13.3.1 三角形的内角-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（人教版2024）

温聚提承：墙做究后再看容象【 A+AE+OR十>HE+O (架园团，当高AD在△AKC的内第时，则以=D十D= 《2)1)中的结论奶脑成立型出知下： 出图可年，A星十义=AC,=期十泥 4,.C=2=10, 女ADLC,R⊥AH,÷∠D=∠=T ∴AB+A+ROB+0+OR 参考答案 得中<AI+AC 8=-言×10×4-38， ∠2+∠ABD-a,∠I+∠CE=o 义￥∠A0-∠C银.∴∠1-∠ (2):则十C,湖十7， 如周9，青高AD有AAC的并第时，群C-D-(D-1, 13,3?三角思的粉角 第十三章三角形 :0期+OC<AB+M, 基础在线 ∴M+CI1..7<0840<11. L.C 27 3 30 4.A 5,C 6B 13.1三角聪的概念 11三2三角形的中城、角平分接、高 7,①∠a=0,②∠a=158,s 基稻在城 基键在线 能方在线 LC 2C 1.B:So S c 10 3,510A1:A12.1111,63 a,S△ABD,△BDC△BDC,△AB0AB∠AC 2.3 3.4.A 5.JAC HAC 4.1图为∠B=45,∠84D=0, ∠A:∠ABD,∠ADB ,DEAC,∠4=∠CAa ■1 所∠A:-∠B中∠AD=1a LA S.C 6A 7.C ∠EDA=∠AD,∠CA-∠EAD 13,3三角形的内角与外角 因为∠=45“， 易力在银 AD是△A的角平分线， 133.1三角形的内角 质且∠DAE=r-∠G-∠AC=10 8.D线010B11.@④1284415.-1 7,AD⊥AXC周A,A 第1球时三角利的内角中 14,1)且点B为属点的角邢是△ABD,△ABE,△AB 质H∠ADB-∠AED1回-S (DAC BC 基健在线 2D以AC为效的区角形是△ACE.△ACD.△C& (2)如图所承 1B2.1)4520713.324.C5.308.40 E以∠CDE-∠ADC-∠ADE-N H)周中岭等W三角形是△LD,△ADE,△AFC T.Y∠CGD=4,∠EF=∠GD=4 2)∠BAD2∠CDE理如下 △AC,等地三角用是△ADE a1:8a=-号AC,BC-号ABCD, ∠F=32, 像∠8D=r,周∠ADC-∠H+∠BD=+ 拓展在线 :.CD-AC-BC-1X3-1. AH ∠GFE-1-∠F-∠B-好-4r-1=1e 因为∠C例4”， l5.8610512883号+1)+2知 形以∠AE=1一∠C-∠ADC■0一盖 0C1.9政16 Y∠ACB-s,∠GFE+∠ACB-14.EFBC &A3时 13,2与三偏形有关的线极 能力在就 ADE-∠A5D-IDL-+ 能力在城 13无1三角形的迪 2B1山，0)两〔甲3)乙 10.B11.D12,A1xC14,45 蓝随在线 140政5015,41,1s 居H∠CE-∠ADC-∠AE-宁= I5.CD平分∠ACB. 打，AK=1m,D=2m =以∠民AD=2∠CDE 七1)3+1一5，：不圳域三角形. 65m-7AE,CGD-7X×2-到✉ 后展在性 ∠B=1'-∠CD-∠2，∠4=1 ()36+4k=k>5从，像组成三角愿. 5.【程究】证有，是被A以年感民，如图中 -∠AD-∠1∠1=∠2. (3》a十+1>w+6+1h,”a,b为较框边的民面： 5-子CE,A8-3m.A-8m V∠BOM是△AO的外- ∠B=∠4， 又，a十e+6+1,不组或三角形， ∠&MO+∠=∠BM.① 五A6.D7.中&B ÷E=1m ∠A=∠3 ,∠则是AOC的外角 ∠AED=1-4∠3十∠4)mB一∠A+∠B)■ 霍力在线 麵展在酸 '∠CA0+∠C=∠O0l9 ∠C& 8.Bi0D11.A 1(11 ①十心.再 ,呢成BC 12,小平三角形周边之帮大第三造3.4 ()当CP起△ABC的面氧分成相等的两影分时，P为 ∠BAO+∠B+∠CAO+CC-∠B+∠CM, AB的中点 陌属在域 14.1)直三角形的三边美系用，AC-之AB之AC+C 厚∠C∠MC+∠B+∠C. 品底户运离的路程为十号-旱一要+2-早 16.B 聊一3A<3+1,,6<AB12. 17.1)0 【位m1(1),∠AC=54',∠BCD4B 又：△AC的用长为偶数，面AC,C为青数， ∠2-180-∠ABC-∠CD=18-4-4=70 ,AB为偶数，且AB为正餐数故AB=8点10 9一时于把△AK的南积分拔标琴的两影分， (?)∠A作x+∠X的大小不变，理由加下： .