平分∠AOB，点D，Q分别在射线OC，OB上，过点D作DP⊥OA于点P，若OQ＝4，DP＝3，则△ODQ的面积为（　　） A．10 B．6 C．4 D．3 10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MB平分∠ABO．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，已知AC∥DF，CB∥FE，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，这个条件可以是 　 　 （填写一个即可）． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝4，AB＝17，则△ABD的面积为 　 　 ． 13．如图，已知在△ABC中，点E在边AB上，AD垂直平分CE，垂足为点F，如果AB＝9，AC＝5，那么BE＝　 　 ． 14．在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且相交于点P，∠A＝50°，则∠BPC是　 　 度． 15．如图，在△ABC中，点D是BC边上的中点，E在AC上，BE交AD于点F，且AE＝EF，若EF＝4，EC＝4，则线段BF的长为 　 　 ． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的角平分线CF交AB于点F，∠BAC的角平分线AE分别交CF和BC于点D、E，连接EF，过点D作AE的垂线分别交AB和CB的延长线于点P、H，连接EP，则下列结论①∠ADF＝45°；②AE＝DH+DP；③EP平分∠BEF；④S四边形ACEF＝2S△ACD，其中正确的序号是 　 　 ． 三、解答题（共8小题，6+6+8+8+10+10+12+12=共72分） 17．如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC．求证：BE＝AC． 18．如图，已知：在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AC分别交AC、AD于点E、F，连接CF． （1）如果∠BAC＝70°，求∠EFC的度数； （2）过点F作FG∥AB交边AC于点G，如果AC＝10，AF＝6，求△GFC的周长． 19．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD． （1）求证：△ABC≌△AFD； （2）若BE＝FE，求证：AC⊥BD． 20．如图，AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． （1）若P、Q两点同时到达A点时，则点Q的速度x＝ 　 　 ． （2）若△ACP与△BPQ全等，求x的值． 21．如图是按一定比例缩放的两个图形，每个小正方形的边长是1． （1）请你画出图①按4：1放大后的图形③． （2）直接写出图③的面积是　 　 ． （3）图③也可以看成是由图②按　 　 ：　 　 放大后得到的（填最简整数比）． 22．如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，∠C＝65°． （1）求∠DAE的度数； （2）如图2，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE． 23．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P； （1）求证：AD＝BE； （2）试说明AD平分∠BAE； （3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由． 24．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　 　 ； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第一章·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线是射线． B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外． C．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形． D．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心． 【考点】三角形的重心；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积． 【分析】根据三角形角平分线的定义、高线的定义及重心的定义，对所给选项依次进行判断即可． 【解析】解：由题知， 因为三角形一个内角平分线与另一边交点之间的线段称为三角形的角平分线， 所以三角形的角平分线是一条线段． 故A选项不符合题意． 直角三角形的三条高所在直线的交点为直角顶点， 故B选项不符合题意． 因为三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，而角平分线不一定能分成两个面积相等的三角形， 故C选项不符合题意． 因为重心是三角形三条中线的交点， 故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形的重心、三角形的角平分线、中线和高及三角形的面积，熟知据三角形角平分线的定义、高线的定义及重心的定义是解题的关键． 2．在下列各组线段中，能组成三角形的是（　　） A．1、6、6 B．2、3、5 C．2、6、9 D．5、3、10 【考点】三角形三边关系． 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断 【解析】解：A、1+6＞6，能组成三角形，故A符合题意； B、2+3＝5，不能组成三角形，故B不符合题意； C、2+6＜9，不能组成三角形，故C不符合题意； D、3+5＜10，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 3．