专题01 直线与直线的方程综合问题（压轴题专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题01 直线与直线的方程综合问题 目录 典例详解 类型一、直线过定点问题 类型二、对称问题 类型三、线段之和（差）的最值问题 压轴专练 类型一、直线过定点问题 对于直线过定点问题，一般可以通过以下几种方法来解决： 1.特殊值法 ①选取特殊的参数值：给参数赋两个不同的特殊值，得到两条具体的直线方程； ②求解交点：联立这两条直线方程，求出它们的交点坐标； ③验证定点：将交点坐标代入含参数的直线方程，验证对于任意参数值该点都在直线上，从而确定定点. 2.分离参数法 ①对含参数的直线方程进行变形：将参数与变量分离到等式两边； ②确定定点条件：使得等式成立的条件是参数的系数为0，同时与参数无关的式子也为0，解方程组确定定点坐标. 3.将方程转化为直线方程的点斜式，即可找到定点 ①将含参数的直线方程转化含参数的点斜式方程； ②通过点斜式的定义即可确定定点. 例1．已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的斜率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线所过定点的坐标，数形结合求出直线的斜率的取值范围. 【详解】直线的方程化为，由，解得， 因此直线过定点，线的斜率， 直线的斜率， 如下图所示，由直线与线段总有公共点，得直线的斜率有或， 又直线的斜率， 所以直线的斜率的范围为. 故选：A 变式1-1．直线的方程为，当原点O到直线的距离最大时，的值为 ． 【答案】 【分析】整理直线方程，建立方程组，求其定点的坐标，结合直线垂直的斜率公式，可得答案. 【详解】由，整理可得， 令，解得，则直线过定点， 易知当时，原点到直线的距离最大，显然此时斜率都存在， 直线的斜率，直线的斜率， 由，则，解得. 故答案为：. 变式1-2．直线，点，，若与线段AB相交，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线确定定点，求出定点与已知点所成直线的斜率，数形结合得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】由题设，则，可得， 所以直线过定点，则，， 由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又， 所以或，即或， 又时直线的方程为，仍与线段相交， 所以的取值范围为. 故选：C 变式1-3．已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 【答案】 【分析】先求出直线过的定点，直线与连接两点的线段总有公共点，求出，可知直线的斜率满足或，求出倾斜角即可. 【详解】如下图，由题意， 直线方程可化为，    由解得， 则直线过定点， 又， 则由直线与连接两点的线段总有公共点知: 直线的斜率满足或， 又当直线的斜率存在时，， 所以或， 则直线的倾斜角为或， 又也符合题意， 则直线的倾斜角范围是. 故答案为：. 例2．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 【答案】9 【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 变式2-1．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】辅助角公式、直线过定点问题、由斜率判断两条直线垂直 【分析】可得直线分别过定点和且垂直，可得设，则，,,则，利用正弦函数的性质求值域即可． 【详解】由题意可知，动直线，经过定点， 动直线即，经过定点， 时，动直线和动直线的斜率之积为， 时，也垂直， 所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点， ， ． 设，则，， 由且，可得， ， ， ， ， ， 故答案为：. 类型二、对称问题 常见的对称类型 1.点关于点对称（实质：该点是两对称点连线段的中点） ①平面内点关于对称点坐标为. ②平面内点，关于点对称. 2.直线关于点对称（实质：两直线平行） ①转化为“点关于点”的对称问题，利用中点坐标公式，求出已知直线上一点的对称点的坐标，再利用平行直线系方程，写出所求直线方程． ②利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到这两条直线的距离相等，列式计算，即可得到所求直线方程． 3.点关于直线对称（实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线．） ①当直线斜率存在时：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则. ②当直线斜率不存在时：点关于的对称点为． 4.直线关于直线对称 （1）当两直线相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； ①求直线关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点； 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点； 第三步：利用两点式写出方程． ②求直线与直线（两直线不平行）的对称（轴）直线（实质：对称轴为角平分线） 第一步：设所求直线上任一点（非交点）； 第二步：根据角平分线的性质（角平分线上的点到角的两边距离相等），列出点到两直线的距离公式相等的等式，并化简整理，即可得到所求直线方程. （2）当两直线平行时：对称直线与已知直线平行． 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得． 5.反射光线中的对称问题 例3．已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. （3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程. 【详解】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 变式3-1．已知的顶点，，直线l：过定点． (1)若是的重心，求三边所在直线的方程； (2)若，且，求顶点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】（1）由题意可得，解出即可得点坐标，结合重心性质即可得点坐标，即可逐个计算三边所在直线的方程； （2）由可得点C在的垂直平分线上，借助坐标及方程可求出其垂直平分线的坐标及方程，结合点到直线距离公式计算即可得点坐标. 