∠1=∠2=70. ∠A=, )AC+C=15,AAC的周张为偶数： (3》周点P在MP上时，△BCP的面积为4m, 南【w】可理，∠AED=∠A+∠D+∠1=28+1” ∠BC+∠B=1'-∠A=10', ,AB为王限数，且B为春数 7w114”. 在△CX中，∠BXC-则'， AB<AC+BC=15,AB的量大黄方1月. 六5ag-BC~CP-子×3×2-L解博-于 (2)连援AD,如图①， ∠XC+∠XCB=1-∠BXC=0 15.1)量庭边长为am,期餐长为2.54m 南【探宽1可，∠F+∠FAD+∠EDA-∠DEF,3 六当=子时，△CP的南飘为4可 ∠LBX+∠ACX=4∠LBC-∠XC)+《∠B 2.w十2.w十一30，解得a=.周2.5u=12.. ∠HAD+∠ADC+∠C=∠ABC,① ∠XCBm=(∠ABC+∠ACB)-(∠XC+∠CB)= 紫以，三角限三三动的长分别是5n:25a北5 襟专丽1三角形的中线：离线的坛用 15”-=W. +D,群∠F+∠FLD+∠EBM+∠AD+∠ADC+ 2)园为长为m的边可像是堰，依可峰是底，所以要分 ∠C=∠DEF+∠ABC=180+1=230. 闲种情瓦计论， 1.02.0片(24 ,∠AnX+∠ACX的大本不爱. ∠EB+∠C+∠EDC+∠F=20 家2国时直用文角形的两复用互伞 背等程三角的边长为6时，长为（一6》+2 1“E-Cgc2-} 蓄德在雄 -12(c. 1.B2.n 则等限三角形三边，长为6：12m:12,数构成三 98-65m一5w-吉X6- 器△AC是直角三角形：理由短F, 角形： AD-28D.So-6,8n-Sm:-t D⊥AB,∴∠A量=o',△A0R是直角三角感 ②等等暖三角形的烟长为6拉时，庭边长为3约 ∠1十∠A= 2×6m14(ctm ,8-5=〈Sm一5a》(SAAn-SAMO}=5Am 又”∠1=∠2，∠2+∠A-,△AC是直角角那， 做专题2与三角形角平分极有美的角度计算 因为8十心1B,不符合“三角形两边的和大于第三边” 5:=4-3=1. 4.00 所以不物构嘎丽长是6由岭等限三角形. 期5，一S的售为1 能力章墙 等厘三角思其离边的长为12,12m .莲接AD 5C4.A 微专题3料用数学思想求角度 Saa-SaAm十5A单 拓属在线 1,14 14.1)如圈.延长O交C于点E,根圆 ∴C·G-子AM:DE+二AC·DN T1》∠1=∠2由如下。 2,廿AE平背∠MD 三角带的三边关系可以得铜。在 ADLAC.CELAB, △ABE中，AB十AF>E,在△O 又AB=MC,DR+DF-a 二△AD期凸CE年是直角三角形 ∠4=∠1十∠8=x十40 中，十C>0两不等式相，得 5,8”减 ∠1+∠=，∠2+∠=,∠1=∠ 一探究在线·八年贝服学（上》13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 ©第1课时 三角形的内角和 基础在线沙 为知识要点分表然… 7.如图，已知△ABC,∠ACB=80°，点E,F分别 在AB,AC上，ED交AC于点G,交BC的延 知识点1三角形内角和定理 长线于点D,∠FEG=32,∠CGD=48°.求 1.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:4:5,则∠C 证：EF∥BC. 的度数为 ( A.90 B.75 C.60° D.45 2.(教材P16习题T1变式)求出下列各图中x 的值： x9 45°x-7)公 (1).x= (2)x 3.在△ABC中，∠A=20°，∠B=4∠C,则∠C 知识点3 三角形内角和定理的应用 知识点2三角形内角和定理与三角形的角 8.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形 平分线、平行线的综合 ABCD,其中∠B=40°，∠CAD=60°，则 4.(一题多解)（中考·长沙）如图，在△ABC中， ∠BCD= () ∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥BC,则∠1的度 A.160° B.120° C.80 D.100° 数为 ( 北 A.50° B.60 C.70 D.80 A 60 B40° 0 C 第8题图 第9题图 第4题图 第5题图 9.(教材P17习题T7变式)如图，点C位于点A 5.如图，在△ABC中，BD是△ABC的一条角平 的正北方向，点B位于点A的北偏东50°方 分线，∠ABC=80°，∠BDC=110°，则∠C= 向，点C位于点B的北偏西35°方向，则 6.(大同期中)如图，在 ∠ABC的度数为 △ABC中，∠B=46°，∠C 2 能力在线沙方法规律棕会猴… =54°，AD平分∠BAC,交 BC于点D,DE∥AB,交 10.