在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°，线段AB的垂直平分线DE交BC点D，交AB点E，连接AD，则∠CAD的大小是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】由三角形内角和定理求出∠BAC＝70°，由线段垂直平分线的性质推出DA＝BD，得到∠BAD＝∠B＝50°，即可求出∠CAD的度数． 【解析】解：∵∠C＝60°，∠B＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣60°﹣50°＝70°， ∵DE垂直平分AB， ∴DA＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝50°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝20°． 故选：B． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，关键是由线段垂直平分线的性质定理推出DA＝DB． 4．下面是“作∠AOB的平分线”的尺规作图方法： （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P； （3）作射线OP． 上述方法通过判定△POC≌△POD得到∠POC＝∠POD，其中判定△POC≌△POD 的依据是（　　） A．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定；角平分线的性质． 【分析】由作图过程可知，OC＝OD，CP＝DP，结合全等三角形的判定可得答案． 【解析】解：由作图过程可知，OC＝OD，CP＝DP， ∵OP＝OP， ∴△OPC≌△OPD（SSS）， ∴判定△OPC≌△OPD的依据是三边分别相等的两个三角形全等． 故选：D． 【点评】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键． 5．如图，点F、A、D、C在同一直线上，FA＝DC，AB∥DE，添加一个条件，仍不能判断△ABC≌△DEF的是（　　） A．BC∥EF B．AB＝DE C．BC＝EF D．∠B＝∠E 【考点】全等三角形的判定． 【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断． 【解析】解：∵FA＝DC， ∴FD＝CA， ∵AB∥DE， ∴∠BAC＝∠EDF， A、由平行线的性质推出∠C＝∠F，由ASA判定△ABC≌△DEF，故A不符合题意； B、由SAS判定△ABC≌△DEF，故B不符合题意； C、∠BAC和∠EDF分别是BC和EF的对边，不能判定△ABC≌△DEF，故C符合题意； D、由AAS判定△ABC≌△DEF，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 6．如图，△ABC的面积为20，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，则阴影部分的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】三角形的面积． 【分析】连接BE，如图，根据三角形面积公式，利用点D为BC的中点得到S△ABD＝S△ACDS△ABC＝10，再利用点E为AD的中点得到S△EBDS△ABD＝5，S△ECDS△ACD＝5，所以S△EBC＝10，然后利用F点为CE的中点得到阴影部分的面积S△EBC． 【解析】解：连接BE，如图， ∵点D为BC的中点， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC20＝10， ∵点E为AD的中点， ∴S△EBDS△ABD10＝5，S△ECDS△ACD10＝5， ∴S△EBC＝5+5＝10， ∵F点为CE的中点， ∴阴影部分的面积S△EBC10＝5． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S底×高． 7．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，交BC于点D，交AC于点E，AB＝4cm，AC＝5cm，BC＝6cm，则△ABD周长为（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】根据DE是AC的垂直平分线得DC＝DA，继而得到AB+AD+DB＝AB+CD+DB＝AB+BC，可得答案． 【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，AB＝4cm，AC＝5cm，BC＝6cm， ∴DC＝DA， ∴AD+DB＝CD+DB＝BC＝6cm， ∴AB+AD+DB＝AB+CD+DB＝AB+BC＝4+6＝10（cm）， ∴△ABD周长为10cm． 故选：B． 【点评】本题考查垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，AF⊥BC，通过尺规作图，得到直线DE，仔细观察作图痕迹，若∠B＝38°，则∠EAF的度数为（　　） A．18° B．16° C．14° D．12° 【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理． 【分析】先根据作图得出DE是AB的垂直平分线，得出AE＝BE，推出∠BAE＝∠B＝38°，再根据垂直的定义得出∠AFB＝90°，求出∠BAF＝52°，最后可得出答案． 