【详解】（1）将l：整理得， 由，得，所以， 设，因为是的重心， 所以，解得，所以， 故所在直线的方程为，整理得， 所在直线的方程为，整理得， 所在直线的方程为，整理得； （2）因为点到直线的距离， 又，所以点C到直线的距离为， 因为，所以点C在的垂直平分线上， 中点坐标为，即， 则的垂直平分线的方程为，即， 所以，解得或， 所以或． 变式3-2．在中，点在直线上，点的坐标为，的平分线所在直线的方程为，且点在直线上. (1)求直线的方程； (2)若直线过点，且点，到的距离相等，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出点的坐标以及点关于直线的对称点的坐标，即可求解； （2）首先求出点的坐标，然后根据已知得过边的中点，或，分别求解即可. 【详解】（1）由，解得，即， 设点关于直线的对称点为， 因为是的平分线，所以在直线上， 则，解得，即， 于是， 所以直线的方程为，即； （2）联立，解得，即， 因为点，到的距离相等， 所以过边的中点，或， 当过点时，的斜率为， 直线的方程为，即； 当时，直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 例4．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】 建立如图所求的直角坐标系，得，， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线，且，， 所以直线的方程为，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，，, 所以， 所以的周长为. 故选：A． 【点睛】本题解题的关键是利用对称性，把的三边转化到同一条直线上，利用直线方程求得点的坐标. 变式4-1．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 类型三、线段之和（差）的最值问题 线段和与差的最值问题解题思路 1.定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； 2.定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短． 例5．已知点，，且点在直线：上，则（    ） A．存在点，使得 B．若为等腰三角形，则点的个数是3个 C．的最小值为 D．最大值为3 【答案】BCD 【分析】对于A，分类讨论，利用斜率公式以及两直线垂直的条件即可判断；对于B，分类讨论，讨论等腰三角形的顶点，结合点到直线的距离即可判断；对于C，求出点关于直线l的对称点，结合几何性质，数形结合，即可求解；对于D，结合几何性质，数形结合，即可判断； 【详解】对于A，设，当PM斜率不存在时，，此时， 则，即与不垂直； 当PN斜率不存在时，，此时， 则，即与不垂直； 当且时，，， 若，则，即， 由于，方程无解，故与不垂直； 综合可知不存在点，使得，A错误； 对于B，若等腰的顶点为P，此时P在的垂直平分线上， 则P点横坐标为，此时； 当M为等腰的顶点时，由于点M到直线：的距离为， 故直线l上必存在两点满足，设这两点为， 由于l上纵坐标为1的点为，该点和M的距离为2， 故和M，N不共线，适合题意，    由于N点到直线：的距离为， 故以N点为顶点的等腰不存在， 综合以上可知为等腰三角形，则点的个数是3个，B正确； 对于C，设点关于直线l的对称点为， 则，解得，即， 故, 当且仅当三点共线（P在之间）时取得等号，    即的最小值为，C正确； 对于D，如图，， 当且仅当P为的延长线与l的交点时等号成立，    即最大值为3，D正确， 故选：BCD 变式5-1．已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】A 【分析】依题意，设点，推得点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式表示的几何意义将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和最小问题解决. 【详解】不妨设点在点的左边，因直线的倾斜角为， 且，则点的坐标为， 则， 记， 则可将理解为点到的距离之和， 即点到直线的距离之和，依题即需求距离之和的最小值. 如图，作出点关于直线的对称点,则， 连接，交直线于点,则即的最小值， 且, 故的最小值为. 故选：A. 变式5-2．已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线 ：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 【答案】BCD 【分析】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为，对于A：根据对称性可得，进而可得结果；对于B：根据点到直线的距离分析判断；对于C：因为，结合点到直线的距离分析判断；对于D：根据题意分析可得，结合点到直线的距离分析判断. 【详解】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为， 可知， 对于选项A： 可得周长， 当且仅当四点共线时，等号成立， 所以周长的最小值为，故A错误；    对于选项B：设到轴，直线：的距离分别为， 则， 可得， 所以的最小值为，故B正确；    对于选项C：因为， 设到直线：的距离为， 可得， 所以的最小值为，故C正确；    对于选项D：作，垂足为， 因为直线的斜率，则，可得， 则， 可得， 所以的最小值为4，故D正确；    故选：BCD. 变式5-3．已知实数，，且满足成立，则的最小值与最大值的和是 . 【答案】 【分析】设，将问题转化为求两点到原点距离之和的最小值与最大值的和， 结合图形可得答案. 【详解】设，. 则， 表示两点到原点距离之和. 如图，建立直角坐标系，其中. 注意到点在直线上（其中 ）， 过B作y轴垂线，垂足为.则， 设原点关于直线对称的点为，又直线斜率为-2. 则，即. 则由对称性， ，当且仅当C，B，D三点共线， 即DC垂直于y轴时取最小值； 又设DC垂直于y轴时，与直线交点为E. 则当点B位于点E上方或下方时，始终有， 要使最大，则点B需位于G点或H点， 可得最大值为. 则最小值与最大值的和是. 故答案为：.    【点睛】对于求解含有根式的条件等式范围问题，可利用数形结合思想，将问题转化为距离相关的问题. 一、单选题 1．