(教材P17习题T9变式)如图，在△ABC中， AC于点E,则∠ADE的度数为 BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线， 第十三章8 ∠BOC=115°，则∠A= 15.(西安期未)如图，在△ABC中，∠1-∠2，∠A= A.40 B.50 ∠3，CD平分∠ACB.求证：DE∥BC C.60 D.65 D 第10题图 第11题图 11.如图，将一副学生专用三角尺（一个锐角为 30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三 角形)的直角顶点重合并如图叠放，若∠DEB 3 拓展在线沙 培优拔尖提升练 =a,则∠AFC A.30 B.a 16.(三明期末)在△ABC中，∠B=∠C=72, C.a+15 D.a-15 M,N分别是AC,BC边上的动点，将△MNC 12.要得知如图①画板上两直线a,b所夹锐角的 沿MN折叠得到△MNC,若MC与△ABC的 大小，发现其交点不在画板内，无法直接测 边平行，则∠CMN的度数为 () 量，某同学设计了间接测量方案如图②，则直 A.54 B.54°或18 线a,b所夹锐角的度数为 ( C.54或72 D.54°，18°或72 17.如图，在△ABC中，∠A=30°，将一块三角尺 XYZ放置在△ABC上，三角尺XYZ的两条 划得∠1=120 42=95 直角边XY,XZ恰好分别经过点B,C. 图① 图② (1)∠ABX+∠ACX= A.35 B.40° C.45 D.50 (2)若改变三角尺XYZ的位置，但三角尺 13.(重庆期中)如图，若∠A=33°，那么∠A+ XYZ的两条直角边XY,XZ仍然分别经过 ∠B+∠C+∠D+∠E= () 点B,C,则∠ABX+∠ACX的大小是否变 A.180 B.213 化？请说明理由. C.246 D.270° 第13题图 第14题图 14.如图，在△ABC中，CE是△ABC的角平分 线，D是CE延长线上一点，过点D作DF∥ AC交AB于点F,已知∠B=35°，∠D=30°， 则∠DFE的度数为 9探究在线八年级数学（上） ©第2课时 直角三角形的两锐角互余 ①基础在线 ,知识受点分类练 2 能力在线沙方法规体紫合绣 知识点1直角三角形的两个锐角互余 5.(吉林期中)下列条件不能判定△ABC是直角 1.(昆明阶段练习)如图，有一个直角三角形纸板 三角形的是 () 破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸 A.∠A:∠B:∠C=1:2:3 板，则需要补的角的度数是 () B.∠B-∠C=∠A A.45 B.35 C.55 D.25 C.∠A=2∠B=3∠C D.∠A=40°，∠B=50 551 6.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，E,F分别为 AB,AC上一点，将△ABC沿直线EF翻折至 同一平面内，点A落在点A'处，EA',FA'分别 第1题图 第2题图 交BC边于点M,N.若∠BEA'=80°，则 2.(中考·齐齐哈尔)将一个含30°角的三角尺和直 ∠CFA'的度数为 ()》 尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度数是() A.100 B.110° C.115° D.120° A.30 B.40° C.50 D.60° 知识点2 有两个角互余的三角形是直角三 ③拓展在线 。培优拔尖提升练 角形 7.(教材P14例3变式)如图①，在△ABC中， 3.(教材P14练习T2变式)如图，E是△ABC中 AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E. AC边上的一点，过点E作ED⊥AB,垂足为 (1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由： D.若∠1=∠2，则△ABC是直角三角形吗？ (2)如图②，如果∠ABC是钝角，其余条件不 为什么？ 变，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由. 图① 图2② 易错点直角三角形中的直角顶点不确定导 致漏解 4.如图，已知∠AOD=30°，C是射线OD上的一 个动点.在点C运动的过程中，△AOC恰好是 直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为 A 第4题图 第6题图 第十三章10