【解析】解：根据作图可知，DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠BAE＝∠B＝38°， 由条件可知∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝90°﹣∠B＝90°﹣38°＝52°， ∴∠EAF＝∠BAF﹣∠EAF＝14°， 故选：C． 【点评】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是关键． 9．如图，射线OC平分∠AOB，点D，Q分别在射线OC，OB上，过点D作DP⊥OA于点P，若OQ＝4，DP＝3，则△ODQ的面积为（　　） A．10 B．6 C．4 D．3 【考点】三角形的面积． 【分析】过点D作DM⊥OB于点M，利用角平分线的性质定理得到DP＝DM＝3，再利用三角形的面积公式求解即可． 【解析】解：如图所示，过点D作DM⊥OB于点M， 由题意可得：DP＝DM＝3， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MB平分∠ABO．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确； 由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确； 作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，则∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而OA＞OC，故③错误；没有条件可以证明MB平分∠ABO，故④错误；即可得出结论． 【解析】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，∠OAC＝∠OBD， 故①正确，符合题意； 由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD， ∴∠AMB＝∠AOB＝40°， 故②正确，符合题意； 作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示， 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴MO平分∠BMC， ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB， ∴OA＝OC， 与OA＞OC矛盾， ∴③错误； ∵没有条件可以证明MB平分∠ABO， ∴④错误； 正确的个数有2个； 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，已知AC∥DF，CB∥FE，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，这个条件可以是 　AD＝BE　 （填写一个即可）． 【考点】全等三角形的判定． 【分析】先根据平行线的性质得到∠A＝∠FDE，∠CBA＝∠E，然后根据全等三角形的判定方法，根据“ASA”或“AAS”添加一个条件． 【解析】解：∵AC∥DF， ∴∠A＝∠FDE， ∵CB∥FE， ∴∠CBA＝∠E， ∴当添加AB＝DE或AD＝BE时，△ABC≌△DEF（ASA）； 当添加AC＝DF或BC＝EF时，△ABC≌△DEF（AAS）； 故答案为：AB＝DE（或AD＝BE或AC＝DF或BC＝EF）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝4，AB＝17，则△ABD的面积为 　34　 ． 【考点】角平分线的性质． 【分析】过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE的长，进而得出△ABD的面积． 【解析】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，AD平分∠CAB， ∴DE＝CD＝4， 又∵AB＝17， ∴△ABD的面积为， 故答案为：34． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 13．如图，已知在△ABC中，点E在边AB上，AD垂直平分CE，垂足为点F，如果AB＝9，AC＝5，那么BE＝　4　 ． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到AE＝AC，计算即可． 【解析】解：∵AD垂直平分CE， ∴AE＝AC＝5， ∴BE＝AB﹣AE＝9﹣5＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 14．在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且相交于点P，∠A＝50°，则∠BPC是　130　 度． 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；垂线． 【分析】由CD、BE分别是AB、AC边上的高，可得出∠ADC＝∠BEC＝90°，结合三角形内角和定理，可求出∠ACD＝40°，由∠BPC是△CEP的外角，利用三角形的外角性质，即可求出∠BPC的度数． 【解析】解：∵CD、BE分别是AB、AC边上的高， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝180°﹣50°﹣90°＝40°． ∵∠BPC是△CEP的外角， ∴∠BPC＝∠BEC+∠ACD＝90°+40°＝130． 故答案为：130． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及垂线，牢记“三角形内角和是180°”及“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，点D是BC边上的中点，E在AC上，BE交AD于点F，且AE＝EF，若EF＝4，EC＝4，则线段BF的长为 　4+4　 ． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】延长AD到点H，使DH＝DF，连接AH，而CD＝BD，∠CDH＝∠BDF，可根据“SAS”证明△CDH≌△BDF，得CH＝BF，∠H＝∠BFD＝∠EFA，因为AE＝EF＝4，EC＝4，所以∠CAH＝∠EFA＝∠H，则CH＝BF＝CA＝AE+ED＝4+4，于是得到问题的答案． 【解析】解：延长AD到点H，使DH＝DF，连接AH， ∵点D是BC边上的中点， ∴CD＝BD， 在△CDH和△BDF中， ， ∴△CDH≌△BDF（SAS）， ∴CH＝BF，∠H＝∠BFD＝∠EFA， ∵AE＝EF＝4，EC＝4， ∴∠CAH＝∠EFA， ∴∠CAH＝∠H， ∴CH＝CA＝AE+ED＝4+4， ∴BF＝4+4， 故答案为：4+4． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的角平分线CF交AB于点F，∠BAC的角平分线AE分别交CF和BC于点D、E，连接EF，过点D作AE的垂线分别交AB和CB的延长线于点P、H，连接EP，则下列结论①∠ADF＝45°；②AE＝DH+DP；③EP平分∠BEF；④S四边形ACEF＝2S△ACD，其中正确的序号是 　①、②、④　 ． 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 【分析】根据角平分线的定义得∠CAE+∠ACF45°，再利用外角的性质可证明①正确；根据ASA证明△ACD≌△HCD，得AD＝DH，再证△ADP≌△HDE（ASA），得DE＝DP，故②正确；由②得△DEP为等腰直角三角形，可证EP∥CF，得∠PEB＝∠FCB＝∠DCE，∠DFE＝∠FEP，从而EP不一定平分∠BEF，只有当AB＝BC时才平分；由EP∥CF，得S△DEF＝S△DFP，从而有S△AEF＝S△ADP＝S△DEH，即可证明④正确． 【解析】解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∵CF是∠ACB的角平分线，AE是∠BAC的角平分线， ∴∠CAE+∠ACF45°， ∴∠ADF＝∠CAE+∠ACF＝45°， 故①正确； ∵∠ADF＝∠CDE＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣45°＝135°， ∴DH⊥AE， ∴∠EDH＝90°， ∴∠CDH＝∠EDH+∠CDE＝90°+45°＝135°， ∴∠CDH＝∠ADC， ∵CD＝CD，∠ACD＝∠BCD， ∴△ACD≌△HCD（ASA）， ∴AD＝DH， ∵∠APD＝∠HPB，∠ADP＝∠PBH， ∴∠DAP＝∠DHE， ∵∠ADP＝∠HDE，AD＝DH， ∴△ADP≌△HDE（ASA）， ∴DE＝DP， ∴AE＝DE+AD＝DP+HD， 故②正确； 由②得：△DEP为等腰直角三角形， ∴∠DEP＝45°＝∠ADF， ∴EP∥CF， ∴∠PEB＝∠FCB＝∠DCE，∠DFE＝∠FEP， ∵EF不一定平行AC， ∴∠ACD≠∠DFE+∠FCE， ∴∠FEP≠∠PEB， ∴EP不一定平分∠BEF，只有当AB＝BC时才平分， 故③错误； ∵EP∥CF， ∴S△DEF＝S△DFP， ∴S△ADF+S△DEF＝S△ADF+S△DEP， ∴S△AEF＝S△ADP＝S△DEH， ∴S△ACE+S△AEF＝S△ACE+S△DEH， ∴S四边形ACEF＝S△ACD+S△CDH＝2S△ACD， 故④正确， 故答案为：①、②、④． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，证明EP∥CF是解题的关键． 三、解答题（共8小题，6+6+8+8+10+10+12+12=共72分） 17．如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC．求证：BE＝AC． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】由DE∥AB，得∠D＝∠ABC，而BD＝AB，DE＝BC，即可根据“SAS”证明△BDE≌△ABC，则BE＝AC． 【解析】证明：∵点D是BC延长线上一点，DE∥AB， ∴∠D＝∠ABC， 在△BDE和△ABC中， ， ∴△BDE≌△ABC（SAS）， ∴BE＝AC． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠D＝∠ABC，进而证明△BDE≌△ABC是解题的关键． 18．如图，已知：在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AC分别交AC、AD于点E、F，连接CF． （1）如果∠BAC＝70°，求∠EFC的度数； （2）过点F作FG∥AB交边AC于点G，如果AC＝10，AF＝6，求△GFC的周长． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠DAC，根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FC，得到∠FCA＝∠DAC＝35°，根据直角三角形的性质计算，得到答案； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠AFG＝∠DAC，得到GA＝GF，根据三角形周长公式计算即可． 【解析】解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝70°， ∴∠DAC＝∠BAD∠BAC＝35°， ∵EF垂直平分AC， ∴FA＝FC，FE⊥AC， ∴∠FCA＝∠DAC＝35°， ∴∠EFC＝90°﹣35°＝55°； （2）∵FG∥AB， ∴∠AFG＝∠BAD， ∵∠BAD＝∠DAC， ∴∠AFG＝∠DAC， ∴GA＝GF， ∴△GFC的周长＝GF+FC+CG＝GA+GC+AF＝AC+AF＝10+6＝16． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 19．