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 2．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是（    ） A．9 B． C． D． 2．C 【分析】分情况讨论，当时，，当时，根据直线方程确定，利用勾股定理得到,结合基本不等式即可求得结果. 【详解】直线过定点，直线过定点， ①当时，过定点的直线方程为，过定点的直线方程为， 两直线垂直，此时，所以， ②当时，直线的斜率为，直线0的斜率为， 因为，所以两直线垂直，即点可视为以为直径的圆上的点， 因为点不与点或点重合，为直角三角形，且， 所以 当且仅当时等号成立， 因为，故的最小值为. 故选：C. 3．已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．B 【分析】先求出直线与直线的斜率，再结合直线与线段相交的条件，确定直线斜率的取值范围. 【详解】已知，，根据过两点直线斜率公式，可得： 已知，，同理可得： 当直线绕点从位置旋转到与轴重合时，斜率的范围是； 当直线绕点从与轴重合旋转到位置时，斜率的范围是. 所以直线斜率的取值范围是. 故选：B. 4．已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 4．B 【分析】先求出点关于线段的对称点的坐标，且有，根据几何意义，结合图形，即可得出取最小值，从而得解. 【详解】如图，过点作点关于线段的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设，则，所以， 又，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离与到的距离之和. 过作轴，过点作轴， 显然有，则为所求最小值，此时与线段的交点，即为最小值时的位置. 易得，所以的最小值为. 故选：B． 【点睛】本题解决的关键在于将问题转化为点到轴的距离与到的距离之和，从而结合图形即可得解. 二、多选题 5．已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最大值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 5．AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC. 6．已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 6．ACD 【分析】由直线方程可得直线恒过定点可判断AB；由两直线垂直的充要条件可判断C；由基本不等式可判断D. 【详解】对于A，直线恒过定点，故A正确， 对于B，因为，所以直线恒过定点，故B错误； 对于C，又因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，在直角三角形中， 由勾股定理可得：， 所以，当且仅当时取等，故D正确. 故选：ACD. 7．如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器（体积忽略不计），已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则 B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到 7．BC 【分析】利用点线对称与光线镜面反射的虚像原理作出图像，数形结合，可一一得到答案. 【详解】由于该射线平行于地面，根据题意可视为射线在平面四边形内部发生反射， 对于A，当时，发出射线使其反射点在靠近端的四等分点，反射后再正好被感应器捕捉， 所以，则，故A错误； 对于B，当时，第一次反射在边上，所以不可能只反射一次就被感应器捕捉； 如图1，假设反射两次后被感应器捕捉，则第二次反射一定在边上， 将平面依次向右、向上翻折一次，到达， 观察线段，要求此线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 设直线，所以:，令得， 所以线段不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 即不可能经过两次反射后被感应器捕捉； 如图2，计算得：时可以反射三次后被感应器捕捉（线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部）， 故B正确； 对于C，如图3，依次将平面向上、向右翻折，连接，观察线段，其经过点， 所以与直线的交点在线段上， 故线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 意味着射线将依次经过、反射后被感应器捕捉，反射了两次，故C正确； 对于D，如图4，同翻折，同理分析，观察线段，交点恰好在转折点处， 所以线段一定不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 8．已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 8． 【分析】解法一：在直线上取一点，则关于直线的对称点必在上，则在直线l上，且直线与直线l斜率的乘积等于，建立方程组解出，再由经过与的交点，由两点式可得直线的方程，即可得解； 解法二：利用二级结论，直线关于直线对称的直线方程，由式子决定，即可得到直线的方程. 【详解】解法一：在直线上取一点，不妨取，则关于直线的对称点必在上． 设，则，解得即． 设与的交点为，则由，得，即． 又经过点，所以由两点式得直线的方程为， 即． 故答案为：． 解法二：直线：关于直线：对称的直线方程为 ， 即，所以直线的方程为． 故答案为：． 9．已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为 ． 9． 【分析】由则函数的图象关于点中心对称，不妨设直线AC的方程为，由，解得或或，则，同理可得，由，即，即可求解. 【详解】函数的图象关于点中心对称， 不妨设直线AC的方程为， 由，得， 解得或或， 则， 同理可得， 由，得， 即， 即， 即， 令，则这两条直线的斜率之和为． 故答案为： 【点睛】不妨设直线AC的方程为，由，求出，即可． 10．在正方体中，，为棱的中点，一束光线从点射出，经侧面反射，反射光线又经侧面反射后经过点，则这束光线在正方体内的总长度为 ． 10． 【分析】易得光线从点射出通过两次反射到达点，则其路径在平面内，设光线在平面和平面内的反射点分别是，在矩形中，过点作于点，利用相似比及勾股定理求出即可. 