13.3 三角形的内角与外角（题型专练）数学人教版2024八年级上册

13.3 三角形的内角与外角 题型一 三角形内角和定理的应用 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等腰三角形顶角为，则这个三角形的底角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）已知的三边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·河南信阳·三模）如图，中，，，线段是的平分线，的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在中，、、的对边分别是、、，下列条件能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 1．（2023·山东临沂·一模）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，ABCD，则的度数为（    ） A．90° B．85° C．60° D．55° 3．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，则的度数为 ．    4．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 1．（2025·江苏盐城·三模）如图，在中，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，点是内一点，、分别平分、，，则 ． 4．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，平分，，．求的度数． 5．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图， 的两条内角平分线 ， 交于点 ， 是 边上的高，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 题型四 直角三角形的两个锐角互余 1．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，中，于点D，若，则（　　） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·湖北襄阳·期中）已知，为直角两锐角，，则 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，，，求，的度数． 4．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．    题型五 三角形的外角的定义及性质 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，，，，则 ． 5．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ． 6．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线，的直角顶点C落在直线b上，若，则 °． 7．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在，，，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，求和的度数． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 9．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 1．（2025·安徽芜湖·三模）如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，是的外角，平分，平分，且交于点E． (1)若，求证：； (2)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.3 三角形的内角与外角 题型一 三角形内角和定理的应用 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等腰三角形顶角为，则这个三角形的底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．根据等腰三角形的特征以及三角形内角和为进行作答即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴底角为， 故选：A． 2．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）已知的三边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．根据三角形内角和定理可分析出A、C的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、D的正误． 【详解】解：A、，， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； B、， 能构成直角三角形，故此选项不合题意； C、设，，， ， 解得：， 则， 不是直角三角形，故此选项符合题意； D、， 能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（2025·河南信阳·三模）如图，中，，，线段是的平分线，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的计算，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：∵在中，，， ， ∵平分， ， ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在中，、、的对边分别是、、，下列条件能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理逆定理及三角形内角和定理，根据勾股定理逆定理及三角形内角和进行计算，逐项判断即可． 【详解】A、∵， ∴， ∴是直角三角形，符合题意； B、∵，且， ∴，，∠， ∴不是直角三角形，不符合题意； C、∵，设 ∴， ∴， ∴不是直角三角形，不符合题意； D、∵，， ∴， ∴不是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 1．（2023·山东临沂·一模）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 2．（21-22八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，ABCD，则的度数为（    ） A．90° B．85° C．60° D．55° 【答案】D 【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵AB∥CD，∠ACD=40°， ∴∠A=∠ACD=40°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-85°=55°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理等于180°是解题的关键． 3．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，则的度数为 ．    【答案】83 【分析】根据三角形的内角和及平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， 又， ， 故答案为：83． 【点睛】本题考查了三角形的内角和及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、垂直定义、三角形内角和定理等知识点，根据平行线的性质得出，求出，即可求出，根据垂直求出，即可求出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 1．（2025·江苏盐城·三模）如图，在中，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，由三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由平分，平分，得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，点是内一点，、分别平分、，，则 ． 【答案】/122度 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，并掌握整体法是解题的关键．利用角平分线定义得出，，再利用三角形内角和定理得出，则可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，平分，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线，先根据角平分线的定义求出度数，然后在中，根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， 又， ∴． 5．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图， 的两条内角平分线 ， 交于点 ， 是 边上的高，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，由得到，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ． 题型四 直角三角形的两个锐角互余 1．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，中，于点D，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．由直角三角形的性质求出，由等腰三角形的性质得到即可求出的度数． 【详解】解：于点， 故选：C． 2．（21-22八年级上·湖北襄阳·期中）已知，为直角两锐角，，则 【答案】36°或36度 【分析】根据直角三角形中，两个锐角互余计算即可． 【详解】解：∵∠A，∠B为直角△ABC两锐角， ∴∠A＝90°−∠B＝36°， 故答案为：36° 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，，，求，的度数． 【答案】； 【分析】本题主要考查了垂直的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件和直角三角形的性质得出的值，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴＝． 4．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．    【答案】 【分析】根据三角形内角和和角平分线求出，根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角的关系求出即可． 本题考查了三角形的角平分线，主要利用了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴ ∵是高， ∴ ∴ ∴． 题型五 三角形的外角的定义及性质 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质求出，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角的性质.根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外角性质，根据三角板的度数以及三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，，，，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据邻补角的定义得到，根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：25． 5．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形的内角和与三角形的外角性质，全面分类、熟练掌握三角形的内角和与三角形的外角性质是解题的关键； 分三种情况：当点P在的内部时，当点P在的外部时，若点P在上方，当点P在的外部时，若点P在下方，分别画出图形，利用三角形的内角和与三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：当点P在的内部时，如图，延长交于点D， 则， ∴； 当点P在的外部时，若点P在上方，如图，设交于点E， ∵， ∴， ∴； 当点P在的外部时，若点P在下方，如图，设交于点E， ∵， ∴， ∴； 综上：或或； 故答案为：或或． 6．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线，的直角顶点C落在直线b上，若，则 °． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据三角形的内角和定理求得的度数，利用平行线的性质即可得到；然后再利用等量代换和三角形外角性质求得结论． 【详解】解：∵， ， ∵直线， ， ， ， 故答案为：40． 7．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在，，，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，求和的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，关键是由三角形内角和定理求出的度数，由三角形外角的性质得到．由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得到，由三角形的外角性质求出． 【详解】解：∵在中，，， ∴； ∵， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∵是的外角， ∴， ， ∴． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形中线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质即可得出结论； （2）根据三角形中线的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，是的一个外角， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴． 9．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线、高和角平分线，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）由三角形的中线定理可得：，，再结合，即可求解； （2）根据三角形的外角性质可求出，根据角平分线的定义可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：是的中线，的面积为， ，， ， ， ； （2），， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ． 1．（2025·安徽芜湖·三模）如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据邻补角性质求得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 【答案】(1)115，25 (2)不会发生变化，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，则，再由不变，即可分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ， ，． 平分， ． ； ， ． 平分，平分， ，． ， ，即， ． 故答案为：115，25； （2）解：不会发生变化，理由如下： ， ． ， ，． 平分，平分， ，． ． ， ， ， ． 当的度数发生变化时，、的度数不发生变化； （3）解：设， ． ， ，， 平分，平分， ，， ． ． 平分，平分， ，， ， ， 中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ①当时，， 解得： ②当时，， 解得： ③当时，， 解得： ④当时，， 解得： 综上可知，或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 【答案】（1）；（2）（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）由三角形内角和定理可求得，根据角平分线的定义可求得，在中利用三角形内角和定理可求得； （2）方法同（1）； （3）根据三角形的内角和等于列式整理即可得． 【详解】解：（1）∵，, ∴， ∵点O是和平分线的交点， ∴， ∵， ∴； 同法，在中， ， 故答案为：；； （2） 理由如下：在中， ； 故答案为：； （3）类似（2），可得在中， ； 故答案为：． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，是的外角，平分，平分，且交于点E． (1)若，求证：； (2)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的判定，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，结合已知推出，于是问题得证； （2）根据是的一个外角得出，再根据角平分线的定义推出，再根据是的一个外角得出，从而推出与之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， ； （2）解：， 理由： ∵是的一个外角， ， ∵平分平分， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$