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD． （1）求证：△ABC≌△AFD； （2）若BE＝FE，求证：AC⊥BD． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）由AC，BD相交于点E，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，得∠ACB＝∠ADF，由∠BAF＝∠EAD，推导出∠BAC＝∠FAD，而AC＝AD，即可根据“ASA”证明△ABC≌△AFD； （2）由全等三角形的性质得AB＝AF，而BE＝FE，根据等腰三角形的“三线合一”得AC⊥BD． 【解析】证明：（1）∵AC，BD相交于点E，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上， ∴∠ACB＝∠ADF， ∵∠BAF＝∠EAD， ∴∠BAF﹣∠CAF＝∠EAD﹣∠CAF， ∴∠BAC＝∠FAD， 在△ABC和△AFD中， ， ∴△ABC≌△AFD（ASA）． （2）由（1）得△ABC≌△AFD， ∴AB＝AF， ∵BE＝FE， ∴AC⊥BF，即AC⊥BD． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，推导出∠BAC＝∠FAD，进而证明△ABC≌△AFD是解题的关键． 20．如图，AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． （1）若P、Q两点同时到达A点时，则点Q的速度x＝ 　6　 ． （2）若△ACP与△BPQ全等，求x的值． 【考点】全等三角形的性质． 【分析】（1）先求出点P从点C出发到达点A时所用的时间为6÷2＝3秒，再根据点Q运动的路程BD+AB＝18即可得出点Q的速度； （2）依题意得AP＝2t﹣6，DQ＝xt，则PB＝16﹣2t，QB＝8﹣xt，再根据∠CAB＝∠DBA＝α，则有以下两种情况：①当AC＝BP且AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ，由AC＝BP得6＝16﹣2t，解得t＝5，再由AP＝BQ得2t﹣6＝8﹣xt，由此可得x的值；②当AC＝BQ且AP＝BP时，△ACP≌△BQP，由AP＝BP得2t﹣6＝16﹣2t，解得t，再由AC＝BQ得6＝8﹣xt，由此可得x的值，综上所述即可得出答案． 【解析】解：（1）∵AC＝6， ∴点P从点C出发到达点A时所用的时间为：6÷2＝3（秒）， ∴点Q从点D出发到达点A时所用的时间为3秒， ∵AB＝10，BD＝8， ∴BD+AB＝18， ∴点Q运动的时间为：x＝18÷3＝6， 故答案为：6； （2）依题意得：AP＝2t﹣6，DQ＝x t， ∴PB＝AB﹣AP＝10﹣（2t﹣6）＝16﹣2t，QB＝BD﹣DQ＝8﹣xt， ∵∠CAB＝∠DBA＝α， ∴当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况： ①当AC＝BP且AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ， 由AC＝BP，得：6＝16﹣2t， 解得：t＝5， 由AP＝BQ，得：2t﹣6＝8﹣xt， ∵t＝5， ∴2×5﹣6＝8﹣5x， 解得：x＝0.8； ②当AC＝BQ且AP＝BP时，△ACP≌△BQP， 由AP＝BP，得：2t﹣6＝16﹣2t， 解得：t， 由AC＝BQ，得：6＝8﹣xt， ∵t， ∴， 解得：x， 综上所述：当△ACP与△BPQ全等，x的值为0.8或． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 21．如图是按一定比例缩放的两个图形，每个小正方形的边长是1． （1）请你画出图①按4：1放大后的图形③． （2）直接写出图③的面积是　16　 ． （3）图③也可以看成是由图②按　4　 ：　3　 放大后得到的（填最简整数比）． 【考点】作图—应用与设计作图． 【分析】（1）根据比例放大即可； （2）利用三角形面积公式计算即可； （3）看图②和图③对应边的比为多少即可得到答案． 【解析】解：（1）如图所示： （2）图③的面积是； 故答案为：16； （3）图②和图③对应边的比为3：4， 则图③也可以看成是由图②按4：3放大后得到的． 故答案为：4：3． 【点评】本题主要考查了图形的放大和缩小问题，三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． 22．如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，∠C＝65°． （1）求∠DAE的度数； （2）如图2，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE． 【考点】三角形内角和定理． 【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出∠BAC＝80°，再由角平分线的定义求出∠BAD＝40°，由三角形外角的性质得到∠ADE＝∠B+∠BAD＝75°，再由垂直的定义得到∠AEB＝90°，由此即可求解； （2）同（1）进行求解即可． 【解析】解：（1）∵∠B＝35°，∠C＝65°， ∴∠BAC＝180°﹣35°﹣65°＝80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC80°＝40°， ∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝35°+40°＝75°． ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°， 即∠DAE的度数为15°； （2）∵∠B＝α，∠C＝β， ∴∠BAC＝180°﹣α﹣β， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴， ∵FE⊥BC， ∴∠FEB＝90°， ∴． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 23．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P； （1）求证：AD＝BE； （2）试说明AD平分∠BAE； （3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD＝BE． （2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由∠BDP＝∠ADC，得到∠BPD＝∠DCA＝90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE； （3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP＝∠AFC，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF＝∠ACF＝90°，即AD⊥BE． 【解析】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°， ∴∠CBA＝∠CAB， ∴BC＝CA， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BE． （2）∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC＝∠DAC， ∵∠BDP＝∠ADC， ∴∠BPD＝∠DCA＝90°， ∵AB＝AE， ∴AD平分∠BAE． （3）AD⊥BE不发生变化． 如图2， ∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC＝∠DAC， ∵∠BFP＝∠AFC， ∴∠BPF＝∠ACF＝90°， ∴AD⊥BE． 【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△BCE≌△ACD． 24．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且 ∠EAF∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　EF＝BE+FD　 ； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE或EF＝BE+FD　 ． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，即可证明△ABG≌△ADF，可得AF＝AG，再证明△AEF≌△AEG，可得EF＝EG，即可解题； （2）如图2，同理可得：EF＝BE+DF； （3）如图3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF＝BE﹣DF． 【解析】解：（1）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG． ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴AG＝AF，∠1＝∠2， ∴∠1+∠3＝∠2+∠3∠BAD＝∠EAF． ∴∠GAE＝∠EAF． 又AE＝AE， 易证△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF． ∵EG＝BE+BG． ∴EF＝BE+FD 故答案为：EF＝BE+FD； （2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立． 理由是：如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG． ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°， ∴∠ABG＝∠D， ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴AG＝AF，∠1＝∠2， ∴∠1+∠3＝∠2+∠3∠BAD＝∠EAF． ∴∠GAE＝∠EAF． 又AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF． ∵EG＝BE+BG． ∴EF＝BE+FD （3）①EF＝BE﹣FD． 证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． ∵AE＝AE， 易证△AEG≌△AEF（SAS）． ∴EG＝EF ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． ②EF＝FD﹣BE． 证明：在DF上截取DH＝BE， 同第一种情况方法，证△AEB≌△AHD（SAS）， 证△AEF≌△AHF（SAS）， ∴EF＝FH＝FD﹣DH＝FD﹣BE； ③由（1）、（2）可知，EF＝BE+FD； ④如图，点E在BC延长线上，点F在DC延长线，此时线段EF，BE，FD之间并无直接数量关系． 综上，EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE或EF＝BE+FD； 故答案为：EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE或EF＝BE+FD； 【点评】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出AF＝AG是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出EF＝EG，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$