【详解】                 如图1，光线从点射出，经侧面反射，反射光线又经侧面反射后经过点， 则其路径必在平面内，设光线在平面和平面内的反射点分别是，如图所示. 在矩形中，，过点作于点， 由反射的性质，可得，且， 易得，则得，因，则， 故，， 于是， 所以该光线经过的路径长为： 故答案为： 【点睛】明确入射光线和反射光线是共面的，都在平面内，是解决本题的关键. 11．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 ． 11． 【分析】由题意可知满足为四边形的四边上任意一点，然后画图由几何意义求解即可. 【详解】将直线与的方程化为一般式为， ，所以到两直线的距离之和为：， 所以①. 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 则动点为如图所示的四边形的边，   的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率. 易知，， ，， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】本题的关键是去绝对值符号得到点的轨迹，再由的几何意义求解即可. 12．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 12．/ 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解. 【详解】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 而， 所以的最小值为 . 故答案为：. 【点睛】本题解决的关键是将等价转化为，从而得解. 四、解答题 13．已知直线：. (1)若直线垂直于直线：，求的值； (2)求证：直线经过定点； (3)当时，求点关于直线的对称点的坐标. 13．【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可得解； (2)转换为恒等式成立问题，由恒等式成立的条件解方程组即可得解. (3)设对称点坐标，根据中点坐标公式求出的中点坐标，然后根据两直线垂直的性质以及的中点在直线上，列出方程组，解方程组即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 解得，故的值为； （2）因为， 所以， 所以，解得， 所以直线恒过定点； （3）因为， 所以直线， 设点关于直线的对称点的坐标为， 所以的中点坐标为， 所以，解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 14．已知，直线 (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分三角形的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由反射点为、反射点为反射后，光斑落在点，求入射光线的直线一般式方程. 14．【分析】（1）整理得到，从而得到方程组，求出定点坐标； （2）求出定点在直线上，且，由得到，设出，由向量比例关系得到点坐标，得到直线方程； （3）作出辅助线，确定关于和的对称点，得到 ，进而可得，即可得直线方程. 【详解】（1）直线可化为， 令，解得，故直线经过的定点坐标为； （2）因为，则直线方程为， 故直线经过的定点在直线上， 且，即，， 设直线与交于点，则， 即， 可得，即， 设，则， 可得，解得，即， 将点坐标代入直线的方程，解得， 所以直线的方程为； （3）设关于的对称点，关于的对称点， 因为直线的方程为， 则，解得， 即，可得， 因为直线与直线关于x轴对称，则， 则入射光线的方程为，即为 【点睛】直线方程的求法，直线过定点问题.这类求定点问题主要是理解掌握过两直线的交点直线系方程，充分把握向量在平面几何中的应用，以及分析问题解决问题的能力和运算能力． 15．已知的顶点，在AB边上的中线CM所在的直线方程为的角平分线BH所在直线方程为. (1)求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程; (2)求直线BC的方程; (3)在线段AB上是否存在点D，满足，若存在，求D点坐标，若不存在，说明理由. 15．【分析】（1）当直线过原点时，结合直线斜率可得方程；当直线不过原点时，结合直线方程截距式可求得结果. （2）设，将中点坐标代入方程可求得点坐标；设点关于直线的对称点的坐标为，将利用和将线段的中点代入角平分线上，可得到关于的方程组，最后利用点斜式方程即可求解 （3）联立直线方程求坐标，由在线段上，设，根据垂直关系求参数n并判断点的存在性. 【详解】（1）设直线在轴上的截距分别为， 当时，直线经过原点与，则直线斜率， 直线方程为，即； 当时，可设直线方程为， 代入坐标，可得， 直线方程为； 综上所述：直线方程为或. （2）由题意知：点在直线上，则可设， 中点为， ，解得，. 设点关于直线的对称点的坐标为， 则点在直线上，线段的中点在角平分线上，且. 由题意知，解得，即， 因为， 所以直线的方程为， 即. （3）由为直线与直线的交点， 联立，解得，则. 由点在线段上，由， 可得，则， 即， 可设，又， 因为，所以，解得， 由，，因为，所以存在. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线与直线的方程三类综合问题 目录 典例详解 类型一、直线过定点问题 类型二、对称问题 类型三、线段之和（差）的最值问题 压轴专练 类型一、直线过定点问题 对于直线过定点问题，一般可以通过以下几种方法来解决： 1.特殊值法 ①选取特殊的参数值：给参数赋两个不同的特殊值，得到两条具体的直线方程； ②求解交点：联立这两条直线方程，求出它们的交点坐标； ③验证定点：将交点坐标代入含参数的直线方程，验证对于任意参数值该点都在直线上，从而确定定点. 2.分离参数法 ①对含参数的直线方程进行变形：将参数与变量分离到等式两边； ②确定定点条件：使得等式成立的条件是参数的系数为0，同时与参数无关的式子也为0，解方程组确定定点坐标. 3.将方程转化为直线方程的点斜式，即可找到定点 ①将含参数的直线方程转化含参数的点斜式方程； ②通过点斜式的定义即可确定定点. 例1．已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的斜率的范围为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．直线的方程为，当原点O到直线的距离最大时，的值为 ． 变式1-2．直线，点，，若与线段AB相交，则的范围为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 例2．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 变式2-1．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是 . 类型二、对称问题 常见的对称类型 1.点关于点对称（实质：该点是两对称点连线段的中点） ①平面内点关于对称点坐标为. ②平面内点，关于点对称. 2.直线关于点对称（实质：两直线平行） ①转化为“点关于点”的对称问题，利用中点坐标公式，求出已知直线上一点的对称点的坐标，再利用平行直线系方程，写出所求直线方程． ②利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到这两条直线的距离相等，列式计算，即可得到所求直线方程． 3.点关于直线对称（实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线．） ①当直线斜率存在时：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则. ②当直线斜率不存在时：点关于的对称点为． 4.直线关于直线对称 （1）当两直线相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； ①求直线关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点； 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点； 第三步：利用两点式写出方程． ②求直线与直线（两直线不平行）的对称（轴）直线（实质：对称轴为角平分线） 第一步：设所求直线上任一点（非交点）； 第二步：根据角平分线的性质（角平分线上的点到角的两边距离相等），列出点到两直线的距离公式相等的等式，并化简整理，即可得到所求直线方程. （2）当两直线平行时：对称直线与已知直线平行． 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得． 5.反射光线中的对称问题 例3．已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 变式3-1．已知的顶点，，直线l：过定点． (1)若是的重心，求三边所在直线的方程； (2)若，且，求顶点的坐标． 变式3-2．（24-25高二上·安徽·阶段练习）在中，点在直线上，点的坐标为，的平分线所在直线的方程为，且点在直线上. (1)求直线的方程； (2)若直线过点，且点，到的距离相等，求的方程. 例4．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 变式4-1．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 类型三、线段之和（差）的最值问题 线段和与差的最值问题解题思路 1.定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； 2.定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短． 例5．已知点，，且点在直线：上，则（    ） A．存在点，使得 B．若为等腰三角形，则点的个数是3个 C．的最小值为 D．最大值为3 变式5-1．已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．12 变式5-2．已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线 ：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 变式5-3．已知实数，，且满足成立，则的最小值与最大值的和是 . 一、单选题 1．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是（    ） A．9 B． C． D． 3．已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题 5．已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最大值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 6．已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器（体积忽略不计），已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则 B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到 三、填空题 8．已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 9．已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为 ． 10．在正方体中，，为棱的中点，一束光线从点射出，经侧面反射，反射光线又经侧面反射后经过点，则这束光线在正方体内的总长度为 ． 11．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 ． 12．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 四、解答题 13．已知直线：. (1)若直线垂直于直线：，求的值； (2)求证：直线经过定点； (3)当时，求点关于直线的对称点的坐标. 14．已知，直线 (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分三角形的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由反射点为、反射点为反射后，光斑落在点，求入射光线的直线一般式方程. 15．已知的顶点，在AB边上的中线CM所在的直线方程为的角平分线BH所在直线方程为. (1)求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程; (2)求直线BC的方程; (3)在线段AB上是否存在点D，满足，若存在，求D点坐标，若不存在，说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$